1) La geometría proyectiva surgió en el Renacimiento para representar la perspectiva tridimensional en dos dimensiones. 2) Artistas como Masaccio, Alberti y Piero della Francesca establecieron los principios matemáticos de la perspectiva basados en la óptica y el modelo de una cuadrícula. 3) En el siglo XIX, matemáticos como Poncelet, Chasles y Klein desarrollaron formalmente la geometría proyectiva y establecieron su relación con otras geometrías como la euclidiana.

1. Geometría y Arte El nacimiento de la Geometría Proyectiva

2. Pintura medieval

5. El renacimiento La necesidad de representar el espacio tridimensional sobre el plano da lugar a la aparición de la perspectiva en el Renacimiento Precursores: Fra-Angelico (1378-1455) F. Brunelleschi (1377-1446) T. Masaccio (1401-1422) L.B. Alberti (1404-1472)

6. Masaccio (1401-1422)

7. Leon Battista Alberti (1404-1472) Arquitecto, escritor y pintor Escribe el primer tratado que describe la perspectiva: “ Della Pintura”: “La circunscripción son aquellas líneas que circunscriben el ámbito de los contornos en pintura. .... Un velo de hilo tenuísimo dividido con gruesos hilos en porciones cuadradas paralelas y distendido en un telar. Lo situo entre el objeto a pintar y el ojo ...”

8. Cuadrícula

9. Piero de la Francesca (1420-1492) Matemático, además de artista, autor de “Tratatto d’abaco” que incluye materiales de aritmética y álgebra. Su obra “Libro corto sobre los cinco sólidos regulares” es utilizado ampliamente por Luca Pacioli en su tratado “Divina proportione” (con ilustraciones de Leonardo). Su obra principal en este contexto es “Sobre la perspectiva para la pintura” (3 vols. ~1460). En ella se concentra en los principios matemáticos de la perspectiva. Establece numerosos teoremas geométricos, al estilo de Euclides, pero proporciona ejemplos numéricos.

11. Leonardo da Vinci Ayuda al matemático Luca Pacioli en su libro “La divina proporción”. Autor de “Tratatto della pintura” “ La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa en la perspectiva, que no es otra cosa que un conocimiento perfecto de la función del ojo” “ Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo” “ No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las ciencias matemáticas”

12. Leonardo da Vinci Domina por completo la perspectiva. Experto en otras formas de transmitir profundidad como el “sfumatto” y el “claroscuro”. Sus obras más conocidas son La Gioconda y La Santa Cena Arquitecto, científico, ingeniero, inventor, …. Destacan sus estudios de anatomía, hidraulica, aerodinámica, geología, meteorología,…

13. La Santa Cena (restaurada)

14. La Santa Cena (perspectiva)

15. Alberto Durero (1471-1528) Reflexiona y escribe sobre las técnicas de la perspectiva que había adquirido en Italia. Describe minuciosamente diferentes técnicas de realización de la perspectiva. Son famosas sus “máquinas perspectivas” descritas y representadas en sus grabados con detalle.

16. Durero grabados

17. 1) Velo o ventana

18. 2) Perspectímetro de 3 hilos

19. 3) Perspectímetro de Keser

20. 4) Red

21. Perspectiva, s. XVIII Taylor y Lambert (s. XVIII) escribieron los trabajos definitivos sobre la perspectiva. Taylor. Prescinde de la perpendicularidad mediante 4 planos: base, cuadro, horizonte (paralelo a la base) y director (paralelo al cuadro).

22. Límites de la perspectiva Teorema (Pohlke): Dados 3 segmentos en el plano, no colineales de longitus dada que se cortan en un punto, entonces existen 3 segmentos en el espacio, de igual longitud y perpendiculares dos a dos de manera que los 3 primeros son una proyección de los segundos.

23. Anamorfismos Figuras “deformadas” que sólo se ven correctamente desde determinada posición. La técnica resulta de los estudios sobre la perspectiva. Hay estudios en Leonardo y cuadros que la usan, por ejemplo de Holbein.

24. Holbein (anamorfismos)

25. Absurdos: Hogarth

26. Absurdos: Escher

27. Los primeros Matemáticos Desargues (1591-1661). “Tratado sobre las secciones cónicas”. Solo comprendido por Fermat, Descartes, Mersenne y Pascal. Usa términos botánicos. Punto del infinito, Teorema de Desargues, razón doble, involución, cuaterna armónica, polares… Pascal (1623-1662). “Essay sur les coniques”. Teorema de Pascal. La Hire (1640-1718). Intentó demostrar la superioridad de los métodos sintéticos en geometría.

28. Teorema de Desargues D os triángulos son perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se cortan en puntos alineados.

29. Cónicas

30. Teorema de Pascal Papus Pascal: Si un hexágono está inscrito en una cónica, los puntos de intersección de lados opuestos están alineados.

31. El renacer de la geometría sintética Los métodos sintéticos (y la geometría proyectiva) permanecen en el olvido hasta finales del XVIII. Monge (1746-1818), Brianchon (1785-1864). Poncelet (1788-1868). El primer campeón de la geometría sintética. “Traité sur les proprietés projectives des figures” Homología, principio de continuidad, polaridad. Gergonne (1771-1859): Principio de dualidad.

32. Dualidad Cónica dual Polar de un punto y polo de una recta respecto de una cónica.

33. Teorema de Brianchon Si un hexágono está circunscrito a una cónica, sus diagonales son concurrentes en un punto

34. Geometría sintética Chasles (1793-1880). Practicante del método mixto: probaba analíticamente sus resultados, pero los presenta analíticamente. Steiner (1796-1863). Apóstol de los métodos sintéticos. Generación de las cónicas a partir de homografías de haces de rectas. Se negó a usar elementos imaginarios. Polémico y extremista de los métodos didácticos.

35. Métodos algebraicos Möbius (1790-1868). Coordenadas baricéntricas. Plücker (1801-1868). Coordenadas homogéneas, coordenadas de rectas, establece rigurosamente el principio de dualidad. Debido a las disputas con Steiner abandona la Geometría y se dedica a la Física. Feuerbach, Bobillier, …

36. Madurez von Staudt (1798-1867). Desarrolla la Geometría proyectiva independientemente de las propiedades métricas. Usa el axioma de las paralelas, Klein (1849-1925) lo eliminaría posteriormente. Laguerre (1834-1886) y Cayley (1821-1895): Cónica del absoluto, la geometría Euclídea se deduce de la proyectiva. “La geometría proyectiva es toda la geometría” (Cayley)

37. Madurez Klein (1849-1925). El concepto de grupo en geometría. “Programa de Erlangen”. Las diversas geometría (euclídea, hiperbólica, … ) se estudian como sub-geometrías de la proyectiva. Pasch: primer intento de axiomatización. Peano, Enriques, Whitehead: concluyen la fundamentación axiomática. Veblen-Young: Primer texto con la axiomatización completa y en el que se plasman las ideas de Klein de hacer de la proyectiva el marco general de las geometrías.

38. Plano hiperbólico (Klein)

39. Topología del plano proyectivo

40. Topología del plano proyectivo

41. Topología del plano proyectivo

42. Superficie de Boy