Este documento trata sobre el tratamiento digital de señales y se enfoca en la transformada discreta de Fourier (DFT). Explica la formulación y propiedades de la DFT, métodos de filtrado lineal basados en la DFT, y la transformada rápida de Fourier (FFT). También introduce la transformada discreta del coseno (DCT), incluyendo sus relaciones con la DFT y sus aplicaciones como la compactación espectral en compresión de imágenes como JPEG.

1. Tratamiento Digital de SeñalesTEMA 2 : DFT (6 horas)Formulación de la DFTPropiedades de la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFTTransformada rápida de Fourier (FFT)Transformada discreta del coseno (DCT)TexPoint fonts used in EMF: AAAAAAAAAAAAAAA

2. Página 2Introducción a la DFT: Muestreo en FrecuenciaN muestras2p/N2p(N-1)/N2pp-p

3. Página 3Extensión Periódica y Muestreo en FrecuenciaPara N=5vPara N=4Para N=3

4. Página 4Derivación de la DFTEcuación 2Ecuación 1

5. Página 5CaveatEmptor2.5-1¿Es la transformación anterior biunívoca?1.5N=2

6. Página 6Formulación de la DFT

7. Página 7Ejemplos DFT 5 puntos……DFT 7 puntos……

8. Página 8Propiedades de la DFTDFT 4 puntos

9. Desplazamiento CircularPara N=5Página 9

10. Página 10Dualidad y Simetrías de la DFTN=4Como x[n] es real, para que X[k] sea real se debe cumplir que x[n]=x[((-n))N]Se cumple en todos los casos, luego la DFT es real

11. Página 11Dos formas de comprobar la Simetría DFTN par1Simétrica!!N=4N impar2Ejede SimetríaN=3543N=4N=4N=3

12. Página 12DFT y Convolución LinealDFT 5 puntosDFT 5 puntos2p-2p-pp-2p-pp2p

13. Página 13DFT y Convolución Lineal (II)DFT-1Aliasing temporalTF-1p-pMuestreoFrecuencialN=5N=5ExtensiónPeriódica

14. Página 14DFT y Convolución Circular

15. Página 15Cálculo de la Convolución Circular N=51210981564111

16. Página 16Convolución Lineal y Circular N=5ConvoluciónLineal en n=6ConvoluciónLineal en n=1

17. Página 17Convolución Lineal y Circular (II)N=7

18. Página 18Interpretación de la Convolución Circular Intervalo n=0,..N-1N=5109ConvoluciónCircular N=58Intervalo n=0,..N-1531N=5ConvoluciónlinealConvoluciónCircular y LinealN=7N=7N=7N=5N=7

19. Página 19Filtrado Lineal Basado en la DFT (Introducción)Cierto si se cumpleQue N ¸ L+P-1

20. Página 20Convolución por BloquesSi N ¸ L+P-1Precalculada(igual para todos los bloques)

21. Página 21Métodos de convolución por Bloques

22. Página 22L muestrasSin solaparP-1 Muestas solapadasDFT x H[k]Y DFT-1Solapamiento y SumaL=4P=3N=6L2L0L+P-20LL2L+P-22L2L3L+P-2

23. Página 23Solapamiento y Almacenamiento P-1 muestrasincorrectasN-P+1MuestrascorrectasN=5N=5N=5ConvoluciónCircular N=5ConvoluciónlinealEjemplo: N=L=5, P=3

24. Página 24Solapamiento y Almacenamiento (II)ConvoluciónincompletaP-1 muestras incorrectasL=4P=3N=400LL2L3L-1

25. Página 25Solapamiento y Almacenamiento (III)Despreciamos Las muestras incorrectasBloques de L muestras solapados P-1L=4P=3N=40L-10L-P+12L-P2(L-P+1)Faltanlas P-1 primeras muestas

26. Página 26Solapamiento y Almacenamiento (III)Despreciamos Las muestras incorrectasL=4P=3N=4Insertamos P-1 ceros0L+P-20L2L-P2L+P-22L2L

27. Página 27Solapamiento y Almacenamiento: Resumen

28. Página 28Transformada rápida de Fourier: FFT

29. Página 29FFT por Diezmado en Tiempo(H[k])(G[k])

30. Página 30Derivación de la FFT (II)

31. Página 31DFTN/2Puntos paresDFTN/2Puntos impares

32. Página 32DFTN/2Puntos paresDFTN/2Puntos impares

33. Página 33Derivación de la FFT (III)MariposaDe dos puntos

34. Página 34Diagrama de la FFT Diezmado en TiempoUsamos sólo N/2 muestras de la exponencial compleja

35. Página 35Comentarios

36. Página 36Transformada Coseno (DCT): IntroducciónSiempre ceropara N parya que H[N/2]=H*[N/2] N/2-1 valores Redundantes(si N par)N/2-1 valores Redundantes(si N par)Siempre ceroya que H[0]=H*[0]

37. Página 37Obtención de una Transformación Real

38. Página 38Tipos de DCTsDCT 1 DCT 2 DCT 3 DCT 4

39. Página 39DCT-2 DCT -2

40. Página 40Relación Entre DFT y DCT

41. Página 41Relaciónentre DFT y DCT (II)

42. Página 42 Relación Entre DFT y DCT-2: EjemploDesplazamiento de media muestraDFT-1 2NDFT 2NComplejaPero X2[k]=X2*[-k]Real y simétrica

43. Página 43Propiedades de la DCTDFT 6 puntosDCT 6 puntos