Geomecanica Zuly Otros esfuerzos

Zuly Calderón Carrillo
OTROS TIPOS DE
ESFUERZOS

• Esfuerzo efectivo
• Esfuerzos principales
• Esfuerzos invariantes
• Esfuerzo promedio
• Esfuerzos deviatorios
• Esfuerzo hidrostático
OTROS ESFUERZOS
Zuly Calderón Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO

Las rocas son materiales porosos compuestos de una
matriz de roca y de fluidos.
ESFUERZO EFECTIVO
http://www.miliarium.com/Proyectos/EstudiosHidrogeologicos/Memoria/Parametro
s_Hidrogeologicos/Porosidad_32.jpg

Esfuerzo de sobrecarga
ESFUERZO EFECTIVO
AADNOY y LOOYEH, R. Petroleum rock mechanics:
drilling operations and well design, 97p.
Ley de acción y reacción
Presión de poro
Matriz de la roca

http://geopetroleo.com/imagesnew2/0/0/0/1/1/1/7/8/6/0/geopresiones.png
P
+
= ´


Karl Terzaghi (1923)
ESFUERZO EFECTIVO
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Terzaghi.JPG/220px-
Terzaghi.JPG
Padre mecánica de
suelos y Ingeniería geotécnica

Matemáticamente - ecuación empírica:
: esfuerzo de sobrecarga, normal total o esfuerzo total
´: esfuerzo efectivo, esfuerzo intergranular, presión
grano a grano
P: es la presión de poro, presión del fluido o conocida
también como esfuerzo neutral.
ESFUERZO EFECTIVO
P
+
= ´



El término de esfuerzo efectivo (´) se usa para indicar
que la presión del fluido o presión de poro ha sido
tenida en cuenta:
ESFUERZO EFECTIVO
P
−
= 
´
El esfuerzo efectivo normalmente se denota
como (´), para diferenciarlo del esfuerzo total ()

PRESIÓN DE PORO
http://geopetroleo.com/imagesnew2/0/0/0/1/1/1/7/8/6/0/geopresiones.png
P
+
= ´


http://ars.els-cdn.com/content/image/1-s2.0-S0012825211000821-gr1.jpg

PRESIÓN DE PORO
Gradientes de presión: (0.433 – 0.465 psi/ft)
Área
Gradiente de
presión normal
(psi/ft)
Piedemonte llanero
colombiano
0.449
Mar del Norte 0.452
Golfo de México 0.465
Oeste de África 0.442
Montañas Rocosas 0.436

ESFUERZOS
PRINCIPALES

Si el plano va cambiando de posición, varían los esfuerzos
,
LOS ESFUERZOS PRINCIPALES
σx
σy
yx
xy
β
β
Y
plano
Y’
x’y’
x’
X’
X
a
b
o
X
Y
xy
xx
yy
xx
yy
yx
xy
yx
Componentes del esfuerzo
en dos dimensiones
Esfuerzos actuando en un
plano inclinado un ángulo

Transformación de esfuerzos
(Nail Nagel)
El tensor esfuerzo puede ser
manipulado (transformado)
para evaluar su magnitud y
efectos en diferentes
orientaciones
(Nail Nagel)
Para evaluar el
esfuerzo sobre
un plano:
* Fractura o
* Pared del
pozo
Se deben
calcular los
esfuerzos
normal (es) y
de cizalla
actuando
sobre el plano

✓ Esfuerzo principal máximo (1)
✓ Esfuerzo principal intermedio (2)
✓ Esfuerzo principal mínimo (3)
Esfuerzos Principales:
• Orientación donde los
esfuerzos de corte son cero
• Planos principales
• Son ortogonales
q
2
2
)
( 3
1 
 −
=
R
α





 +
=
2
3
1 

a
P (x’, x’y’)
r
(a,0)
b
0
A = 3
B = 1
ma
x


β
β
Y’
x’y’

x’
X’
a
b
o

En aplicaciones de ingeniería el mayor interés esta en
determinar los máximos esfuerzos normal y de corte con
el fin de determinar condiciones seguras vs. condiciones
de falla.
 










=










=
3
2
1
0
0
0
0
0
0













zz
yz
xz
yz
yy
xy
xz
xy
xx
  0
=










−
−
−
=













z
yz
xz
yz
y
xy
xz
xy
x
Ecuaciones lineales
homogéneas
Tomando el
determinante

• Para obtener los esfuerzos principales, se debe
expandir el determinante, ecuación cúbica – tres
raíces = tres esfuerzos principales 1, 2, 3
0
)
2
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
3
=
+
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
zx
yz
xy
xy
z
zx
y
yz
x
z
y
x
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
z
y
x



























0
3
2
2
1
3
=
−
+
− I
I
I 


z
y
x
I 

 +
+
=
1
2
2
2
2 zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
I 







 −
−
−
+
+
=
zx
yz
xy
xy
z
zx
y
yz
x
z
y
x
I 










 2
2
2
2
3 +
−
−
−
=
“Invariantes” no varían independientemente de
la orientación del sistema de coordenadas
3
2
1, I
y
I
I

DETERMINANTE DE TRES VECTORES
ESPACIO EUCLÍDEO
El determinante lleva el nombre de producto mixto.










=
'
'
'
'
'
'
'
'
'
)
'
'
,
'
,
(
det
z
z
z
y
y
y
x
x
x
x
x
x
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

ESFUERZOS
INVARIANTES

Aunque los elementos del tensor de esfuerzos pueden
variar según el sistema de coordenadas seleccionado,
los vectores propios del tensor de esfuerzos, siguen
siendo los mismos y esta es la razón por la cual son
llamados esfuerzos invariantes
ESFUERZOS INVARIANTES
xx
zz
yy
xy
xz
zx
yz
yx
zy
y
x
z
rq
rz
rr
qz
rq
qq
qz
rz
zz
 










=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx











Transformación de esfuerzos
(Nail Nagel)
El tensor esfuerzo puede ser
manipulado (transformado)
para evaluar su magnitud y
efectos en diferentes
orientaciones

3
2
1, I
y
I
I
z
y
x
I 

 +
+
=
1
2
2
2
2 zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
I 







 −
−
−
+
+
=
zx
yz
xy
xy
z
zx
y
yz
x
z
y
x
I 










 2
2
2
2
3 +
−
−
−
=
Primer EI
Segundo EI
Tercer EI

En términos de x’, y’, z’
En términos de esfuerzos principales
3
2
1, I
y
I
I
z
y
x
I '
'
'
1 

 +
+
= Similar para 3
2 I
y
I
3
2
1
1 

 +
+
=
I
1
3
3
2
2
1
2 




 +
+
=
I
3
2
1
3 


=
I

ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE
COORDENADAS X´, Y´







 Cos
Sen
Sen
Cos XY
Y
X
X
2
2
2
' +
+
=







 Sen
Cos
Cos
Sen XY
Y
X
Y
2
2
2
' −
+
=
( )









 2
2
'
' Sen
Cos
Cos
Sen
Cos
Sen XY
Y
X
Y
X
−
+
+
−
=


























−
−
=














XY
Y
X
Y
X
y
X
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos
Sen
Sen
Sen
Cos















2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
'
'
'
'


 Cos
Sen
Sen 2
2 = 

 2
2
2 Sen
Cos
Cos −
=

Dado x = 40 Mpa , y = 30 Mpa y xy = 15 Mpa,
Calcule x’ y x’y’ , para igual a 300
EJEMPLO 2-2
X
Y
40 40
30
30
15
15
15
15
Y
X
= 300
β
X’
Y’


EJEMPLO 2-2
Esfuerzos invariantes
3
2
1, I
y
I
I
z
y
x
I 

 +
+
=
1
z
y
x
I '
'
'
1 

 +
+
=
3
2
1
1 

 +
+
=
I

EJEMPLO 2-2
Esfuerzos invariantes
3
2
1, I
y
I
I
z
y
x
I 

 +
+
=
1
z
y
x
I '
'
'
1 

 +
+
=
3
2
1
1 

 +
+
=
I
70
30
40
1 =
+
=
I
70
5
.
19
49
.
50
1 =
+
=
I
70
19
.
19
81
.
50
1 =
+
=
I

ESFUERZOS
PROMEDIO Y DEVIATORIO

ESFUERZO PROMEDIO Y
DEVIATORIO










+










=






)
(
)
( co
anisotrópi
deviatorio
esfuerzo
de
Tensor
isotrópico
promedio
esfuerzo
de
Tensor
esfuerzo
de
Tensor










−
−
−
+












=










m
zz
yz
xz
yz
m
yy
xy
xz
xy
m
xx
m
m
m
zz
yz
xz
yz
yy
xy
xz
xy
xx
























0
0
0
0
0
0
Cualquier tensor de esfuerzos: dos matrices simétricas
Isotrópico - característica de los cuerpos cuyas propiedades
físicas no dependen de la dirección

• m es llamado esfuerzo promedio, representa el
componente isotrópico del tensor de esfuerzos y
se calcula como el promedio aritmético de los tres
esfuerzos
• En términos de esfuerzos principales,
ESFUERZO PROMEDIO
3
z
y
x
m




+
+
=
3
3
2
1 



+
+
=
m

1 – P
3 – P
Controlan el grado de cambio
de forma o distorsión de un
cuerpo
Miden la desviación del sistema
de esfuerzos y de la simetría.
ESFUERZO DEVIATORIO

• Componente anisotrópico del tensor de esfuerzos
• Se calcula como la diferencia entre el esfuerzo total y
el esfuerzo promedio
• Considerablemente menor que el esfuerzo isotrópico
promedio
ESFUERZO DEVIATORIO










−
−
−
m
zz
yz
xz
yz
m
yy
xy
xz
xy
m
xx






















+










=






)
(
)
( co
anisotrópi
deviatorio
esfuerzo
de
Tensor
isotrópico
promedio
esfuerzo
de
Tensor
esfuerzo
de
Tensor

• Se denotan como - representados mediante
las siguientes expresiones:
• También
ESFUERZOS DEVIATORIOS
INVARIANTES
3
2
1, J
y
J
J
0
'
'
´
1 =
+
+
= z
y
x
J 


2
2
1
2
3
I
I
J −
=
3
2
1
3
1
3
3
27
2
I
I
I
I
J +
−
=
  2
2
2
2
2
2
2 )
(
)
(
)
(
6
1
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
J 







 +
+
+
−
+
−
+
−
=
3
2
3
3 2 m
m
I
I
J 
 +
−
=

ESFUERZOS DEVIATORIOS
INVARIANTES
0
'
'
´
1 =
+
+
= z
y
x
J 


?
1 0
=
J










+










=






)
(
)
( co
anisotrópi
deviatorio
esfuerzo
de
Tensor
isotrópico
promedio
esfuerzo
de
Tensor
esfuerzo
de
Tensor
´


 +
= m
m


 −
=
´
3
'
z
y
x
x
x





+
+
−
=
3
2
'
z
y
x
x




−
−
=
Similar para
'
'
z
y y 

Asi,

• Suponer prueba triaxial: 1 > 2 = 3
• Resolver trinomio cuadrado perfecto:
Criterio de Von Mises
Criterios de falla
)
(
3
1
3
1
2 
 −
=
J
2
2
2
2
)
( b
ab
a
b
a +
−
=
−
 
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2 )
(
)
(
)
(
6
1





 −
+
−
+
−
=
J

Criterio de Drucker-Prager
Criterios de Falla
)
3
(
3
2



Sen
Sen
−
=
)
3
(
3
6


Sen
Cos
C
k
−
=
C es la cohesión y
 es el ángulo de fricción
k
I
J +
= 1
2 
http://ars.els-cdn.com/content/image/1-s2.0-S0013795211002614-gr2.jpg

Modificado de Lade
✓ Propuesto por Ewy (1999) sobre la base del
criterio de Resistencia de Lade y Duncan (1975)
✓ Conocido Lade – Ewy
✓ Incluye los tres esfuerzos principales efectivos
✓ Utilizado en la industria del petróleo en
estabilidad de pozos y producción de arena
Criterios de Falla

+
= 27
)
(
´
3
3
´
1
I
I
Representaciones modificadas del primer y tercer
esfuerzo invariante
'
1
I
'
3
I

• Cualquier tensor de esfuerzos puede dividirse en dos
matrices simétricas, donde la primera representa el
esfuerzo promedio y la segunda representa el
esfuerzo deviatorio
• Una de las razones para separar el esfuerzo en dos
componentes se debe a que, muchos mecanismos de
falla son causados por esfuerzos deviatorios
• Forma útil de distinguir dos componentes importantes
del esfuerzo, el componente isotrópico y el
componente anisotrópico
ESFUERZO PROMEDIO Y
DEVIATORIO

•Magnitud del esfuerzo?
•Diferencia de esfuerzos?
Ruptura??
Rossello, 2013

Criterio falla – Mohr
Coulomb
Rossello, 2013

• Cuando los esfuerzos principales son iguales el
estado de esfuerzos es llamado hidrostático y
corresponde al estado de esfuerzos de un fluido
• Físicamente se puede decir que el esfuerzo
hidrostático puede causar cambios de volumen pero
no de forma en el material
• El esfuerzo de corte es cero
ESFUERZO HIDROSTÁTICO
P
P
P
P

IMPORTANTE!!!
• Mientras sólidos pueden
mantener fuerzas de
cizallamiento, los
líquidos o gases no
pueden, ya que en ellos
actúa una fuerza por una
unidad de área (presión),
igual en todas las
direcciones, (presión -
cantidad escalar)
ESFUERZO DE CIZALLA
http://www.todonatacion.com/images/f
uerzas/presionHidrostatica.gif
http://roble.pntic.mec.es/jprp0006/tecnologia/1eso_recursos/u
nidad08_estructuras/teoria/imagenes/esfuerzo_cortadura.gif

Deviatorio Hidrostático
ESFUERZO HIDROSTÁTICO
1 – P
3 – P
P
P
P
P
• Controlan el grado de
cambio de forma o
distorsión de un
cuerpo
• Controlan el cambio
de volumen

Recordar aplicaciones geomecánica
(Nail Nagel)

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