1) El documento presenta conceptos clave sobre funciones vectoriales de variable real como velocidad, aceleración, curvatura y torsión para resolver problemas de trayectorias de partículas.
2) Explica cómo calcular la velocidad, aceleración, componentes tangencial y normal de la aceleración para una función vectorial dada.
3) También introduce conceptos como el triedro de Frenet para describir cómo una curva se tuerce en el espacio tridimensional.
Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo:
1) La definición de una función vectorial y sus componentes.
2) Los conceptos de límite y continuidad para funciones vectoriales.
3) La derivada de una función vectorial y su interpretación geométrica como vector tangente.
4) Los vectores tangente, normal y binormal asociados a una curva, y conceptos como curvatura y torsión.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
1. El documento habla sobre curvas planas y funciones vectoriales. Define conceptos como curva suave, cerrada, simple y cómo queda parametrizada una curva plana en el espacio. También explica qué es una función vectorial y su relación con curvas espaciales.
2. Describe cómo calcular la velocidad, aceleración y vector tangente de una función vectorial, así como las reglas para derivar diferentes funciones vectoriales.
3. Explica cómo encontrar la velocidad, rapidez y aceleración de una partícula que se desplaza
Este documento define e introduce las integrales de línea. Define la integral de línea de campos escalares y vectoriales como la integral de la función o campo a lo largo de una curva. Explica que las integrales de línea son independientes de la parametrización de la curva y de la orientación de la curva. También presenta algunas propiedades como la linealidad y continuidad, y da ejemplos como el cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas.
Este documento describe las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio, representación gráfica, límites, continuidad, derivación, integración, longitud de arco, vectores tangente y normal, y curvatura. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que sus propiedades dependen de las funciones componentes.
Este documento contiene una guía de ejercicios resueltos sobre torque, cantidad de movimiento y trabajo. Incluye tres preguntas sobre torque que involucran calcular la fuerza necesaria para aplicar un torque dado y determinar la posición de equilibrio de una viga con masas en diferentes posiciones. También incluye tres preguntas sin resolver sobre cantidad de movimiento y trabajo. Explica detalladamente cómo resolver tres preguntas de equilibrio estático que involucran determinar las reacciones de apoyo en una viga simplemente apoyada con cargas distribuidas
Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa
Este documento define y explica los vectores tangente, normal y binormal de una curva en el espacio. Define el vector tangente (T) como la dirección de la tangente a la curva. Define el vector normal (N) como perpendicular a T y apuntando hacia la dirección de mayor curvatura. Define el vector binormal (B) como el producto vectorial de T y N, perpendicular a ambos. Explica cómo calcular T, N y B para una curva dada por su ecuación parametrizada r(t). Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cál
Este documento presenta los conceptos básicos de las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo:
1) La definición de una función vectorial y sus componentes.
2) Los conceptos de límite y continuidad para funciones vectoriales.
3) La derivada de una función vectorial y su interpretación geométrica como vector tangente.
4) Los vectores tangente, normal y binormal asociados a una curva, y conceptos como curvatura y torsión.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
1. El documento habla sobre curvas planas y funciones vectoriales. Define conceptos como curva suave, cerrada, simple y cómo queda parametrizada una curva plana en el espacio. También explica qué es una función vectorial y su relación con curvas espaciales.
2. Describe cómo calcular la velocidad, aceleración y vector tangente de una función vectorial, así como las reglas para derivar diferentes funciones vectoriales.
3. Explica cómo encontrar la velocidad, rapidez y aceleración de una partícula que se desplaza
Este documento define e introduce las integrales de línea. Define la integral de línea de campos escalares y vectoriales como la integral de la función o campo a lo largo de una curva. Explica que las integrales de línea son independientes de la parametrización de la curva y de la orientación de la curva. También presenta algunas propiedades como la linealidad y continuidad, y da ejemplos como el cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas.
Este documento describe las funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio, representación gráfica, límites, continuidad, derivación, integración, longitud de arco, vectores tangente y normal, y curvatura. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que sus propiedades dependen de las funciones componentes.
Este documento contiene una guía de ejercicios resueltos sobre torque, cantidad de movimiento y trabajo. Incluye tres preguntas sobre torque que involucran calcular la fuerza necesaria para aplicar un torque dado y determinar la posición de equilibrio de una viga con masas en diferentes posiciones. También incluye tres preguntas sin resolver sobre cantidad de movimiento y trabajo. Explica detalladamente cómo resolver tres preguntas de equilibrio estático que involucran determinar las reacciones de apoyo en una viga simplemente apoyada con cargas distribuidas
Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa
Este documento define y explica los vectores tangente, normal y binormal de una curva en el espacio. Define el vector tangente (T) como la dirección de la tangente a la curva. Define el vector normal (N) como perpendicular a T y apuntando hacia la dirección de mayor curvatura. Define el vector binormal (B) como el producto vectorial de T y N, perpendicular a ambos. Explica cómo calcular T, N y B para una curva dada por su ecuación parametrizada r(t). Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los cál
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
1) El documento describe funciones vectoriales de una variable real, incluyendo ejemplos como funciones que definen curvas circulares o elípticas. 2) Explica conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales. 3) Presenta ejercicios para calcular derivadas, integrales y longitudes de arco de curvas definidas por funciones vectoriales.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
1. El documento presenta definiciones matemáticas relacionadas con curvas en el espacio tridimensional, incluyendo curvas abiertas, cerradas, simples, suaves y parametrizaciones.
2. Se proponen varios ejercicios prácticos para aplicar estas definiciones a curvas específicas y calcular vectores de velocidad, aceleración y longitud de arco.
3. También se introducen conceptos como integrales curvilíneas y su aplicación al cálculo de masa, centro de masa y temperatura promedio
Este documento presenta ejercicios resueltos y propuestos sobre series de Fourier. Los ejercicios tratan sobre temas como hallar el período de funciones, probar la ortogonalidad de la base de funciones seno y coseno, y determinar los coeficientes de Fourier y las representaciones en serie de Fourier para diferentes funciones.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
Este documento introduce las funciones vectoriales, que mapean números reales a vectores. Define una función vectorial r(t) como una función con componentes f(t), g(t), h(t) que son funciones del parámetro t. Explica que las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva paramétrica o trazar su gráfica. Incluye ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas dadas en el plano y el espacio.
1) El documento describe las transformaciones lineales, incluyendo su definición, propiedades y teoremas clave. 2) Una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro de manera lineal. 3) Las propiedades de una transformación lineal incluyen su núcleo, recorrido, nulidad, rango e isomorfismos.
El documento describe el tensor métrico y cómo representa la distancia entre puntos en un espacio de múltiples dimensiones. El tensor métrico generaliza la fórmula de Pitágoras para preservar distancias entre marcos de referencia. Se presentan ejemplos del tensor métrico en coordenadas cartesianas, esféricas y para un agujero negro de Schwarzschild.
Límite de una función Vectorial y derivada de una función Vectorial.John Wagner
Este documento trata sobre el límite y la derivada de funciones vectoriales. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y define el límite de una función vectorial como el valor al que se acerca el vector f(t) cuando t se acerca a un valor a. También define la derivada de una función vectorial f como el límite de (f(t+h)-f(t))/h cuando h tiende a cero, y presenta propiedades y ejemplos de derivadas de funciones vectoriales.
Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.
El documento explica los símbolos de Christoffel de primer y segundo género para diferentes sistemas de coordenadas. Determina los símbolos de Christoffel para coordenadas cilíndricas y esféricas. Deriva las leyes de transformación para los símbolos de primer y segundo género y demuestra que la derivada covariante de un tensor es también un tensor.
Este documento introduce las coordenadas polares como una alternativa a las coordenadas cartesianas para describir el movimiento de una partícula. Explica cómo definir vectores como ur y uθ que permiten expresar la posición, velocidad y aceleración de una partícula en términos de la magnitud r, la dirección θ y sus derivadas. Aplica estas ideas al movimiento circular y al caso general de movimiento en el plano, y usa las coordenadas polares para derivar las ecuaciones del movimiento de un péndulo simple.
1) Define las transformaciones lineales y sus propiedades fundamentales. Introduce conceptos como núcleo, recorrido, nulidad, rango e isomorfismo.
2) Explica que una transformación lineal debe cumplir dos propiedades: ser lineal respecto de la suma y ser lineal respecto de la multiplicación por un escalar.
3) Indica que la representación matricial de una transformación lineal depende de las bases elegidas en los espacios vectoriales de partida y llegada.
El documento presenta conceptos clave de álgebra lineal como ángulos entre vectores, ortogonalidad, conjuntos ortonormales, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, proyecciones ortogonales, complemento ortogonal de un subespacio, valores y vectores propios, y matrices ortogonales. Explica definiciones matemáticas rigurosas y teoremas relacionados con estos conceptos fundamentales.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
Calculo iii cap 1 - integrales curvilineas (de linea) muy bueno by flechabusAlán Mérida Cardozo
Este documento introduce conceptos básicos sobre curvas regulares en geometría diferencial como curvas lisas, cambios de parámetro, orientación de curvas y longitud de arcos de curva. También define las integrales curvilíneas de campos escalares y vectoriales a lo largo de una curva, interpretándolas como la masa de un alambre o el trabajo realizado por un campo de fuerzas respectivamente.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de derivadas e integrales de vectores. En cada ejemplo, se da un vector y se calculan su derivada, segunda derivada, módulo, derivada de su módulo e integral.
El documento describe la rutina diaria de un estudiante francés. Por las mañanas se levanta, se viste y desayuna antes de ir al colegio en transporte público, donde estudia asignaturas como español. Después del colegio suele descansar y los fines de semana se divierte con amigos.
Cetelem Observatorio Auto España 2013 - Situación e indicadores macroeconómicosCetelem
El documento analiza la situación económica española y el mercado del automóvil en España. Se discute que la economía española está experimentando una ligera recuperación con una tasa de crecimiento del PIB de -1.6% y una inflación de 0.3%. El desempleo se redujo al 25.98%. El mercado del automóvil también está mejorando gradualmente a medida que aumenta el consumo.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
1) El documento describe funciones vectoriales de una variable real, incluyendo ejemplos como funciones que definen curvas circulares o elípticas. 2) Explica conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales. 3) Presenta ejercicios para calcular derivadas, integrales y longitudes de arco de curvas definidas por funciones vectoriales.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
1. El documento presenta definiciones matemáticas relacionadas con curvas en el espacio tridimensional, incluyendo curvas abiertas, cerradas, simples, suaves y parametrizaciones.
2. Se proponen varios ejercicios prácticos para aplicar estas definiciones a curvas específicas y calcular vectores de velocidad, aceleración y longitud de arco.
3. También se introducen conceptos como integrales curvilíneas y su aplicación al cálculo de masa, centro de masa y temperatura promedio
Este documento presenta ejercicios resueltos y propuestos sobre series de Fourier. Los ejercicios tratan sobre temas como hallar el período de funciones, probar la ortogonalidad de la base de funciones seno y coseno, y determinar los coeficientes de Fourier y las representaciones en serie de Fourier para diferentes funciones.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
Este documento introduce las funciones vectoriales, que mapean números reales a vectores. Define una función vectorial r(t) como una función con componentes f(t), g(t), h(t) que son funciones del parámetro t. Explica que las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva paramétrica o trazar su gráfica. Incluye ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas dadas en el plano y el espacio.
1) El documento describe las transformaciones lineales, incluyendo su definición, propiedades y teoremas clave. 2) Una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro de manera lineal. 3) Las propiedades de una transformación lineal incluyen su núcleo, recorrido, nulidad, rango e isomorfismos.
El documento describe el tensor métrico y cómo representa la distancia entre puntos en un espacio de múltiples dimensiones. El tensor métrico generaliza la fórmula de Pitágoras para preservar distancias entre marcos de referencia. Se presentan ejemplos del tensor métrico en coordenadas cartesianas, esféricas y para un agujero negro de Schwarzschild.
Límite de una función Vectorial y derivada de una función Vectorial.John Wagner
Este documento trata sobre el límite y la derivada de funciones vectoriales. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y define el límite de una función vectorial como el valor al que se acerca el vector f(t) cuando t se acerca a un valor a. También define la derivada de una función vectorial f como el límite de (f(t+h)-f(t))/h cuando h tiende a cero, y presenta propiedades y ejemplos de derivadas de funciones vectoriales.
Este documento define y explica las funciones vectoriales de una variable real. Define una función vectorial como una función que asigna vectores a números reales mediante funciones componentes continuas. Explica cómo las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar la gráfica de una curva paramétrica. Proporciona ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio tridimensional.
El documento explica los símbolos de Christoffel de primer y segundo género para diferentes sistemas de coordenadas. Determina los símbolos de Christoffel para coordenadas cilíndricas y esféricas. Deriva las leyes de transformación para los símbolos de primer y segundo género y demuestra que la derivada covariante de un tensor es también un tensor.
Este documento introduce las coordenadas polares como una alternativa a las coordenadas cartesianas para describir el movimiento de una partícula. Explica cómo definir vectores como ur y uθ que permiten expresar la posición, velocidad y aceleración de una partícula en términos de la magnitud r, la dirección θ y sus derivadas. Aplica estas ideas al movimiento circular y al caso general de movimiento en el plano, y usa las coordenadas polares para derivar las ecuaciones del movimiento de un péndulo simple.
1) Define las transformaciones lineales y sus propiedades fundamentales. Introduce conceptos como núcleo, recorrido, nulidad, rango e isomorfismo.
2) Explica que una transformación lineal debe cumplir dos propiedades: ser lineal respecto de la suma y ser lineal respecto de la multiplicación por un escalar.
3) Indica que la representación matricial de una transformación lineal depende de las bases elegidas en los espacios vectoriales de partida y llegada.
El documento presenta conceptos clave de álgebra lineal como ángulos entre vectores, ortogonalidad, conjuntos ortonormales, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, proyecciones ortogonales, complemento ortogonal de un subespacio, valores y vectores propios, y matrices ortogonales. Explica definiciones matemáticas rigurosas y teoremas relacionados con estos conceptos fundamentales.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
Calculo iii cap 1 - integrales curvilineas (de linea) muy bueno by flechabusAlán Mérida Cardozo
Este documento introduce conceptos básicos sobre curvas regulares en geometría diferencial como curvas lisas, cambios de parámetro, orientación de curvas y longitud de arcos de curva. También define las integrales curvilíneas de campos escalares y vectoriales a lo largo de una curva, interpretándolas como la masa de un alambre o el trabajo realizado por un campo de fuerzas respectivamente.
Este documento presenta varios ejemplos de cálculo de derivadas e integrales de vectores. En cada ejemplo, se da un vector y se calculan su derivada, segunda derivada, módulo, derivada de su módulo e integral.
El documento describe la rutina diaria de un estudiante francés. Por las mañanas se levanta, se viste y desayuna antes de ir al colegio en transporte público, donde estudia asignaturas como español. Después del colegio suele descansar y los fines de semana se divierte con amigos.
Cetelem Observatorio Auto España 2013 - Situación e indicadores macroeconómicosCetelem
El documento analiza la situación económica española y el mercado del automóvil en España. Se discute que la economía española está experimentando una ligera recuperación con una tasa de crecimiento del PIB de -1.6% y una inflación de 0.3%. El desempleo se redujo al 25.98%. El mercado del automóvil también está mejorando gradualmente a medida que aumenta el consumo.
Cetelem Observatorio Auto España 2013 - AnexosCetelem
Este documento presenta el Observatorio Cetelem 2013 sobre el mercado del automóvil en España. Incluye un análisis de la situación económica del país y del mercado del vehículo nuevo y de ocasión, así como entrevistas a expertos del sector. El objetivo es evaluar el contexto actual y las perspectivas de recuperación del mercado español del automóvil.
La empresa se especializa en asesoría de herramientas productivas mediante profesionales calificados para incrementar la eficiencia de las empresas. Ofrece servicios como asesoría personalizada, desarrollo e innovación de herramientas, y capacitación permanente sobre el uso y aplicación de las herramientas productivas.
La Web 2.0 permite usar nuevas herramientas de comunicación como blogs, redes sociales y wikis para compartir información y conocimiento. Estas herramientas pueden usarse para comunicación, colaboración, documentación, creación e interacción. Sin embargo, los docentes a veces no las usan debido a factores como falta de capacitación técnica, preferencia por métodos tradicionales y falta de apoyo institucional como infraestructura y coordinación.
Incentivos e intereses en conflicto ante la regulación contable del iasbFundación Ramón Areces
Begoña Giner, Catedrática de Economía Financiera y Contabilidad de la Universidad de Valencia, presidenta de la European Accounting Association, y miembro del Advisory Council del International Accounting Standards Board
Conferencia: Incentivos e intereses en conflicto ante la regulación contable del IASB
Madrid, 11 de febrero de 2013
Ciclo de conferencias: La regulación contable internacional (IFRS): Retos e incentivos
Este documento presenta programas de desarrollo social y afectivo para alumnos con problemas de conducta. En el capítulo 1, introduce el concepto de problemas de conducta desde una perspectiva del desarrollo psicológico y explica el papel del psicólogo en la escuela. En el capítulo 2, describe la organización y componentes de los programas, incluyendo habilidades a desarrollar y estructura de actividades. El capítulo 3 presenta 60 sesiones de juegos divididos en 3 programas para diferentes edades. El capítulo 4 ofrece guías
Este documento resume las características principales de las polis griegas como sus espacios públicos, religiosos y políticos como el ágora y la acrópolis de Atenas. También menciona la forma irregular de las polis, sus murallas defensivas y la ubicación de sus estructuras debido a la topografía. Incluye enlaces a imágenes que ilustran ejemplos de polis griegas como Atenas.
El ingeniero Bonalde explicó conceptos sobre agilización del trabajo como start ups y prácticas ágiles. Luego, realizó una actividad con estudiantes donde debían pasar pelotas de uno a otro para regresar al punto de partida. En el primer intento solo pasaron la mitad, pero luego de cambiar la estrategia a dos círculos y pasar más pelotas cada vez, lograron pasar todas las pelotas en el último intento.
DHA y desarrollo cerebral, memoria y aprendizajeYayo Ramírez
Este documento describe la importancia del ácido docosahexaenoico (DHA) y el ácido araquidónico (AA) en el desarrollo cerebral. Explica que estos ácidos grasos desempeñan un papel fundamental en la estructura y función del tejido nervioso. También analiza cómo el DHA regula la expresión de genes y mejora el aprendizaje y la memoria. Finalmente, discute la suplementación con DHA durante el embarazo y la lactancia para apoyar el desarrollo óptimo del cerebro.
Este documento contiene varias secciones que ofrecen consejos y lecciones bíblicas. Habla sobre dejar atrás el pasado y enfocarse en el presente, dejar que los niños sean niños y no usarlos como escudos, y tomar decisiones cuidadosamente considerando las consecuencias y manteniendo la fidelidad a Dios.
El documento analiza los tipos de usuarios de una biblioteca universitaria, incluyendo estudiantes, profesores e investigadores, y describe cómo clasificarlos en grupos como usuarios potenciales o reales, presenciales o virtuales, según criterios sociológicos. También examina la importancia de comunicarse con los usuarios para comprender mejor sus necesidades de información.
El documento presenta dibujos realizados por estudiantes de 3oA que ilustran la historia de Alicia en el País de las Maravillas. Finaliza deseando que los dibujos hayan gustado a quien los vea.
El documento presenta un mapa conceptual sobre los pensadores políticos de la Edad Media y el Renacimiento. Resume las ideas principales de filósofos como Tomás de Aquino, Nicolás Maquiavelo, John Locke, Thomas Hobbes, Jean-Jacques Rousseau y Montesquieu sobre temas como el estado de naturaleza, el contrato social, la división de poderes y las diferentes formas de gobierno.
Guillermo de I de Aquitania fue conde de Aquitania después de la muerte de su padre en 918. Fundó la abadía de Cluny y concedió derechos a la iglesia de Roma y los monasterios de la zona. Guido d'Arezzo fue un monje benedictino del siglo XI que perfeccionó la escritura musical mediante la introducción de líneas horizontales y el establecimiento del pentagrama de cinco líneas, además de crear el sistema de nombres musicales conocido como solfeo.
INFORME Nro. (15)
SEGUNDO VICEPRESIDENTE
Coordinador de DDHH –FECODE-
(Bogota, mayo 12 de 2014)
http://www.overdorado.com/
http://twitter.com/@OverDoradoC
Presentacion acerca de el tipo de ventilacion que presentan diversos tipos de bombas hidraulicas, ya sean de uso domestico o industrial.
El documento pertenece y fue elaborado por el Lic. Eulalio Mar Zumaya.
Elisa Chuliá - Consecuencias sociales y políticas del envejecimiento de la po...Fundación Ramón Areces
Entre el 20 de marzo y el 13 de mayo de 2014, la Fundación Ramón Areces organizó el ciclo de conferencias 'Envejecimiento, Sociedad y Salud' en colaboración con el Centro de Estudios del Envejecimiento. Diferentes expertos abordaron esta importante cuestión social desde distintos puntos de vista.
Este documento presenta la información de un curso de Fundamentos de Telecomunicaciones y Redes que se impartirá en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. El curso será dictado por el profesor Harold A. Méndez G. y abarcará temas como sistemas de comunicaciones, redes de comunicaciones, modulación de señales, propagación de ondas electromagnéticas, y mediciones en decibeles. El curso tendrá una duración de 16 semanas a partir de marzo de 2012.
Este documento presenta un resumen sobre la integral de línea de un campo vectorial. Explica que la integral de línea evalúa una función sobre una curva, y que en cálculo vectorial existen tres teoremas importantes relacionados con integrales de línea y superficies. Luego, proporciona definiciones sobre integrales de línea, campos vectoriales y curvas regulares, y ofrece ejemplos para calcular el trabajo realizado por un campo vectorial al mover un objeto a lo largo de una curva.
1. El documento describe funciones vectoriales de una variable real, incluyendo su definición, dominio y ejemplos. También describe curvas paramétricas y operaciones con funciones vectoriales como suma, producto punto y producto vectorial. 2. Se proporcionan ejemplos de funciones vectoriales, trazando sus imágenes geométricas y representando curvas dadas mediante funciones vectoriales. 3. Se explica el cálculo de límites para funciones vectoriales.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en el espacio tridimensional. Define funciones vectoriales de una variable real y sus propiedades como dominio, límite y continuidad. Explica las nociones de trayectoria, gráfica y curva como la traza de una función vectorial. Presenta ejemplos de curvas como la hélice y discute la derivada de funciones vectoriales y su interpretación geométrica como vector tangente a la curva. El objetivo es que los estudiantes aprendan a describir curvas en R3 y calcular conceptos como
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en el espacio tridimensional. Define funciones vectoriales de una variable real y sus propiedades como dominio, límite y continuidad. Explica las nociones de trayectoria, gráfica y curva como la traza de una función vectorial. Presenta ejemplos de curvas como la hélice y discute la derivada de funciones vectoriales y su interpretación geométrica como vector tangente a la curva. El objetivo es que los estudiantes aprendan a describir curvas en R3 y calcular conceptos como
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Este documento presenta 18 proposiciones sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales para que sean calificadas como verdaderas o falsas. También presenta varios ejemplos de transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita, donde se pide determinar la regla de correspondencia, el núcleo, la imagen y la matriz asociada con respecto a diferentes bases. Finalmente, en algunos casos se pide construir una transformación lineal que cumpla con ciertas condiciones dadas.
Este documento presenta cuatro ejercicios de cálculo vectorial que involucran integrales de funciones vectoriales. El primer ejercicio calcula una integral vectorial resolviendo cada componente de manera independiente. El segundo ejercicio calcula el límite de una función vectorial. El tercer ejercicio calcula una integral escalar. El cuarto ejercicio calcula la longitud de arco de una curva.
Este documento presenta varios temas relacionados con ecuaciones paramétricas y cálculo. Explica cómo encontrar la pendiente de una curva dada por ecuaciones paramétricas usando la derivada. También describe cómo calcular la longitud de arco de una curva paramétrica y el área de una superficie de revolución usando integrales. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta 20 ejercicios de cálculo vectorial y geometría diferencial que involucran conceptos como dominio, rango, límites, continuidad, derivadas de funciones paramétricas, curvas planas, curvas espaciales, tangentes, normales, binormales, radios de curvatura, centros de curvatura, planos tangentes, osculadores, rectificantes, longitud de arco, torsión y aceleración. Los ejercicios deben resolverse aplicando definiciones, propiedades y técnicas de cálculo vectorial
Este documento describe funciones vectoriales y sus aplicaciones en el movimiento en el espacio. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores y cómo calcular la derivada e integral de tales funciones. También cubre conceptos como la velocidad, aceleración y curvatura de curvas paramétricas definidas por funciones vectoriales, y cómo descomponer la aceleración en componentes tangenciales y normales. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.
El documento introduce las funciones vectoriales, que asignan vectores a números reales. Se define una función vectorial como r(t) = (f(t), g(t), h(t)), donde f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o para trazar la gráfica de una curva mediante ecuaciones paramétricas. Se proveen ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas en el plano y en el espacio.
1) El documento introduce las curvas parametrizadas y sus propiedades, incluyendo ejemplos.
2) Explica las integrales de línea de campos escalares a lo largo de curvas parametrizadas, con ejemplos como calcular masas.
3) Extiende el concepto a integrales de línea de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Este documento presenta un resumen de las transformaciones lineales. Introduce la definición formal de una transformación lineal y explica cómo determinar una transformación lineal a partir de sus valores sobre una base. Además, explica que cualquier transformación lineal puede representarse mediante una matriz asociada a la transformación.
Este documento presenta la solución de un examen final de matemáticas con 5 problemas. El primer problema involucra el cálculo de la serie de Fourier de una función periódica y la evaluación de una suma utilizando el teorema de Parseval. El segundo problema pide demostrar el teorema de simetría de la transformada de Fourier y dar un ejemplo. El tercer problema solicita diseñar un circuito digital para una respuesta al impulso dada. El cuarto problema pide calcular la correlación cruzada entre dos señales. El quinto y último problema res
Este documento presenta un resumen de los principales temas relacionados con el análisis de Fourier y las series de Fourier. Explica conceptos como funciones periódicas, componentes de directa, fundamental y armónicos, ortogonalidad de funciones seno y coseno, y cálculo de coeficientes de la serie de Fourier. El objetivo es aplicar estas herramientas al modelado y análisis de sistemas eléctricos bajo condiciones no senoidales.
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. Los ejercicios involucran calcular la intersección de curvas, determinar la velocidad y aceleración de partículas que se mueven en el espacio, y analizar las propiedades geométricas de curvas específicas definidas por funciones vectoriales. Las soluciones incluyen cálculos matemáticos detallados y demostraciones geométricas.
propiedades, límites y continuidad [teoria y ejercicos resueltos]nidejo
Este documento describe funciones vectoriales, curvas paramétricas y operaciones con funciones vectoriales. Introduce las ecuaciones paramétricas y vectoriales que definen curvas en el plano y el espacio. Explica cómo graficar estas curvas usando ecuaciones paramétricas. También cubre sumas, diferencias, productos internos y externos de funciones vectoriales, así como funciones compuestas.
Este documento introduce las curvas paramétricas en el espacio tridimensional y las funciones vectoriales. Explica que una curva en el espacio está definida por tres funciones continuas del parámetro t que dan las coordenadas x, y, z. Las funciones vectoriales mapean números reales a vectores y pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva o trazar su gráfica. El documento incluye ejemplos de curvas en el plano y espacio representadas por funciones vectoriales.
1) Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan las operaciones vectoriales.
2) Se pueden representar mediante matrices y describen cambios de base en los espacios vectoriales.
3) Juegan un papel fundamental en álgebra lineal y sus aplicaciones en diversas áreas como matemáticas, física e ingeniería.
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1. Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 8. Aplicar el calculo diferencial e integral de una función
vectorial en la solución de problemas específicos.
Ejercicio 1
Si la trayectoria de una partícula está dada por la función vectorial
F(t) = (et , 2t, e-t ) determina la velocidad, la aceleración y las componentes
tangencial y normal de la aceleración.
Solución
Justificación: Antes de comenzar este objetivo, es importante que tengas
algunos conceptos de funciones vectoriales de variable real muy claros, para
que puedas comprender y aprehender con los ejercicios resueltos y que
enfrentaras al final de esta guía. Estos conceptos son:
1) A medida que la función vectorial F(t) , toma valores
1 2 3 4 5 6 7 t , t , t , t , t , t , t ,... la función vectorial genera vectores, cuyos extremos
(punta de la flecha) delinea una curva:
2) La primera derivada de la función vectorial de posición F(t) es la
velocidad, es decir: V (t) = F' (t) y la aceleración es la segunda derivada de la
2. función vectorial posición o la primera derivada de la velocidad, es decir:
A(t) =V ' (t) = F'' (t) . La rapidez es el módulo del vector velocidad: V (t) = F' (t) .
La longitud de la curva de una función vectorial es la integral de la
rapidez:
b b
L = ∫ V ( t ) dt = ∫ F ' ( t )
dt
a a
Por ejemplo, una función de una variable real f (x) , se puede
parametrizar y escribir como la siguiente función vectorial:
F(t) = ti + f (t) j
El vector velocidad es: V(t) =1i + f ' (t) j
Su rapidez es: ( ) ( ) 2 ' 2 ' 2 V (t) = 1 + f (t) = 1+ f (t) dt
Por lo tanto:
( )' 2 1 ( )
b
L = ∫ + f t dt
a
3) Si la función vectorial F(t) es derivable y de longitud constante, se
tiene que el producto escalar es nulo:
F(t).F' (t) = 0
Recuerda que el producto escalar del mismo vector es igual a su modulo
elevado al cuadrado, es decir:
2 F(t).F(t) = F(t) = cons tan te
Y si derivamos en ambos miembros, se tiene la derivada de un producto
a la izquierda y la derivada de una constante a la derecha, que es cero:
' ' ' ' 0
F t F t + F t F t = ® F t F t = F t F t = =
( ). ( ) ( ). ( ) 0 2 ( ). ( ) 0 ( ). ( ) 0
2
Y como sabemos, dado que el producto escalar es nulo, entonces F(t)
y F' (t) son perpendiculares.
4) Sabemos que la velocidad, F' (t) es tangente a la trayectoria, se
tomara el vector unitario de este vector tangente y lo llamaremos:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
3. 5) Sabemos de “3” que T (t).T ' (t) = 0 , por lo tanto el vector T ' (t) es un
vector perpendicular al vector tangente unitario T (t) .
6) Dado el punto “5” se tiene que el vector normal unitario es:
'
T t
'
( )
( )
( )
N t
T t
=
7) Los vectores T (t) y N(t) forman un plano llamado osculador en un
punto dado de la curva.
8) El vector aceleración se puede escribir:
A(t) =V ' (t)T(t) +V (t)T ' (t)
De “6” se tiene: T ' (t) = T ' (t) N(t)
Por lo tanto la aceleración se puede escribir:
A(t) =V ' (t)T(t) + V(t) T ' (t) N(t)
De esta ecuación se desprende que la componente tangencial de la
aceleración es:
( ) ' ( ) ( ) t A t =V t T t
Y la componente de la aceleración normal es:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
9) La función vectorial se puede reparametrizar con la longitud de arco
s , siendo así las cosas, podemos escribir:
'
1 1
= i = i = i = i =
1 . ( )
'
( )
dT dT dT dt dt dT dT
T t
ds ds ds dt ds dt ds dt s t
dt
Sabiendo que s' (t) = V (t) y que T ' (t) = T ' (t) N(t) , se tiene:
'
' ' 1 1 ( )
dT T t
= = =
. T ( t ) T ( t ) N ( t ) N ( t
)
( ) ( ) ( )
ds V t V t V t
Este vector obtenido
' ( )
= ( )
, es el vector curvatura y se denota
dT T t
( )
N t
ds V t
con la letra griega kappa:
' ( )
T t
( t ) N ( t
)
( )
V t
k =
4. Y el número
' '
( ) ( )
T t T t
k = = es la curvatura.
'
( )
( ) ( )
t
V t F t
10) Fíjate que la curvatura mide la variación de la dirección del vector
tangente unitario, observa:
k = q
d
ds
11) La aceleración también se puede escribir así:
Como: A(t) =V ' (t)T(t) + V(t) T ' (t) N(t)
De:
' '
( ) ( )
T t T t
k = = , se tiene: T ' (t) = k (t) V (t)
'
( )
( ) ( )
t
V t F t
Entonces:
( )A(t) =V ' (t)T(t) +k (t) V(t) 2 N(t)
De aquí se desprende que:
( ) ( )
A t V t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
Esto es así porque:
V (t) = F' (t)
5. Y como la velocidad es paralela al vector tangente unitario T (t) , se
tiene:
F' (t) = F' (t) T(t)
Derivando a ambos miembros obtenemos:
( ) ( )' ' F'' (t) = F' (t) T(t) + F' (t) T(t)
Multiplicando vectorialmente a la izquierda por F' (t) , se tiene:
( ) ( )' ' F' (t)´ F'' (t) = F' (t)´ F' (t) T(t) + F' (t) T(t)
Pero F' (t) = F' (t) T(t) , entonces:
( ) ( )' ' F' (t)´ F'' (t) = F' (t) T(t)´ F' (t) T(t) + F' (t) T(t)
( ) ( ) 2 '
F' (t)´ F'' (t) = F' (t) T(t)´T ' (t) + F' (t) F' (t) T(t)´T(t)
Recuerda que si los vectores son paralelos:
T (t)´T(t) = 0
Entonces:
( )2
F' (t)´ F'' (t) = F' (t) T(t)´T ' (t)
Sustituyendo F' (t) =V (t) y F'' (t) = A(t) , se tiene:
V (t)´ A(t) = V (t) 2 T(t)´T ' (t)
Tomando modulo en ambos miembros:
V(t)´ A(t) = V (t) 2 T(t)´T ' (t)
V(t)´ A(t) = V (t) 2 T(t)´T ' (t)
Sabemos por definición de producto vectorial que: a´b = a b sena
,
donde alfa es el ángulo entre a
y b
y como T(t) y T ' (t) son perpendiculares
porque de “3” se sabe T(t)´T ' (t) = 0 , se tiene:
V (t)´ A(t) = V (t) 2 T(t) T ' (t) sen90º
Como T(t) =1, por ser vector unitario y sen90º =1, se tiene:
V (t)´ A(t) = V (t) 2 T ' (t)
6. Dividiendo en ambos miembros por V (t) 3 se tiene:
2 '
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
V t A t V t T t
V t 3 V t
3
´
=
2
( ) ( ) ( )
( )
V t ´
A t V t
=
V t
3
'
T t
3
( )
( )
V t
'
( ) ( ) ( )
( ) ( )
V t A t T t
V t 3
V t
´
=
'
( ) ( ) ( )
( ) ( )
T t V t A t
V t V t
3
´
=
Como
' ( )
k ( )
= , se tiene finalmente:
T t
( )
t
V t
( ) ( )
V t A t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
12) El radio de curvatura de una curva es el reciproco de la curvatura:
1
(t)
r
k
=
13) El vector B(t) es llamado vector binormal y se obtiene del producto
vectorial:
B(t) = T (t)´ N(t)
También se puede escribir:
' ''
= ´ = ´
( ) ( ) ( ) ( )
F t F t V t A t
´ ´
' ''
( )
( ) ( ) ( ) ( )
B t
F t F t V t A t
14) Los 3 vectores T (t) , N(t) y B(t) forman el llamado triedro de
Frenet.
15) Los vectores N(t) y B(t) forman un plano llamado normal en un
punto dado de la curva.
16) Los vectores T (t) y B(t) forman un plano llamado rectificante en un
punto dado de la curva.
Observa los 3 planos dibujados en un mismo gráfico en un punto
cualquiera de la curva C:
7. 17) Una curva en el espacio se tuerce de 2 maneras. Por un lado se
curva dentro del plano osculador, y por otra se curva hacia afuera de dicho
plano. La primera forma viene descrita por la curvatura, que ya comente en los
puntos 9, 10 y 11, es decir, la razón de cambio de dirección del vector tangente
unitario T(t) . La segunda forma de curvarse viene dada por la razón de cambio
de dirección del vector binormal B = T ´ N , es decir, por el vector
dB
ds
, donde s
es el parámetro, longitud de arco. Cuando la curva es plana, este vector no
dB
ds
= .
varia, es decir, 0
Puesto que B , es de longitud constante, B =1, el vector
dB
ds
es
perpendicular a B . Por otra parte, BiT = 0 , derivando esta última desigualdad
se tiene:
dB dT
i = ® i + i =
0 0
B T T B
ds ds
dT
B B kN k B N
Pero: ( ) 0 ( ) 0
i = i = ® i = , por lo que: 0
ds
dB
T
ds
i = , por lo
tanto
dB
ds
también es perpendicular a T .
8. Como
dB
ds
es perpendicular a B y a T , podemos concluir que
dB
ds
es
paralelo a N , es decir, es un vector proporcional a N , entonces podemos
escribir:
dB
N
ds
= -t
La constante t recibe el nombre de segunda curvatura o torsión.
Obtengamos una fórmula para calcular la torsión, sin necesidad de
reparametrizar con respecto al arco s :
El vector aceleración A ó F'' (t) se encuentra en el plano osculador, por
lo tanto es perpendicular al vector B , por lo que podemos escribir:
B.F'' (t) = 0
Derivando esta expresión con respecto al tiempo, se obtiene:
( '' )
'' ( )
d F t dB
i + i =
( ) 0
B F t
dt dt
De aquí:
( '' )
'' ( )
d F t dB
i B = - F ( t
)
i
dt dt
( '' )
'' ( )
d F t dB ds
= ( )
-
B F t
i i
dt ds dt
( ''
( )
) '' ( ) ( . .
)
d F t
B F t N v
dt
i = i t
De:
' ( )
k ( )
= se tiene: T ' (t) = V (t) k (t) y como: A ( t ) = V ( t ) T ' ( t ) ,
n T t
( )
t
V t
n A = kv , donde:
se tiene: 2
k = k ( t
)
, y como: F'' (t)N es la componente normal
v = V ( t
)
de la aceleración, es decir: '' ( ) 2 n F t N = A =k v , se tiene:
( ''
) ( )
'' '' 2 3 ( )
( ) . . . ( ) . . . .
d F t
B F t N v F t N v v v v
dt
i = i t =t =t k =t k
Además se sabe que la curvatura es:
9. ( ) ( ) ( ) ( )
V t A t F t F t
( )
' ''
3 3
( )
( )
t
V t v
k
´ ´
= =
Por lo tanto:
( '' ) ' ´
''
( ) ( ) ( )
d F t F t F t
i = t k 3
= t
v3 =t F' (t)´ F'' (t)
3
. .
B v
dt v
Despejando la torsión, se tiene:
'''
( )
( ) ( )
F t B
F ' t F ''
t
t =
´
i
Teniendo en cuenta que:
= ´
' ''
( ) ( )
F t F t
´
' ''
( )
( ) ( )
B t
F t F t
, se tiene finalmente la
fórmula de la torsión:
t = = ´ = ´
''' ''' ' '' ''' ' ''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F t i B F t F t F t F t i
F t F t
i
F ' t F '' t F ' t F '' t F ' t F '' t ' '' 2
F t F t
´ ´ ´ ´
Observa que en la parte superior, obtuvimos el producto mixto de tres
vectores, por lo tanto podemos escribir:
( F ' ( t ). F '' ( t ). F ''' ( t
)
)
' '' 2
( )
( ) ( )
t
F t F t
t =
´
, F' (t)´ F'' (t) ¹ 0
Retomando nuestro ejercicio, se tiene la siguiente situación:
10. Observa que el vector velocidad es tangente a la curva, esto ya lo
sabíamos, y por ello el vector velocidad es la primera derivada de la función, en
nuestro caso:
V(t) = F' (t) = (et , 2,-e-t )
También sabemos que la aceleración es la primera derivada de la
velocidad o segunda derivada de la función de posición, así:
A(t) =V ' (t) = (et ,0, e-t )
De “8” se tiene: A(t) =V ' (t)T(t) + V(t) T ' (t) N(t)
Componente tangencial de la aceleración:
( ) ' ( ) ( ) t A t =V t T t
Componente de la aceleración normal:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
Por lo tanto, para obtener la componente tangencial, solo necesitamos el
vector tangente unitario, a saber:
11. '
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
Como: F' (t) = (et , 2,-e-t ), se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 F' (t) = et + 2 + -e-t = e2t + 2 + e-2t
Por lo tanto:
-
t t
( ) 2
F t e e
= = - + + + + + +
( ) , ,
( ) ( ) ( )
'
' 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2
t t t t t t
T t
F t e e e e e e
- - -
Entonces la componente tangencial de la aceleración es:
( ) ' ( ) ( ) t A t =V t T t
( )
-
t t
2
e e
= - + + + + + +
( ) ,0, , ,
( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 ) 2
2
t t
t
t t t t t t
A t e e
e e e e e e
-
- - -
- -
t t t t
. 0. 2 .
e e e e
= + -
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 ( 2 ) 2
( )
- - -
+ 2 + + 2 + + 2
+
t
t t t t t t
A t
e e e e e e
-
2 2
t t
e e
( )
2 2
( )
2
t
t t
A t
e e
-
= -
+ +
Otra manera de encontrar esta componente tangencial de la aceleración,
se observa claramente en la figura, donde la componente tangencial de la
aceleración es la proyección del vector aceleración en la dirección del vector
velocidad.
¿Cómo proyecto un vector sobre otro?
en
A través de la siguiente fórmula que indica la proyección del vector A
:
la dirección del vector B
( ) B B A U U
i
Donde B U
. Esta proyección se ilustra a
es el vector unitario del vector B
continuación:
12. Ya sabes como proyectar un vector sobre otro, apliquemos esto a
nuestro ejercicio, proyectando el vector aceleración a = (et ,0,e-t ) sobre el
vector velocidad V = (et , 2,-e-t ) para obtener la componente tangencial del
vector aceleración.
Esta proyección quedaría:
( ) t V V a = a U U
i
Calculamos primero el unitario del vector velocidad:
2 2 2
Módulo del vector velocidad: V = ( et ) + ( 2 ) + ( -e-t
) V = e2t + 2 + e-2t
Luego el unitario del vector velocidad es:
V 1 ( ) e t 2
- e
-
t
= = t , 2, - -
t
= , ,
2 + + 2 2 + + 2 2 + + 2 2 + + 2
U e e
V t t t t t t t t
- - - -
V e e e e e e e e
2 2 2 2
Después de haber obtenido el vector unitario de la velocidad, calculamos
el producto escalar, para obtener la componente tangencial de la aceleración:
( ) e t = 2
- -
t
t ,0, t
e
, ,
2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 2 + 2
+ 2
a U e e
V t t t t t t
e e e e e e
-
- - -
i i
- -
= + + -
t t t t
. 0. 2 .
2 2 2
e e e e
V t t t t t t
- - -
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2
a U
e e e e e e
i
-
2 2
t t
0
e e
= + -
V t t t t t t
- - -
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a U
e e e e e e
i
- -
= - = -
2 2 2 2
t t t t
e e e e
V t t t t t t
- - -
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a U
e e e e e e
i
Si nos piden el vector tangencial del vector aceleración, sería:
13. ( ) e 2 t - 2
t t -
t
= = - e e 2
- e
, ,
+ + + + + + + +
t V V t t t t t t t t
- - - -
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a a U U
e e e e e e e e
i
- - - -
=
+ + + + + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
- - - -
2 2 2 2 2 2
t t t t t t t t
2
e e e e e e e e
, ,
2 2 2
- - -
2 2 2 2 2 2
2 2 2
t
t t t t t t
a
e e e e e e
3 ( 2 2 ) ( 3 )
e t - e - t 2
e t - e - t - e t - e
-
t
= , ,
+ + - + + - + + -
t t t t t t t
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a
e e e e e e
Ahora calculemos la componente normal de la aceleración:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
Sabemos que V (t) = e2t + 2 + e-2t , calculemos T ' (t) y su modulo:
= e t 2
- e
-
t
+ + + + + +
( ) , ,
( 2 ) - 2 ( 2 ) - 2 ( 2 ) -
2
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
Derivando componente por componente:
+ + - + +
= ( )
+ + + +
( ) ( ) ( ( ) )
' ' ' 2 2 2 2
- -
t t t t t t
2 2
e e e e e e e
( ( ) )
2 2 2 2 2
- -
2 2
t
t t t t
e e e e
- + +
( )
= + + + +
( ( ) )
( ( ) )
' '
2 2
t t
2 2 2
2 2
e e
2 t 2 t 2 2 t 2
t
e e e e
-
- -
+ + - + +
- = - ( )
+ + + +
( ) ( ) ( ( ) )
' ' ' 2 2 2 2
- - - -
t t t t t t
2 2
e e e e e e e
( ( ) )
t
-
2 2 2 2 2
- -
t t t t
2 2
e e e e
Continuando con cada componente:
+ + - + + + + ( )
= + + + +
( ) ( )
e e
( )
e e e e
e e e
( )
'
2 2
2 2
'
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e e e
-
-
-
- -
14. - + + + + ( )
= + + + +
( )
( )
( )
'
2 2
'
t t
2
e e
2 2
2
t
t t
e
2 2 2
2 2
e e
2 2 2 2
t t t t
e e e e
-
-
- -
- + + - + + + + - ( )
= - + + + +
( ) ( )
e e
( )
e e e e
e e e
( )
'
2 2
2 2
'
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e e e
-
- - -
-
-
- -
Ahora:
( )
+ + - - + + = ( )
+ + + +
2 2
( )
( )
2 2
2 2
'
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e
e e e e
e e e
e e e e
-
-
-
- -
- - + + ( )
= + + + +
2 2
t t
2 2
e e
( )
( )
'
2 2
2
t
t t
e
2 2 2
2 2
e e
2 2 2 2
t t t t
e e e e
-
-
- -
- ( )
+ + - - + + - ( )
= - + + + +
( )
( )
2 2
2 2
'
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
t t
t t t t
t t
t
t t t t
e e
e e e e
e e e
e e e e
-
- - -
- -
- -
Luego:
( )
( 2 ) 2
'
2 2
2
+ +
+ +
2
2
t t t t
t
t t
e e e e
e
e e
-
-
+ + -
= + +
( 2 2 )
2
e t - e- t
( )
( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
-
-
( )
'
2 2
2
+ +
2
2
2
t
t t
e
e e-
-
= + +
( 2 2 )
2
e t - e- t
( )
( )
2 2
t t
2
e e
2 2
t t
2
e e
-
-
+ +
15. ( )
( 2 ) 2
'
2 2
2
+ +
2
2
t t t t
t
t t
e e e e
e
e e
- - -
-
-
- + + -
- = - + +
( 2 2 )
2
e t - e- t
( )
( )
2 2
2 2
2
2
t t
t t
e e
e e
-
-
+ +
Ahora:
- + + - + + ( )
= + + + +
( ) ( e e
)
( )
e e e
e e e
( )
3
2 2
'
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
t t
t t t
t t
t
t t t t
e e e e
-
-
-
- -
- - ( )
= + + + + + +
( t -
t
)
2 2
e e
2 2 2
( ) ( )
'
3
2 2 1
e e e e e e
2 2 2 2 2
t t
t t t t
-
- -
- - + + - + + - ( )
= - + + + +
( ) ( )
( )
( )
3
2 2
'
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
t t
t t t
t t
t
t t t t
e e
e e e
e e e
e e e e
-
- -
- -
- -
Luego:
+ + = ( )
+ + + +
( ) ( )
e 2 t + 2
+ e - 2 t e t - e 3
t -
t
- e
( )
( )
'
2 2
t t
2
e e e
2 2 2 2
2 2
t
t t t t
e e e e
-
- -
- - ( )
= + + + +
( )
2 2
2 2
( )
'
3
-
t t
e e
2 2 1 1
- + -
e e e e
2 2 2
t t
t t
+ + - = ( )
+ + + +
( ) ( )
e 2 t + 2
+ e - 2 t e - t t + e - e
-
3
t
( )
( )
'
- -
2 2
t t
2
e t
e e
- -
2 2 2 2
t t t t
2 2
e e e e
Ahora:
+ + = ( )
+ + + +
( )
e 3 t + 2
e t + e - t - e 3
t -
t
- e
( )
( )
'
2 2
t t
2
e e e
2 2 2 2
2 2
t
t t t t
e e e e
-
- -
16. - - ( )
= + + + +
( t -
t
)
2 2
2 2
( )
'
3
e e
2 2 3
e e e e
2 2 2
t t
t t
-
-
+ + - = ( )
+ + + +
( )
t e + e - t + e - t + e t - e
-
t
( )
( )
3 3
'
- -
2 2
2
t t
2
e t
e e
- -
2 2 2 2
t t t t
2 2
e e e e
Luego:
( )
= + +
'
3
e e
e e-
2 2 2
t
t
t t
+ 2et + e-t - ( e3t -
e
-
t
)
( ) ( ) 1
+ + - + + -
2 t 2 2 t 2 t 2 2 t
2
e e e e
- - ( )
= + + + +
( )
( )
'
3
-
t t
2 2
2 2
e e
2 2 3 2 2
- -
t t t t
e e e e
+ + - = ( )
+ +
'
3
e e e e
2 2
2
2
t t t
t
t t
e e
- -
-
-
+ (et - e-3t )
( ) ( ) 1
e2t + 2 + e-2t e2t + 2 + e-2t 2
Ahora:
'
e t 2 e t = + 2
e
-
t
+ + + +
( ) ( )
2 2 1 1
- + -
2 2
e e e e
2 2 2
t t
t t
- - ( )
= + + + +
( )
( )
'
3
-
t t
2 2
2 2
e e
2 2 3 2 2
- -
t t t t
e e e e
'
e - t t - = 2 e + 2
e
-
t
+ + + +
( ) ( )
2 2 1 1
- + -
2 2
e e e e
2 2 2
t t
t t
Finalmente:
( + - )
- (
3
- - )
( + -
)
=
( )
+ + ( )
+ + ( )
+ +
'
t t t t t t
2 2 2
e e e e e e
( ) , ,
3 3 3
- - -
2 2 2 2 2 2
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
Su modulo es:
17.
+ - - +
( )
( )
2 2 2
( )
( )
( )
( )
- 3
- -
'
t t t t t t
2 2 2
e e e e e e
= + +
3 3 3
2 + + - 2 2 + + - 2 2 + + -
2
( )
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+ 2 3 - 2 + 2
= + + + + + + + +
'
- - -
t t t t t t
4 2 4
e e e e e e
3 3 3
- - -
2 2 2 2 2 2
( )
t t t t t t
2 2 2
T t
e e e e e e
( ) ( ) ( )
t + - t 2 4 e e + 2 e 3 t - - t 2 e + 4
e t + 2
e
-
t
= ( )
+ +
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
( ) ( )
2 e 6 t - 2 e 3 t e - t + e - 2 t + 8
e t + -
t
2
e
= ( )
+ +
( ) ( )
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
2 e 6 t - 4 e 2 t + 2 e - 2 t + 8 e 2 t + 2
e t e - t + e
-
2
t
= ( )
+ +
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
( ) ( )
2 e 6 t - 4 e 2 t + 2 e - 2 t + 8 e 2 t + 16 + 8
e
-
2
t
= ( )
+ +
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
6 t = 2 e + 4 e 2 t + 10 e
2
t
+ 16
( )
+ +
'
3
2 2
( )
t t
2
T t
e e
-
-
La componente normal es:
( ) ( ) ' ( ) n A t = V t T t
2 e 6 t = + + + 4 e 2 t + 10 e
2
t
+ 16
2 2
( 2 )
+ + 3
2
( )( )
( ) 2
2
t t
n
t t
A t e e
e e
-
-
-
e 2 t + 2 + e - 2 t 2 e 6 t 2 t + 4 e + 10 e
-
2
t
+ 16
= ( 2 )
+ + 3
2
( )
2
n
t t
A t
e e
-
18. ( ) ( ) ( )
2 e 4 t + 4 + 10 e - 4 t + 16 e - 2 t + 4 e 6 t + 8 e 2 t + 20 e -
2 t + 32 + 2 e 8 t + 4 e 4 t + 10 + 16
e
2
t
= 2 ( )
+ + 3
2
( )
2
n
t t
A t
e e
-
8 t 6 t 4 t 2 t 4 t 2
t
= 2 e + 4 e + 6 e + 24 e + 10 e + 36 e
+ 46
( 2 )
+ + 3
2
( )
2
n
t t
A t
e e
- -
-
Respuesta:
Velocidad: V = (et , 2,-e-t )
Aceleración: a = (et ,0,e-t )
Componente tangencial de la aceleración:
-
2 2
t t
e e
( )
2 2
( )
2
t
t t
A t
e e
-
= -
+ +
Componente normal de la aceleración:
8 t 6 t 4 t 2 t 4 t 2
t
= 2 e + 4 e + 6 e + 24 e + 10 e + 36 e
+ 46
( 2 )
+ + 3
2
( )
2
n
t t
A t
e e
- -
-
Ejercicio 2
t
=
Considere la función vectorial ( ) cos , ,
F t t sent
p
2
, calcula su
curvatura en el punto
1
1, ,0
2
-
.
Solución
Justificación: De “9” La curvatura es:
'
T t
k = . Primero vamos a
'
( )
( )
( )
t
F t
buscar el punto 0 t = t al cual pertenece el punto
1
1, ,0
2
-
, así:
cos
x t
t
y
z sent
p
2
=
=
=
Como la curva pasa por
1
1, ,0
2
-
, se tiene:
19. - =
1 cos
1
2 2
= ® =
0
t
t
t
sent
p
p
=
Verifiquemos si 0 t =p satisface las otras ecuaciones:
1 cos
0 sen
p
p
- =
=
Si las satisface, luego como 0 t =p satisface todas las ecuaciones se
tiene que este es el punto 0 t =p , donde calcularemos la curvatura:
t
=
De ( ) cos , ,
F t t sent
p
2
, se tiene:
' 1
( ) , , cos
= -
F t sent t
p
2
El vector T(t) es:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
Pero:
= - + + = + + = +
( )
2
1 1 1
' 2 2 2 2
( ) cos cos 1
F t sent t sen t t
p p p
2 2
2 4 4
Luego:
'
( ) 2 cos ( ) , ,
F t sent t
= = -
'
1
+ + +
( ) 1 1 1
1 1 1
2 2 2
4 4 4
T t
F t
p
p p p
'
1
( ) 2 cos ( ) , ,
F t sent t
= = -
+ + +
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
2 2 2
4 4 4
T t
F t
p
p p p
p p p
'
1
( ) 2 cos ( ) , ,
F t sent t
= = -
+ + +
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
2 2 2
T t
F t
p
p p p
p p p
20.
'
( ) 2 2 2 2 cos ( ) , ,
1
F t sent t
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
T t
F t
p p p p
p p p
= = -
+ + +
'
( ) 2 1 2 cos
F t sent t
( ) , ,
' 2 2 2
( ) 4 1 4 1 4 1
T t
F t
p p
p p p
= = -
+ + +
Ahora calculamos T ' (t) :
= - -
+ +
p p
T '
2 cos 2
t t sent
( ) ,0,
p p
2 2
4 1 4 1
Calculemos el módulo de este vector:
2 2
'
2 cos 2
t sent
2 2
( )
4 1 4 1
T t
p p
p p
= - + -
+ +
T t p p p p
2 2 2 2 2 2 + 2 2
= + + + = +
'
4 cos 4 4 cos 4
t sen t t sen t
p p p
2 2 2
( )
4 1 4 1 4 1
2 ( 2 2 ) 2
'
+
4 cos t sen t
4 2
= = = 2 + 2 + 2
+ ( )
4 1 4 1 4 1
T t
p p p
p p p
Luego la curvatura en 0 t =p es:
p p
2 2
4 1 4 1 4 ( )
k p p p p
2 2 2
= + = + =
+ + +
p p p
p p
2 2 2
4 1 4 1 4 1
4 2
2
Respuesta:
k p p
2
p
2
4
( )
4 1
=
+
Ejercicio 3
Calcula la curvatura de la curva C descrita por:
=
( ) cos , ,
b
F t a t asent t
p
2
Solución
Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por:
' ( )
( )
T t
( )
t
V t
k =
En este caso se tiene:
21. = = -
( ) ' ( ) , cos ,
b
2
V t F t asent a t
p
Calculemos el vector tangente unitario:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
El modulo de la velocidad es:
b 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b
2
= - + + = + +
' 2 2 2 2 2 2
2 ( ) cos cos
F t asent a t a sen t a t
p p
2 4
( ) ( ) b 2 b
2
+ + = + =
' 2 2
s 1
F t a sen t t a
p p
2 2
( ) 2 co 2
4 4
= + = + = + = +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' 2
4 4 4
b a b a b a b
2 2 2
( )
4 4 4 2
F t a
p p p
p p p p
Luego el vector tangente unitario es:
b
'
= = -
F ( t ) asent a cos t
( ) , ,
2 p
+ + +
' 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 4 4 4
2 2 2
T t
F t a b a b a b
p p p
p p p
= - p p p p
p + p + p
+
2 2 cos 2 ( ) , , 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
b
asent a t
T t
a b a b a b
= - 2 p asent 2 p
a cos
t b
p + p + p
+
( ) , ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4
T t
a b a b a b
El vector T ' (t) es:
'
= - 2 p a cos t - 2
p
asent
p + p
+
( ) , ,0
2 2 2 2 2 2
4 4
T t
a b a b
Luego su modulo es:
2 2
p p p p
p p p p
2 2 2 2 2 2
'
2 cos 2 4 cos 4
a t asent a t a sen t
= - + - = + 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 + 2
( )
4 4 4 4
T t
a b a b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 ( )
'
p + p p +
sen t
= =
p 2 2 + p
2 + 2
2
2
2
2
4 cos 4 4 co
(
4 4
s
)
a t a sen t a
T
t
t
a b a b
22. p p p
p p p
2 2 2 2
'
4 1
4 2
a a a
= = = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
4 4
4
T t
a b a b a b
Luego la curvatura es:
p
2
' 2 2 2 2
( ) 4 4 ( )
k = = p + =
p
p p
p
+ +
2 2 2 2 2 2
( ) 4 4
2
a
T t a b a t
V t a b a b
Resolveré el problema de otra manera, para que selecciones la forma
que se te haga más cómodo: Recuerda que tenemos la fórmula:
( ) ( )
V t A t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
Observa:
A(t) =V ' (t) = F'' (t) = (-a cos t,-asent,0)
Efectuando el producto vectorial:
i j k
( ) ( ) cos
b
2
V t A t asent a t
cos 0
a t asent
p
´ = -
- -
´ = + - - + + +
( ) cos
absent ab t
( ) ( ) 0. cos 0. . cos . cos
V t A t a t i asent j asent asent a t a t k
p p
2 2
( 2 ( 2 2 )) cos
absent ab t
´ = - + +
( ) ( ) cos
V t A t i j a sen t t k
p p
2 2
2 cos
´ = - +
( ) ( )
absent ab t
V t A t i j a k
p p
2 2
Luego calculamos el módulo de este vector:
( ) 2 2
2 2 cos
´ = + - +
( ) ( )
absent ab t
V t A t a
p p
2 2
2 2
ab ab
´ = + +
( ) ( ) 2 cos2 4
V t A t sen t t a
p p
2 2
( ) 2 2
ab ab
´ = + + = +
( ) ( ) 2 cos2 4 4
V t A t sen t t a a
p p
2 2
Sustituyendo en la fórmula de curvatura, se tiene:
23. ab 2 a 2 b 2 2 2 + 4
a b + 4
p
2 a 4
+ a 4 ´ a
= = = =
p p p k
2 2
( ) ( ) 2 4 4
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
+ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
( )
( ) 4 4 4
2 8 8
V t A t
t
V t a b a b a b
p p p
p p p
+
a b 4
p
a
4 p 8 p 4 p 8 p 4 p k
( )
+ + = = =
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 4
3 2 2 2 4 3 2 2 2 2 2
3 3 3
+ + +
p p p p p
p
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4
3
8
a b a a b a
t
a b a b a b
3 2 2 2 2 2 ( 2 2 2 )
( )
( )
p p p p
8 4 4 4
a b a a b a
3
2 2 2
( )
2 4
t
a b
k
p p
+ +
= =
p
p
4
4
a
a b
4p 2a2 + b2 ( )
+ ( )3
2
2
2 2 2
=
+
k p
2
4
2 2 2
( )
4
a
t
a b
p
=
+
Respuesta: La curvatura en este caso es:
k p
2
4
2 2 2
( )
4
a
t
a b
p
=
+
Ejercicio 4
Determina el vector binormal para la curva C de ecuación vectorial:
F(t) = (3cos t,3sent, t )
Solución
Justificación: De “13” se tiene que el vector binormal es:
B(t) = T (t)´ N(t) , por lo tanto debemos calcular los vectores unitarios tangente
y normal.
' '
( ) ( )
F t T t
= =
( ) y ( )
T t N t
' '
( ) ( )
F t T t
De F(t) = (3cos t,3sent, t ) , se tiene:
F' (t) = (-3sent,3cos t,1)
Su modulo es:
( ) ( ) ( ) ( ) F' (t) = -3sent 2 + 3cos t 2 +12 = 9 sent 2 + cos t 2 +12 = 9 +1 = 10
Entonces:
24. '
F t
T t sent t
'
( ) 3 3 1
( ) , cos ,
( ) 10 10 10
F t
= = -
Posteriormente de
= - 3 3 1
( ) , cos ,
T t sent t
10 10 10
, se tiene:
= - -
' 3 3
( ) cos , ,0
T t t sent
10 10
Su modulo es:
2 2
' 3 3
( ) cos
= - + -
T t t sent
10 10
( ) ( ) ' 2 2 9 9 9 3
T ( t ) = cos
t + sent = = =
10 10 10 10
Luego el vector normal unitario es:
( )
'
'
3 3
( ) 10 10 0 ( ) cos , , cos , ,0
( ) 3 3 3
10 10 10
T t
N t t sent t sent
T t
= = - - = - -
Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:
i j k
3 3 1
( ) ( ) ( ) cos
B t T t N t sent t
10 10 10
cos t sent
0
= ´ = -
- -
-
= + - + + +
3 sent 3 cos t
3 2 3 2
( ) 0. cos 0. cos
B t t i sent j sen t t k
10 10 10 10 10 10
cos 3 ( 2 2 ) cos 3
sent t sent t
= - + + = - +
( ) cos
B t i j sen t t k i j k
10 10 10
10 10 10
( ) 1
B t = sent - t
( ) , cos ,3
10
1
Respuesta: El vector binormal es: B ( t ) = ( sent , - cos t
,3
) 10
Ejercicio 5
Considera la función vectorial ( ) : 0, 3
2
F t
p ®
ℝ , definida por:
25. F(t) = ( 2 cos t, sent, sent )
Calcula el triedro de Frenet en el punto
4
F
p
.
Solución
Justificación: De “14” se sabe que los 3 vectores T (t) , N(t) y B(t)
forman el triedro de Frenet, entonces se procederá semejante al ejercicio
inmediato anterior:
' '
( ) ( )
F t T t
= = = ´
( ) , ( ) y ( ) ( ) ( )
T t N t B t T t N t
' '
( ) ( )
F t T t
De F(t) = ( 2 cos t, sent, sent ), se tiene:
F' (t) = (- 2sent, cos t, cos t )
Su modulo es:
( ) ( ) 2
F' (t) = - 2sent + cos 2t + cos2 t = 2sen 2t + 2cos 2t = 2 sen 2t + cos 2t = 2
Como se pide en el punto
4
F
p
, se tiene:
p ' = - p p p = - 2 2 2 2 2 2 2 2
F 2 sen , cos , cos 2 , , = - , , = - 1, ,
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
Su modulo es:
( )
2 2
' 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
4 2 2 4 4 4
F
p + = - + + = + + = + = + =
NOTA: Como el módulo F' (t) no depende de t , puedes obviar el calculo
F p
'
4
F p =
y tomar sin problemas que: ' 2
4
.
Entonces:
'
= 4 = - 1 2 2 = - 1 2 1 1 2 1 1
, , , , = - , ,
4 '
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
F
T
F
p
p
p
Posteriormente se tiene:
26. = - 2 1 1
= - 1 2 1 2
( ) , cos , cos , cos , cos
T t sent t t sent t t
2 2 2 2 2 2 2
= - 2 2
( ) , cos , cos
T t sent t t
2 2
De donde:
= - - -
' 2 2
( ) cos , ,
T t t sent sent
2 2
Su modulo es:
( )
2 2
' 2 2 2
( ) cos
= - + - + -
T t t sent sent
2 2
' 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 ) 2 ( 2 )
= + + = + = + =
( ) cos cos 2 cos 1
T t t sen t sen t t sen t t sen t
4 4 2
Como se pide en el punto
4
F
p
, se tiene:
T p =
' 1
4
Y el vector '
4
T
p
es:
' p = - p - 2 p 2
p T cos , sen ,
- sen 4 4 2 4 2 4
p ' = - 2 - 2 2 - 2 2 = - 2 2 2 2 1 1
T , , , - , - = - , - ,
- 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
Luego el vector normal unitario en
p
es:
4
'
- - - = = = - - - '
2 1 1
4 2 2 2 2 1 1 , , , ,
4 1 1 1 2 2 2
4
T
N
T
p
p
p
Finalmente el vector binormal es el producto vectorial:
27. i j k
2 1 1
p p p = ´ = -
4 4 4 2 2 2
2 1 1
2 2 2
B T N
- - -
B i j k p = - + - - - + + - - +
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1
. . . . . .
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
B i j k p = - +
2 2 2 2 2
4 4 4 4
p = - +
1 2 2
B i j k
4 2 2 2
Luego el Triedro de Frenet esta conformado por los 3 vectores:
Respuesta:
p = - 2 1 1
T , ,
4 2 2 2
,
p = - 2 - 1 1
N , ,
- 4 2 2 2
y
p = 1 - 2 2
B , ,
4 2 2 2
.
Ejercicio 6
Dada la curva definida por F(t) = (a cos t, asent, g(t)) , prueba que ésta es
plana si g(t) es solución de la ecuación g''' (t) + g' (t) = 0 .
Solución
Justificación: Para que una curva sea plana, su torsión debe ser cero, y
como ya habíamos encontrado, la torsión es:
( F ' ( t ). F '' ( t ). F ''' ( t
)
)
' '' 2
( )
( ) ( )
t
F t F t
t =
´
Para que sea cero, tenemos:
( ' '' ''' )
t = = ' '' '''
=
( ). ( ). ( )
F t F t F t
( t ) 0 F ( t ). F ( t ). F ( t
) 0
' '' 2
´
( ) ( )
F t F t
Recuerda que el producto mixto F' (t).F'' (t).F''' (t) , se puede escribir:
F' (t)´ F'' (t) F''' (t) i
28. Además, este producto mixto, no es más que un determinante, cuya
primera fila son las componentes del vector F' (t) , la segunda fila, las
componentes del vector F'' (t) y la tercera fila las componentes del vector:
F''' (t) .
Procedamos entonces a calcular F' (t) , F'' (t) y F''' (t) , para conocer
dichas componentes:
F(t) = (a cos t, asent, g(t))
La primera derivada es:
F' (t) = (-asent,a cos t, g' (t))
La segunda derivada es:
F'' (t) = (-a cos t,-asent, g'' (t))
La tercera derivada es:
F''' (t) = (asent,-a cos t, g''' (t))
Por lo tanto, se plantea el determinante:
'
cos ( )
asent a t g t
-
= ´ = - - =
' '' ''' ' '' ''' ''
( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) 0
F t F t F t F t F t F t a t asent g t
'''
cos ( )
-
asent a t g t
i
Calculemos este determinante:
-
- - = - - + + - -
asent a t g t
a t asent g t asent asent g t asent a t g t a t a t g t
asent a t g t
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
'
'' ''' '' '
'''
' '' '
cos ( )
cos ( ) ( ) cos ( ) cos cos ( )
cos ( )
( ) cos ( ) cos cos
asent asent g t asent a t g t a t a t g
-
- - + - - + - ( '' (t)) = 0
-
'
- - = + +
asent a t g t
a t asent g '' t g ''' t a 2 sen 2 t g '' t a 2 sent t g ' t a 2 2
t
asent a t g '''
t
' 2 2 '' 2 ''' 2 2
cos ( )
cos ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos
cos ( )
( ) ( ) cos ( ) cos 0
g t a sen t g t a sent t g t a t
-
- - + - =
= g''' (t)a2sen2t + g' (t)a2sen2t + g'' (t)a2sent cos t - g'' (t)a2sent cos t + g' (t)a2 cos2 t + g''' (t)a2 cos2 t = 0
= g''' (t) + g' (t) a2sen2t + g' (t) + g''' (t) a2 cos2 t = 0
= g''' (t) + g' (t) a2 (sen2t + cos2 t ) = 0
29. Como: sen2t + cos2 t =1, se tiene:
= ''' + ' 2 ''' = ® + '
= =
0
g (t) g (t) a 0 g (t) g (t) 0
2
a
Por lo tanto, el producto mixto es cero si:
g''' (t) + g' (t) = 0
Respuesta: Se desmostro que la curva es plana si g(t) es solución de la
ecuación g''' (t) + g' (t) = 0 .
Ejercicio 7
Dada la curva C descrita por F(t) = (cos t, sent,bt ) (hélice circular).
Calcula el valor de b para que la torsión sea siempre igual a la curvatura.
Solución
Justificación: En este caso, calcularemos la curvatura por un lado y
luego la torsión, para finalmente igualarlas, ya que se nos pide que sean
iguales.
La curvatura se puede calcular así:
' ''
( ) ( ) ( ) ( )
V t A t F t F t
( ) ( )
3 3
'
( )
( ) ( )
t
V t F t
k
´ ´
= =
De F(t) = (cos t, sent,bt ) , se tienen las 2 derivadas:
F' (t) = (-sent,cos t,b) y F'' (t) = (-cos t,-sent,0)
Por lo tanto:
i j k
' ( ) '' ( ) cos
F t F t sent t b
cos t sent
0
´ = -
- -
i j k
sent t b t bsent i sent b t j sen t t k
cos (0.cos ) ( ) ( 0. ) ( cos ) ( 2 ) (cos2 )
- = + - - + + +
- cos t -
sent
0
Recordando (sen2t )+ (cos2 t ) =1, se tiene:
F' (t)´ F'' (t) = bsenti - b cos t j + k
El modulo de este vector es:
F' (t)´ F'' (t) = b2sen 2t + b2 cos2 t +12 = b2 (sen 2t + cos2 t )+1 = b2 +1
30. Y el modulo del vector F' (t) = (-sent,cos t,b) , es:
F' (t) = sen2t + cos2 t + b2 = 1+ b2
Por lo tanto la curvatura es:
k = + = + = +
2 2 2
1 1 1
b b b
( ) ( )
3 3
3
+ 2 + 2
( )( )
1 1
t
b b
1 1
1 b 1 b
= =
2 +
2
1+ b2 ( + 2
)Ahora calculemos la torsión:
( ' '' ''' ) ' '' '''
( ). ( ). ( ) ( ) ( ) ( )
F t F t F t F t F t F t
' '' 2 ' '' 2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
t
F t F t F t F t
t
´ = =
´ ´
i
Calculemos la tercera derivada:
F''' (t) = (sent,-cos t,0)
Y como ya sabemos que: F' (t)´ F'' (t) = (bsent,-b cos t,1) , por lo tanto, el
producto mixto es:
F' (t)´ F'' (t)iF''' (t) = (bsent,-bcos t,1)i(sent,-cos t,0) = bsen2t + b cos2 t + 0 = b(sen2t + cos2 t ) = b.1 = b
Por otro lado, en la curvatura se calculo el modulo del vector:
F' (t)´ F'' (t) = b2 +1 , por lo tanto la torsión es:
b b
t = =
( )2 2
2
( )
+ 1 1
+
t
b b
Finalmente igualamos la curvatura y la torsión, así:
k (t) =t (t)
1
1 1
b
=
+ +
2 2
b b
1
=
b
1+ b 2
1 +
b
2
®1 = b
Por lo tanto para que la curvatura sea igual a la torsión, el valor de b es:
Respuesta: b =1.
31. Ejercicio 8
Calcula el vector tangente unitario a la curva representada por la función
=
vectorial ( ) 2cos ,3 2 ,
t
F t t sen t
p
en
t
= p .
3
Solución
Justificación: Este ejercicio es bastante sencillo, porque solo nos piden el
vector tangente unitario, que sabemos es:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
Entonces:
( )' ' 1
= -
F (t) 2sent,3 2 sent sent ,
p
i i i
' 1
F (t) 2sent,6sent cos t,
= -
p
Como se nos pide el vector tangente unitario en
t
= p , se tiene:
3
p p p p
= -
' 1
2 ,6 cos ,
F sen sen
3 3 3 3
p
Recuerda que en tu calculadora puede usar
t
= p , pero debes colocarla
3
en radianes, ó dejar la calculadora en grados y usar:
= p = 180º
t
= 60º
, así:
3 3
p
' ( ) ( ) ( ) 1
= - 2 60º ,6 60º cos 60º ,
F sen sen
3
p
= - = -
' 3 3 1 1
= -
2 ,6 , 2
3 2 2 2
F
p
p
3
2
3 1 3 3 1
,6 , 3, ,
4 p 2 p
Ahora calculamos el modulo de este vector:
( ) ( ) 2 2
2
= - + + = + + = + + = + +
'
3 3 1 9 3 1 27 1 12 27 1
3 3 3
2 2 2
3 2 4 4 4
F
p
p p p p
F p p p p
2 + 2 + 2
= + = = =
+
'
39 1 39 4 39 4 39 4
p 2 p 2 p 2
p
3 4 4 4 2
Por lo tanto el vector tangente unitario en
t
= p , es:
3
32. '
= 3 = 1 3 3 1 2 3 3 1
- 3, , = - 3, ,
3 '
2 + 2 2
+ 39 4 39 4 2
3 2
F
T
F
p
p p
p p p p p
p
i
= - 2 3 3 2 1 2
3. , . , .
3 39 2 + 4 2 39 2 + 4 39 2
+ 4
T
p p p p
p p p p
+
- =
+
2 3 3 3
2
,
3 39 4 2
T
p p
p
2
p
p + p
.
2
1
,
39 4
2
p
. 39p 2 4
= - 2 3 3 3 2
, ,
3 39 2 + 4 39 2 + 4 39 2
+ 4
T
p p p
p p p
Respuesta:
= - 2 3 3 3 2
, ,
3 39 2 + 4 39 2 + 4 39 2
+ 4
T
p p p
p p p
.
Ejercicio 9
Calcula la curvatura de la curva S , descrita por:
cos
( ) cos
ab t
S t a ti asent j k
p t
2
= + +
(Hélice circular de paso b )
Solución
Justificación: En este ejercicio te enseñare a valorar el saber las 2
formas de calcular la curvatura, ya que si solo manejas una de ellas, es posible
que no puedas resolver el ejercicio por la magnitud de la derivada, Observa
atentamente.
Sabemos que la curvatura viene dada por:
' ( )
( )
T t
( )
t
V t
k =
En este caso se tiene:
( ) ( ) ' ' '
ab cos t ab t cos t - t cos
t
= '
= - = - 2
( ) ( ) , cos , . , cos , .
V t S t asent a t asent a t
p t p t
2 2
= = - ab - tsent - t
'
2
cos
( ) ( ) , cos , .
2
V t S t asent a t
p t
Calculemos el vector tangente unitario:
'
S t
'
( )
( )
( )
T t
S t
=
33. El modulo de la velocidad es:
- - = - + +
( ) ( )
2
' 2 2
ab tsent t
2
cos
( ) cos .
2
S t asent a t
p t
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
= + a b tsent + cos t = + a b tsent + cos
t
2 2
' 2 2
( ) .
c .
S t a a
2 2 2 2
4
os 1
4
t
e t
t
s n t
p
p
+
2 2 2 2 + + 2
= +
' 2
2 cos cos
a b t sen t tsent t t
( ) .
2 4
4
S t a
p t
2 2 ( 2 2 2 )
= +
' 2
a b t sen t + 2 tsent cos t + cos
t
2 4
( )
4
S t a
p t
2 2 4 2 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t a b t sen t tsent t t
2 4
( )
4
S t
t
p
p
=
2 2 4 2 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t a b t sen t tsent t t
2 4
( )
4
S t
t
p
p
=
2 2 4 2 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t a b t sen t tsent t t
2
( )
2
S t
t
p
p
=
2 2 4 2 ( 2 2 2 )
'
a 4 t + b t sen t + 2 tsent cos t + cos
t
=
2
( )
2
S t
t
p
p
2 2 4 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t b t sen t tsent t t
2
( )
2
S t
t
p
p
=
2 4 2 ( 2 2 2 )
'
+ + +
4 2 cos cos
a t b t sen t tsent t t
2
( )
2
S t
t
p
p
=
Luego el vector tangente unitario es:
34. ab - tsent - t
= - asent a t p
t
2
p 2 4 + 2 ( 2 2 2 + + ) p 2 4 + 2 (
2 2 + + 2 ) p
2 4 + 2 ( 2 2 + + 2
)
p p p
2 2 2
cos
.
cos 2
( ) , ,
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
2 2 2
T t
a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t
t t t
- 2 p
abt 2
tsent + cos
t
.
2 2 = - 2 p at sent 2 p at cos t 2
p
t
2
+ + + + + + + + +
( ) , ,
( ) ( ) ( )
p p p
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
T t
a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t a t b t sen t tsent t t
2
+ + +
( )
a
T t
= - p
t2sent
a 2 4 2 ( 2 2 2 )
2
,
4 2 cos cos
a
t b t sen t tsent t t
p
p + + +
t2 cos t
a 2 4 2 ( 2 2 2 )
2
,
4 t b t sen t 2tsent cos t cos t
p
p
-
+ + +
+
ab t2
2p 2
cos
.
tsent t
t
a
4p 2t 4 b2 (t2sen2t 2tsent cos t cos2 t )
- 2 p t sent 2 p
t cos t - b tsent + cos
t
= + + + + + + + + +
( ) , ,
( ) ( )
( )
( )
2 2
p p p
2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2
4 2 cos cos 4 2 cos cos 4 2 cos cos
T t
t b t sen t tsent t t t b t sen t tsent t t t b t sen t tsent t t
Ahora imagina si intentas calcular T ' (t) , pues sería muy laborioso, y la
probabilidad de equivocarte sería mucho mayor.
Afortunadamente, la curvatura, también puede calcularse así:
( ) ( )
V t A t
( )3
( )
( )
t
V t
k
´
=
Ahora veras que por este camino es mucho más sencillo obtener la
curvatura.
Ya sabemos que:
= = - ab - tsent - t
'
2
cos
( ) ( ) , cos , .
2
V t S t asent a t
p t
Entonces:
= = = - - ab - tsent - cos
t
'
' ''
2
( ) ( ) ( ) cos , , .
2
A t V t S t a t asent
p t
( ) ( ) ( )
2 '
ab t - tsent - cos t ' - t 2 - tsent - cos
t
= - - ( 2 )
2
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p t
2 ( ) ( )
ab t - sent - t cos t + sent - 2 t - tsent - cos
t
= - - 4
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p t
35. = - - ( ) ( )
ab t
- - + - - -
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p
t sent t cos t sent 2 tsent cos t
4
t
ab t sent
- - -
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p
-
= - -
( - t cos t + sent ) ( )
3
2 tsent cos t
t
= - - ab - t 2
cos t + 2 tsent + 2cos
t
3
( ) cos , , .
2
A t a t asent
p t
Efectuando el producto vectorial:
- - ´ = - =
2
i j k
2
3
cos
( ) ( ) cos .
2
cos 2 2cos
cos .
2
ab tsent t
V t A t asent a t
t
ab t t tsent t
a t asent
t
p
p
- + + - -
a 2 b cos t - t 2 cos t + 2 tsent + 2cos t + a 2
bsent - tsent - cos
t
. .
3 2
2 2
i
p t p t
a 2 bsent 2 2
- - - t cos t + 2 tsent + 2cos t + a b cos t - tsent - cos
t
. .
3
2 2
2
j
p t p t
+ (a2sen2t )+ (a2 cos2 t ) k
Vamos a simplificar cada componente, para la componente i
, se tiene:
- a 2 bt 2 cos 2 t + 2 ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos 2 t - ta 2 bsen 2 t - a 2
bsent cos
t
+
2 3 2
2
i
p t p t
- a 2 bt 2 cos 2 t + 2 ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos 2 t - t 2 a 2 bsen 2 t - ta 2
bsent cos
t
2
3
i
p t
- a 2 bt 2 cos 2 t - t 2 a 2 bsen 2 t + ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos
2
t
3
2
i
p t
2 2 ( 2 2 ) 2 2 2
- a bt cos t + sen t + ta b cos tsent + 2 a b cos
t
2
3
i
p t
Como cos2 t + sen2t =1, se tiene:
36. - a 2 bt 2 + ta 2 b cos tsent + 2 a 2 b cos
2
t
2
3
i
p t
, se tiene:
Para la componente j
t 2 a 2 bsent cos t - 2 ta 2 bsen 2 t - 2 a 2 bsent cos t - ta 2 2 2
- + b cos tsent - a b cos
t
2 3 2
2
j
p t p t
2 2 - t a bsent cos t - 2 ta 2 bsen 2 t - 2 a 2 bsent cos t - t 2 a 2 b cos tsent - ta 2 b cos
2
t
2
3
j
p t
-
t 2a2bsent cos t -
- 2ta2bsen2t - 2a2bsent cos t - t 2a2b cos tsent 2 2
3
cos
2
ta b t
j
p t
2 ta 2 bsen 2 t + 2 a 2 bsent cos t + ta 2 b cos
2
t
2
3
j
p t
, se tiene:
Para la componente k
(a2sen2t )+ (a2 cos2 t ) k = a2 (sen2t )+ (cos2 t ) k = a2 k
Entonces:
- a 2 bt 2 + ta 2 b cos tsent + 2 a 2 2
´ = b cos
t
+
V t A t i
3
( ) ( )
p t
2
2 2 + 2 + 2 2
+
2
2 2 cos cos
ta bsen t a bsent t ta b t
3
2
j a k
p t
Luego calculamos el módulo de este vector:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
´ = - a bt + ta b cos tsent + 2 a b cos t + 2 ta bsen t + 2 a bsent cos t + ta b cos
t
+
V t A t a
p t p t
3 3
( ) ( )
2 2
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
- a bt + ta b cos tsent + 2 a b cos t 2 ta bsen t + 2 a bsent cos t + ta b cos
t
´ = + +
V t A t a
p t p t
2 6 2 6
( ) ( )
4 4
( 2 2 2 2 2 ) 2 ( 2 2 2 2 2 ) 2
4
- a bt + ta b cos tsent + 2 a b cos t + 2 ta bsen t + 2 a bsent cos t + ta b cos
t
´ = +
V t A t a
p t
2 6
( ) ( )
4
Ahora calculamos: ( )3 V (t) :
- - = = -
De: '
ab tsent t
2
cos
( ) ( ) , cos , .
2
V t S t asent a t
p t
, se tiene:
37. - - = - + +
( ) ( )
2 2 2
2 2
a b tsent t
2 2
cos
( ) cos .
4
V t asent a t
p t
2 2 2
= 2 2 + 2 2
+ a b tsent + t
2 2
cos
( ) cos .
4
V t a sen t a t
p t
( ) 2 2 2
= 2 2 + 2
+ a b tsent + t
2 2
cos
( ) cos .
4
V t a sen t a t
p t
2 2 2
= 2
+ a b tsent + t
2 2
cos
( ) .
4
V t a
p t
+ + = + = +
2 2 2 2
cos cos
b tsent t b tsent t
2 2
( ) 1 . 1 .
V t a a
p t p t
2 2 2 2
4 4
2 2
= + b tsent + t
2 2
cos
( ) 1 .
4
V t a
p t
Luego:
( )
3
2 + 2
= +
3 3
b tsent t
2 2
cos
( ) 1 .
4
V t a
p t
Sustituyendo en la fórmula de curvatura, se tiene:
- a bt + ta b tsent + a b t + ta bsen t + a bsent t + ta b t
+
( ) ´ ( ) 4
= =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
2 6
3 3
2 + 2
+
3
2 2
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
38. a - bt + tb tsent + b t + a tbsen t + bsent t + tb t
+
( ) ´ ( ) 4
= =
( )
4 ( 2 2 )2 4 ( 2 2 )2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
2 6
3 3
2 + 2
+
3
2 2
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
- + + + + + +
´ = =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
2 6
3 3
2 + 2
+
3
2 2
1
4
( ) ( )
( )
( ) cos
1 .
4
a
t
V t A t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
- + + + + + +
´ = =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
4
cos 2 cos 2 2 cos cos
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
2 6
3 3
2 + 2
+
3
2 2
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
- + + + + + +
´ = =
( )
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
2
cos 2 cos 2 2 cos cos
bt tb tsent b t tbsen t bsent t tb t
2 6
3 3
2 + 2
+
3
2 2
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
a
V t A t t
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
( ) ( )
( )
2
3
( )
( )
a
V t A t
t
V t
k
´
= =
( ) ( ) 2 2 2 2 2 2
- bt + tb cos tsent + 2 b cos t + 2 tbsen t + 2 bsent cos t + tb cos
t
+
2 6
3
1
4
t
a
p
3
2 + b tsent + cos
t
2
1 .
4
p 2 t
2
- + + + + + +
´ V t A t t
= =
( )
( bt 2 2 2
tb cos tsent 2 b cos 2 t ) ( 2 tbsen 2 t 2 bsent cos t tb cos
2 t
) 2 6
3 3
2 2
+ + 2 2
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
Respuesta: La curvatura en este caso es:
39. - + + + + + +
´ V t A t t
= =
( )
( 2 2 2
bt tb cos tsent 2 b cos 2 t )( 2 tbsen 2 t 2 bsent cos t tb cos
2 t
)2 6
3 3
2 2
+ + 2 2
1
( ) ( ) 4
( )
( ) cos
1 .
4
t
V t b tsent t
a
t
p
k
p
Ejercicio 10
Demuestre que la curvatura de la hélice circular descrita por:
r(t) = (a cos t,asent,ct ), a 0
Es constante en todos sus puntos.
Solución
Justificación: Sabemos que la curvatura viene dada por:
' ( )
( )
T t
( )
t
V t
k =
En este caso se tiene:
V (t) = F' (t) = (-asent, a cos t, c)
Calculemos el vector tangente unitario:
'
F t
'
( )
( )
( )
T t
F t
=
El modulo de la velocidad es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F' (t) = -asent 2 + a cos t 2 + c 2 = a2sen 2t + a2 cos2 t + c2
F' (t) = a2 (sen 2t )+ (cos2 t ) + c2 = a21+ c2
F' (t) = a2 + c2
Luego el vector tangente unitario es:
F '
( t ) - asent a cos
t c
= =
( ) , ,
' 2 2 2 2 2 2
( )
T t
F t a c a c a c
+ + +
El vector T ' (t) es:
'
= - a cos
t - asent
+ +
( ) , ,0
2 2 2 2
T t
a c a c
Luego su modulo es:
40. 2 2
2 2 2 2
'
cos cos
= - + - = + 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2
( )
a t asent a t a sen t
T t
a c a c a c a c
2 2 2 2 2 ( )
'
cos + cos2 + n 2
= = 2 + 2 2 + 2
( )
a t a sen t a
T t
a
t se
c a
t
c
2 2
'
1
= = = + + +
2 2 2 2 2 2
( )
a a a
T t
a c a c a c
Luego la curvatura es:
k = = + = =
( )
'
2 2
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
( )
( )
( )
a
T t a c a a t
V t a c a c a c
Se observa claramente que la curvatura es constante, porque no
depende de la variable te.
Respuesta: Se demostró que la curvatura es constante.
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
41. Calcula la ecuación del plano normal a la curva F(t) = (t2 -1 , t , t3 )
perpendicular al plano x + y –z = 1.
Ejercicio 2
Dada la curva r(t) = (2t2 +1, t3, t2 ) , determina la ecuación del plano
osculador en el punto de coordenadas (3,1,1).
Ejercicio 3
Si la trayectoria de una partícula esta dada por la función vectorial
F(t) = (t,1- t3,p ) , determina la velocidad, la aceleración y las componentes
tangencial y normal de la aceleración.
Ejercicio 4
Halle la velocidad, la rapidez y la aceleración para la función vectorial
= - -2 t
f (t) e2t cos t , et (1 sent) , e
en el punto (1 , 1 , 1)
Ejercicio 5
Calcula el radio de curvatura de la curva F(t) = (t2 -1 , 2t , 4 - t3 ) en el
punto de coordenadas (3, 4, - 4).
Ejercicio 6
= + t
+ 2
Sea la función F:[0,2] ®R3 definida por:
2
F(t) 2, t 1,
2
.
Halle el vector normal y la curvatura en el punto t = 1
Ejercicio 7
3t
= 4t
Considera la función vectorial
F(t) sen 4t , , cos , calcula su
p
curvatura en el punto (0 , 3 , 1).
Ejercicio 8
Calcula la curvatura y la torsión de la curva descrita por la función f(t) =
(senh t, cosh t, t) en el punto (0 , 1, 0).
Ejercicio 9
Si la posición instantánea de una partícula viene dada por:
F(t)=(1 + sent , cos t , 2 cos t - sent).
a) Demuestra que la partícula se mueve en un plano.
42. b) Encuentra la ecuación del plano.
Ejercicio 10
Para calcular la curvatura de una función vectorial F con recorrido en IR3
encontramos que:
|| K(t) || =
|| F' (t)´ F' ' (t) ||
|| F' (t) || 3
Pruebe que para una curva plana con ecuación y=f(x) se tiene
f ''(x)
+ 2 3/2
|| K(t) || = .
(1 ( f ' (x)) )