El documento describe varios métodos de derivación e integración numérica como las fórmulas de diferencias finitas, el método del trapecio, la regla de Simpson y la extrapolación de Richardson. También cubre técnicas como la interpolación polinómica, las fórmulas de Newton-Cotes y el método de integración de Romberg.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE- RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
Análisis Numérico
Jose J. Chavez
20.942.665

2. Diferenciación e Integración Numérica
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Consideramos una función f(x) de la cual se conoce un conjunto discreto de
valores (x0, f0), (x1,f1),…,(xn,fn). Donde calcularemos la derivada de la función en un
punto “x” que en principio no tiene coincidencia con alguno de los que figuran en los
datos.
Estimamos la derivada utilizando formulas obtenidas mediante la
aproximación de Taylor, denominadas “Formulas de diferencias finitas”.
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una
aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y
propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h>0) serán:
Diferencias hacia adelante

3. La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables
con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de
ambas entregas la mejor aproximación numérica al problema dado
Diferencias centrales.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Método del trapecio, método de Simpson 1/3 y 3/8
La regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para
calcular aproximadamente el valor de la integral definida.
La funcion f(x) aproximada por la funcion lineal ∫_a^bf(x)dx
La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la funcion
lineal que pasa a traves de los puntos (a,f(a))y (b,j(b)). La integral de esta es igual a
∫_a^b 〖 f(x)dx=(b-a)(f(a)+f(b))/2 〗 y donde el termino error corresponde a -((b-
a)^3)/12 f^2 (ε) Siendo ε un numero perteneciente al intervalo [a,b]
La regla del trapecio Compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar
una integral definida utilizando n trapecios. En la formulacion de este metodo se
supone que f es continua y el eje x, desde x=a hasta x=b. primero se divide el
intervalo [a,b] en nsubintervalos,cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n.
Despues de realizar todo el proceso matematico se llega ala siguiente formula:

4. Interpolación polinómica
En análisis numérico, la interpolación polinómica (o polinomial) es una técnica de
interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto
número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un
polinomio que pase por todos los puntos.
Extrapolación de Richardson.
El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-
1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente
convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos
numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo
numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es
especialmente utilizado para definir unmétodo de integración: el método deRomberg.
Presentacion del principio:
Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:
Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:
Esta aproximación está lejos del valor real, por tanto para hacer un análisis del error,
expandimos en forma de serie de Taylor:
Substrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:

5. Análogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia
hacia atrás o cambiando los valores de h; de esta forma se obtiene una expresión generalizada llamada
extrapolación de Richardson:
Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con orden. De tal forma que:
Donde:

6. Fórmulas de integración de Newton-Cotes
En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y
Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las
cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la
integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será elresultado.
Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente
separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos
como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.
Regla del trapecio
La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de
un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se
evaluara la función.

7. Integración de Romberg
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos
elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de
Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado.
Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo,
aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque
es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la
cuadratura gaussiana o la cuadratura deClenshaw–Curtis son más adecuados.
Metodo