El documento discute cómo los problemas matemáticos han impulsado el desarrollo de las matemáticas a lo largo de la historia. Identifica cuatro formas en que los problemas han contribuido: 1) Algunos problemas estuvieron en el origen de las matemáticas. 2) La resolución de problemas ha motivado nuevas ramas. 3) Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas. 4) Algunos problemas han abierto crisis en los fundamentos. También propone cuatro periodos en el desarrollo de las matemáticas vinculados a

1. Universidade Franciscana - UFN
Santa Maria – RS
Noviembre 12 de 2020
Dr. Juan Eduardo Nápoles Valdes
"Los problemas
matemáticos, el hilo de
Ariadna del desarrollo
matemático"

2. "¿Podrías decirme, por favor, qué camino
debo tomar desde aquí?"
"Eso depende en gran medida de a dónde
quieras llegar", dijo el gato.
"No me importa mucho dónde" - dijo Alicia.
"Entonces no importa en qué dirección
vayas", dijo el gato.
"Siempre que llegue a algún lugar", añadió
Alicia como explicación.
"Oh, seguro que harás eso", dijo el gato, "si
sólo caminas lo suficiente".
Capítulo 6, Cerdo y pimienta
ALICIA EN EL PAÍS DE LAS MARAVILLAS

3. 1. Sublimación de la estructura teórica.
2. Universalización de las aplicaciones.

4. t t
t

5. Periodización más utilizada en
la historiografía de la
Matemática
 Surgimiento de la Matemática (hasta el siglo
VI a.C.)
 Matemática elemental (desde el siglo VI
a.C. hasta el siglo XVI).
 Matemática de las magnitudes variables
(desde el siglo XVII hasta mediados del
siglo XIX).
 Matemática contemporánea (a partir de
1870 aproximadamente).

6. Periodización histórica,
propuesta en este trabajo:
 Problemas de conteo y reparto.
 Problemas con magnitudes
constantes.
 Problemas con magnitudes variables.
 Problemas con objetos abstractos.

7. La Historia de las Matemáticas está
vinculada a la resolución de ciertos
problemas. Puede hacerse esta
afirmación desde cuatro puntos de
vista:
1°. Algunos problemas están en el origen del
desarrollo de las Matemáticas.
2°. La resolución de ciertos problemas ha
motivado la aparición de nuevas ramas de
las Matemáticas.
3°. Otros problemas han provocado rupturas
epistemológicas.
4°. Hay problemas que han abierto crisis en
los fundamentos de las Matemáticas.

8.  Problemas
vinculados a la vida
socio-económica.
 Los Tres Problemas
Clásicos de la
Matemática Griega
PROBLEMAS EN EL ORIGEN DEL
DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS

10. Los Tres Problemas
Clásicos
1. La cuadratura del círculo
2. La duplicación del cubo.
3. Trisección de un ángulo.
La respuesta de éstos, tuvo que esperar más
de 2200 años para demostrar que eran
insolubles utilizando únicamente regla y
compás.

11. PROBLEMAS MOTIVADORES DE LA
APARICIÓN DE NUEVAS RAMAS DE
LAS MATEMÁTICAS
 Los 7 Puentes de Königsberg.
 El problema de estimación del volumen de
los toneles (problema del aforo).
 La construcción de tangentes y la
determinación del área.
 Los juegos de azar.
 Los 23 Problemas de Hilbert en 1900.
 El Teorema de Fermat.

16. PROBLEMAS QUE HAN PROVOCADO
RUPTURAS EPISTEMOLÓGICAS
 La inversión (1827).
i) Hallar la solución para la ecuación
general de 5º grado.
ii) Las Geometrías No-euclídeas.

17. PROBLEMAS QUE HAN ABIERTO
CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS DE
LAS MATEMÁTICAS
 Los inconmensurables.
 La suma de series infinitas.
 El Problema del V Postulado.
 El CALCULUS.
 La Teoría de Conjuntos Infinitos.
 El Teorema de los 4 Colores.

18. "Todas las cosas accesibles al
conocimiento poseen un número, puesto
que sin el no podemos comprender ni
conocer nada"

19. Zenón de Elea
(490-430 a.C.)

20. "En este mundo caprichoso nada es más
caprichoso que la fama póstuma. Una de las más
notables víctimas de la falta de juicio de la
posteridad es Zenón, el eleático. Habiendo
inventado cuatro argumentos, todos
inmensamente sutiles y profundos, la tosquedad
de filósofos posteriores lo declaró a él un mero
prestidigitador ingenioso y todos y cada uno de
sus argumentos sofismas. Después de dos mil
años de continuas refutaciones, esos sofismas
fueron restablecidos y constituyeron la base de
un renacimiento matemático"

21. 1.El tiempo como suma de instantes.
2.Suma de puntos.
3.Movimiento como suma de pasajes
de un lugar a otro.

22. I. Aportó a la matemática recursos de
orden lógico, metodológico y hasta
técnico.
II. Su proceso dicotómico se usa
como recurso de demostración y el
método de reducción al absurdo, es
una consecuencia del principio de
contradicción, eje de sus raciocinios.
III. Desecha la concepción monádica
de los pitagóricos.

23. 1. Argumento dicotómico

24. 2. Paradoja de Aquiles.

26. A
t0=0 t1 t2 t3
T
x0=0 x1 x2 x3 x4

27. tn = xn/v, (1)
tn = (xn+1- x1 )av; (2)
xn+1 = L +axn. (3)
Lema 1. En cualquier momento tk la ventaja que la tortuga
conserva sobre Aquiles está dada por la fórmula:
xk+1 - xk = ak L. (4)

28. Lema 2. La sucesión {xn} es fundamental (o de Cauchy).
Teorema. Aquiles alcanza la tortuga en el instante
t=L/(1-a)v y el lugar dado por x=L/(1-a).

29. Euclides de Alejandria
(365-300 a.C.)

33. [Postúlese] Y que si una recta al incidir
sobre dos rectas hace los ángulos
internos del mismo lado menores que
dos rectos, las dos rectas prolongadas
indefinidamente se encontrarán en el
lado en el que están los [ángulos]
menores que dos rectos.

34. Algunas formulaciones
equivalentes del V Postulado
1. La suma de [las medidas de] los ángulos de cualquier
triángulo es igual a [la sume de las medidas de] dos
ángulos rectos. (Elementos I 32) Proposición ya conocida
en tiempos de Aristóteles.
2. Las rectas paralelas son equidistantes (atribuido a
Posidonio).
3. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita
(Proclo).
4. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una
paralela (Tolomeo). Ésta es, sin duda, la formulación más
conocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente
encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto
postulado de Euclides.

35. 1. Por un punto exterior a una recta sólo cabe trazar una
paralela (Tolomeo). Ésta es, sin duda, la formulación más
conocida del postulado. Tanto es así que es muy frecuente
encontrar libros en los que se dice que es éste el quinto
postulado de Euclides.
2. Sobre una recta finita siempre se puede construir un
triángulo semejante a un triángulo dado (Wallis, 1663).
3. Existe un par de triángulos no congruentes, pero
semejantes (Saccheri, 1733).
4. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el
cuarto ángulo también es recto (Clairaut, 1741).
5. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que
cualquier área dada (Gauss, 1799).
6. No hay patrón métrico absoluto de longitud (Gauss, 1816).
7. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible
construir un círculo que pase por todos ellos (Legendre,
1824).

36. Nikolai Ivanovich
Lobachevsky
(1792-1856)

37. “Un punto dado, no situado en una
recta dada, es el extremo de
exactamente dos semirrectas no
alineadas, que no cortan a la recta,
pero que todas las semirrectas
situadas entre ellas cortan a la recta”.

39. B
.
A C

41. La Matriz del Desarrollo
Matemático
“Los problemas constituyen la fuerza motriz
de las Matemáticas”

42. Algunos
problemas
están en el
origen del
desarrollo de
las
Matemáticas.
La resolución
de ciertos
problemas ha
motivado la
aparición de
nuevas ramas
de las
Matemáticas.
Otros
problemas
han
provocado
rupturas
epistemo-
lógicas.
Hay problemas
que han
abierto crisis
en los
fundamentos
de las
Matemáticas.
Problemas
de conteo y
reparto.
Problemas
con
magnitudes
constantes.
Problemas
con
magnitudes
variables.
Problemas
con objetos
abstractos.

43. De esta manera, analizar la significación
de un problema matemático, conlleva en
primer lugar, analizar el momento histórico
en el que surge, y en segundo lugar, qué
provocó en la Matemática su resolución.

44. MUITO OBRIGADO¡¡¡¡¡