Este documento describe la vida y contribuciones del matemático francés Evariste Galois. Explica brevemente la historia de la resolución de ecuaciones algebraicas y cómo Galois desarrolló la teoría de Galois para determinar si una ecuación es soluble mediante radicales. También resume la vida revolucionaria y trágica de Galois, quien murió a los 20 años durante un duelo y cuyos manuscritos no se publicaron hasta 14 años después, dando origen a la rama de las matemáticas conocida como teoría de
Évariste Galois fue un matemático francés que resolvió el problema de determinar cuándo un polinomio puede resolverse mediante raíces. Esto sentó las bases para la teoría de grupos abstractos. Galois introdujo el concepto de grupo en matemáticas y su trabajo es fundamental en álgebra abstracta y se usa en criptografía, informática y telecomunicaciones.
1) El documento describe la teoría de grupos y su aplicación a las simetrías encontradas en la naturaleza como los sólidos platónicos y cristales. 2) También discute la historia del desarrollo de la teoría de grupos, incluyendo las contribuciones de Abel y Galois para resolver la ecuación de quinto grado. 3) Abel demostró que la ecuación de quinto grado no es soluble mediante radicales, mientras que Galois introdujo los grupos para determinar si una ecuación es soluble o no.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento resume contribuciones clave de matemáticos a través de la historia, desde el siglo XIX hasta el siglo XX. Algunos de los matemáticos más importantes mencionados incluyen a Hamilton, Lobachevsky, Peacock, De Morgan, Grassmann, Gibbs, Cayley, Sylvester, Peirce, Galois, Frege, Peano, Poincaré, Hilbert, Gödel y Bourbaki. El documento también discute el desarrollo del álgebra abstracta, la teoría de grupos, la topología, la teoría
Este documento discute tres problemas matemáticos complejos que aún no tienen solución: la conjetura de Hodge, la hipótesis de Poincaré y las ecuaciones de Navier-Stokes. La conjetura de Hodge involucra la topología algebraica de variedades algebraicas complejas. La hipótesis de Poincaré afirma que la única variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es la esfera tridimensional. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos pero son difíciles de resolver.
El documento trata sobre la idea de la demostración en la historia de las matemáticas. Se discuten conceptos como la definición rigurosa de conceptos matemáticos, la justificación de cada paso de una prueba y el uso de la intuición. También se mencionan temas como la independencia del cálculo de la geometría y la formalización de los procesos infinitos. Finalmente, se analiza brevemente la demostración del problema de los cuatro colores realizada con ayuda de computadora.
El documento presenta una serie de 11 ejercicios relacionados con la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos y determinar la naturaleza de triángulos. Se piden hallar hipotenusas, catetos, diagonales, alturas y resolver problemas geométricos usando el teorema de Pitágoras.
Évariste Galois fue un matemático francés que resolvió el problema de determinar cuándo un polinomio puede resolverse mediante raíces. Esto sentó las bases para la teoría de grupos abstractos. Galois introdujo el concepto de grupo en matemáticas y su trabajo es fundamental en álgebra abstracta y se usa en criptografía, informática y telecomunicaciones.
1) El documento describe la teoría de grupos y su aplicación a las simetrías encontradas en la naturaleza como los sólidos platónicos y cristales. 2) También discute la historia del desarrollo de la teoría de grupos, incluyendo las contribuciones de Abel y Galois para resolver la ecuación de quinto grado. 3) Abel demostró que la ecuación de quinto grado no es soluble mediante radicales, mientras que Galois introdujo los grupos para determinar si una ecuación es soluble o no.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento resume contribuciones clave de matemáticos a través de la historia, desde el siglo XIX hasta el siglo XX. Algunos de los matemáticos más importantes mencionados incluyen a Hamilton, Lobachevsky, Peacock, De Morgan, Grassmann, Gibbs, Cayley, Sylvester, Peirce, Galois, Frege, Peano, Poincaré, Hilbert, Gödel y Bourbaki. El documento también discute el desarrollo del álgebra abstracta, la teoría de grupos, la topología, la teoría
Este documento discute tres problemas matemáticos complejos que aún no tienen solución: la conjetura de Hodge, la hipótesis de Poincaré y las ecuaciones de Navier-Stokes. La conjetura de Hodge involucra la topología algebraica de variedades algebraicas complejas. La hipótesis de Poincaré afirma que la única variedad tridimensional cerrada y simplemente conexa es la esfera tridimensional. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos pero son difíciles de resolver.
El documento trata sobre la idea de la demostración en la historia de las matemáticas. Se discuten conceptos como la definición rigurosa de conceptos matemáticos, la justificación de cada paso de una prueba y el uso de la intuición. También se mencionan temas como la independencia del cálculo de la geometría y la formalización de los procesos infinitos. Finalmente, se analiza brevemente la demostración del problema de los cuatro colores realizada con ayuda de computadora.
El documento presenta una serie de 11 ejercicios relacionados con la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular lados desconocidos en triángulos rectángulos y determinar la naturaleza de triángulos. Se piden hallar hipotenusas, catetos, diagonales, alturas y resolver problemas geométricos usando el teorema de Pitágoras.
Evariste Galois fue un matemático francés que realizó importantes descubrimientos en teoría de grupos y teoría de ecuaciones a una edad temprana. A los 16 años comenzó a esbozar lo que se convertiría en la teoría de Galois, analizando las permutaciones de las raíces de una ecuación. A pesar de su trabajo revolucionario, sus escritos fueron rechazados por la Academia de Ciencias de Francia. Galois murió a los 20 años tras ser herido de bala en un duel
Una asombrosa revolución matemática, que trata de la teoría de los grupos, cuyo teorema tiene que ver con joven matemático francés Evariste Galois (1811-1832).
Este documento resume la vida y obra del matemático francés Évariste Galois. Galois nació en 1811 y desde muy joven mostró un gran talento y pasión por las matemáticas. A pesar de enfrentar numerosos rechazos en su intento por ingresar a la prestigiosa École Polytechnique, Galois desarrolló importantes teorías como la teoría de grupos y resolvió problemas matemáticos que otros no habían podido resolver. Lamentablemente, Galois murió a la edad de 20 años tras ser
000 Historia del Análisis Complejo.pdfIngrid495239
El documento describe la historia del desarrollo de los números complejos, desde sus orígenes en los trabajos de matemáticos como Herón de Alejandría hasta su aceptación y uso en el siglo XIX. Destaca contribuciones clave como las de Cardano, quien desarrolló métodos para resolver ecuaciones cúbicas, y Euler, quien extendió el concepto de logaritmo a números complejos. Aunque hubo resistencia a la idea de números imaginarios, su uso permitió resolver problemas físicos y técnicos importantes.
Évariste Galois fue un matemático francés que hizo contribuciones fundamentales a la teoría de grupos mientras era aún un adolescente. Determinó la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, resolviendo un problema abierto a través del nuevo concepto de grupo de permutaciones. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático. Lamentablemente, murió a la edad de 20 años a causa de un duelo.
Evariste Galois fue un genio de las matemáticas francés que desarrolló la teoría de grupos. A los 14 años se interesó profundamente en las matemáticas avanzadas. Fue rechazado dos veces de la École Polytechnique debido a su enfoque único en las matemáticas. Pasó sus últimos años involucrado en política radical y murió a la edad de 20 años en un duelo, posiblemente relacionado con una ruptura amorosa. Sus contribuciones matemáticas fueron publicadas póstumamente, estable
Evariste Galois fue un genio de las matemáticas francés que murió a la edad de 20 años. Desarrolló importantes avances en álgebra abstracta y teoría de grupos, pero sus trabajos no fueron publicados durante su vida debido a rechazos y pérdidas de manuscritos. La noche antes de morir en un duelo, Galois escribió un "testamento matemático" resumiendo sus ideas clave. Tras su muerte, sus escritos se publicaron y sentaron las bases de lo que hoy se conoce como
El álgebra se originó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas. Los matemáticos griegos y árabes continuaron desarrollando el álgebra. En los siglos XVI y XVII, matemáticos italianos, franceses y alemanes hicieron importantes avances al introducir símbolos y resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas. En el siglo XIX, el álgebra evolucionó hacia sistemas abstractos como grupos y cuaterniones, sentando las bases
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo como álgebra moderna. Destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, Al-Jwarizmi, Cardano, Descartes, Gauss y Boole, y cómo resolvieron ecuaciones cada vez más complejas y desarrollaron nuevos conceptos como la geometría analítica y el álgebra abstracta. Finalmente, explica que el álgebra clásica se enfocaba en resolver ecuaciones mientras que el álgebra modern
El documento presenta una breve historia del álgebra, comenzando con los antiguos egipcios y babilonios, quienes podían resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Los matemáticos alejandrinos y árabes continuaron desarrollando el álgebra. En los siglos XVI y XIII, matemáticos italianos y árabes encontraron soluciones para ecuaciones cúbicas y cuárticas. En los siglos XIX y XX, el álgebra evolucionó hacia un enfoque más abstracto con el desarrol
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta el siglo XVIII. Los matemáticos antiguos como los babilonios y Diofanto de Alejandría resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas. En el siglo XVI, matemáticos italianos resolvieron la ecuación cúbica y Ferrari encontró la solución para la ecuación de cuarto grado. En el siglo XVIII, Gauss demostró que toda ecuación polinómica tiene al menos una
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta el siglo XVIII. Los matemáticos de la antigüedad como los babilonios, Herón y Diofanto resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas. En el siglo XVI, matemáticos italianos resolvieron la ecuación cúbica y Ferrari encontró la solución para la ecuación de cuarto grado. En el siglo XVII, Descartes introdujo símbolos algebraicos y desarrollo la geometr
Este documento describe la vida y logros del matemático suizo Leonhard Euler, llamado "la encarnación del análisis". Euler fue el matemático más prolífico de la historia y realizó contribuciones fundamentales en diversas áreas de las matemáticas. Trabajó en academias científicas patrocinadas por gobernantes en Berlín y San Petersburgo, donde pudo dedicarse por completo a la investigación matemática. Sus descubrimientos tuvieron aplicaciones prácticas importantes para la navegación, incluyendo
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento presenta una exposición virtual sobre el legado de las matemáticas desde Euclides hasta Newton. Explica brevemente los orígenes del cálculo infinitesimal en los trabajos de Arquímedes, y cómo este campo se desarrolló a lo largo de los siglos XVII y XVIII gracias a figuras como Fermat, Descartes, Wallis y Newton, entre otros, que utilizaron cada vez más los infinitesimales y métodos algebraicos para resolver problemas geométricos.
Este documento describe los principales desarrollos en la fundamentación de las matemáticas desde el siglo XIX hasta principios del siglo XX. 1) Figuras como Bolzano, Cauchy, Weierstrass y Dedekind rigirizaron conceptos como la continuidad y los límites. 2) La teoría de conjuntos de Cantor revolucionó las matemáticas pero también descubrió paradojas. 3) Esto llevó a diferentes escuelas como el logicismo, el intuicionismo y el formalismo para resolver la crisis de los fundamentos.
Los números complejos surgieron de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas y cuadráticas. En el siglo XVI, Cardano y Bombelli introdujeron las raíces cuadradas de números negativos al resolver estas ecuaciones, sentando las bases de los números complejos. A lo largo de los siglos XVII y XVIII, matemáticos como Descartes, Euler y Gauss desarrollaron el cálculo con números complejos y establecieron sus propiedades formales, aunque su interpretación física seguía siendo objeto de debate. En el siglo XIX, la geome
El documento discute cómo los problemas matemáticos han impulsado el desarrollo de las matemáticas a lo largo de la historia. Identifica cuatro formas en que los problemas han contribuido: 1) Algunos problemas estuvieron en el origen de las matemáticas. 2) La resolución de problemas ha motivado nuevas ramas. 3) Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas. 4) Algunos problemas han abierto crisis en los fundamentos. También propone cuatro periodos en el desarrollo de las matemáticas vinculados a
La cultura babilónica fue la iniciadora del álgebra. Diofanto basó su investigación en ecuaciones de primer y segundo grado. Al-Khwarizmi nació aproximadamente en el año 780 d.C. y escribió sobre geografía, astronomía y matemáticas. Entre los años 700-1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Al-Khwarizmi es considerado el "Padre del álgebra". De la palabra árabe "al-jabr" se deriva el término "
El documento presenta la propuesta curricular de Franklin Bobbit, la cual se basa en cuatro aspectos: acción, actividad, comportamiento y dirección. El currículum se compone de experiencias dirigidas a desarrollar habilidades de los estudiantes. Además, se fundamenta en la gerencia científica y la educación funcionalista para servir al modelo industrial de la escuela.
El documento presenta el teorema de Tales y su aplicación a casos particulares, con ejemplos y ejercicios de aplicación. Explica que si dos rectas son paralelas, los segmentos que forman con otras rectas que las cortan son proporcionales. Luego, proporciona 28 ejercicios sobre aplicaciones de este teorema para determinar medidas desconocidas.
Evariste Galois fue un matemático francés que realizó importantes descubrimientos en teoría de grupos y teoría de ecuaciones a una edad temprana. A los 16 años comenzó a esbozar lo que se convertiría en la teoría de Galois, analizando las permutaciones de las raíces de una ecuación. A pesar de su trabajo revolucionario, sus escritos fueron rechazados por la Academia de Ciencias de Francia. Galois murió a los 20 años tras ser herido de bala en un duel
Una asombrosa revolución matemática, que trata de la teoría de los grupos, cuyo teorema tiene que ver con joven matemático francés Evariste Galois (1811-1832).
Este documento resume la vida y obra del matemático francés Évariste Galois. Galois nació en 1811 y desde muy joven mostró un gran talento y pasión por las matemáticas. A pesar de enfrentar numerosos rechazos en su intento por ingresar a la prestigiosa École Polytechnique, Galois desarrolló importantes teorías como la teoría de grupos y resolvió problemas matemáticos que otros no habían podido resolver. Lamentablemente, Galois murió a la edad de 20 años tras ser
000 Historia del Análisis Complejo.pdfIngrid495239
El documento describe la historia del desarrollo de los números complejos, desde sus orígenes en los trabajos de matemáticos como Herón de Alejandría hasta su aceptación y uso en el siglo XIX. Destaca contribuciones clave como las de Cardano, quien desarrolló métodos para resolver ecuaciones cúbicas, y Euler, quien extendió el concepto de logaritmo a números complejos. Aunque hubo resistencia a la idea de números imaginarios, su uso permitió resolver problemas físicos y técnicos importantes.
Évariste Galois fue un matemático francés que hizo contribuciones fundamentales a la teoría de grupos mientras era aún un adolescente. Determinó la condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resuelto por radicales, resolviendo un problema abierto a través del nuevo concepto de grupo de permutaciones. Fue el primero en utilizar el término "grupo" en un contexto matemático. Lamentablemente, murió a la edad de 20 años a causa de un duelo.
Evariste Galois fue un genio de las matemáticas francés que desarrolló la teoría de grupos. A los 14 años se interesó profundamente en las matemáticas avanzadas. Fue rechazado dos veces de la École Polytechnique debido a su enfoque único en las matemáticas. Pasó sus últimos años involucrado en política radical y murió a la edad de 20 años en un duelo, posiblemente relacionado con una ruptura amorosa. Sus contribuciones matemáticas fueron publicadas póstumamente, estable
Evariste Galois fue un genio de las matemáticas francés que murió a la edad de 20 años. Desarrolló importantes avances en álgebra abstracta y teoría de grupos, pero sus trabajos no fueron publicados durante su vida debido a rechazos y pérdidas de manuscritos. La noche antes de morir en un duelo, Galois escribió un "testamento matemático" resumiendo sus ideas clave. Tras su muerte, sus escritos se publicaron y sentaron las bases de lo que hoy se conoce como
El álgebra se originó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas. Los matemáticos griegos y árabes continuaron desarrollando el álgebra. En los siglos XVI y XVII, matemáticos italianos, franceses y alemanes hicieron importantes avances al introducir símbolos y resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas. En el siglo XIX, el álgebra evolucionó hacia sistemas abstractos como grupos y cuaterniones, sentando las bases
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta su desarrollo como álgebra moderna. Destaca las contribuciones de matemáticos como Diofanto, Al-Jwarizmi, Cardano, Descartes, Gauss y Boole, y cómo resolvieron ecuaciones cada vez más complejas y desarrollaron nuevos conceptos como la geometría analítica y el álgebra abstracta. Finalmente, explica que el álgebra clásica se enfocaba en resolver ecuaciones mientras que el álgebra modern
El documento presenta una breve historia del álgebra, comenzando con los antiguos egipcios y babilonios, quienes podían resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Los matemáticos alejandrinos y árabes continuaron desarrollando el álgebra. En los siglos XVI y XIII, matemáticos italianos y árabes encontraron soluciones para ecuaciones cúbicas y cuárticas. En los siglos XIX y XX, el álgebra evolucionó hacia un enfoque más abstracto con el desarrol
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta el siglo XVIII. Los matemáticos antiguos como los babilonios y Diofanto de Alejandría resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas. En el siglo XVI, matemáticos italianos resolvieron la ecuación cúbica y Ferrari encontró la solución para la ecuación de cuarto grado. En el siglo XVIII, Gauss demostró que toda ecuación polinómica tiene al menos una
El documento resume la historia del álgebra desde sus orígenes en el antiguo Egipto y Babilonia hasta el siglo XVIII. Los matemáticos de la antigüedad como los babilonios, Herón y Diofanto resolvían ecuaciones lineales y cuadráticas. En el siglo XVI, matemáticos italianos resolvieron la ecuación cúbica y Ferrari encontró la solución para la ecuación de cuarto grado. En el siglo XVII, Descartes introdujo símbolos algebraicos y desarrollo la geometr
Este documento describe la vida y logros del matemático suizo Leonhard Euler, llamado "la encarnación del análisis". Euler fue el matemático más prolífico de la historia y realizó contribuciones fundamentales en diversas áreas de las matemáticas. Trabajó en academias científicas patrocinadas por gobernantes en Berlín y San Petersburgo, donde pudo dedicarse por completo a la investigación matemática. Sus descubrimientos tuvieron aplicaciones prácticas importantes para la navegación, incluyendo
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento resume las principales contribuciones de varios matemáticos e históricos al desarrollo del cálculo, incluyendo a Gauss, Kepler, Cavalieri, Descartes, Pascal, Barrow, Bernoulli, Newton, Leibniz y otros. Explica brevemente sus descubrimientos en áreas como el cálculo diferencial e integral, series infinitas, geometría analítica y otros conceptos fundamentales del cálculo moderno.
Este documento presenta una exposición virtual sobre el legado de las matemáticas desde Euclides hasta Newton. Explica brevemente los orígenes del cálculo infinitesimal en los trabajos de Arquímedes, y cómo este campo se desarrolló a lo largo de los siglos XVII y XVIII gracias a figuras como Fermat, Descartes, Wallis y Newton, entre otros, que utilizaron cada vez más los infinitesimales y métodos algebraicos para resolver problemas geométricos.
Este documento describe los principales desarrollos en la fundamentación de las matemáticas desde el siglo XIX hasta principios del siglo XX. 1) Figuras como Bolzano, Cauchy, Weierstrass y Dedekind rigirizaron conceptos como la continuidad y los límites. 2) La teoría de conjuntos de Cantor revolucionó las matemáticas pero también descubrió paradojas. 3) Esto llevó a diferentes escuelas como el logicismo, el intuicionismo y el formalismo para resolver la crisis de los fundamentos.
Los números complejos surgieron de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas y cuadráticas. En el siglo XVI, Cardano y Bombelli introdujeron las raíces cuadradas de números negativos al resolver estas ecuaciones, sentando las bases de los números complejos. A lo largo de los siglos XVII y XVIII, matemáticos como Descartes, Euler y Gauss desarrollaron el cálculo con números complejos y establecieron sus propiedades formales, aunque su interpretación física seguía siendo objeto de debate. En el siglo XIX, la geome
El documento discute cómo los problemas matemáticos han impulsado el desarrollo de las matemáticas a lo largo de la historia. Identifica cuatro formas en que los problemas han contribuido: 1) Algunos problemas estuvieron en el origen de las matemáticas. 2) La resolución de problemas ha motivado nuevas ramas. 3) Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas. 4) Algunos problemas han abierto crisis en los fundamentos. También propone cuatro periodos en el desarrollo de las matemáticas vinculados a
La cultura babilónica fue la iniciadora del álgebra. Diofanto basó su investigación en ecuaciones de primer y segundo grado. Al-Khwarizmi nació aproximadamente en el año 780 d.C. y escribió sobre geografía, astronomía y matemáticas. Entre los años 700-1200 d.C., el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Al-Khwarizmi es considerado el "Padre del álgebra". De la palabra árabe "al-jabr" se deriva el término "
El documento presenta la propuesta curricular de Franklin Bobbit, la cual se basa en cuatro aspectos: acción, actividad, comportamiento y dirección. El currículum se compone de experiencias dirigidas a desarrollar habilidades de los estudiantes. Además, se fundamenta en la gerencia científica y la educación funcionalista para servir al modelo industrial de la escuela.
El documento presenta el teorema de Tales y su aplicación a casos particulares, con ejemplos y ejercicios de aplicación. Explica que si dos rectas son paralelas, los segmentos que forman con otras rectas que las cortan son proporcionales. Luego, proporciona 28 ejercicios sobre aplicaciones de este teorema para determinar medidas desconocidas.
El documento explica el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. A continuación, proporciona fórmulas y ejemplos para calcular los lados desconocidos en triángulos rectángulos. Finalmente, presenta problemas adicionales para aplicar el teorema.
Este documento presenta los temas de ecuaciones de primer y segundo grado que se estudiarán en Matemáticas 3o ESO. Explica cómo resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, y cómo utilizar ecuaciones para resolver problemas. También define conceptos clave como solución, identidad, ecuación equivalente, y suma y producto de las raíces de una ecuación de segundo grado.
El documento presenta una guía de ejercicios sobre potencias y ángulos. Incluye 26 ejercicios de simplificación y aplicación de definiciones de potencias usando multiplicación y división, así como 30 problemas verbales sobre ángulos y triángulos que deben resolverse. El objetivo es que los estudiantes practiquen conceptos geométricos y de álgebra mediante la resolución de una variedad de ejercicios.
Este documento describe los diferentes tipos de ángulos que se forman cuando dos líneas paralelas son cortadas por una línea transversal, incluyendo ángulos alternos internos y externos, ángulos colaterales internos y externos, y ángulos correspondientes. Explica que estos tipos de ángulos son congruentes o suplementarios, y proporciona ejemplos y ejercicios para identificar y calcular los valores de los ángulos.
Este documento trata sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita. Explica conceptos básicos como qué es una ecuación, su grado y cómo resolverlas. Presenta las propiedades que permiten obtener ecuaciones equivalentes y realizar operaciones para despejar la incógnita. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas, con el procedimiento paso a paso.
Este documento presenta 20 problemas de porcentajes para que los estudiantes de 2o de ESO los resuelvan. Los problemas incluyen calcular porcentajes de cantidades dadas, determinar cantidades totales basadas en porcentajes parciales, y calcular cambios de precios debidos a aumentos o descuentos porcentuales.
Este documento contiene varias fichas con ejercicios sobre proporcionalidad directa e inversa, reglas de tres simples y compuestas, y porcentajes. Los ejercicios incluyen problemas sobre velocidad-distancia, tiempo-trabajo, repartos directa e inversamente proporcionales, cálculo de porcentajes, y problemas de proporcionalidad compuesta que involucran múltiples variables. El documento proporciona material práctico para que los estudiantes practiquen y apliquen diferentes conceptos matemáticos
El documento presenta 10 ejercicios de geometría que involucran triángulos rectángulos, paralelogramos, rombos y figuras para calcular ángulos y lados desconocidos. Cada ejercicio describe un problema geométrico, como hallar los lados de un triángulo dado uno de sus catetos, y presenta la solución paso a paso utilizando teoremas como Pitágoras, senos y cosenos.
Este documento presenta actividades sobre figuras geométricas congruentes y semejantes. Explica la diferencia entre congruencia y semejanza, y analiza los criterios de congruencia y semejanza en triángulos a través de videos y construcciones geométricas. Las actividades incluyen identificar los criterios de congruencia en triángulos, construir figuras semejantes a diferentes escalas y describir sus propiedades, y resumir los criterios de semejanza en triángulos.
El documento describe los rasgos de evaluación para el primer bloque de Matemáticas III. Los rasgos incluyen un examen departamental (20%), exámenes bimestrales/parciales (30%), un cuadernillo de cálculo (10%), un proyecto bimestral (20%), una libreta de trabajo diario (5%), un libro de texto (5%), y autoevaluación y coevaluación (10%).
El documento detalla los rasgos de evaluación para el quinto bimestre de la asignatura de Matemáticas III. Los principales rasgos de evaluación son: el examen final (20%), exámenes bimestrales/parciales (20%), cuadernillo y actividades COMIPEMS (30%), libreta de trabajo diario (10%), libro de texto (10%), y autoevaluación y coevaluación (10%). También se incluyen evaluaciones extras como la participación en la muestra final de fin de año y en el examen de concurso anual de matemáticas,
The document contains examples of simple first-degree equations with:
- No parentheses or denominators
- Terms grouped together
- Parentheses
The equations are solved for the variable x, with the solutions provided.
El documento explica el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Define un triángulo rectángulo y cómo se calculan las funciones trigonométricas utilizando los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. También describe cómo calcular valores de las funciones trigonométricas y ángulos utilizando una calculadora científica.
Este documento presenta los resultados de evaluación bimestral de 39 estudiantes del tercer grado del grupo F de la Academia de Matemáticas de la Escuela Secundaria General No. 135 en la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas. Incluye el nombre de cada estudiante y sus calificaciones en los tres bimestres, así como el promedio general de la clase para cada periodo.
Este documento presenta los resultados académicos de los tres bimestres de 40 alumnos del tercer grado de la Escuela Secundaria General No. 135. Se incluyen el nombre de cada alumno y sus calificaciones en cada bimestre, con un promedio general de 7.55, 8.19 y 8.26 respectivamente. El profesor a cargo es Jose Javier Ramos Ponce.
Este documento presenta los resultados del examen bimestral de matemáticas de 3er grado del grupo D en la Escuela Secundaria General No. 135. Contiene la lista de 38 alumnos con sus calificaciones en los tres bimestres, así como el promedio general para cada bimestre. El promedio aumentó de 7.16 en el primer bimestre a 7.80 en el segundo y 7.93 en el tercero, lo que indica una mejora general en el rendimiento académico de los estudiantes a lo largo del curso.
Este documento presenta los resultados de las evaluaciones bimestrales de matemáticas de los estudiantes del tercer grado del grupo B en la Escuela Secundaria General No. 135. Contiene la lista de 36 estudiantes con sus calificaciones en las tres evaluaciones bimestrales y el promedio general de las calificaciones. El profesor José Javier Ramos Ponce es responsable del grupo.
Este documento presenta una evaluación de matemáticas para estudiantes de secundaria. Contiene preguntas sobre congruencia, semejanza, proporciones y el teorema de Thales. También incluye ejercicios para calcular valores desconocidos usando proporciones en triángulos semejantes.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
2. ´Indice
1. Introducci´on 3
2. Un paseo por la historia de las ecuaciones algebraicas 3
3. Revolucionario y Matem´atico: Evariste Galois 5
4. La teor´ıa de Galois 9
4.1. Ecuaci´on general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2. Ecuaci´on general de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3. Ecuaci´on general de cuarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Ecuaci´on general de quinto grado: la gran inc´ognita. 13
2
3. ”El ´algebra es generosa: a menudo da m´as de lo que se le pide.”
D’alambert
1. Introducci´on
Evariste Galois se nos presenta como un juvenil Quijote luchando en un combate im-
posible, perdido de antemano, contra los molinos de la ciencia oficial, representada por la
todopoderosa Academia de las Ciencias de Par´ıs (formada por una importante constelaci´on
de grandes matem´aticos, pero pagados de s´ı mismos, que no le entienden y que tampoco
hacen ning´un esfuerzo por tratar de hacerlo), contra la que arremete con todas las armas
a su alcance.
2. Un paseo por la historia de las ecuaciones alge-
braicas
Desde la antig¨uedad uno de los enigmas m´as tenazmente perseguido por los matem´aticos
es la resoluci´on de las ecuaciones algebraicas.
Dada una ecuaci´on algebraica de segundo grado de la forma ax2
+ bx + c, es bien
conocido que sus soluciones pueden encontrarse mediante una expresi´on (ya conocida por
los babilonios) que involucra los coeficientes a, b y c y operaciones con radicales, a saber,
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
.
Durante la Edad Media se trat´o de encontrar f´ormulas semejantes a la anterior que
sirvieran para resolver ecuaciones algebraicas de grado 3 y superior. El primer resultado
positivo se atribuye a N. Fontana (m´as conocido como Tartaglia) y a G.Cardano, que
utilizaron la f´ormula
x =
3 q
2
+
p3
27
+
q2
4
+
3 q
2
−
p3
27
+
q2
4
para calcular las soluciones de x3
+px+q = 0 (puesto que la ecuaci´on y3
+by2
+cy+d = 0
puede reducirse a una del tipo x3
+ px + q = 0 mediante el cambio de variable y = x − b
3
,
la ecuaci´on general de tercer grado queda resuelta).
3
4. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
Diez a˜nos despu´es Ludovico Ferrari public´o una f´ormula para resolver las ecuaciones
algebraicas de grado 4. La cosa marchaba, y los matem´aticos no tardaron en emprender
intentonas para resolver la ”ecuaci´on general”anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + a1x + a0 = 0, y
aqu´ı se estrellaron todos. Algunos, m´as modestos, retrocedieron y se limitaron a la de
quinto grado, pero tampoco hubo forma. ¿Ser´ıa la ecuaci´on irresoluble? Esta pregunta
plane´o mucho tiempo sobre la matem´atica.
Como consecuencia de esta b´usqueda infructuosa el matem´atico Paolo Ruffini anunci´o,
a comienzos del siglo XIX, la imposibilidad de encontrar una f´ormula para resolver estas
ecuaciones; su art´ıculo, publicado en 1813, conten´ıa afirmaciones imprecisas. Hubo que
esperar al advenimiento de un genio como el noruego Niels Henrik Abel quien en 1823
public´o la demostraci´on de que las ecuaciones de quinto grado no pod´ıan resolverse medi-
ante radicales, dicha demostraci´on conten´ıa afirmaciones precisas pero con demostraciones
vagas.
La forma en que Abel ’resolvi´o’ el problema de la resoluci´on de la ecuaci´on general de
quinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problema
ten´ıa este final, y ser´ıa el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la
indecibilidad del lenguaje aritm´etico, establecido por G¨odel en 1931). Hasta ese momento
cuando un problema no se sab´ıa resolver se consideraba que es que no se segu´ıa el camino
apropiado o que no se ten´ıan los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se ten´ıa el
convencimiento de que antes o despu´es se lograr´ıa resolver.
La contribuci´on genial de Galois a la teor´ıa de resoluci´on de ecuaciones fue la deter-
minaci´on de las condiciones en las que una ecuaci´on es resoluble por radicales, lo que da
como consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polin´omicas que no son resol-
ubles por radicales. En esencia el resultado de Galois sobre resolubilidad por radicales de
una ecuaci´on tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados nor-
males) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo que
llama Galois resolventes de la ecuaci´on. Y este resultado es que una ecuaci´on es resoluble
por radicales si y solo si los ´ındices de todas las etapas de esa sucesi´on de subgrupos son
n´umeros primos. Eso es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado 4, puesto que el orden
de S4 es 24, y nos lleva a una serie de subgrupos de ´ındices 3,2,2 y 2, todos primos. En el
caso de la ecuaci´on general de grado n > 4, Sn tiene n! elementos y nos lleva a una serie de
dos subgrupos de ´ındices 2 y n!/2, y este ´ultimo n´umero nunca es primo, luego la ecuaci´on
general de grado n > 4 no es resoluble por radicales. Basten las pocas l´ıneas anteriores
para mostrar la aportaci´on de Galois a la teor´ıa de resoluci´on de ecuaciones, que fue de
tal calibre que acab´o con el propio objeto del ´algebra, pasando a partir de sus resultados
a poner el acento en el estudio de las estructuras algebraicas. As´ı comienza lo que a´un hoy
se conoce como ’matem´aticas modernas’, de las que la ’Teor´ıa de Galois’ sigue siendo una
parte plenamente vigente.
Fue tan avanzado que sus resultados, que redacta la noche anterior al duelo y encarga
a su amigo A. Chevalier que publique, nadie los entiende durante un tiempo. Tendr´ıan
que pasar doce a˜nos para que vuelvan a ver la luz, cuando Liouville en 1843 anuncia
4
5. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
en la Academia, que tan poco caso le hizo unos a˜nos antes, que hab´ıa encontrado entre
los papeles de Galois una soluci´on concisa, pero tan exacta como profunda de este bello
problema: ’Dada una ecuaci´on de grado primo, decidir si es o no es resoluble por radicales’.
Y tres a˜nos m´as tarde, el mismo Liouville publica en la revista que dirige (’Journal de
math´ematiques pures et appliqu´ees’) una reedici´on de los art´ıculos de Galois junto con sus
dos memorias in´editas. Aunque tard´ıa, su repercusi´on y su influencia fueron inmensas en
las matem´aticas desde la segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros d´ıas
3. Revolucionario y Matem´atico: Evariste Galois
´Evariste Galois, joven prodigio y matem´atico franc´es, contaba tan s´olo 20 a˜nos de edad
cuando en la madrugada del 30 de mayo de 1832 escrib´ıa a sus amigos Napole´on Lebon y
V. Delauney:
”He sido provocado por dos patriotas... Me es imposible rehusar. Os ruego vuestro
perd´on por no hab´eroslo dicho. Pero mis adversarios me han exigido palabras de honor de
no informar a ning´un patriota. Vuestra tarea es sencilla: demostrad que he de combatir
contra mi voluntad, tras haber agotado todos los medios de reconciliaci´on posibles; decid si
soy capaz de mentir ni siquiera en lo m´as balad´ı. Por favor, recordadme, ya que el destino
no me ha dado vida bastante para ser recordado por mi patria. Muero amigo vuestro, ´E.
Galois”
Esa misma noche, Galois escrib´ıa tambi´en a su amigo Auguste Chevalier:
”He hecho algunos descubrimientos nuevos en an´alisis. El primero concierne a la teor´ıa
de ecuaciones; los otros, a las funciones enteras. En teor´ıa de ecuaciones he investigado
las condiciones de solubilidad de ecuaciones por medio de radicales; con ello he tenido
ocasi´on de profundizar en esta teor´ıa y describir todas las transformaciones posibles en
una ecuaci´on, aun cuando no sea posible resolverla por radicales. Todo ello puede verse
aqu´ı, en tres memorias... Haz petici´on p´ublica a Jacobi o a Gauss para que den su opini´on,
no acerca de la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Conf´ıo en que
despu´es algunos hombres encuentren de provecho organizar todo este embrollo.”
El desesperado estado de ´animo en que se encontraba Galois al escribir estas cartas
estaba plenamente justificado, como tristemente habr´ıan de probar los acontecimientos
inmediatos. Poco despu´es del amanecer de esa misma noche, Galois abandon´o su habitaci´on
de la pensi´on Sieur Faultrier, en Par´ıs, y se enfrent´o en duelo de honor a un activista pol´ıtico
llamado d’Herbinville, a las orillas de un estanque cercano. All´ı Galois recibi´o un balazo en
el abdomen quedando abandonado. M´as tarde un transe´unte lo encontr´o y llev´o al Hˆopital
5
6. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
Cochin, donde muri´o al d´ıa siguiente. Catorce a˜nos despu´es, los manuscritos que dej´o para
Chevalier fueron publicados por el matem´atico franc´es Joseph Liouville, naciendo de esta
forma la rama, excepcionalmente fecunda, de la matem´atica conocida hoy por teor´ıa de
grupos.
Galois naci´o el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, cerca de Par´ıs. Su padre,
Nicholas-Gabriel Galois, era partidario de Napole´on y cabeza del partido liberal en la lo-
calidad, llegando a ser elegido alcalde de la villa. Durante los primeros doce a˜nos de su
vida, ´Evariste fue educado por su madre, Adela¨ıde-Marie Demande Galois, quien propor-
cion´o a su hijo una s´olida formaci´on b´asica en lat´ın y griego. No obstante, es poco veros´ımil
que el joven Galois tuviera mucho contacto con las matem´aticas aparte de las habituales
lecciones de aritm´etica, pues en aquel entonces no se consideraba importante la formaci´on
matem´atica. Tampoco se tiene noticia de que se hayan dado casos de talento matem´atico
especial en su familia.
La educaci´on regular de Galois comenz´o en 1823, cuando ingres´o en el Coll`ege Royal de
Louis-le-Grand, de Par´ıs, escuela preparatoria donde estudiaron entre otros, Robespierre
y Victor Hugo. En el Louis-le-Grand, Galois comenz´o inmediatamente a sensibilizarse
pol´ıticamente; sus simpat´ıas liberales y democr´aticas adquiridas de sus padres estaban en
consonancia con las simpat´ıas de la mayor´ıa de los alumnos. No obstante, durante el primer
a˜no de Galois en el Louis-de-Grand, las relaciones entre el alumnado y el profesor reci´en
nombrado fueron ´asperas y tirantes. Los alumnos sospechaban que el nuevo profesor se
propon´ıa devolver el colegio a los jesuitas. Los alumnos hicieron un plante sin excesiva
trascendencia: se negaron a cantar en la capilla, a recitar en clase y a brindar por Luis
XVIII en un banquete colegial. En represalia, el profesor expuls´o a 40 alumnos sospechosos
de haber encabezado la rebeli´on. Aunque Galois no fue expulsado, la arbitraria acci´on del
profesor contribuy´o sin duda a fomentar los recelos que Galois pudiera sentir hacia la
autoridad.
En sus primeros a˜nos de liceo, Galois gan´o varios premios de griego y lat´ın. Aunque,
durante el tercer a˜no, su trabajo en ret´orica fue considerado insuficiente y tuvo que repetir
curso. Fue despu´es de ese tropez´on cuando Galois recibi´o su primer curso de matem´aticas.
Ten´ıa entonces 15 a˜nos. El curso, impartido por Hippolyte Jean Vernier, despert´o el genio
matem´atico de Galois. Tras engullir a toda velocidad los manuales al uso, fue derecho
hacia las obras maestras de la ´epoca, devorando los ¨El´ements de G´eom´etrie de Adrien
Marie Legendre, emprendi´endola inmediatamente con las memorias originales de Joseph
Louis Lagrange: La resoluci´on de ecuaciones algebraicas, La teor´ıa de funciones anal´ıticas
y Lecciones sobre el c´alculo de funciones. Fue sin duda de Lagrange de qui´en aprendi´o por
vez primera la teor´ıa de ecuaciones, teor´ıa a la que ´el mismo habr´ıa de realizar contribu-
ciones fundamentales a lo largo de los cuatro a˜nos siguientes. El descubrimiento de las
matem´aticas provoc´o un sorprendente cambio en la personalidad de Galois. Empez´o a des-
cuidar las otras materias, atrayendo hacia s´ı la hostilidad de los profesores de humanidades.
Incluso Vernier, aunque sin pretender enfriar la pasi´on matem´atica de Galois, le insisti´o en
la necesidad de trabajar m´as sistem´aticamente. Galois decidi´o en cambio presentarse al
examen de ingreso en la ´Ecole Polytechnique con un a˜no de anticipaci´on y sin el curso de
6
7. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
preparaci´on matem´atica habitual. Careciendo de formaci´on fundamental, fue rechazado.
Galois consider´o su fracaso como una injusticia, y ello endureci´o su rechazo a la autori-
dad. No obstante, continu´o progresando r´apidamente en matem´aticas, matricul´andose en el
curso superior de esta ciencia en el Louis-de-Grand, impartido por el profesor Louis-Paul-
´Emile Richard, quien se percat´o inmediatamente de las dotes de Galois, solicitando que
fuera admitido sin examen previo en la ´Ecole Polytechnique. Aunque su recomendaci´on no
fue atendida, el est´ımulo de Richard produjo en Galois resultados espectaculares.
En 1829, siendo todav´ıa estudiante, Galois logr´o publicar su primer trabajo. Se titulaba
Demostraci´on de un teorema sobre fracciones continuas peri´odicas, y apareci´o en Annales
de math´ematiques pures et appliqu´ees, de Joseph Diaz Gergonne. Este art´ıculo, sin em-
bargo, s´olo fue un peque˜no aporte. Galois hab´ıa ya dirigido su atenci´on hacia la teor´ıa de
ecuaciones, tema que hab´ıa explorado por primera vez en las obras de Lagrange. A sus 17
a˜nos estaba atacando uno de los m´as dif´ıciles problemas de las matem´aticas; un problema
que hab´ıa mantenido en jaque a los matem´aticos durante m´as de un siglo. Lo que Galois
consigui´o fue dar criterios definitivos para determinar si las soluciones de una ecuaci´on
polin´omica podr´an o no calcularse por radicales. Sin embargo, m´as notables quiz´a que los
descubrimientos de Galois en teor´ıa de ecuaciones fuesen los m´etodos que ide´o para estu-
diar el problema. Sus investigaciones abrieron las puertas de una teor´ıa cuyas aplicaciones
desbordan con mucho los l´ımites de la teor´ıa de ecuaciones: la teor´ıa de grupos. Galois
present´o a la Academia de Ciencias Francesa sus primeros art´ıculos sobre lo que llegar´ıa a
ser teor´ıa de grupos. Le faltaban menos de dos meses para examinarse por segunda vez de
las pruebas de acceso a ´Ecole Polytechnique, pero los acontecimientos de su vida habr´ıan
de tomar un desdichado giro.
Apenas unas semanas antes del examen, el padre de ´Evariste puso fin a su vida, as-
fixi´andose en su apartamento de Par´ıs. Las circunstancias en las que se planteaba el examen
de ingreso eran las peores posibles. Adem´as, al parecer, ´Evariste declin´o seguir en su exposi-
ci´on las indicaciones del examinador y fue suspendido por segunda y definitiva vez. Estos
dos desastres hicieron cristalizar su odio por la jerarqu´ıa conservadora, entonces gober-
nante en Francia. Vi´endose obligado a tomar en consideraci´on la menos prestigiosa ´Ecole
Normale, Galois se present´o a los ex´amenes de bachillerato necesario para ser admitido,
en noviembre de 1829. Esta vez fue aprobado en raz´on de una excepcional calificaci´on en
matem´aticas, recibiendo la categor´ıa de universitario aproximadamente al mismo tiempo
que sus trabajos sobre teor´ıa de grupos iban a ser presentados a la Academia de Ciencias.
Sus art´ıculos, sin embargo, nunca llegar´ıan a ver la luz del d´ıa. Cuando sus trabajos fueron
recibidos por la Academia, fueron enviados a Jean Baptiste Joseph Fourier, matem´atico
inventor del hoy llamado an´alisis arm´onico o an´alisis de Fourier, en su calidad de secre-
tario perpetuo de la Academia. Desgraciadamente Fourier muri´o en mayo, y el art´ıculo de
Galois no pudo hallarse entre los efectos de Fourier. M´as tarde, Galois atribuir´ıa su mala
suerte a un malvado intento de la Academia, acusando al jurado de rechazar su trabajo de
antemano, por ser su autor de nombre Galois, y adem´as, tan s´olo un estudiante.
Pocas dudas caben hoy de que la actitud de Galois hacia las autoridades empezaba a
mostrar rasgos paranoides. A pesar de estos retrasos y desenga˜nos, Galois continu´o siendo
7
8. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
matem´atico productivo y empez´o a publicar en el Bulletin des sciences math´ematiques,
astronomiques, physiques et chimiques del Bar´on de F´erussac. Sus art´ıculos prueban clara-
mente que en 1830 hab´ıa ido m´as all´a que ning´un otro matem´atico en la b´usqueda de las
condiciones que determinan la solubilidad de las ecuaciones, si bien no dispon´ıa todav´ıa de
un an´alisis completo. En enero de 1831, hab´ıa llegado a una conclusi´on, que someti´o a la
Academia en una nueva memoria, escrita a petici´on del matem´atico Sime´on Denis Poisson.
Esta memoria es la m´as importante de las obras de Galois. Poisson hizo cuanto pudo para
comprender el manuscrito, pero acab´o recomendando a la Academia que lo rechazase y
animando a Galois a desarrollar y explicitar su exposici´on.
Por la ´epoca en que Galois hab´ıa terminado casi su trabajo en teor´ıa de grupos, los
acontecimientos de su vida hab´ıan cobrado fuerte tinte pol´ıtico.En julio de 1830 la oposici´on
republicana tom´o las calles y oblig´o a exiliarse al rey Carlos X. Mientras los estudiantes
izquierdistas de la ´Ecole Polytechnique tuvieron en la lucha un papel activo, Galois y sus
compa˜neros de la ´Ecole Normale fueron encerrados en la escuela por su director. Indignado,
Galois intent´o sin ´exito escalar los muros: al no conseguirlo no tom´o parte en la breve rev-
oluci´on. Aunque los republicanos consideraron que la abdicaci´on del Borb´on fue una gran
victoria, su triunfo fue ef´ımero. Para frustraci´on de Galois y de otros liberales de ideolog´ıa
af´ın, el trono fue nuevamente ocupado, esta vez por Luis Felipe de Orl´eans. En los meses
inmediatos a la revoluci´on, Galois entr´o en contacto con l´ıderes republicanos, ingres´o en
sociedades republicanas y, veros´ımilmente, intervino en las algaradas y manifestaciones
que por entonces atormentaban Par´ıs. En diciembre de 1830, la ruptura de Galois con la
´Ecole Normale era ya oficial. Galois hab´ıa escrito una carta a su director, donde le llamaba
traidor por su actitud durante la revoluci´on de julio. No sorprende, pues, que lo expulsaran.
Tras su expulsi´on de la ´Ecole Normale se mud´o al piso de su madre en Par´ıs; tan dif´ıcil
resultaba convivir con ´el, que su propia madre le abandon´o. El suceso culminante de la
turbulenta primavera de 1831 ocurri´o durante un banquete republicano done se celebraba
la absoluci´on de 19 oficiales de artiller´ıa que hab´ıan sido acusados de conspirar contra el
gobierno. Galois se puso en pie para proponer un brindis: ”¡Por Luis Felipe!”, dijo, alzando
al mismo tiempo su copa y un pu˜nal. A causa de esta acci´on desafiante fue detenido al d´ıa
siguiente y encarcelado durante m´as de un mes en la prisi´on de Sainte-P´elagie. En el juicio,
la defensa de Galois sostuvo que el brindis hab´ıa sido: ”¡Por Luis Felipe, si traiciona!”pero
la frase ”si traiciona”hab´ıa quedado ahogada por el clamor de los comensales. No se sabe
si los jurados creyeron este alegato o si se conmovieron por la juventud de Galois, que
contaba entonces con 19 a˜nos; lo cierto es que le absolvieron en pocos minutos. Sin em-
bargo, en el d´ıa de la Bastilla, el 14 de julio de 1831, menos de un mes despu´es de su
absoluci´on, Galois fue nuevamente detenido, esta vez por vestir ilegalmente el uniforme
de la Guardia de Artiller´ıa. Considerado amenaza para el trono, este cuerpo hab´ıa sido
disuelto; el gesto de Galois fue, por consiguiente, un acto de desaf´ıo. Esta vez durmi´o ocho
meses en Sainte-P´elagie. La permanencia en prisi´on tuvo sobre Galois efectos devastadores,
quien pasaba del m´as profundo desaliento a la ira ciega. Con ocasi´on de la muerte de un
tiro de un compa˜nero de prisi´on, parece que Galois acus´o al superintendente de la c´arcel
de haber ama˜nado el incidente. Galois fue entonces encerrado en la celda de castigo, quiz´as
8
9. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
a consecuencia de la acusaci´on. Pese a todas estas calamidades, quiz´as el peor golpe para
Galois fuera ver su trabajo de 1831 rechazado por la Academia. A mediados de marzo
de 1832 se le traslad´o de Sainte-P´elagie a la casa de salud Sieur Faultrier, a causa de la
epidemia de c´olera que sufri´o Par´ıs. Al parecer fue all´ı donde conoci´o a una mujer con la
que mantuvo una relaci´on que tuvo que ser de poca duraci´on. Dos cartas fragmentarias le
fueron escritas a Galois en las semanas anteriores al duelo, cartas que hacen pensar en una
disputa de car´acter personal. La primera carta comienza:
”Por favor, rompamos nuestras relaciones. No tengo ´animo para proseguir una corre-
spondencia de esta naturaleza, aunque me esforzar´e en reunir el suficiente para conversar
contigo como lo hac´ıa antes de que nada sucediera...”
La segunda carta es de contenido semejante, y la primera de ellas lleva la firma
”St´ephanie D.”. Al parecer, era hija de un m´edico residente en Sieur Faultrier. Por tanto,
la ”infame coqueta.a quien Galois culpa de sus desgracias en una carta escrita la noche
anterior al duelo era seguramente esta mujer, cuyo nombre aparece con frecuencia en los
m´argenes de los papeles de Galois: ”Muero v´ıctima de una coqueta infame y de sus dos en-
candilados.” Si embargo, en el duelo en el que Galois perdi´o la vida, el adversario era como
´el, un ardiente republicano. M´as a´un, al parecer, era uno de los 19 oficiales de la Guardia
de Artiller´ıa cuya absoluci´on fue ocasi´on del desafiante brindis que Galois ofreci´o al rey.
El duelo fue entre amigos y se desarroll´o como una especie de ruleta rusa estando cargada
solamente una de las pistolas.
4. La teor´ıa de Galois
La idea genial bajo la teor´ıa de Galois es que se pueden representar ciertos conjuntos
asociados a la soluci´on de ecuaciones algebraicas mediante grupos de simet´ıas.
4.1. Ecuaci´on general de segundo grado
Partimos de la expresi´on x2
+ bx + c = 0.
Considerando sus ra´ıces r1 y r2 como variables arbitrarias, los coeficientes b y c vienen
dados por funciones polin´omicas sim´etricas de ellas:
x2
+ bx + c = (x − r1)(x − r2) ⇒b = b(r1, r2) = −r1 − r2
c = c(r1, r2) = r1 · r2
La f´ormula para resolver la ecuaci´on (hallar r1 y r2 a partir de b y c) es −b±
√
b2−4c
2
9
10. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
donde el radical obra el milagro de pasar una funci´on sim´etrica en r1 y r2, concretamente
b2
− 4c = (r1 + r2)2
− 4r1r2 a dos funciones no sim´etricas
√
b2 − 4c = ± (r1 − r2)
consideremos el conjunto K0 de todas las expresiones que se pueden obtener a partir
de b y c haciendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, por ejemplo b
(c2−b)
+ b2
∈ K0
y K1 = K0
√
b2 − 4c definido de igual manera que K0 pero permitiendo tambi´en operar
con
√
b2 − 4c.
Se tiene b, c ∈ K0 y r1, r2 ∈ K1, de forma que el paso de K0 a K1 representa resolver
la ecuaci´on. Como las funciones de K0 son invariantes al permutar sus dos variables (r1 y
r2), diremos que su grupo de simetr´ıas es S2, mientras que las funciones de K1 no son en
general sim´etricas de ning´un modo y por tanto le asignaremos el grupo trivial de simetr´ıas
{id}.
K0
√
K1 = K0
√
b2 − 4c
S2 = G0 G1 = {id}
No hay duda de la normalidad porque G1 tiene ´ındice 2 respecto de G0, es decir
|S2|
|{id}|
= 2.
4.2. Ecuaci´on general de tercer grado
Sea x3
+ bx2
+ cx + d = 0, de nuevo b, c y d se pueden considerar como funciones
sim´etricas en las variables r1, r2 y r3 que representan las ra´ıces:
x3
+ bx2
+ cx + d = (x − r1) (x − r2) (x − r3) =⇒ b = b (r1, r2, r3) = −r1 − r2 − r3
c = c (r1, r2, r3) = r1r2 + r1r3 + r2r3
d = d (r1, r2, r3) = −r1r2r3
La f´ormula (ver ”Calculus”, M. Spivak, ed. Reverte 1990, p´ag. 642) para resolver la
ecuaci´on es en este caso bastante m´as complicada y se puede escribir como
−
b
3
+
t
3
+
b2
− 3c
3t
, con t =
3
√
E
10
11. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
donde
E =
9bc − 2b3
− 27d +
√
D
2
y D = 9bc − 2b3
− 27d
2
+ 4 3c − b2 3
.
En conclusi´on, la resoluci´on de la ecuaci´on pasa por hallar primero una ra´ız de D y
despu´es otra c´ubica (trivaluada) de E. Sustituyendo b, c y d en t´erminos de las ra´ıces
vemos que:
D = −27 (r1 − r2)2
(r1 − r3)2
(r2 − r3)2
y E = r1 + ζr2 + ζ2
r3
3
donde ζ es una ra´ız c´ubica no trivial de la unidad, esto es,
ζ =
−1 ± i
√
3
2
De nuevo se observa la p´erdida de simetr´ıas por medio de los radicales: D es una funci´on
sim´etrica en r1, r2 y r3, mientras que
√
D no lo es, aunque perduran algunas simetr´ıas por
ejemplo
√
D es invariante al cambiar (r1, r2, r3) −→ (r2, r3, r1). Tambi´en E goza de las
mismas simetr´ıas que
√
D pero al extraer la ra´ız c´ubica se pierden todas ellas.
Utilizando la misma notaci´on que para la ecuaci´on de segundo grado, el esquema re-
sultante es
K0
√
K1 = K0
√
D 3
√
K2 = K1
3
√
E
S3 = G0 G1 = A3 G2 = {id}
donde:
A3 son las permutaciones pares, generadas por (r1, r2, r3) −→ (r2, r3, r1). Si llamamos
a esta permutaci´on α entonces se tiene A3 = α = {id, α, α2
}.
S3 es el grupo sim´etrico de tres elementos, esto es,S3 = {id, α, α2
, β, αβ, α2
β},donde
α es la permutaci´on anterior y β es una transposici´on.
La normalidad de A3 en S3 se justifica f´acilmente porque el ´ındice es |S3|
|A3|
= 2. Es evi-
dente que {id} tambi´en es un subgrupo normal de A3 por la propia definici´on de normalidad
(H G ⇔ xHx−1
⊂ H, ∀x ∈ G).
11
12. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
4.3. Ecuaci´on general de cuarto grado
Para resolver la ecuaci´on de cuarto grado la f´ormula es much´ısimo m´as compleja. En
una de las maneras de escribirla hay que hacer:
F −
√
F − 3
√
G −
√
H −
√
I
al expresar todo en t´erminos de las variables r1, r2, r3 y r4, que representan las ra´ıces,
el fen´omeno de p´erdida de simetr´ıas se repite, desde F que las tiene todas, hasta
√
I que
no tiene ninguna.
En este caso se tiene
K0
√
K1 = K0
√
F 3
√
K2 = K1
3
√
G
√
K3 = K2
√
H
√
K4 = K3
√
I
G0 G1 G2 G3 G4 = {id}
siendo:
G0 = S4 el grupo sim´etrico de 4 elementos.
G1 = A4 el subgrupo de las permutaciones pares, es decir, el generado por σ =
(r1, r2) (r3, r4) , τ = (r1, r3) (r2, r4) y λ = (r1, r2, r3).
G2 = σ, τ = {id, σ, τ, στ} donde σ y τ son las permutaciones descritas anterior-
mente. En particular G2
∼= Z2 ×Z2, puesto que tienen el mismo n´umero de elementos,
todos ellos de orden 2 salvo la identidad (y por tanto existe un isomorfismo).
G3 = σ = {id, σ} ∼= Z2.
A4 es subgrupo normal de S4 porque tiene ´ındice |S4|
|A4|
= 24
12
= 2.
Para comprobar que G2 es subgrupo normal de A4 basta aplicar la definici´on a λ,
porque que los otros elementos ya est´an en G2:
λ−1
σλ = τ ⊂ G2
λ−1
τλ = στ ⊂ G2
⇒ A4 G2
El resto de los subgrupos tambi´en son normales porque tienen ´ındice 2.
De esta forma reflejamos el m´etodo para resolver las ecuaciones de grado n = 2, 3, 4 en
una ”cadena ” de subgrupos que empiezan en Sn (grupo de Galois) y acaba en {id}. Adem´as
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13. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
-y aqu´ı est´a la clave de las aportaciones de Galois- siempre que empleemos radicales para
romper simetr´ıas cada subgrupo debe ser normal en el anterior (Gi Gi+1), para cualquier
ecuaci´on algebraica particular, la estructura interna de K0 est´a fielmente reflejada en la
estructura del grupo de Galois, lo cu´al es realmente destacable porque permite pasar de
estudiar un conjunto infinito y de alguna forma continuo a otro finito discreto ( ).
5. Ecuaci´on general de quinto grado: la gran inc´ogni-
ta.
Aplicando el m´etodo anterior nos damos cuenta de que no existe ninguna cadena de sub-
grupos desde S5 a {id} siendo cada uno subgrupo normal del anterior. As´ı, no ser´a posible
escribir una expresi´on del tipo
S5
√
A5 . . . {id}
porque A5 no tiene subgrupos normales propios (de hecho no los tiene ning´un An, n ≥
5). La cadena se corta y nos faltan por hacer los radicales 5
√
, 3
√
,
√
,
√
.
Por tanto no existe una f´ormula para resolver la ecuaci´on de quinto grado usando s´olo
sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales (teorema de Abel). Lo mismo se
aplica a la ecuaci´on general de grado n > 5. Evidentemente hay casos particulares, como
por ejemplo x6
− 7 = 0 que s´ı puede resolverse por radicales.
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14. Evariste Galois Historia de las matem´aticas
Referencias
[1] J.R. Dorronsoro, E. Hern´andez N´umeros, grupos y anillos, 1996 Addison-Wesley
Iberoamericana-UAM
[2] H.M. Edwards Galois theory, 1998 Ed. Springer
[3] F. Corbal´an Galois. Revoluci´on y matem´aticas, 2000 Ed. Nivola
[4] Boyer, Carl B. Historia de la matem´atica, Alianza Editorial
[5] http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/algebraIIn.html
[6] http://www.mat.usach.cl/histmat/html/galo.html
[7] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/05-2-b-galois.html
[8] http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Galois3.asp
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