Este documento resume los conceptos básicos de las inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo: 1) las tres posibilidades de relación entre números reales, 2) cómo transformar inecuaciones mediante suma y producto, 3) la interpretación geométrica de inecuaciones de primer grado, 4) métodos de resolución como factorización, y 5) extensión a inecuaciones con dos incógnitas y su representación geométrica.

1. Dados dos números reales a y b, se pueden dar solamente una de estas tres posibilidades: a > b, a = b ó a < b. 6 > 5 Es una desigualdad 5 = 5 Es una igualdad 3 < 5 Es una desigualdad 1. El orden en los números reales MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández

2. 3  5 3 + 7  5 + 7 2. Relación entre orden y suma MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número, se obtiene una desigualdad del mismo sentido.

3. La desigualdad se mantiene La desigualdad cambia 3. Relación entre orden y producto MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra desigualdad: Del mismo sentido si el número es positivo. De distinto sentido si el número es negativo.

4. 3x – 2  x + 4 es una inecuación de primer grado con una incógnita 4. Inecuación MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Una inecuación es una desigualdad entre letras y números, relacionados mediante operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación con una sola incógnita cuyo exponente es 1. Se llaman soluciones de una inecuación a los números tales que al sustituir la incógnita por ellos la desigualdad es cierta. Resolver una inecuación es hallar todas sus soluciones.

5. 2x – 5 < x + 1 Se suma 5 a los dos miembros 2x < x + 6 Se resta x a los dos miembros x < 6 La soluciones de la inecuación 2x – 5 < x + 1 son los números que cumplen la condición x < 6.En forma de intervalo se puede escribir: (-  ,6) – 3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 5. Resolución de inecuaciones: Suma MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Dos inecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son equivalentes. Para resolver una inecuación conviene transformarla en otra equivalente en la que la incógnita esté solo en uno de los miembros. Para resolver inecuaciones a veces hemos de aplicar la regla de la suma

6. – 4x + 5  2x – 1 Se resta 5 a los dos miembros – 4x  2x – 6 Se resta 2x a los dos miembros – 6x  – 6 La soluciones de la inecuación – 4x + 5  2x – 1 son los números que cumplen la condición x  1. O en forma de intervalo: (–  , 1] Se divide entre – 6 x  1 – 3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 6. Resolución de inecuaciones: Producto MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Para resolver inecuaciones a veces hemos de aplicar la regla del producto.

7. Valores de x para los que se cumple x – 3 > 0 Valores de x para los que se cumple x – 3 = 0 Valores de x para los que se cumple x – 3 < 0 7. Inecuaciones de primer grado. Interpretación geométrica MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández La inecuación x – 3 < 0 se puede interpretar como la función y = x – 3 en un sistema de coordenadas cartesiano, y preguntarse para qué valores de x toma y valores negativos.

8. Estas inecuaciones se pueden resolver gráficamente, representando la función cuadrática y = ax 2 + bx + c y observando para qué valores de x se cumple ax 2 + bx + c > 0 (= ó <). Valores de x para los que se cumple que x 2 – 6x + 8 < 0 8. Inecuaciones de segundo grado MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Una inecuación de segundo grado es de la forma ax 2 + bx + c > 0 (<,  ,  ). El coeficiente a siempre se puede tomar positivo; en caso contrario basta multiplicar por –1 la inecuación. Valores de x para los que se cumple que x 2 – 6x + 8 = 0 Valores de x para los que se cumple que x 2 – 6x + 8 > 0

9. Para resolver x 2 – 6x + 8 > 0 Resolvemos la ecuación x 2 – 6x + 8 = 0. Se obtienen las soluciones x = 2, x = 4. Factorizamos el polinomio y obtenemos la inecuación equivalente (x – 2)(x – 4) > 0 Estudiamos el signo del producto a partir de los signos de los factores. Solución: x < 2 y x > 4, es decir, los intervalos (–  , 2) y (4, +  ) 9. Resolución de inecuaciones por factorización MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández La resolución algebraica de estas inecuaciones también se puede hacer por factorización, siguiendo los siguientes pasos: Primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0. Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.

10. Solución: x < –3 y x  4, es decir, los intervalos (–  , –3) y [4, +  ) 10. Resolución de inecuaciones racionales por factorización MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0. Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores. Los valores que anulan al denominador no son soluciones porque no es posible la división por 0.

11. La recta x – y + 1 = 0 divide al plano en las tres regiones siguientes: 11. Inecuaciones con dos incógnitas MATEMÁTICAS 4 ESO TEMA 5. INECUACIONES Javier Fernández Toda recta ax + by + c = 0 divide al plano en tres regiones: El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c = 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c > 0 El conjunto de puntos (x, y) del plano para los que ax + by + c < 0 A la parte del plano que es solución de una inecuación se le llama región factible de la inecuación.