Este documento describe métodos para generar números aleatorios, incluidos el método del cuadrado medio y el método de congruencia lineal. También explica cómo realizar pruebas de uniformidad como la prueba de Kolmogorov-Smirnov para verificar si una secuencia de números aleatorios se ajusta a una distribución uniforme. El objetivo es que los alumnos aprendan a generar números aleatorios y verificar su uniformidad utilizando estas técnicas.

1. Cabrera Hernández Elizabeth Ramírez Bustos Fabián
Logro: Al finalizar la sesión el alumnos genera números aleatorios utilizando métodos de generación numérico
GENERACION DE NUMEROS
ALEATORIOS

2. NUMEROS ALEATORIOS
 Los números random son un elemento básico en
la simulación de la mayoría de los sistemas
discretos.
 Cada número random Ri es una muestra
independiente de una distribución uniforme y
continua en el intervalo (0,1).

3. NÚMEROS ALEATORIOS
* La probabilidad de observar un valor en un
particular intervalo es independiente del valor
previo observado.
* Todo punto en el rango tiene igual probabilidad
de ser elegido.
* Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-
intervalos de igual longitud, el número esperado
de observaciones en cada intervalo es N/n. (N
número de observaciones totales).

4. El objetivo de cualquier esquema de
generación (generador), es producir una
secuencia de números entre 0 y 1 que simule
las propiedades ideales de distribución
uniforme y de independencia.
GENERADOR DE NÚMEROS
ALEATORIOS

5. NÚMEROS PSEUDO-ALEATORIOS
•Los números aleatorios son calculados a partir de
una semilla (seed) y una fórmula.
•El problema es que si el método es conocido,
entonces la secuencia de números random puede ser
replicada.
•En la práctica ninguna función produce datos
aleatorios verdaderos -- las funciones producen
números pseudo-aleatorios.

6. La mayoría de los métodos (generadores) comienzan
con un número inicial (semilla), a este número se le
aplica un determinado procedimiento y así se
encuentra el primer número random.
Usando este número como entrada, el procedimiento es
repetido para lograr un próximo número random.
Y así siguiendo.
TÉCNICAS P
ARA GENERAR
NÚMEROS ALEATORIOS

7. Método Del Cuadrado Medio: comienza con un número inicial
(semilla). Este número es elevado al cuadrado. Se escogen los
dígitos del medio de este nuevo número (según los dígitos que se
deseen) y se colocan después del punto decimal. Este número
conforma el primer número random.
Ejemplo: X0 = 5497
X0
2 = (5497)2 = 30,217,009 ===> X1 = 2170
R1 = 0.2170
X1
2 = (2170)2 = 04,708,900 ===> X2 = 7089
R2 = 0.7089
X2
2 = (7089)2 = 50,253,921 ===> X3 = 2539
TÉCNICAS P
ARA GENERAR
NÚMEROS ALEATORIOS

8. Método De Congruencia Lineal: produce una secuencia de
enteros X1, X2,... entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente
relación recursiva:
Xi+1= (a * Xi + c) mod m, i=0,1,2,...
X0 es llamado semilla.
a es llamado el multiplicador constante.
c es el incremento.
m es el módulo.
El número aleatorio se encuentra de la siguiente manera:
R = X / m
TÉCNICAS PARA GENERAR
NÚMEROS ALEATORIOS

9. Ejemplo: Utilice el método de Congruencia Lineal para generar
números aleatorios con las siguiente constantes:
X0 = 27 , a = 17, c = 43, m = 100
La secuencia de Xi y subsecuentes Ri serían:
X0 = 27
X1 = (17 * 27 + 43) mod 100 = 502 mod 100 = 2
R1 = 2/100 = 0.02
X2 = (17 * 2 + 43) mod 100 = 77 mod 100 = 77
R2 = 77/100 = 0.77
La selección de los parámetros del generador afecta
drásticamente las propiedades ideales y la longitud del ciclo.
TÉCNICAS P
ARA GENERAR
NÚMEROS ALEATORIOS

10. TEST PARA EL CHEQUEO DE
UNIFORMIDAD
Test de Kolmogorov-Smirnov: compara la
distribución de un conjunto de números
generados con una distribución uniforme.
Este test compara:
la función de Probabilidad Acumulada continua
F(x) de una Distribución Uniforme, con
la función de Probabilidad Acumulada empírica
SN(x), de una muestra de N observaciones.

11. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Por definición, la Función de Probabilidad Acumulada
(teórica) uniforme entre 0 y 1 tiene:
* F(x) = x, 0<=x<=1
Mientras que una Función de Probabilidad Acumulada
Empírica se encuentra:
* SN(x) = (cantidad de n.r. generados <=x ) /
N
Este test se basa en la mayor desviación absoluta entre F(x)
y SN(x) sobre todo el rango de variable random.
Esto es: D = max|F(x) - SN(x)|
La distribución de D está tabulada como una función de N.

12. Ejercitación de Distribución Empírica (SN(x))
Si no se conoce la probabilidad de un fenómeno se debe trabajar con las
distribuciones empíricas ( basadas en frecuencias).
Ejemplo: Que distribución tiene la siguiente secuencia de números?:
3-4-5-3-4-5-3-6-4-3
3 4 4/10=0.4 4/10=0.4
4 3 3/10=0.3 7/10=0.7
5 2 2/10=0.2 9/10=0.9
6 1 1/10=0.1 10/10=1
valor cantidad frel. frelAcum

13. El test procede de la siguiente manera:
1- Ordena los datos de menor a mayor:
R(1)<=R(2)<=... <= R(N)
(R(i) denota la observación más pequeña.)
2- Computa:
D+ = max { i/N - R(i)}, 1<=i<=N
D- = max { R(i)- (i-1)/N}, 1<=i<=N
3- Computa D = max (D+,D-).

14. El test procede de la siguiente manera (continuación):
4- Determina el valor crítico, D para el nivel de significancia alfa y
tamaño de muestra N, (estos valores están tabulados).
5- Si la muestra estadística diferencia ha D es mas grande que el valor
crítico, D, la hipótesis nula es rechazada.
Si D <= D concluye que ninguna diferencia
significativa ha sido detectada entre la verdadera distribución de {R1,R2
..., RN} y la distribución uniforme.

15. Ejemplo Para Ejecutar Test De Uniformidad
(Kolmogorov - Smirnov)
Suponer que se generaron cinco números random y que
se desea ejecutar el test de K.S. para un nivel de
significancia  = 0.05
Orden cronológico:
Orden numérico creciente:
R1 R2 R3 R3 R5
0.03 0.58 0.87 0.32 0.95
R(1) R(2) R(3) R(3) R(5)
0.03 0.32 0.58 0.87 0.95

16. 0
D.Teórica
F(x) = R(i)
0.03 0.32 0.58 0.87 0.95
D.Empírica
SN(x)= i/N
0.2 0.4 0.6 0.8 1
i/N – R(i)
(D+ :dif. sup.)
0.17 0.08 0.02 0.05
R(i) - (i-1)/N
(D- :dif. inf.)
0.03 0.12 0.18 0.27 0.15
Evaluación:
Ejemplo (continuación)
Continuar este ejemplo.....

17. Ejemplo (continuación)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.03 0.32 0.58