1. El documento presenta una serie de problemas relacionados con movimientos y cinemática de partículas en diferentes situaciones. Incluye cálculos de vectores de posición, velocidad, aceleración, trayectorias, tiempos, distancias y otros parámetros cinemáticos para partículas que se mueven en línea recta, en curvas, con movimiento circular u otros tipos de movimiento.

1. 1. La ecuación vectorial horaria de una partícula que se mueve en
un plano, viene dada en el SI: r (t) = (t – 1) i + (2t – t2
) j. Calcular: 1) El
vector de posición inicial. 2. La distancia al observador (distancia al ori-
gen) a los 3 s de haber empezado a contar el tiempo. 3. Ecuación de la
trayectoria en forma explícita y su representación gráfica.
2. Una partícula describe una trayectoria cuya ecuación en el SI
viene dada por: r = (t 2
+ t + 1) i – (3t3
+ 2t 2
) j. Calcular: 1) El vector
velocidad en cualquier instante. 2) El vector aceleración en cualquier
instante. 3) El vector velocidad media en el tercer segundo. 4) El vector
aceleración media en el tercer segundo.
3. Un acorazado navega con rumbo NE a una velocidad de
30 mile/h. Suena zafarrancho de combate y uno de los tripulantes marcha
corriendo de babor a estribor para ocupar su puesto, a una velocidad de
10 km/h. Calcular el valor de la velocidad resultante y su dirección.
4. Deseamos volar en un avión a 500 km/h hacia el E, la velocidad
del viento es 80 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad y rumbo de nuestro
avión? 1) Si el viento sopla hacia el S. 2) Si el viento sopla hacia el SE.
3) Si el viento sopla hacia el SO.
5. La velocidad que provocan unos remeros a una barca es de
8 km/h. La velocidad del agua de un río es 6 km/h, y la anchura de tal
río 100 m. 1) Suponiendo la posición de la proa perpendicular a las ori-
llas, calcular el tiempo que tarda la barca en cruzar el río y la distancia a
que es arrastrada, aguas abajo, por la corriente. 2) ¿En qué dirección
debe colocarse la proa de la barca para alcanzar el punto de la orilla
opuesta situado enfrente del de partida? (punto de partida y llegada
en la perpendicular común a las orillas). 3) ¿Qué velocidad, respecto a
tierra, lleva la barca en los dos casos estudiados? 4) ¿Cuánto tarda en
atravesar el río
6. Una canoa de 2,5 m de larga está junto a la orilla de un río y
perpendicularmente a ella. Se pone en marcha con una velocidad de
5 m/s y al llegar a la orilla opuesta ha avanzado en el sentido de la co-
10. Al desconectar de la fuente de alimentación a un motor que en
régimen normal gira a wo rad/s, su rotor desacelera por la acción del ro-
zamiento del aire y del rozamiento constante con los cojinetes según la
ecuación: a = –b – cw2
, donde b y c son constantes y w la velocidad
angular del rotor. Calcular el tiempo que tarda en pararse.
rriente 23,4 m. 1) Calcular la velocidad del agua sabiendo que el río tie-
ne una anchura de 100 m. 2) Si la canoa marcha a lo largo del río, de-
terminar el camino recorrido en 1 min según vaya en el sentido de la co-
rriente o en sentido contrario.
7. En un terreno horizontal se lanza un proyectil verticalmente ha-
cia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. El viento le produce una
aceleración horizontal constante e igual a g/5, siendo g = 10 m/s2
. Cal
cular: 1) Las componentes tangencial y normal de la aceleración.
2) La ecuación analítica de la trayectoria. 3) La distancia entre el punto
de lanzamiento y el del impacto con la horizontal. 4) La altura máxima
que alcanza el proyectil. 5) El ángulo que forma con la horizontal el
vector velocidad en el punto del impacto.
11. La aceleración tangencial de un punto móvil queda determina-
da en el sistema CGS por la función: at = 6 – 2 t. Para t = 0, v0 = 0.
Calcular: 1) La expresión general del módulo de la velocidad. 2) En
qué instantes la velocidad es nula. 3) ¿Qué aceleración tangencial tiene
el móvil en tales instantes?
12. La ecuación que nos define la trayectoria de una partícula
en un plano OXY y referida a O como origen, viene dada por: r = 5ti
+ 10 3( )− 5t t2
j (SI), queremos determinar: 1) La ecuación de la
trayectoria escrita en forma explícita y = f(x) y su representación gráfi-
ca. 2) Expresiones del vector velocidad y del vector aceleración. 3) Mó-
dulos de la aceleración tangencial y normal para t = 1 s.
13. Una partícula se mueve en trayectoria plana, siendo las com-
ponentes coordenadas del radio vector que define la posición de la
partícula en cualquier instante: x = 2t2
– 3, y = t3
+ 1 expresadas x e y
en m y t en s. Calcular: 1) Vectores velocidad y aceleración. 2) El ins-
tante en que v y a son paralelos. 3) El vector unitario en la dirección de
la tangente a la trayectoria en cualquier instante. 4) Los vectores acele-
ración tangencial y normal para t = 1 s. 5) El vector unitario en la dire-
ción normal a la trayectoria, el valor del radio de curvatura y el vector
de posición del centro de curvatura para t = 1 s.
Quinto Grupo de Problemas
Asignatura: Física I
Profesor: Ely Miguel Aguilar
Fecha de presentación: 05.02.16
8. Dos carreteras se cruzan bajo un ángulo de 90° por medio de
un puente. Ambas carreteras están situadas en planos horizontales. La
altura del puente (distancia vertical entre ambas carreteras) es de 11 m.
Por la superior circula un coche a la velocidad de 4 m/s, y por la inferior
otro a la velocidad de 3 m/s. Cuando el primer coche se encuentra en el
centro del puente, el segundo se encuentra exactamente debajo de él.
Determinar: 1) La distancia que los separa al cabo de 12 s después de
haberse cruzado. 2) La velocidad con que se separan al cabo de estos
12 s. 3) Valor de la aceleración en este momento.
9. Una partícula describe una trayectoria circular de 3 m de radio.
El arco descrito en cualquier instante viene dado por: s = t2
+ t + 1 (SI).
Calcular a los 2 s de iniciado el movimiento: 1) El arco. 2) El ángulo.
3) El módulo de las velocidades lineal y angular. 4) El valor de la acele-
ración angular.
14. La ecuación que define la trayectoria plana de un punto móvil
es: y = x2
– 9 (SI), y la abscisa en función del tiempo es de la forma:
x = 2t – 3 (SI). Calcular: 1) Expresiones del vector de posición, del vec-
tor velocidad y del vector aceleración. 2) Las aceleraciones tangencial y
normal en el instante t = 2,00 s. 3) Los instantes en los que el vector de
posición y el vector velocidad son perpendiculares.
15. Supongamos un movimiento circular de radio 27 cm y cuyo es-
pacio (s) (distancia sobre la propia curva a un origen tomado en ella),
queda determinado por la ecuación: s = 3 + t + 2t2
, en la que el espacio
está medido en cm y el tiempo en s; se trata de calcular el vector acele-
ración en el instante t = 2 s.
16. Una partícula se mueve en trayectoria plana y circular de 1 m
de radio, el valor de su aceleración tangencial en módulo es siempre
igual a su velocidad. En el instante inicial su velocidad angular es de p
rad/s. Determinar, al cabo de 1 s: 1) La aceleración angular de la partí-
cula. 2) La aceleración tangencial. 3) La velocidad angular.
17. La figura nos representa una partícula que gira en trayectoria
Problema 17.
circular de radio R = 1 m, .de modo que el radio vector que parte de O
tiene una velocidad angular constante: q = 2p rad/s. Si para t = 0,
r = 2R, determinar: 1) r = r(t), v = v(t) y a = a(t). 2) Los vectores
aceleración tangencial y normal para t = 5 s.

2. 18. Una partícula describe una curva plana que escrita en el SI tie-
ne por ecuación y2
= 4x con una componente de la aceleración según
el eje OX que es constante e igual a 8 m/s2
. Para t = 4 s se encuentra en el
origen de coordenadas. Calcular: 1) Los vectores aceleración tangencial
y normal para t = 2 s.
19. Las componentes coordenadas del vector que nos define la tra-
yectoria de una partícula son en el SI: x = 3t3
– 5, y = 6t2
– 1,
z = 4t3
– 6. Calcular los módulos de la aceleración tangencial y normal
para t = 1 s.
20. El vector velocidad del movimiento de una partícula viene
dado por: v = (3t – 2)i + (6t2
– 5)j + (4t – 1)k (SI) y el vector que nos
define la posición inicial es: r0 = 3i – 2j + k m, calcular: 1) La expresión
del radio vector en cualquier instante. 2) Ecuación del vector acelera-
ción. 3) Los vectores aceleración tangencial y normal para t = 1 s.
21. El vector velocidad de una partícula referido a un punto O (ve-
locidad definida por un observador en O) viene dado en el SI por:
v = i + 4tj – 3t2
k. Determinar para t = 1 s: 1) El vector unitario en la
dirección de la tangente a la trayectoria. 2) El vector aceleración tan-
gencial. 3) El vector aceleración normal. 4) El vector unitario en la di-
rección de la normal a la trayectoria. 5) El valor del radio de curvatura.
Problema 27
30. Una partícula se mueve con movimientos circular y uniforme
(w = cte) de radio R. Si tomamos el origen de un sistema de coordena-
das en el centro de la circunferencia trayectoria, calcular las ecuaciones
vectoriales horarias. (Tomamos O como centro de la circunferencia tra-
yectoria y la posición inicial de la partícula sobre el eje OX).
22. El vector aceleración de una partícula referido a un punto O
(vector aceleración definido por un observador en O) viene dado en el
SI por: a = 2 (18t2
+ 1)i + 9j. En el instante t = 0 la velocidad es nula
y el vector de posición es: r0 = 4j + 6k m. Se trata de determinar para
t = 1 s. 1) Las componentes tangencial y normal de la aceleración. 2)
El va-lor del radio de curvatura. 3) La posición del centro de curvatura.
31. Una mosca camina en línea recta con movimiento uniforme a
lo largo del radio R del disco de vidrio de la figura al mismo tiempo que
éste gira con velocidad angular constante. Suponiendo que el tiempo
que tarda la mosca en recorrer el radio es el mismo que el período de
giro del disco. 1) Dibujar la trayectoria de la mosca, con relación a los
ejes fijos X e Y que se ven por transparencia a través del vidrio. 2) De-
terminar las ecuaciones horarias de éste movimiento en función de v
(velocidad de la mosca) y w (velocidad angular del disco) con relación a
los ejes fijos.
23. Una partícula recorre la hélice que tiene por ecuación escrita
en el SI: r(t) = 3 cos 2t i – 3 sen 2t j + t k. Determinar: 1) Los vec-
tores aceleración tangencial y normal en t = p s. 2) Espacio recorrido por
la partícula durante ese tiempo.
13
24. En un río, desde la orilla opuesta al embarcadero y frente a él,
parte una barca enfilando su proa constantemente hacia dicho punto.
La anchura del río es de 200 m y las velocidades del agua y de la barca
respecto de la orilla son de igual módulo. Calcular a qué distancia del
embarcadero aparcará la barca.
25. Una partícula parte del punto (4,0) m en un movimiento plano,
con velocidad inicial paralela al eje OY. Se mueve de forma que su vec-
tor de posición, r, gira en torno a O (0,0) con velocidad angular cons-
tante, w = 2 rad/s, y su aceleración es siempre perpendicular a r.
1) Obtener la ecuación de su trayectoria. 2) Calcular el tiempo que tar-
da en alejarse hasta 8 m del origen y la posición en ese instante.
Problema 31
26. Un volante gira con una velocidad angular constante de 50 rad/s.
Calcular: 1) La velocidad de un punto de la periferia sabiendo que su
radio es R = 1 m. 2) La velocidad de un punto colocado a una distan-
cia de 0,5 m del centro. 3) Espacio recorrido por ambos puntos mate-
riales en el tiempo de 1 min. 4) El número de vueltas de da el volante
en ese tiempo.
27. 1. Calcular la velocidad angular de cualquier punto de la Tierra
en su movimiento de rotación alrededor del eje terrestre. 2. Calcular la
velocidad tangencial y la aceleración normal de un punto P sobre la Tie-
rra (ver Figura) situado en un lugar de 60° de latitud. (Radio terrestre
= 6 300 km).
28. Un punto material describe uniformemente una trayectoria cir-
cular de radio 1 m, dando 30 vueltas cada minuto. Calcular el período,
la frecuencia, la velocidad angular, la tangencial, la areolar y la acelera-
ción centrípeta.
29. Desde el mismo punto de una circunferencia parten dos móvi-
les en sentidos opuestos. El primero recorre la circunferencia en 2h
4min
,
el segundo recorre un arco de 6° 30' por minuto. Determinar en qué
punto se encontrarán y el tiempo invertido.
32. Un volante de 2 dm de diámetro gira en torno a su eje a 3 000
rpm. Un freno lo para en 20 s. Calcular: 1) La aceleración angular su-
puesta constante. 2) Número de vueltas dadas por el volante hasta que
se para. 3) El módulo de la aceleración tangencial, normal y total de un
punto de su periferia una vez dadas 100 vueltas.
33. La velocidad angular de un volante, disminuye uniformemente
desde 900 a 800 rpm en 5 s. Encontrar: 1) La aceleración angular.
2) El número de revoluciones efectuado por el volante en el intervalo de
5 s. 3) ¿Cuántos segundos más serán necesarios para que el volante se
detenga?
34. Un automotor parte del reposo, en una vía circular de 400 m
de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado,
hasta que a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza la velocidad de 72
km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Hallar: 1) La acele-
ración tangencial en la primera etapa del movimiento. 2) La aceleración
normal, la aceleración total y la longitud de vía recorrida en ese tiempo,
en el momento de cumplirse los 50 s. 3) La velocidad angular media en
la primera etapa, y la velocidad angular a los 50 s. 4) Tiempo que tar-
dará el automotor en dar cien vueltas al circuito.

3. 35. Un móvil parte del reposo en el origen y recorre una trayectoria
circular de 20 cm de radio con una aceleración tangencial que viene
dada el sistema CGS por la expresión: at = 60t. Determinar en módulo,
dirección y sentido, la aceleración del móvil a los 2/3 s de iniciado el
movimiento.
36. Una partícula describe una circunferencia de 27 cm de radio,
aumentando con el tiempo el valor de su velocidad, de una forma cons-
tante. En un punto A de su trayectoria la velocidad es 9 cm/s; en otro B,
transcurridos 0,25 s, es 10 cm/s. Calcular el vector aceleración en el
punto A.
37. Una partícula posee un movimiento circular y uniforme de 1 m
de radio, dando 1 vuelta en 10 s. Calcular: 1) El vector de posición refe-
rido al centro de la trayectoria como origen si la partícula inicialmente se
encuentra en el punto P0 (0, 1) m. 2) El vector velocidad y aceleración a
los 5 s de iniciado el movimiento. 3) Velocidad media en el intervalo de
5 s comprendido entre el quinto y décimo segundo.
38. El vector de posición de una partícula que se mueve en trayec-
toria plana es: r = (5 cos pt – 1)i + (5 sen pt + 2)j (SI). 1) Demuéstrese
que el movimiento es circular y uniforme. 2) Calcular el radio de la cir-
cunferencia trayectoria. 3) Calcular la frecuencia de este movimiento.
45. La Fig. nos representa a un individuo en un coche que se mue-
ve horizontalmente a la velocidad de 108 km/h y que dispara un fusil en
dirección vertical con velocidad de 216 km/h. Describir las ecuaciones
horarias del movimiento: 1) Desde el punto de vista del observador en
el vehículo. 2) Desde el punto de vista de un observador fijo en la ca-
rretera. (Tomar g = 10 m/s2
).
46. En el mismo momento en que arranca un tren con una acele-
ración de 1 m/s2
, un pasajero avanza en sentido contrario con una velo-
cidad constante de 0,5 m/s respecto del tren. En ese mismo instante un
niño, montado también en el tren, comienza a avanzar montado en su
triciclo, al que le comunica una aceleración respecto al tren de 0,2 m/s2
y
en la misma dirección del movimiento. Calcular: 1) La velocidad y la
aceleración del pasajero a los 5 s del arranque, respecto a un observa-
dor parado en la estación. 2) La velocidad y la aceleración del niño a
los 5 s de comenzar el movimiento, respecto del mismo observador.
47. La figura representa dos coches, el A se desplaza a 80 km/h to-
mando una curva circular de 60 m de radio; el coche B llega a la posi-
ción indicada con una velocidad de 100 km/h por una carretera recta. El
conductor del coche B, para evitar el riesgo de choque, reduce su veloci-
dad a razón de 5 m/s2
. Calcular la velocidad y la aceleración que parece
tener A cuando es observado por el conductor del coche B para la posi-
ción representada en la figura.
39. Un avión de bombardeo, en vuelo horizontal, a la velocidad de
360 km/h, y a una altura sobre un objetivo de 1 000 m, lanza una bomba.
1) ¿A qué distancia del objetivo inmóvil, contada horizontalmente, debe
proceder al lanzamiento? 2) Si el objetivo es un camión que marcha en
carretera horizontal, a 72 km/h en la misma dirección y plano vertical
que el bombardero ¿a qué distancia del objetivo, contada horizontal-
mente, se debe proceder al lanzamiento si el objetivo se mueve en dis-
tinto o en el mismo sentido?
Problema 45. Problema 47
40. Un avión en vuelo horizontal rectilíneo, a una altura de 7 840
m y con una velocidad de 450 km/h, deja caer una bomba al pasar por
la vertical de un punto A del suelo. 1) ¿Al cabo de cuánto tiempo se
producirá la explosión de la bomba por choque con el suelo? 2) ¿Qué
distancia habrá recorrido entre tanto el avión? 3) ¿A qué distancia del
punto A se producirá la explosión? 4) ¿Cuánto tiempo tardará en oirse
la explosión desde el avión, a contar desde el instante del lanzamiento
de la bomba, si el sonido se propaga a 330 m/s?
41. Se dispara un cañón con un ángulo de 15°, saliendo la bala
con la velocidad de 200 m/s (g = 10 m/s2
). Se desea saber: 1) La dis-
tancia teórica que alcanzará la bala sobre la horizontal. 2) La velocidad
con que llega a tierra, en valor absoluto y dirección. 3) Si tropieza con
una colina que se encuentra a la mitad de su alcance, de 300 m de alta.
¿Por qué? 4) En caso afirmativo, ¿qué solución podríamos dar si quere-
mos hacer blanco en el mismo objetivo y con el mismo cañón (la misma
velocidad inicial) disparando desde el mismo sitio?
42. Se dispara un cañón desde un acantilado de 50 m de altura y
con un ángulo de 45° por encima de la horizontal, siendo la velocidad de
salida del proyectil de 490 m/s. Calcular: 1) Tiempo que tarda el proyec-
til en llegar a la superficie del mar. 2) Posición del impacto. 3) Veloci-
dad en ese instante.
48. Un autobús marcha por una carretra recta en un día de lluvia.
Un pasajero mide el ángulo que forman las gotas de lluvia con la verti-
cal y obtiene que, cuando el autobús va a 80 km/h el ángulo es de 30°
hacia la parte trasera, y cuando va a 100 km/h el ángulo aumenta a
45°. Calcular la velocidad de las gotas y el ángulo de caída medidos
por un peatón parado en el arcén.
49. Una partícula desliza desde la parte más alta de un plano, incli-
nado 37° respecto de la horizontal, sin velocidad inicial y con acelera-
ción constante de 5 m/s2
. Por otra parte un observador, cuya posición
inicial coincide con la partícula, se traslada horizontalmente con veloci-
dad constante de 4 m/s y de sentido contrario a la correspondiente com-
ponente de la aceleración de la partícula. Calcular la ecuación de la tra-
yectoria de la partícula respecto del citado observador.
50. Dos móviles, A y B, circulan en el mismo sentido por dos carre-
teras rectas paralelas. En un instante determinado el móvil A posee una
velocidad de 36 km/h y una aceleración de 2 m/s2
, y el B lleva una velo-
cidad constante de 108 km/h. La posición de ambos en el instante indi-
cado es la representada en la Fig. Calcular: 1) Velocidad de B respecto
de A, vBA, en función del tiempo. 2) Componentes radial y tangencial de
vBA. 3) Velocidad angular de B respecto de A.
43. En el instante t = 0 los orígenes de dos sistemas de referencia
S y S′ coinciden. El sistema S′ se mueve con traslación pura de tal for-
ma que X º X′, y la velocidad de O′ es de 5 m/s respecto de O. Una
partícula de 3 kg de masa se mueve a lo largo del eje OX con una velo-
cidad de 3 m/s respecto del origen O′. 1) Determinar la velocidad de la
44. Dejamos caer un cuerpo en el interior de un ascensor desde 2
m de altura cuando está parado y cuando asciende con movimiento rec-
tilíneo y uniforme de velocidad 1 m/s. ¿A qué altura sobre el suelo del
ascensor se encontrará el cuerpo a los 0,5 s, en cada uno de los casos?
partícula respecto del origen O y su posición cuando han transcurrido
3 s. 2) En el momento de trascurrir esos 3 s se le aplica una fuerza que
le produce una aceleración de 5/3 m/s2
en la dirección del eje OX, deter-
minar su velocidad respecto a O′ a los 5 s de iniciado el movimiento.