Este documento presenta una guía sobre propiedades de logaritmos y sus aplicaciones. Define logaritmos, presenta 14 propiedades como logaritmos de la unidad, la base, potencias de la base, producto, cociente, etc. Luego propone una serie de ejercicios para aplicar estas propiedades al cálculo y resolución de ecuaciones logarítmicas.

1. GUIA MATEMÁTICA LOGARITMO 03/08/2012
Nombre : ___________________________________Curso : 4° Medio
Profesor : Sr. Martín Hidalgo C.
Instrucciones : L a siguiente guía considera las propiedades de los Logaritmos y sus
aplicaciones. Lee y responde en tu cuaderno, no utilice calculadora. Justificar cada respuesta
realizando los cálculos pertinentes, según corresponda. No olvides de pegarla en tu cuaderno
DEFINICION : Sean u > 0 , a > 0 y a ≠ 1 , entonces:
log a ( u ) = x ⇔ ax = u
PROPIEDADES :
Sean a y b números positivos distintos de 1 , u y v números positivos, p
número real, n número entero distinto de cero y m número natural mayor que 1 ,
entonces:
1 ) Logaritmo de la unidad: log a ( 1 ) = 0
2 ) Logaritmo de la base: log a ( a ) = 1
3 ) Logaritmo de la potencia de la base: log a ( a n ) = n
Ejemplo: log 5 ( 625 ) = log 5 ( 5 4 ) = 4
4 ) Logaritmo del producto:
log a ( u v ) = log a ( u ) + log a ( v )
Ejemplo: log 2 ( 8 × 4 ) = log 2 ( 8 ) + log 2 ( 4 ) = 3 + 2 = 5
5 ) Logaritmo del cuociente:
log a ( u / v ) = log a ( u ) – log a ( v )
Ejemplo: log 3 ( 9 / 27 ) = log 3 ( 9 ) – log 3 ( 27 ) = 2 – 3 = – 1
6 ) Logaritmo de la potencia: log a ( u p ) = p log a ( u )
Ejemplo: log 2 ( 4 3 ) = 3 log 2 ( 4 ) = 3 × 2 = 6
log a ( u )
7 ) Logaritmo de la raíz: log a
( m
u ) = m
log 2 ( 64 ) 6
Ejemplo: log 2 ( 3
64 ) = 3 = 3 = 2

2. Instituto Premilitar Subteniente
Luis Cruz Martínez
TALAGANTE
log b ( u )
8 ) Logaritmo del cambio de base: log a ( u ) = log b ( a )
log 3 ( 81 ) 4
Ejemplo: log 27 ( 81 ) = log 3 ( 27 ) = 3
I.- Desarrolla aplicando las propiedades de los logaritmos:
3a 2a 2
1) log (2ab) 2) log
4 3) log
3 4) log a 5 b 4
5)
2
log
ab 6) log ab
7) log
x
2y 8) log 2 a b
3a 3 b 5a 2 b 4 c
9) log
c 10) log
2 xy 11) log(abc ) 3
12) log(
a c 4
2
)
3
2ab a2
13) log 7 ab3 5c 2
14) log
x y 2 15) log(a 2 − 2 )
b
16) log
5
b3
a ⋅3 b m −n
17) log
4
cd
18) log( x 4 − 4 )
y
19) log
2
a (b − c ) ( a + b) 2
20) log
d m 2 21) log 3
5c
II.- Reduce a un solo logaritmo :
1 1
1) log a + log b 2) log x – log y 3) 2
log x + log y
2
4) log a – log x – log y
5) log p + log q – log r – log s 6) log 2 + log 3 + log 4
1 1 1 3 5
7) 3
log a − log b − log c
2 2 8) 2
log a + log b
2
1
9) log a +
2
log b −2 log c 10) log (a + b) + log (a – b)
1 1 1
11) 2
log x − log y + log z
3 4 12) log(a – b) – log 3
1 p q
13) log a − log b + (log c − log d )
4
5
2
14) n
log a + log b
n
III.- Reemplaza y calcula :
Si log 2 = 0,3; log 3 = 0,47; log 5 = 0,69 y log 7 = 0,84.
1) log 4 2) log 6 3) log 27 4) log 14
2
5) log 2
6) log 3 15
7) log
3 8) log 3,5
2 1
9) 3 log
5
−4 log
7 10) log 18 – log 16
2

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Luis Cruz Martínez
TALAGANTE
IV.- Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones:
1) log 4x = 3log 2 + 4log 3 2) log (2x-4) = 2
3) 4log (3 - 2x) = -1 4) log (x + 1) + log x = log (x + 9)
5) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
6) log (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 7) 2log (x + 5) = log (x + 7)
log(7 + x 2 )
8) log x − log( x +
1 = 1 −
) log x +
4
9) log( x − 4)
=2
10) 2log (3x - 4) = log 100 + log (2x + 1)2
11) log2 (x2 - 1) - log2 (x + 1) = 2 12) log2x - 3log x = 2
13) 23x-1 = 3x+2 14) 52x-3 = 22-4x
15) log (x-a) - log (x+a) = log x -log (x-a)
3