Este documento presenta una introducción a la interpretación geométrica de la derivada. Explica que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. También describe algunas propiedades importantes de la derivada, como que una derivada igual a cero indica un punto crítico como un máximo o mínimo, y que un cambio de signo de la derivada indica la concavidad de la función.

1. INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
INTEGRANTES:
- Mendez Michell
-Salazar Edwin
- Ortega Christian
- Villapuma Kelly
- Aron Cossio

2. ¿QUÉ ES LA DERIVADA?
La derivada de una función matemática es
la razón o velocidad de cambio de una función
en un determinado punto. Es decir, qué tan
rápido se está produciendo una variación.
Desde una perspectiva geométrica, la derivada
de una función es la pendiente de la recta
tangente al punto donde se ubica x.
La derivada te permite conocer lo sensible que
es al cambio una variable con respecto a otra.
Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades,
aceleraciones, distribuciones que dependen del
tiempo o de la cantidad de materia, son
ejemplos sencillos), en ingeniería y en
economía.

3. LAS DERIVADAS SE PUEDEN DEFINIR
DESDE EL PUNTO DE VISTA DE:
Operación
Las derivadas son operaciones, de cálculo o
análisis, que tienen fórmulas bien definidas.
Algunas de ellas son:
Hay muchas más de estas fórmulas y de
otras técnicas para derivar, como:
La regla de la cadena.
La regla del cociente.
La regla del producto.
La regla de la potencia.
Todas te dan como resultado una función

4. La razón de cambio
Como ya mencionamos, la derivada
también significa la razón de cambio.
Esto es el cambio de una variable con
respecto a la otra; se ve en la fórmula de
la derivada como:
Donde y = f(x).
En estos casos, significa: “el
cambio que resulta de sustituir dos
puntos x en la función f(x)”.
Por ejemplo :
¿Cuál es la razón de cambio de la función f(x) =x²
entre los puntos
solución:
Para calcular esto debemos sustituir el valor de ambos
puntos de y restar el resultado; esto es:

5. Pendiente
Ya mencionamos que cuando el cambio es
instantáneo, la derivada se representa por un
símbolo m.
Veamos un poco más en detalle la fórmula:
Si, como mencionamos f(x) = y, tenemos:
Y si m es la pendiente de la recta que pasa
por los puntos x2 y x1 , entonces lo que se
tiene es una recta:
En este caso, la pendiente pertenece la recta
tangente a la función.

6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN
PUNTO
La derivada de la función en un punto es igual a
la pendiente de la recta tangente a la función en
ese punto. De este modo, la derivada es, de
hecho, lo mismo que la pendiente de la recta un
punto específico.
Sin embargo, la derivada tiene propiedades
importantes y ciertos valores que nos conviene
saber qué significan.
Derivada igual a cero
Si la derivada de una función es la pendiente de
una recta, la pregunta es: ¿qué pasa si la
pendiente es cero? Esto significa que:
O, lo que es lo mismo:
El valor de y no cambia, o sea es constante,
y esto solo pasa si se tiene una recta
horizontal. En estos casos se dice que se
tiene un punto crítico.
Un punto crítico puede ser un máximo o un
mínimo, como se ve las siguientes gráficas:

7. Mínimo de una función. Máximo de una función.
Debido a que la resta nunca puede ser exactamente
cero, se dice que el valor tiende hacia cero.
Pero, también puede ser un punto de inflexión, que es
donde la derivada cambia de signo. Esto se puede ver
en la siguiente gráfica:
Este punto no es ni máximo o mínimo,
pero es un punto crítico.

8. CAMBIO DE SIGNO DE LA DERIVADA
Debido a que podemos sustituir valores de en la derivada, la función que obtenemos al aplicar las
fórmulas de derivación también tiene un valor que puede ser negativo o positivo. Algo interesante es
que este cambio de signo nos dice otra característica importante de la derivada que es su
concavidad.
Si la derivada de una función cambia de positiva
a negativa, esta es cóncava hacia abajo.
Si la derivada de una función cambia de negativa
a positiva, esta es cóncava hacia arriba.

9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
El matemático francés Pierre de Fermat (1601 –
1665) al estudiar máximos y mínimos de ciertas
funciones observó que en aquellos puntos en
los que la curva presenta un máximo o un
mínimo, la tangente a ella debe ser horizontal.
Esto lo condujo al problema de definir con
precisión el concepto de recta tangente a un
curva.
Suponer que una recta es tangente a una curva en un punto si la
corta sólo en ese punto (como lo sugiere el comportamiento de
las tangentes a una circunferencia)
es falso, como vemos en los ejemplos que siguen)

10. Como la derivada de la función en un punto es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese
punto, no existirá derivada de una función en
aquellos puntos donde el gráfico no tenga
tangente o bien la tenga pero que sea vertical.
Ejemplo 1 Si queremos buscar la tangente a la
curva en el punto P, vemos que el límite de las
secantes es diferente según nos acerquemos a P
por la izquierda o por la derecha. Podría decirse
que la curva tiene una tangente a P por la
derecha y otra por la izquierda. Pero la tangente
en P no existe. La derivada en P no existe.
¿Existe siempre la derivada de una
función en un punto?