GUIA_ medidas nAulaV2021.pdf

GUÍA DIDÁCTICA MEDIDAS DESCRPTIVAS DE DATOS
1
GUIA DIDÁCTICA DE MEDIDAS
DESCRIPTIVAS DE DATOS
Realizado por:
Anaís J. Álvarez
Maracaibo, junio de 2011
Modificada Maracaibo, abril de 2021
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA PÚBLICA
DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS


2
Introducción
Bienvenido a la guía didáctica de
medidas de descripción y resumen de datos, en
la unidad anterior de distribuciones de frecuencia, se estudió el procedimiento para
la elaboración de tablas y gráficos que facilitan resumir, organizar y representar
datos para observar y analizar su comportamiento. En esta guía didáctica, se
abordan herramientas de las estadísticas descriptivas para visualizar el entorno de
manera global de acuerdo a sus generalidades, su forma y variabilidad de la
información, bien de manera agrupada o no.
Amigo estudiante, en cualquier análisis y/o
interpretación puede usarse una variedad de mediciones descriptivas que
configuran las principales características de la serie de datos en cuanto a la
tendencia central, variaciones y formas, la cual le proporciona de manera
sistemática la información del comportamiento general del área laboral y cotidiana
en la cual se desenvuelve. Además, le ayuda a lo largo de su trayectoria como
estudiante universitario en las áreas de finanzas, investigación de operaciones,
presupuesto incluso le ayuda al desarrollo de las tesis para optar al título
universitario.
Vamos a seguir el camino de la Estadística
Interactiva.

3
Competencias con sus indicadores de desempeño
De acuerdo a las competencias formuladas en la facultad de Ciencias
económicas y Sociales escuela de Administración y contaduría
publica la unidad curricular Estadística en esta sección contribuye al desarrollo
de estas competencias:
 COMPETENCIA GENERAL I. INVESTIGACIÒN
Capacidad para plantear procedimientos reflexivos y sistemáticos que posibilitan el
manejo de hechos y fenómenos, que permiten conocer la realidad por medio de la
observación, la descripción, la explicación y la predicción, preparando el camino para
cambios y transformaciones del entorno, por medio de una actitud crítica y honesta,
con valores y principios que inspiren y guíen la acción.
 COMPETENCIA GENERAL V. PENSAMIENTO CRITICO
Capacidad para analizar y evaluar la estructura y consistencia de los razonamientos,
reconocer y evitar las barreras y sesgos cognitivos; identificando la credibilidad de la
información con la finalidad de realizar argumentaciones válidas que permitan
sustentar la toma de decisiones.
 COMPETENCIA GENERAL VI. COMUNICACIÒN
Proceso de interacción social por medio del cual los individuos comparten la
información obtenida del entorno inmediato, y de los ámbitos regional, nacional e
internacional, expresando sus necesidades, aspiraciones, criterios y emociones.
 COMPETENCIA BÁSICA I. APRENDIZAJE AUTÓNOMO
Y CONTINÚO.
Elabora, relaciona y asocia la información a partir de la recibida de manera
autónoma, propia y específica en función de sus propias características y
experiencia previa para resolver problemas, buscar pautas.
 COMPETENCIA BÁSICA : VISION SISTÉMICA Y
ESTRATÉGICO
Capacidad del individuo para visualizar prospectivamente el contexto y escenarios,
sus elementos, procesos y relaciones, a través de métodos y técnicas de
planificación, organización, dirección y control, para asegurar la permanencia y
competitividad de la organización en el mediano y largo plazo, con un enfoque global,
una actitud innovadora y dentro de un marco ético, crear esquemas, reflexionar e
incorporar nuevas formas para interpretar el mundo que lo rodea.

4
COMPETENCIA
Especifica
Indicadores cognitivo
Indicadores
procedimental
Indicadores actitudinal
GV. PENSAMIENTO
CRÍTICO.
GVc2. Reconoce la
información
según su procedencia
detectando su
veracidad,
credibilidad y
aplicabilidad.
GVp6. Aplica
métodos en el
análisis y evaluación
de problemas.
GVa2. Participa
integrándose al
equipo en la toma de
decisiones para
la solución de
problemas colectivos
EI. GESTIÓN DE LA
INFORMACIÓN
ECONÓMICA Y
FINANCIERA.
EIp9. Analiza e
interpreta la
información financiera
y no financiera
de las
organizaciones.
EIp12. Elabora
informes para
apoyar la toma de
decisiones
financieras basadas
en las
necesidades internas
y externas de la
organización
utilizando
herramientas
cuantitativas, de
gestión, información
e índices financieros.
EIa2. Asume una
actitud
reflexiva y crítica
frente a su entorno
UNIDAD 2. Utilización
de medidas
de resumen como
indicadores
estadísticos del
comportamiento de
la información
financiera y no
financiera
- Medidas de
localización
- Medidas de
dispersión
- Medidas de relación
- Utilidad en la
investigación
Selecciona los valores
para el cálculo
de las medidas de
localización,
dispersión y relación
(GVc2) (EIp9)
Aplica métodos y
procedimientos
estadísticos para la
determinación de
los valores de las
medidas de
localización, dispersión y
relación
(GVp6) (EIp9)
Realiza los cálculos
inherentes a las
medidas de localización,
dispersión y
relación (GVp6) (EIp9)
Utiliza la información de
las medidas
de resumen para la
representación
gráfica de las mismas
(GVp6) (EIp9)
Toma decisiones sobre
los
procedimientos a seguir
utilizando las
medidas de resumen y
sus
representaciones gráficas
(GVp6)
(EIp12).
Valora el trabajo en
equipo realizando
trabajos cooperativos
acerca de los
temas a ejecutar en la
unidad de
aprendizaje (GVa2)
Valora la importancia del
trabajo en
equipo en la elaboración
de
representaciones,
cálculos y análisis
estadístico y la toma de
decisiones a
partir de ellos (GVa2)
Asume responsabilidades
en la
argumentación frente al
grupo de la
toma de decisiones de su
entorno
profesional (EIa2)

5
social y
profesional.

Contenido
Medidas de descripción de datos
1. Medidas de tendencia central
1.1. Para datos No Agrupados Variables Cuantitativas Continuas.
1.1.1. Media Aritmética.
1.1.2. Mediana
1.1.3. Moda.
1.2. Para datos No Agrupados Variables Cualitativas.
1.2.1. Mediana
1.2.2. Moda.
2. Medidas de tendencia central para datos agrupados variables cuantitativas
discretas
2.1. Media
2.2. Mediana.
2.3. Moda.
3. Medidas de tendencia central para datos agrupados variables cuantitativas
continuas.
3.1. Media
3.2. Mediana
3.3. Moda.
4. Medidas de Posición Cuantiles y Rango intercuartil
4.1. Cuantiles para datos No Agrupados.
4.2. Cuantiles para datos Agrupados variables cuantitativas discretas.
4.3. Cuantiles para datos agrupados variables cuantitativas continúas.
4.4. Rango intercuartil- Diagrama de Caja y Bigote.
5. Medidas de dispersión para datos no agrupados.
5.1. Rango
5.2. Varianza.
5.3. Desviación Estándar.
5.4. Coeficiente de Variación
6. Medidas de dispersión para datos agrupados variables cuantitativas discreta.
6.1. Varianza.
7. Medidas de Dispersión para datos agrupados variables cuantitativas continuas.

6
6.1. Varianza.
8. Medidas de Formas.
8.1. Coeficiente de Asimetría.
8.2. Coeficiente de Curtosis.
Infografía
Amigo para acompañarlo en este recorrido se cuenta con:
 Texto Anderson. David R.; Sweeney, Dennis y Thomas A., Williams.
(2008). Estadística para Administración y Economía. 10ª edición.
LEARNING CENGAGE. México. Capitulo 2 y 3 .
 Lind, Douglas A.; Marchal, William G y Mason, Robert D.(2004). Estadística
para Administración y Economía.11EDICION. GLOBA EDICIONES Bogotá,
Colombia. Capitulo 3.
Para el manejo de SPSS
 González, María Candelaria. (2007). Manual para la Codificación y el
Procesamiento Estadístico de lo Datos en los Cuestionarios con el SPSS versión
10.0 (En español)- Universidad del Zulia. Ediciones del Vice Rectorado
Académico. Capítulo IV y V.
 Merino Pardo, Antonio y Ruiz Díaz, Miguel Ángel. (2002). SPSS 11 Guía para el Análisis
de Datos. Editorial McGraw-Hill. España Madrid.
 En esta guía de estadística se encontrarán clasificados por módulos consultar
Modulo 3 y 4 de medidas de resumen de ubicación y dispersión.
http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/index.htm
Desarrollo del Aprendizaje

7
1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central indican explícitamente un valor medio, típico
o promedio. Se les llama medidas de tendencia central ya que sus valores tienden
a estar ubicados en el centro de una distribución ordenada.
La mayor parte de una serie de datos muestran una clara tendencia a agruparse
alrededor de un punto central, el cual proporcionará un valor que representará o
ayudará a describir toda la serie de datos, y poder tomar decisiones en cuanto al
comportamiento de una variable o situación empresarial o del entorno, ejemplo:
 Cuántas franelas producir en el mes de enero, dado el promedio de
ventas.
 Como gerente de recursos humanos, cual es la tendencia de los
sueldos en los últimos años, cuales con las características de los empleados
que están en la empresa, en cuanto: sexo, estado civil, edad, satisfacción en
el trabajo, número de hijos, entre otros.
Vamos a conocer las tres medidas de tendencia central, más usadas que se
llamaran las tres M:
 Media, significa promedio aritmético.
 Mediana, significa el valor central.
 Moda, significa el valor más común.
Las fórmula a aplicar depende del tipo de variable y si los datos están
agrupados o no. En esta sección se estudiará los datos no agrupados variables
cuantitativas y cualitativas.

8
1.1. PARA DATOS NO AGRUPADOS VARIABLES
CUANTITATIVAS.
1.1.1. MEDIA ARITMETICA
La primera de las M que se estudiará es la Media aritmética o promedio
aritmético es la medida más utilizada, sólo tiene sentido para datos cuantitativos,
bien discretos o continuos. Es la resultante de la sumatoria de las observaciones
hechas para una variable dividida entre el número total de observaciones.
La Media aritmética se simboliza:
  o Y cuando los datos proceden de una muestra, es decir son
estadísticos.
  cuando los datos son de una población, es decir parámetros.
La forma de calcularla dependerá de si los datos están agrupados o no. Por
ahora se utilizará la fórmula para datos no agrupados VARAIABLES
CUANTITATIVAS:
n
Xi



Realizar el siguiente ejercicio:
Calcular la media aritmética para los datos no agrupados del caso del número
de hermanos que tienen 5 personas.
3 4 3 2 0
Apliquemos la fórmula:

9
4
.
2
5
12
5
0
2
3
4
3








Interpretación: las cincos personas tienen en promedio 2.4 hermanos.
1.1.2. MEDIANA
La segunda M, es la Mediana de un conjunto de datos, es el valor
intermedio, su característica principal es que divide un conjunto de datos en dos
grupos iguales, porcentualmente seria el 50% tendrá valores menores y el otro 50
% contendrá valores mayores que el valor central. Tiene sentido para variables
cualitativas de escala ordinal y variables cuantitativas.
La simbología a utilizar es:
 Me, cuando es un estadístico, es
decir, se trate de datos muéstrales.
 e, cundo es un parámetro, es
decir procede de datos poblaciones.
El cálculo de la mediana dependerá del tipo de variable y si los datos están
agrupados o no.
A continuación se calcula la Mediana para datos no
agrupados:
Procedimiento
1. Ordenar los datos en forma ascendente o viceversa.
2. Precisar el tamaño de la muestra o población.
a. Si el tamaño de la muestra es impar, la mediana es (n+1)/2-ésimo valor,
o el valor intermedio del conjunto de datos.
b. Si el tamaño de la muestra es par, la mediana es el promedio de los dos
valores intermedios , la posición es (n+1/2)
Se Continuara con el ejemplo anterior para ejercitar el procedimiento.

10
Calcular la mediana para los datos no agrupados del número de hermanos
que tienen 5 personas, que se expresan a continuación:
3 4 3 2 0
Procedimiento
1. Ordenar los datos en forma ascendente o viceversa
Se ordena los datos en forma creciente.
0 2 3 3 5
Como n es impar
La Mediana es el 3, porque es el valor central.
Interpretación: el valor que divide los datos en dos partes iguales es 3, el
50% de las personas tiene menos de 3 hermanos y el restante, 50%, tiene más
de 3 hermanos.
Si el tamaño de muestra (n) es PAR, por ejemplo:
Calcular la moda al número de hermanos. Se tienen los datos:
3 4 3 2 0 1
El Procedimiento seria en siguiente:
1. Ordenar los datos en forma ascendente o viceversa
a. Se ordena los datos en forma creciente.
2. 1 2 3 3 5

11
Como n es Par
La Mediana es la sumatoria de los valores centrales
Me= (2+3)/2= 2.5
Interpretación: el 50% de las personas tienen mas de 2.5
hermanos y el restante 50% tienen más de 2.5 hermanos.
En algunos casos, cuando el tamaño de la muestra es grande, digamos más
de 30, no se es tan simple ubicar el valor de la Mediana entonces se puede
calcularla aplicando la fórmula de la posición o ubicación del valor de la
mediana. Cuando se va a aplicar este procedimiento de ubicación de la
mediana se tienen que considerar la posición o lugar que ocupa el dato después
de ordenados, bien se empieza a contar desde el primer valor o asignándole el
lugar que ocupa como está a continuación:
Ubicación de la mediana= (5+1)/2= 3 es lugar que ocupa la
mediana.
Datos 0 2 3 3 5
Posición o
ubicación
1° 2° 3° 4° 5°
La Mediana es el dato o valor que está ubicado en EL TERCER LUGAR
del grupo de datos ordenados.

12
Interpretación: el valor que divide los datos en dos partes iguales es 3, el
50% de las personas tiene menos de 3 hermanos y el restante, 50%, tiene más
de 3 hermanos.
Se observa el mismo caso, pero con el tamaño de la muestra de 6.
Aplicar la fórmula:
Ubicación de la mediana= (6+1)/2= 3.5°
La Mediana está entre el dato o valor que ocupa EL TERCER LUGAR y
EL CUARTO LUGAR del grupo de datos ordenados, por lo tanto se tiene que aplicar
el valor promedio de los datos centrales.
3
2
3
3



Me
Interpretación: el valor que divide la distribución ordena en dos partes iguales
es 3 hermanos, el 50%de los datos son menores 3 hermanos y el restante,
50%, serán mayores a este punto.
1.1.3. MODA
La última M es la Moda, es el valor que más se presenta en un conjunto de
datos, si los datos son no agrupados, se obtiene fácilmente en una clasificación
ordenada al contar el número de veces que se repite un valor o dato. Se utiliza con
variables cualitativos de escala nominal y ordinal, y con las variables cuantitativas.
La Moda se simboliza:
 Mo cuando es un estadísticos, es decir. los datos proceden de una
muestra.
Valores 0 2 3 3 4 5
Posición o
ubicación
1° 2° 3° 4° 5° 6°

13
 0 cuando es un parámetro, es decir. los datos proceden de una
población.
Se pueden dar los siguientes casos al calcular la moda:
Amodal. Un conjunto pequeño de datos en el que no se repite valores
carece de moda.
 Bimodal. Se puede dar en casos que dos valores sean iguales en cuanto
al número de veces que se repiten, se está en presencia de una
distribución bimodal.
Polimodal o multimodal. Si las distribuciones de medidas se presentan
más de dos modas se llaman multimodal.
Al igual que en los casos anteriores el cálculo de La Moda dependerá de si los
datos están agrupados o no y el tipo de variable.
Para la obtención de La Moda en datos no agrupados se realiza lo
siguiente:
Procedimiento:
1. Se ordenan los datos de mayor a menor o viceversa.
2. Se precisa la frecuencia de cada dato, La Moda es el valor que tenga
mayor frecuencia o el número de veces que se repite más, por ejemplo:
-4 -2 -1 -1 0 0 0
Moda : 0
21 28 28 35 41 43 43

14
Moda = 28 y 43 Bimodal
Interpretación: en la serie los datos que más se repiten son el 28 y el 43.
Calcular la Moda en el caso del número de hermanos:
Procedimiento:
1. Se ordenan los datos de mayor a menor.
2. Se precisa la frecuencia de cada dato, La Moda es el valor que tenga
mayor frecuencia o el número de veces que se repite más.
0 2 3 3 5
Mo: 3 hermanos
Interpretación: el número de hermanos que se repite con mayor frecuencia es
3 entre las personas consideradas.
Hay que resaltar que las tres M no sólo muestran el promedio, si se observan
en forma conjunta pueden dar indicios de la distribución de la variable y de cuál de
estas puede representar el comportamiento de la variable incluso de su simetría o
no. Con respecto a esta relación Martínez (2000:136) especifica:
a. Si la distribución es simétrica, los valores del promedio aritmético, la
mediana y el modo, serán idénticos y si la distribución es ligeramente
asimétrica, sus valores tendrán muy pequeñas diferencias.
o
e M
M 


Si o
e M
M 

 Se dice que la distribución es asimétrica positiva
Si o
e M
M 

 Se dice que la distribución es asimétrica negativa

15
b. Si la distribución es convexa y moderadamente asimétrica, la mediana
cae entre el promedio aritmético y el modo quedando aproximadamente
más lejos de este último que del primero, o sea, empíricamente:
 
e
e
o M
X
M
M 


 3
c. En cualquier distribución, en que los elementos originales difieren en
tamaño, las siguientes medidas difieran también en valor en el orden
siguiente:
Por lo general:
1
0
1
2
3 



 M
M
M
M
M
1.2. PARA DATOS NO AGRUPADOS VARIABLES CUALITATIVAS.
1.2.1. MODA Y MEDIANA
Las variables cualitativas son valores no numéricos, por lo tanto sólo se les
puede calcular, como se ha mencionado anteriormente, la mediana y la moda.
El calcula de la moda para variables cualitativas de escala nominal se
explica mediante el ejercicio siguiente:
Calcular la moda a los jugos mas pedidos por los estudiantes en el cafetín
FCESLUZ, los sabores son que han pedido 20 personas son:
LIMÓN LIMÓN LIMÓN LIMÓN NARANJA
FRESA NARANJA FRESA LIMÓN PIÑA
NARANJA PIÑA NARANJA FRESA LIMÓN

16
FRESA NARANJA LIMÓN PIÑA NARANJA
Procedimiento.
1. Como es una variable cualitativa nominal como no hay un orden
preestablecido se pueden agrupar los valores por categoría, luego contar
cada una para saber cual se repite más o contarlos directamente. Si los datos
son de escala ordinal se colocan según el orden preestablecido de mas o
menos, repetidos o no repetidos, y luego se cuentan.
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Limón = IIIIII=7
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Naranja = IIIIII=6
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Fresa = IIII=4
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Piña = III=3
2. La Moda, M es el valor que más se presenta en un conjunto de datos no
agrupados
Mo= Limón.
Interpretación: el sabor del jugo de fruta que más se repite entre los
estudiantes que acuden al Cafetín FCESLUZ es el Limón.
Para variables cualitativas de escala ordinal se procede así:
Se preguntó a 20 profesores de la Facultad de Ciencias Económicas y
Sociales la categoría, que respondieron lo siguiente:
Instructor, Asociado, Titular, Agregado, Titular, Titular, Instructor, Asociado,
Agregado, Titular, Instructor, Asociado, Titular, Agregado, Asociado, Titular
Agregado, Asociado, Titular, Instructor.
1. Como los datos son de escala ordinal se colocan según el orden
preestablecido de mas o menos o viceversa, repetidos o no repetidos, y
luego se cuentan.
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Titular = IIIIII=7
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Asociados = IIIII=5

17
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Agregado = IIII=4
Se cuenta cuántas veces se repite el sabor Instructor = IIII=4
2. La Moda, M es el valor que más se presenta en un conjunto de datos no
agrupados
Mo= Titular
Interpretación: la categoría de los profesores Facultad de Ciencias
Económica y Social de que más se repite es de Titular.
1.2.2. MEDIANA
La Mediana se emplea para Variables cualitativas que tengan escala
ordinal. Se procede a calcularla utilizando el mismo procedimiento de la sección
1.1.2.
PRACTICA
Se les preguntó a 5 profesores de la FCESLUZ la categoría.
Titular, Asociado, Asociado, Titular, Instructor
Procedimiento
1. Ordenar los datos en forma más o menor o viceversa: el Titular es más
que Asociado, este es más que Agregado, este tiene mayor categoría que
el instructor.
Se ordena los datos en forma de más categoría o menos según el orden
preestablecido o escalafón.
Titular, Titular, Asociado, Asociado, Instructor
3. Precisar el tamaño de la muestra o población, n es igual a 5 Es IMPAR por lo
tanto
a. Si el tamaño de la muestra es impar, el valor intermedio del conjunto de
datos.

18
Me = Asociado
Interpretación: la categoría de los profesores de FCESLUZ que divide los
datos en dos partes iguales es Asociado, el 50% de los profesores es al menos
Asociado y el restante, 50%, es menor de Asociado.
Supóngase que el tamaño de la muestra es par.
PRACTICA
Se les preguntó a 6 profesores de la FCESLUZ la categoría.
Titular, Titular, Asociado, Asociado, Instructor, Titular
Procedimiento
2. Ordenar los datos en forma más o menos o viceversa.
Titular, Titular, Titular, Asociado, Asociado, Instructor
4. Precisar el tamaño de la muestra o población,
a. El tamaño de la muestra es par n=6, como es una variable no numérica
no se suman los valores centrales, se observa que la mitad de las dos
categorías centrales van a dividir el total de datos en 50% y 50%. La Mediana
será en primer valor o categoría de los dos centrales en este caso Titular.
Me = Titular
Si se utiliza el fórmula de la posición de (n+1)/2 se observa que la
Mediana queda entre las dos categorías centrales, se toma para
interpretar el primer valor de los dos centrales.

19
Interpretación: La categoría de los profesores de FCESLUZ que divide los datos en
dos partes iguales es Titular, el 50% de los profesores es menos de TITULAR y
el restante, 50%, es menor de TITULAR.
Nota: A las variables cualitativas sólo se le puede calcular la moda y la mediana,
si es de escala ordinal. Si la variable cualitativa esta agrupada en una Tabla de
Distribución de Frecuencia, se realiza el mismo procedimiento que se emplea para
las variables Cuantitativas Discretas Agrupadas, que se explicara en las secciones
siguientes, en forma resumida seria:
 La mediana se determina con el mismo procedimiento que se explicará
en la sección 2.2.
 La moda se obtiene al observar la frecuencia absoluta en la TDF, el valor
de Xi que tiene la mayor frecuencia.
ACTIVIDADES DE CONTROL
1.Repasemos los términos.
Señale con una flecha la nomenclatura que corresponde según la definición:
nomenclatura Formula significado
Mo
Mediana (Me)
Media(  )

20
2. . Resolver el siguiente ejercicio:
Calcular las tres M al número de materias aprobadas por 20 estudiantes de
estadística, una vez resueltos comparte los resultados en el foro de consultas
y asesorías o en clases.
10 4 3 4 4 5 5 3 3 5
5 7 5 5 5 10 4 4 4 7
No dude en consultar alguna Duda.
2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS
AGRUPADOS VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS.
Ya se han estudiado las nociones básicas de las tres M, Media, Mediana y
Moda, calculándolas para datos no agrupados, a continuación se calcula en el caso
de variables cuantitativas discretas agrupadas en tablas de Distribuciones de
frecuencia.
Amigo estudiante al agrupar una variable cuantitativa discretas en una
tabla esta se resumen de acuerdo a su frecuencia por lo tanto para calcular las
medidas de tendencia central se tendrá que incorporar este componente a las
formulas. Para calcular las tres M, se utilizan datos del ejercicio número de
materias aprobadas que se sugirió en la actividad control, la misma se presenta
agrupada en una Tabla de Distribución de Frecuencia (TDF).
Hay que resaltar que la nomenclatura para las fórmulas que se utilizan son
propias, la cual se ha adaptado de las empleadas por Martínez (2000).
2.1. MEDIA ARITMÈTICA.

21
La fórmula para obtener la Media aritmética en base a las frecuencias
absolutas (ni) es la siguiente:
n
n
X i
i



.
Donde
Xi: es el valor de la variable en i.
ni: es la frecuencia absoluta, es decir el número de veces que se repite el valor.
n: es el tamaño de la muestra o número de observaciones total.
 : Promedio o media aritmética.
Se calcula la media aritmética al número de materias aprobadas de los
estudiantes de estadística, los datos resumidos están en la siguiente TDF (tabla
de distribución de Frecuencia), en esta solo se muestran los componentes que se
van a utilizar para el cálculo de las tres M.
Procedimiento (Ver tabla nro. 1):
1. Para aplicar la formula tenemos que añadir una columna adicional, donde se
multiplique cada Valor de Xi con su respectiva frecuencia absoluta (ni).
2. Luego se suman todos los valores resultantes del paso 1.
Tabla nro. 1
Tabla de Distribución de Frecuencia
Materias aprobadas de los Estudiantes de Estadística
FACES LUZ
Xi
Materias aprobadas
ni Ni Xi.ni
3 3 3  3 . 3 = 9
4 6 9  4 . 6 = 24
5 7 16  5 . 7 = 35
1

22
7 2 18  7 . 2 = 14
10 2 20  10 . 2 = 20
Total 20 =102
Fuente: Elaboración Propia.
3. Aplicar la formula, de la siguiente forma:
1
.
5
20
102



Interpretación: los estudiantes de estadística tienen en promedio 5.1
materias aprobadas.
2.2. MEDIANA
Amigo estudiante ahora vamos a calcular la Mediana.
PROCEDIMIENTO PARA DATOS AGRUPADOS CON VARIABLES
CUANTITATIVAS DISCRETAS:
1. Ubicar en qué fila esta la mediana, se calcula n/2.
Buscar en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas (Ni) el
resultada de n/2, se selecciona un valor igual o inmediatamente menor, el cual
se denomina No y el inmediatamente superior se le denomina Nj : frecuencia
absoluta acumulada de interés
2. Identificar la mediana de acuerdo a los casos u opciones que se pueden
presentar:
a.Si n/2 = No
2
3

23
2
j
X
Xo
Me


b. Si No < n/2
j
X
Me 
Practicar
Hallar en valor de la mediana del número de materias aprobadas que tienen
20 estudiante. :
Pasos (Ver tabla nro. 2)
1. Identificar la fila que contiene la mediana
Se calcula n/2.
n/2=. 20 / 2 = 10
Buscar en la columna de la frecuencia absoluta acumulada (Ni) un valor
igual o inmediatamente inferior a 10, la cual se le denominara No y el
inmediatamente superior se le denomina Nj : frecuencia absoluta acumulada de
interés, conjuntamente a los valores de Xi asumen el subíndice asignado a
las frecuencias absolutas acomunalas, observar cómo se representa en la
tabla nro. 2
Tabla nro. 2
Materas Aprobadas de los Estudiantes de Estadística
FACES LUZ
Xi
Materias
aprobadas
ni Ni
3 3 3

24
Xo 4 6 9 No
Xj 5 7 16 Nj
7 2 18
10 2 20
Total 20
3.Seleccionar la opción. ¿Qué caso resulto “a” o “b”?
a.Si n/2 = No
b. Si No < n/2
ES LA OPCIÓN “b” PORQUE
No < n
9 < 10
Entonces la j
X
Me  Me = 5 MATERIAS APROBADAS
Interpretación: El dato que divide a la distribución ordenada en dos partes
iguales es 5 MATERIAS APROBADAS, es decir, el 50% de los estudiantes tiene
menos de 5 materias aprobadas y el restante ha aprobado más de 5 materias. Es
el valor que deja en cada extremo de la serie ordenada igual cantidad de datos, en
ambos lados existe el 50% de los datos.
Suponga que No fuera igual a 10, entonces
No = n
10 = 10
Aplicar el caso “a”

25
5
.
4
2
5
4



Me
Interpretación:
El dato que divide a la distribución ordenada en dos partes iguales es 4.5
MATERIAS APROBADAS. Es el valor que deja en cada extremo de la serie
ordenada igual cantidad de datos, en ambos lados existe el 50% de los datos
2.3. MODA
Para calcular la Moda, para datos agrupados en variables cuantitativas
discretas se tiene el siguiente procedimiento:
1. Ubicar en la columna de las frecuencias absolutas (ni) el valor Xi que mayor
frecuencia presente, siendo el dato que más se repite, por lo tanto será la moda
del conjunto de datos analizados.
Ejercitar
Calcular la moda del número de materias aprobadas de los 20 estudiantes
de estadística.
Tabla nro. 3
Materias Aprobadas de los Estudiantes de Estadística
FACES LUZ
Xi
Materias aprobadas
ni Ni
3 3 3
4 6 9
Mo 5 7 16
7 2 18

26
10 2 20
Total 20
Interpretación:
El número de materias aprobadas que tiene más frecuencia son de 5 entre
los estudiantes de estadísticas.
Elaborar un formulario donde comprenda las formulas empleadas,
así le facilita la realización de los ejercicios y servirá de repaso de la unidad. Esta
técnica de resumen le facilita estudiar de forma independiente y evitando
desperdicio de tiempo.
 Resolver el siguiente ejercicio.
Una muestra de familias que se inscribieron en la compañía de
telefonía móvil registraron los siguientes números de llamadas la
semana pasada.
Tabla de distribución de frecuencia
Números de llamadas la semana pasada
De las familias
Número de
llamadas
XIi
Familias
(ni)
Ni

27
25 5
30 5
40 40
43
50 30
Total 100
Se pide
a. Complete la tabla de distribución de frecuencia.
b. Calcular la tres M( Media, Mediana y Moda).
c. Indicar cuál de las tres M expresa el comportamiento. ¿Cree usted
que la Media es un buen indicador del comportamiento de la
variable? Explique.
d. En este caso, se puede decir que la distribución de la variable es
simétrica. Justifique.
Comparta los resultados ayudando a sus compañeros del
ciberespacio.
No olvide, su participación es importante no deje acumular las
practicas, manténgase al día con las asignaciones del tema.
3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS
AGRUPADOS CUANTITATIVAS CONTINÚAS
Amigo estudiante al agrupar una variable cuantitativa continua en
intervalos de clases en una tabla de frecuencia, al igual que el anterior caso se
debe considerar la frecuencia absoluta como componente a las fórmulas para
calcular las medidas de tendencia central y se introduce el punto medio de clase
como representación de los límites de cada clase.

28
Además, se debe tener presente que al estar agrupadas en intervalos de
clases se pierde información de la data original, consecuentemente las medidas
resultantes son una aproximación de las que se pudieran obtener si se calcularan
como datos no agrupados. Pero a pesar de ello nos dan una buena aproximación
del comportamiento de la variable.
Para calcular las tres M, en este caso se utiliza en la tabla de Distribución de
frecuencia de la calificación de los estudiantes de estadística unidad I y II
Hay que resaltar que la nomenclatura que se utilizara es propia, la cual se ha
adaptado de las fórmulas que emplea Martínez (2000).
3.1. MEDIA
La fórmula para obtener la Media aritmética en base a las frecuencias
absolutas (ni) y el punto medio es la siguiente:
n
n
Ym
Y i
i


.
Donde
Y : promedio de la variable Y.
Ymi: valor del punto medio de la clase i .
ni: frecuencia absoluta de valor i, es decir el número de veces que se repite el valor.
n :tamaño de la muestra o total de numero de observaciones.
Calcular la media aritmética de la calificación obtenida por los estudiantes
de estadística, los datos resumidos que están en la tabla nro. 4 de distribución de
Frecuencia, solo muestra los componentes que se van a utilizar para el cálculo
de las tres M.

29
Procedimiento:
1. Para aplicar la formula se tiene que añadir una columna adicional, donde se
multiplique cada Valor de Ymi con sus respectiva frecuencia absoluta (ni).
Tabla nro. 4
Calificación de los Estudiantes de Estadística Unidad I y II
FACES LUZ
Junio 2009
Yi Ys
Ym ni Ni Ymi.ni
10 - 12 11 4 4 11 . 4 = 44
12 - 14 13 6 10 13 . 6 = 78
14 - 16 15 9 19 15 . 9 = 135
16 - 18 17 6 25 17 . 6 = 102
18 - 20 19 5 30 19 . 5 = 95
Total 30 = 454
Fuente: elaboración propia
2. Luego sumar todos los valores resultantes.
3. Aplicar la formula.
13
.
15
30
454


Y
1
2
3

30
Interpretación: los estudiantes de estadística tienen UNA CALIFICACION
promedio de 15.13 puntos.
3.2. MEDIANA
El cálculo de la Mediana, tiene el siguiente PROCEDIMIENTO PARA
DATOS AGRUPADOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS
1. Identificar en qué intervalo de clase o fila se encuentra la segunda M (
Mediana), de la siguiente forma:
Se calcula n/2.
Buscar en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas (Ni) el
resultada de n/2., se selecciona un valor igual o inmediatamente menor, la
cual se denomina No y el inmediatamente superior se le denomina Nj:
frecuencia absoluta acumulada de interés.
Nota: asumen el subíndice j todos los componentes de esta fila o clase.
2. IDENTIFICAR la mediana de acuerdo a los casos u opciones que se pueden
presentar:
a. Si n/2 = No
Yij
Me 
b. Si No < n/2 , aplicar la fórmula:
 










 2
/
.
n
N
n
a
Ysj
Me j
j
Donde

31
Ysj: límite superior de la clase donde se encuentra la mediana.
Yij: límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
Nj: frecuencia absoluta acumulada en el que esta la clase de la
mediana.
nj: frecuencia absoluta en la que está la clase de la mediana.
a:amplitud de la clase de la mediana.
n: tamaño de la muestra.
Practicar
Hallar en valor de la mediana de las calificaciones de los estudiantes de
estadística,( VER TABLA NRO 5)
1. Obtener la columna de la frecuencia absoluta acumulada en donde se ubica
la mediana.
Se Calcula n/2.
n/2=. 30 / 2 = 15
Buscar en la columna de la frecuencia absoluta acumulada (Ni) un
valor igual o inmediatamente inferior a 15 la cual se le denominara No y el
inmediatamente superior se le denomina Nj : frecuencia absoluta acumulada
de interés. Así mismo los valores de Yi, Ys y la frecuencia absoluta asumen
el subíndice asignado a las frecuencias absolutas acumuladas, observe
como se representa en la tabla nro. 5.
Tabla nro. 5
Calificación de los Estudiantes de Estadística unidad I y II
FACES LUZ
Junio 2009
Yi Y Ym ni Ni
10 - 12 11 4 4
12 - 14 13 6 10 No
Yij 14 -Ysj 16 15 nj 9 19 Nj

32
16 - 18 17 6 25
18 - 20 19 5 30
Total 30
FUENTE: Elaboración Propia.
2. Identificar la mediana
No < n/2
10 < 15
Se está en la opción “b” por lo tanto aplicar la formula.
  11
.
15
15
19
9
2
16 









Me
Interpretación:
El 50% de los estudiantes de estadística tiene una calificación menor de 15.11
puntos, y el restante 50%, la calificación es mayor a 15.11 puntos.
Suponga que No sea igual a 15, entonces
No = n/2
15 = 15
Aplicar el caso “a”
14

Me
Interpretación:

33
El 50% de los estudiantes de estadística tiene una calificación menor de 14
puntos, y el restante 50%, la calificación es mayor a 14 puntos.
3.3. MODA
Amigo estudiante para calcular la tercera M, la Moda (Mo) se puede aplicar
mediante diversas fórmulas cuando los datos están agrupados en intervalos de
clase, haciendo la salvedad que el resultado indicara un valor aproximado, ya que
al agrupar los datos se introduce cierto error al no poderse precisar que datos se
repite con mayor frecuencia.
Para su cálculo, indiferentemente de que formula se utilice se debe realizar el
procedimiento siguiente:
1. Ubicamos el intervalo que tiene la clase modal, en la columna de la
frecuencia absoluta (ni) se selecciona la fila que tenga la mayor
frecuencia = no= clase modal , donde :
nj: La inmediatamente inferior es la clase premodal.
ns: La inmediatamente superior es la clase postmodal
no: la clase modal, es el intervalo que tiene la moda.
2. Calculo de la moda a través de las siguientes formulas:












j
s
s
ij
n
n
n
a
Y
o *

34
Donde
Yij: es el límite inferior del intervalo que posee la frecuencia absoluta mayor.
a: amplitud de los intervalos de clase.
no: la clase modal, es el intervalo en que se concentran la mayor cantidad de datos.
nj: clase premodal se localiza en la posición inmediatamente inferior o está por
debajo de la clase modal.
ns: clase postmodal , que se encuentra en la posición inmediatamente superior de
la clase modal o por encima de no.









ds
dj
dj
a
Yji
Mo *
Dónde:
dj: no-nj, es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia
absoluta de la clase premodal.
ds:no-ns, es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia postmodal.
Realizar un ejercicio
Calcular la moda de la calificación de la unidad I y Unidad II de los
estudiantes de estadística.
1. Ubicamos el intervalo que tiene la moda, en la columna de la frecuencia
absoluta (ni) la mayor frecuencia la cual denominamos = no= clase modal, a
partir de este identificamos la frecuencia de la clase premodal y posmodal,
como se aprecia en la tabla nro. 6. Donde
2. Calculo de la moda a través de la siguientes formulas:

35




















j
s
s
ij
n
n
n
a
Y
o .
Sustituyendo
15
6
6
6
2
14 















o
Tabla nro. 6
FACES LUZ
Junio 2009
Yi Ys
Ym ni
10 - 12 11 4
12 - 14 13 6 nj
Yij 14 -Ysj 16 15 9 no
16 - 18 17 6 ns
18 - 20 19 5
Total 30
Fuente. Elaboración propia.
no= 9 nj= 6 ns=6
Interpretación:

36
La calificación que aproximadamente se repite más entre los estudiantes de
estadística es de 15 puntos.
Nota: solo se utilizara esta fórmula para el cálculo de
Moda.
1. Elaborar un formulario que comprenda las fórmulas
empleadas en el caso de datos agrupados para variables
continuas. Esta técnica de resumen te facilita estudiar de
forma independiente y evitar desperdicio de tiempo. Es
importante que distinga cuando aplicar las distintas fórmulas.
2. De la sección 2. Medidas de Descriptivas de la pagina Bioestadística:
Métodos y Aplicacioneshttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/ apartado 2.11
problemas resolver el ejercicio 2.5
Felicitaciones por tu dedicación y responsabilidad….
Ha llegado a ver las medidas de tendencia central para datos
no agrupados y agrupados no deje acumular prácticas.
¡Continua así, el reto es terminar!
Comparte con la comunidad virtual.
No estás solo en este camino de la estadística interactiva tus
aportes son importantes.
Cualquier duda consulta a su tutor.

37
4. MEDIDAS DE POSICIÓN CUANTILES Y RANGO
INTERCUARTIL.
Los cuaNtiles son medidas de posición al igual que las medidas de
tendencia central, pero estas son medidas no centrales que determinan
la ubicación de los valores dividiendo un conjunto de observaciones
en partes iguales.
Los cuartiles se dividen en:
 Cuartiles
son valores que
divide los datos en 4
partes
porcentualmente
iguales
Q1 Q2 Q3
 Deciles
son valores que
divide los datos en
10 partes
porcentualmente
iguales
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9
 Percentiles
son valores que
divide los datos en
100 partes
porcentualmente
iguales
P1…P1O ...P20 …P25 P30……P 50..P60…….P70……P75…….P80….P90.P91…P92...P99
Se puede observar que los Cuartiles y deciles equivalen a algún percentil,
por ejemplo:
Q1= Percentil 25

38
Q2= Decil 5= Percentil 50
Q3= Percentil 75
Esta equivalencia facilita el cálculo de los cuartiles y deciles, pues al llevarlos
a percentiles solo se tiene que utilizar la fórmula Percentil.En la figura 1 se
presentan todas las medidas de posición:
Figura 1
Medidas de Posición
Fuente: De la Rosa y Col. (2009: 15)
ACTIVIDADES RECOMENDADAS
1.Repasar
Indique en qué consisten los cuantiles e indique una
semejanza y una diferencia entre ellos:
Central
Promedios
Matemáticos
Media Aritmética
Media Geométrica
MG
Media
Ponderada
Promedios No
Matemáticos
Mediana (Med)
Moda (Mo)
No Central
Cuartiles (Qx)
Deciles
(Dx)
Percentiles
(Px)

39
cuartiles
Deciles
Percentiles
5. MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS NO AGRUPADOS
Las Medidas de Dispersión o variabilidad son aquellas que
determinan como se agrupan o se dispersan los datos alrededor de un promedio.
Indican si los valores están relativamente cercanos unos a otros o si se encuentran
dispersos. Este tipo de medida solo tiene sentido en las variables cuantitativas, bien
discretas o continuas.
Las medidas de dispersión informan acerca del grado de homogeneidad o
heterogeneidad de los datos de la distribución. En la mayoría de los caso, indican
la forma en que los datos se concentran alrededor de alguna de las tres medidas de
tendencia central.
Las medidas de dispersión más utilizadas se basan en las desviaciones con
respecto a la media, estas son:
 Rango.
 Varianza.
 Desviación Estándar.
 Coeficiente de variación.
Para el cálculo de estas medidas hay en considerar si los datos están
agrupados o no y el tipo de variable. A continuación se calcularan para datos no
agrupados variables cuantitativas.

40
Para las variables de tipo cualitativos no tiene sentido el cálculo de estas
medidas de variabilidad, porque no son de carácter numérico.
5.1. RANGO.
EL RANGO es una medida que muestra la distancia entre el valor máximo y
mínimo del conjunto de datos, por ello es una de las medidas más fácil calcular. Se
simboliza con R, cuando es un Parámetro, se calcula con datos de la población y
r cuando es un estadístico.
Se obtiene para datos no agrupados
r = VALOR MÁXIMO - VALOR MÍNIMO
PRACTICAR
CALCULAR EL RANGO DEL NÚMEROS DE HERMANOS DE LAS 5 PERSONAS, que
se expresan a continuación:
3 4 3 2 0
PROCEDIMIENTO:
1. Identificar el valor máximo y mínimo del conjunto de datos.
r= 4 - o = 4
Interpretación: entre el conjunto de datos hay una diferencia de 4
hermanos entre el que más tiene y el que menos tiene.
Nota Para calcular el rango de datos agrupados.

41
SI ES UNA VARIABLES DISCRETA, Tomamos el VALOR MÁXIMO Y VALOR
MÍNIMO EXPRESADOS EN LA TABLA.
EN CASO DE TRATARSE DE UNA VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
AGRUPADOS EN INTERVALOS DE CLASES SE CALCULA con el límite inferior
de la primera clase y el límite superior de la última clase.
Por su fácil cálculo no se harán ejemplos de la aplicación de la fórmula para
estos casos.
5.2. VARIANZA.
La varianza señala aproximadamente, como es el grado de dispersión de los
datos con respecto a la media. Es la media de los cuadrados de los desvíos de una
distribución.
Se caracteriza por qué toma todos los valores del conjunto de datos, no es
influida por los valores extremos, no puede ser negativa. (Lind y colaboradores:
2004,129)
Se simboliza con S2
, que representa un estadístico es decir, cuando se trata
de la varianza de la muestra, y con la letra GRIEGA 2
, cuando se refiera a un
parámetro o valores de la población:
En la fórmula de la Varianza se elevan al cuadrado los desvíos porque la media
actúa como punto de equilibrio para la distribución de los datos y la sumatoria de
los desvíos es igual a cero.
Se obtiene de diferente forma, para datos no agrupados:
 DATOS DE LA MUESTRA

42
1
*
2
2
2




n
n
X
Xi
S O =


1



n
X
Xi
 DATOS DE LA POBLACIÓN
N
n
X
Xi *
2
2
2  




N
Xi
  
O =
PRACTICAR
Calcular la varianza de los números de hermanos de las
5 personas, que se expresan a continuación:
3 4 3 2 0
PROCEDIMIENTO:
1. Elevar al cuadrado cada uno de los datos.
32
42
32
22
02

43
2. Sumar cada uno de los resultados obtenidos en el punto anterior:
38
0
4
9
16
9 




1
.
2
2
2


 
n
n
X
Xi
S =
  3
.
2
4
2
.
9
4
8
.
28
38
1
5
5
.
4
.
2
28
2
2







S
INTERPRETACIÓN: LA VARIANZA ES DE 2.3 HERMANOS 2
NOTA El cálculo de la varianza da los resultados en unidades al cuadrado,
Ejemplo: números de Hijos al cuadrado, miles de bolívares al cuadrado. Por lo tanto,
es más usada la desviación estándar como medida principal de variación cuyo valor
está en unidades originales de los datos. ADEMÁS CON ELLA PODEMOS TENER
UNA IDEA MÁS PRECISA SOBRE CÓMO ESTÁN LOS VALORES ALREDEDOR DE LA
MEDIA.
5.3. DESVIACIÓN ESTÁNDAR

44
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Se simboliza con
S, cuando se trata de la varianza de la muestra o estadístico, y con la letra GRIEGA
(sigma), cuando se refiera a valores de la población o parámetro. Esta
media es útil para medir el riesgo en las actividades empresariales como
fluctuaciones de las acciones, bolsa de valores.
La varianza y la desviación estándar SON COMO SIAMESES, AL CONOCER
UNA se obtiene LA OTRA. , ambas tienen las mismas características en cuanto,
no pueden ser negativas y considera todos los valores para su cálculo.
La desviación estándar mide el promedio la dispersión alrededor de la media,
es decir como las observaciones mayores fluctúan por encima de esta y cómo las
observaciones menores se distribuyen por debajo de ésta. Para poder interpretarla
se debe considerar un intervalo alrededor de la media más o menos una desviación
estándar en este se concentran la mayoría de los datos, gráficamente sería:
𝑋
𝑋- 1 S 𝑋+1S
La fórmula para datos no agrupados es la siguiente:
𝑆 =
𝑋2−𝑋2∗𝑛
𝑛−1
O S = 𝑆2
Practica:

45
Calcular la desviación estándar del número de hermanos de las 5
personas, que se expresan a continuación:
3 4 3 2 0
PROCEDIMIENTO:
1. Elevar al cuadrado cada uno de los datos.
32
42
32
22
02
2. Sumar cada uno de los resultados obtenidos en el punto anterior:
38
0
4
9
16
9 




𝑆 =
38 − 2.4 2. 5
5 − 1
= 1.51
INTERPRETACIÓN: LA dispersión promedio alrededor de la media es de 1.51
hermanos, gráficamente seria:
X
0.89 2,4 3.91
1.51 1.51

46
Se observa que en promedio los datos estarán fluctuando en 1,51 hermanos
por encima y debajo de la MEDIA, es decir en promedio la mayoría de los datos
estarán entre o.89 hijos y 3.9 hijos.
En el proceso de elevación al cuadrado, los datos que están más alejado de la
media tiene mayor peso que los más cercanos, por lo tanto afectan más al cálculo
de la varianza y la desviación estándar, pudiendo generalizar de la siguiente forma:
(Berenson y colaboradores, 2001:118)
 Mientras más dispersos estén los datos, mayor será el rango, la varianza y
desviación estándar.
 Mientras más concentrados u homogéneos sean los datos, menor será el rango,
la varianza y la desviación estándar.
 Si los datos son todos iguales de tal forma que no hay variación, las medidas de
variabilidad serán todas cero.
 Las medidas de variación (rango, rango intercuartil, varianza y desviación
estándar) nunca son negativas.
5.4. COEFICIENTE DE VARIACIÓN
Pearson (1857-1936) desarrollo una medida relativa denominada Coeficiente de
variación según Lind y colaboradores 2004: 115, es la cociente de dividir la
desviación estándar entre el promedio aritmético por cien.
Es una medida relativa de variación que sirve para comparar las dispersiones
de dos o más distribuciones o muestras diferentes. También, sirve para determinar
el grado de representatividad de la media aritmética, la cual será más representativa
en la medida en que la dispersión de los datos con relación a la media sea menor.
Berenson y colaboradores,(2001, 125) señalan que:

47
 El coeficiente de variación es particularmente muy útil para al
comparar la variabilidad de dos o más series de datos que se
expresan en distintas unidades de medición.
 El coeficiente de variación también es muy útil al comparar dos o
más conjuntos de datos que son medidos en las mismas unidades
pero difieren hasta tal punto que una comparación directa de las
respectivas desviaciones estándar no es muy útil.
La Fórmula del Coeficiente de variación se expresa, bien sea para
datos no agrupados o agrupados:
𝐶𝑉 =
𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟
𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑜
∗ 100
100
.
X
S
CV 
El coeficiente de variación indica mayor o menor discreminabilidad entre
varias distribuciones. Entendiéndose por esta como la capacidad de diferenciar los
datos de los demás, en la medida que los datos sean más dispersos, será más fácil
diferenciarlos, la siguiente es una referencia de cómo se puede considerar la
dispersión de acuerdo al resultado del coeficiente de variación.
Porcentaje Dispersión
81 -100 Muy alta
61 -80 Alta
41-60 Normal(moderada, mediana)
21-40 Baja
0 - 20 Muy baja

48
Practica:
Calcular el coeficiente de variación del número de hermanos
de 5 personas, que se expresan a continuación:
3 4 3 2 0
Como se ha calculado la desviación estándar y la media aritmética en los
apartados anteriores se procede a aplicar la formula directamente
𝐶𝑉 =
1.51
2.4
∗ 100 = 62,91%
NTERPRETACIÓN: LA VARIACIÓN O LA DISPERSIÓN CON RESPECTO A LA MEDIA ES
DE 62,91%, ES ALTA LA VARIABILIDAD SON HETEROGÉNEOS LOS DATOS.
Repasemos los términos.
1. Define con tus propias palabras y coloca la nomenclatura a utilizar
Término Definición NOMENCLATURA
VARIANZA
RANGO
DESVIACION ESTANDAR
COEFICIENTE DE
VARIACIÓN

49
2.Resolver el siguiente ejercicio
Calcular el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de
variación al número de materias aprobadas por 20 estudiantes de estadística.
10 4 3 4 4 5 5 3 3 5
5 7 5 5 5 10 4 4 4 7
CUENTAS CON LA COMUNIDAD EN EL ESPACIO DE ESTADISTICA
interactiva
No dude en consultar alguna las interrogantes que
tengas.
6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS VARIABLES
CUANTITATIVAS DISCRETAS
Ya se han estudiado las nociones básicas de las medidas de dispersión
calculándolas para datos no agrupados, a continuación se empezará a calcular en
el caso de variables cuantitativas discretas agrupadas en tablas de Distribuciones
de frecuencia, específicamente: la varianza, desviación estándar y el coeficiente de
variación, ya que las demás medidas se aplican indiferentemente de si son
agrupadas o no.
Hay que resaltar que la nomenclatura para las fórmulas que se utilizarán es
propia, la cual se ha adaptado de las fórmulas que emplea Martínez (2000).

50
La fórmula para obtener la VARIANZA muestral en base a las
frecuencias absolutas (ni) es la siguiente:
Donde
Xi: es el valor de la variable.
ni: es la frecuencia absoluta, es decir el número de veces que se repite el valor.
n es el tamaño de la nuestra o número de observaciones total.
 : Promedio o media aritmética.
Ejercicio a realizar
Calcular la VARIANZA al número de materias aprobadas de
los estudiantes de estadística, los datos resumidos están en la
siguiente TDF( tabla de distribución de Frecuencia), la tabla esta solo
con los componentes que se van a utilizar. (Ver tabla nro. 13)
Pasos:
1. Añadir una columna adicional, donde se eleva al cuadrado el cada Valor
de Xi y multiplique con su respectiva frecuencia absoluta (ni).

51
Tabla nro. 13
Materias Aprobadas de los Estudiantes de Estadística
FACES LUZ
Xi
Materias aprobadas
ni Ni X i
2
.ni
3 3 3  32
. 3 = 27
4 6 9  42
. 6 = 96
5 7 16  52
. 7 = 175
7 2 18  72
. 2 = 98
10 2 20  102
. 2 = 200
Total 20 = 596
Fuente: Elaboración Propia.
2. Luego sumamos todos los valores resultantes
3. Aplicar la fórmula de la siguiente forma:
Interpretación: la variabilidad con respecto a la media es de 3.98 hermanos al
cuadrado.
6.2. DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La fórmula para obtener la DESVIACIÓN ESTÁNDAR en base a las
frecuencias absolutas (ni) es la siguiente:
1
2
3

52
Para aplicar la formula se utilizarán los datos de la tabla Nro. 13 del
Número de Materias Aprobadas de los estudiantes de estadística.
Despejar en la fórmula:
INTERPRETACIÓN: la variabilidad de los datos es baja con respecto a la media
ya que la oscilación de los datos va a estar en más o menos 1,99 materias con
respecto a la media, gráficamente:
3.11 5.1 7.09
1.99 1.99
6.3. COEFICIENTE DE VARIACION
La fórmula para el COEFICIENTE DE VARIACIÓN es la siguiente

53
Calcular el coeficiente de variación al número de materias aprobadas de 20
estudiantes de estadística.
INTERPRETACIÓN: la dispersión con respecto a la media es de 39.01%,
es baja. Tiende a ser los datos homogéneos.
1. Elaborar un formulario donde comprenda las formulas
empleadas, así le facilita la realización de los ejercicios y
servirá de repaso de la unidad. Esta técnica de resumen te
facilita estudiar de forma independiente y evitando
desperdicio de tiempo
EL HOSPITAL METROPOLITANO DE México lleva un registro del número de
personas que se sospecha tienen la enfermedad de la H1N1 en los últimos 60 días. Se
especifican a continuación
Número de personas que se sospechan tengan la gripe porcina
En el Hospital metropolitano de México
Xi
Número de personas con
sospechas de la enfermedad
Días
90 10
96 15
110 15
200 10

54
220 10
Total 60
 Calcular el promedio aritmético.
 Calcular el rango, la varianza y la desviación estándar, indique si los
datos son homogéneos o heterogéneos. Por qué
Comparta los resultados
Así estarás ayudando a sus compañeros del ciberespacio.
No olvide su participación es importante no deje acumular las prácticas,
manténgase al día con las asignaciones del tema
7. MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS
VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINÚAS
Al agrupar los datos en intervalos de clases se tiene que considerar además
de la frecuencia absoluta (ni) el punto medio de clases (Ym).
Hay que resaltar que la nomenclatura para las fórmulas que se utilizara es
propia, la cual se ha adaptado de las fórmulas que emplea Martínez (2000).
7.1. VARIANZA
La fórmula para obtener la Varianza para datos agrupados en intervalos de
clases se utiliza la siguiente fórmula:
Donde
Y : promedio de la variable Y
Ymi: valor del punto medio de la clase i

55
ni: frecuencia absoluta de valor i , es decir el número de veces que se repite
el valor.
n :tamaño de la muestra o total de numero de observaciones
Ejercitar
Calcular la Varianza (S2) de la calificación obtenida por los estudiantes
de Estadística en la unidad I y II , los datos resumimos están en la tabla
Nro. 14 de distribución de Frecuencia , la tabla solo muestra con los
componentes que se van a utilizar para el cálculo de la S2
.
Procedimiento.
1. Para aplicar la fórmula se tiene que añadir una columna adicional, donde se
multiplique cada Valor de Ymi con su respectiva frecuencia absoluta (ni).
2. Luego se suman todos los valores resultantes
Tabla nro. 14
FACES LUZ
Junio 2009
Yi Ys
ni Ym Ymi
2
.ni
10 - 12 4 11 112
. 4 = 484
12 - 14 6 13 132
. 6 = 1014
14 - 16 9 15 152
. 9 = 2025
16 - 18 6 17 172
. 6 = 1734
18 - 20 5 19 192
. 5 = 1805
Total 30
= 7062
1
2

56
3. Aplicar la fórmula::
Interpretación: la varianza de la calificación de los estudiantes en la unidad I y II
es de 3.706 puntos 2.
7.2. DESVIACIÓN ESTÁNDAR.
Aplicar la siguiente fórmula para calcular la Desviación estándar en
casos de agrupar los datos en intervalos de clases
O
Donde
Y : promedio de la variable Y
3

57
Ymi: valor del punto medio de la clase i.
ni: frecuencia absoluta de valor i , es decir el número de veces
que se repite el valor.
n :tamaño de la muestra o total de número de observaciones.
Ejercicio a realizar
Calcular la Desviación Estándar (S) de la calificación obtenida por los
estudiantes de estadística en la unidad I y II , los datos que vamos a utilizar están
en la tabla Nro. 14 que se empleó en la sección anterior. Se despejan los valores
en la fórmula:
INTERPRETACIÓN: la variabilidad en promedio oscila entre más o menos de 2.58
puntos con respecto a la media, gráficamente sería:
12.55 15.13 17.71
2.58 2.58

58
La mayoría de los datos estará comprendido entre un intervalo de 12.55 y
17.71 puntos, se puede apreciar que la variabilidad es baja, los datos son
homogéneos.
Es importante resaltar que para este caso la desviación estándar y la media
tienen una relación muy estrecha, mientras más baja es la desviación estándar
indica que los datos u observaciones están más cerca de la media, y mientras más
grande sea la desviación estándar señala que los datos u observaciones están más
alejados de la media.
Esta relación se puede explicar con mayor precisión si las distribuciones son
simétricas, en lo que se llama la regla empírica, algunas veces se denomina regla
normal, (Lind y colaboradores: 2004,113), que establece en una distribución de
frecuencia simétrica, con la forma de campana, tiene la siguiente característica:
 Aproximadamente el 68% de las observaciones estarán a más o menos una
desviación estándar desde la media;
 Aproximadamente el 95% de las observaciones estarán a mas o menos dos
desviaciones estándares desde la media;
 Prácticamente todas las observaciones (99.7%) se hallaran entre más y
menos desviaciones estándares desde el valor medio. (Ver figura nro. 1)
Figura nro. 1
Grafica de Simetría

59
Fuente:
Para llegar a determinar si una variable tiene una distribución normal se debe
observar conjuntamente el histograma, el resultado de las tres M y la desviación
estándar. Esto es muy importante pues al detectar cómo es el comportamiento de
variable ayudara a elegir técnicas de inferencia estadística, si se va hacer
predicciones o estimaciones.
7.3. COEFICIENTE DE VARIACION.
La fórmula para el COEFICIENTE DE VARIACIÓN es la siguiente:
Calcular el coeficiente de variación a la calificación de los 20 estudiantes de
estadística. El promedio aritmético es de 15.13 puntos y la desviación estándar es
de 2.58 puntos

60
Interpretación: la dispersión con respecto a la media es de 17.05%, es
baja la variabilidad. Los datos tienden a ser homogéneos
1. Elaborar un formulario donde comprenda las fórmulas empleadas, así le
facilita la realización de los ejercicios y servirá de repaso de la unidad.
Esta técnica de resumen te facilita estudiar de forma independiente y
evitando desperdicio de tiempo
El propietario de una consultoría desea analizar los tiempos requeridos para
la conclusión de un trabajo de sus empleados al atender a un cliente. Para
ello toma una muestra de 200 empleados, en la siguiente tabla se muestran
los tiempos requeridos en minutos:
Tiempo requerido de atención al cliente
Diciembre de 2010
Yi Ys ni Ym
15 20 40 17.5
20 25 20 22.5
25 30 50 27.5
30 35 80 32.5
35 40 10 37.5
Totales 200

61
Se Pide:
a. ¿Cuál es el tiempo promedio que duran los trabajadores atendiendo los
clientes?
b. Calcular el rango, la varianza, desviación estándar y el coeficiente de
variación. De acuerdo a estos resultados se puede decir que los datos
son homogéneos o heterogéneos. Justifique su repuesta.
Comparte tus logros con los cibercompañeros
Cuentas con el foro de dudas para cualquier
consulta
8. MEDIDAS DE FORMA.
Las Medidas de FORMA son aquellas que
determinan la distribución de una variable conforme a cómo se comporta la
información analizada, bien de acuerdo a como se comportan los datos en torno a
la media (simetría) y al grado de apuntamiento de la curva. Esta medida tiene
sentido para variables cuantitativas
Cuando dos distribuciones coinciden en sus medidas de posición y
dispersión, no se tiene datos analíticos para ver si son distintas. Una forma de
compararlas es mediante su forma. Bastará con comparar la forma de sus
histogramas o diagramas de barras para ver si se distribuyen o no de igual manera.
(Oliva, 2011)
Si bien mediante una representación gráfica podríamos visualizar la forma
como está distribuida una variable, si es simétrica o no, la utilidad de la MEDIDAS
DE FORMA radica en la posibilidad de identificar las características de la
distribución sin necesidad de generar el gráfico.

62
Las medidas de distribución o forma están estrechamente relacionadas con
las medidas de tendencia central y de variabilidad. El modelo de referencia para
determinar la distribución de las variables es la distribución Normal.
Sus principales medidas son:
 El coeficiente de Asimetría
 El coeficiente de Curtosis o Kurtosis
Consultar Julio Oliva Contero Estadística. Medidas de forma: Asimetría y Curtosis.
Momentos http://www.euosuna.org/zonaalumnos/materiales/C03/230.pdf
Consultar medidas de Distribución - Asimetría y
Curtosishttp://www.spssfree.com/descargar.htm
¿Qué hacer?
Elabore un mapa mental resumen de los coeficientes indicando en qué consiste y
qué relación tiene con las medidas de tendencia central y dispersión.
8.1. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA
El coeficiente de asimetría es un índice que expresa la asimetría de la
distribución. Para describir la forma, solamente se debe comparar la media, la
mediana y la moda, si coinciden estas tres medidas la distribución se considera que
la distribución es simétrica, si alguna de las medidas de tendencia central difiera la
distribución recibe el nombre de asimétrica o sesgada.

63
Existen varios medidas la que se aplicara es Coeficiente de Asimetría de
Pearson, Martínez (2000, 175).
As =
3.(Media aritmética - Mediana)
Desviación estándar
El signo del coeficiente muestra la asimetría y la cantidad el grado de
asimetría, por lo tanto la asimetría presenta tres estados diferentes que se muestran
en la figura nro. 2, que indica la forma de la curva:
As =O  Se acepta que la distribución es Simétrica, mediana, su moda y su
media aritmética coinciden.
As> 0  La distribución o curva es asimétricamente positiva o a la derecha la
media es mayor que la media y la moda.
As< 0  La distribución o curva es asimétricamente negativa o a la izquierda
media es menor que la media y la moda.
Figura Nro. 2
Formas de Simetría
Fuente; Medidas descriptivas.http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm
AUTOR?

64
Calcular el coeficiente de
asimetría para la calificación de los estudiantes de estadística de la
Unidad I y II, donde tenemos
Media aritmética: 15.13 puntos
Mediana: 15.11
Desviación estándar: 2.58
As =
3(15.13 - 15.11)
0.02
2.58
Interpretación: la distribución de la calificación de los estudiantes de
estadística es simétrica
8.2. COEFICIENTE DE CURTOSIS.
Una característica importante de la variación de algunas distribuciones es su
grado de agudeza en la cima de la curva que representa. Esta agudeza que se
observa en la región del modo, comparado con las condiciones halladas para el
mismo sitio en la curva normal, es lo que llama Kurtosis o Curtosis. (Martínez,
2000:178).
El Coeficiente de Curtosis o Apuntamiento de Fischer pretende
comparar la curva de una distribución con la curva de la variable Normal, en función
de la cantidad de valores extremos de la distribución,( Oliva,2011), es decir, el
coeficiente es una medida de la altura de la curva (Martínez , 2000:178 ), el cuál se
especifica:

65
Donde (g2) representa el coeficiente de Curtosis,
Xi: cada uno de los valores.
: la media de la muestra.
ni : la frecuencia de cada valor.
Los resultados de esta fórmula se interpretan
g2 = 0 Distribución Mesocúrtica: LA CURVA ES NORMAL.
g2 > 0 Distribución Leptocúrtica. La curva es más apuntada o aguda que la
CURVA normal. EL COEFICIENTE ES POSITIVO
g2 < 0 Distribución Platicúrtica., la curva es más achatada que la CURVA
normal. EL COEFICIENTE ES NEGATIVO
Las tres forma que se presentan en la figura nro. 3.
Figura Nro. 3
Formas de Curtosis
Fuente; Medidas descriptivas.http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm
AUTOR
Nota: No se realizara el cálculo del coeficiente de curtosis, con la
utilización del paquete estadístico en la interpretación del índice.

66
Amigo estudiante recuerde Elaborar un formulario donde comprenda las
fórmulas empleadas, así le facilita la realización de los ejercicios y servirá de repaso
de la unidad.
2. Resolver los siguientes
ejercicios
El propietario de una consultaría desea analizar los tiempos requeridos para la
conclusión de una trabajo de sus empleados al atender a un cliente. Para ello toma
una muestra de 200 empleados, en la siguiente tabla se muestran los Tiempos
requeridos en minutos:
Tiempo requerido de atención al cliente
Diciembre de 2010
Yi Ys ni Ym
15 20 40 17.5
20 25 20 22.5
25 30 50 27.5
30 35 80 32.5
35 40 10 37.5
Totales 200
Se Pide:
Calcular el coeficiente de simetría e indicar si la distribución es simétrica o no.
No estás solo cuenta con su tutor y con el foro de
duda para cualquier consulta.

67
9. APLICACIÓN DEL SOFTWARE EN EL PROCESAMIENTOS
DE DATOS SPSS.
Al hablar de la estadística se tiende a relacionarlo con información numérica,
solo tener esta visión sería no hacer justicia de la importancia de este campo como
ciencia, pues se ocupa de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar
datos para ayudar a una toma de decisiones más efectiva.
En la actualidad, se cuenta con una serie de paquetes estadísticos que facilitan
el análisis estadístico de datos, como MINITAB, Statgrafic, EXCEL, entre otros,
donde centra la atención en interpretar la salida del computador y
contextualizándola con la situación investigada.
El procedimiento de análisis estadístico y descriptivo se realizara con el
paquete estadístico: Statictical Package for the Social Sciencie (SPSS) versión 15
en español para Windows, de aquí en adelante se nombrará por sus siglas, por ello
es importante precisar en qué consiste el análisis estadístico y el análisis
descriptivo.
Si se considera el planteamiento de Pardo y Ruiz (2002) sobre el proceso del
análisis estadístico, este abarca fases interconectadas, pero estas mismas
vislumbran el campos de acción de la estadística que constituyen aéreas de estudio
claramente diferenciadas, como se observa en el cuadro nro.1. La fase de selección
comprende las aéreas de muestreo e instrumento de recolección; la fase
descriptiva, comprende el estudio de los datos a través de tablas, gráfico y medidas;
y, la última fase, es la parte inductiva o la generalización a través estrategias de
estimación, pruebas de hipótesis, regresiones.
Estas son fases que tienen que cumplirse en el análisis estadístico, pero que a
la vez son autónomas, el que hace el análisis descriptivo no necesariamente tiene
que haber realizado la selección de los elementos a estudiar y no tiene por qué
elaborar y aplicar el instrumento de recolección.

68
El análisis descriptivo es la fase más utilizada en el campo de administración y
contaduría pública para la presentación de informes, se puede realizar con la
aplicación de los procedimientos y fórmulas que se han estudiado en los puntos
anteriores de la guía o con la utilización del paquete estadístico SPSS, sin embargo
la adecuada aplicación de las técnicas, interpretación y análisis de los datos recae
en las personas que empleen los métodos estadísticos como medio para comunicar
y vislumbrar el mundo globalizado.
Cuadro nro. 1 Análisis Estadístico y Campos de la Estadística.
Proceso Pardo
Merino(2002)
El proceso Estadística
Descriptiva:
(Estadística básica: 2011)
Procedimiento que
comprende
Campo de la
estadística
Selección
1 Selección de
caracteres dignos de ser
estudiados.
 Identificar la población.
 Seleccionar la muestra
calcular el tamaño de la
muestra. .
Muestreo

:
2 Mediante encuesta o
medición, obtención del
valor de cada individuo
en los caracteres
seleccionados.
 Seleccionar e
instrumento de
recolección.
 Seleccionar como
medir la variable o
escala de medición.
 Codificación del
instrumento.
Instrumento de
recolección de
datos.

69
 Transcripción de datos.

Descripción
3 Elaboración de tablas
de frecuencias,
mediante la adecuada
clasificación de los
individuos dentro de
cada carácter.
 Tablas de frecuencia.
Análisis
descriptivo


4 Representación
gráfica de los resultados
(elaboración de gráficos
estadísticos).
Cálculos de las
medidas.
 Barras .Sectores,
histogramas. Polígono.
Ojiva. Diagrama de tallo y
hoja. Caja y bigote.
 Media, Moda, mediana.
Desviación estándar,
varianza, rango.
Percentiles, curtosis,
asimetría.
Extraer
conclusiones
Obtención de
parámetros estadísticos,
números que sintetizan
los aspectos más
relevantes de una
distribución estadística
 Estimación,
 Pruebas de
hipótesis
 Regresión
 Correlaciones
Análisis
inferencial
Análisis de
varianza.
Fuente: Pardo Merino y Ruiz Díaz (2002), (Estadística básica: 2011) y elaboración propia.
El análisis descriptivo sirve para hacerse una idea de cómo es la característica
de la población o elementos que se están observando, si solamente se busca
detallar su comportamiento, y es paso indispensable para la inferencia, consiste
en procesar la información a través de tablas de frecuencia, gráficos y medidas
descriptivas, además da la posibilidad de hacer el análisis exploratorio de los
datos. El análisis exploratorio, según Pardo Merino y Ruiz Díaz (2002), es la
exploración minuciosa de los datos que permite identificar, entre otras cosas:
 Posibles errores, datos mal introducidos, respuestas mal codificadas,
etc.
 Valores extremos, valores que se alejan demasiado del resto.
Análisis
exploratori
o

70
 Pautas extrañas en los datos, valores que se repiten demasiados o que
no aparecen nunca, Etc.
 Variabilidad no esperada, demasiados casos en una de las dos colas
de la distribución, demasiada concentración en torno a determinado
valor.
El análisis descriptivo permite purificar la información, detectar errores del
muestreo, identificar valores atípicos, la distribución de la población por medio de
la aplicación de tablas, gráficos y medidas, es decir es un paso que permite
evaluar el proceso de selección del muestreo e instrumento de recolección, brinda
la posibilidad de precisar las mejores medidas o estimadores y verificar si se
cumplen los supuestos de homogeneidad de varianza y normalidad para realizar el
proceso inferencial. Este procedimiento se abordara con el SPSS.
 Consultar Apuntes y vídeos de Bioestadística Francisco Javier Barón Lopez
http://campusvirtual.uma.es/est_fisio/apuntes/ consultar y ver los videos de tema
1 y tema 2. Ofrece clases en línea sobre los puntos que se desarrollan en la
unidad tanto en forma teórica como en el procesamiento en SPSS.
 Leer González, María Candelaria. (2007). Manual para la Codificación y
el Procesamiento Estadístico de los datos en los Cuestionarios con el

71
SPSS versión 10.0 8En español)- Capítulo IV y V. Para desarrollar puntos 1 y 2
del esquema.
 Leer Pardo MERINO Antonio y Ruiz Díaz Miguel Ángel.(2002). SPSS 11 Guía
para el Análisis de Datos. Editorial. McGraw-Hill. Capítulo 10 y 11, para
desarrollar Análisis descriptivo y exploratorio de datos.
¿Qué hacer? Familiarícese con el SPSS tomando en cuenta los siguientes
puntos
1. Estructura del paquete estadístico para Ciencias Sociales (SPSS)
11. Entrada al paquete
1.2. Menú Principal
1.3. Barra de Herramienta
2. Creación de Bases de Datos
2.1Nombre
2.2. Tipo
2.3. Etiquetar.
2.4. Guardar Archivo
3. Procedimientos básicos análisis descriptivo.
3.1. Tablas de Distribución de Frecuencia.
3.2. Representación gráfica
3.3. Medidas de descriptivas
RESUMEN
Las medidas descriptivas son
valores numéricos calculados a partir de
un conjunto de datos y que nos
resumen la información contenida en
ella, en cuento al comportamiento
promedio, posición, dispersión y forma,
son:
Actividades de control
Adquiera el SPSS versión 15 y
descárguelo en el computador,
sino tiene computador los
laboratorios de Unidad de
Educación a Distancia de FCES
lo tiene disponible.
Uno del grupo asistirá a las
Prácticas en el Laboratorio de
computación, las fechas se
informaran en la página web y
clases.
En el trabajo libre tiene que
reflejarse las salidas que arroja
el SPSS, con las tablas, gráficos
y medidas descriptivas para
hacer el análisis descriptivo y
exploratorio.

72
Los coeficientes de asimetría y curtosis permiten detectar si una
curva es normal o no, esta se caracteriza porque tiene una distribución
simetrica y mesocurtica,
Medidas Comprende Nomenclatura Utilidad
Estadístico Parámetro Medidas de posición centrales,
conjuntamente nos indican la
distribución de la variable. Simétrica
o no.
Tendencia
central
Media X 
Mediana Me e
Moda Mo o
Cuantiles
Cuartiles Q
D
P
QIR= Q1 –Q3
Son medidas de posición no
centrales.
Deciles
Percentiles
Rango
intercuartil
Es una medida de posición y
dispersión, se calculo depende de los
cuartiles, se utiliza para hacer el
diagrama de caja, conjuntamente con
el valor minino, máximo y la mediana.
Dispersión
Rango r R Nos señala la distancia entre el valor
minino y máximo de un conjunto de
datos.
Varianza S2
2 Sirven para detectar variabilidad
de los datos con respecto a la
media.
Desviación
estándar
S 
Coeficiente
de variación
C.V C.V Es una medida de variabilidad relativa,
que se utiliza para comparar dos o
más muestras bien de que se trate de
la misma o diferente. variables
De forma
o
distribuci
ón
Coeficiente
de simetría
Coeficiente
de Curtosis
Es una media que nos indica el tipo
de simetría en relación con la media y
la mediana. La aplicación de la
fórmula es igual tanto para datos
agrupados o no.
Muestra la altura de la curva.

73
Las formulas a aplicar de las medidas de tendencia central y
dispersión y cuantiles dependerán de si los datos están agrupados o no y el
tipo de variables. A las variables cualitativas de escala nominal solo se
puede calcular la moda.
El análisis descriptivo y exploratorio de los datos consiste en aplicar
adecuadamente tablas, gráficos y medidas descriptivas, el paquete
estadístico SPSS facilita este proceso para hacer de manera directa la
interpretación y análisis de los datos.
Autoevaluación
Instrucciones
Esta autoevaluación es sumativa, se recomienda ser puntual
y la realización del mismo porque sirve para sondear lo
aprendido y recibir retroalimentación por parte del tutor.
Tiene un peso del 5%.
La autoevaluación contiene 4 secciones cada una se dan las
instrucciones para dar la respuesta.
LAS PREGUNTA DE DESARROLLO PUEDE REALIZARLA EN
Word y después pegar en el formato original.
Tiene dos oportunidades para responder, antes de enviar su
autoevaluación completa al tutor.
Este solo será revisada por el tutor y usted.
Sección I verdadera o falsa
A cada enunciado marcar con una X si es verdadero o falso.
1. Cuando el coeficiente de asimetría es igual a o, Se acepta que la
distribución es Simétrica, mediana, su moda y su media aritmética
coinciden

74
a. Falso ___
b. Verdadero ____
2. La desviación estándar no se mide en las mismas unidades de la
variable.
a. Falso ___
b. Verdadero ____
Sección II Selección simple
En cada enunciado indicar la respuesta correcta con una X.
1. La Mediana es una medida que
a. Nos indica el valor que más se repite. 
b. Divide la muestra en dos partes iguales, el 50% es menor y el
restante, es mayor al valor 
c. Divide la muestra en cuatro partes iguales 
2. El varianza y desviación estambrad son medidas de
a. Tendencia central ___
b. Variabilidad o dispersión ___
c. Forma ___
3. Si la sumatoria de un conjunto de 20 datos es 180 y la
desviación estándar es de 2 , el coeficiente de variación es
a. 4.5 % ____
b. 90 % ____
c. 20% ____

75
Sección II I selección múltiple
En cada enunciado o caso marcar con una x las respuestas
correctas:
1. Los cuantiles son:
a. Percentiles ___
b. Deciles ___
c. Media ___
d. Cuartiles ___
e. Rango intercuartil ___
2. Las medidas de tendencia central son :
a. Media aritmética ___
b. Moda ___
c. Rango ___
d. Mediana ___
e. Coeficiente de variación ___
Sección IV análisis y
completación
En cada instrucción responder o resolver el ejercicio
según lo planteado, sea breve y conciso.
1. El propietario de una consultaría desea analizar los tiempos requeridos para la
conclusión de una informe cuando asisten a una empresa. Para ello toma una muestra de
200 administradores: Tiempos requeridos en días son

76
Yi Ys ni Ni Ym Ym.ni Ym2.ni
10 15 40 40 12.5 500 6250
15 20 50 90 17.5
20 25 80 170 22.5
25 30 20 190 27.5
30 35 10 32.5
Totales 200
Se Pide:
a. Complete la tabla. Valor 1 punto
b. Identifique población y variable, además indicas el tipo de variable.
c. ¿Cuál es el tiempo promedio que duran los contadores realizando las auditorias?
d. Calcular la desviación estándar.
e. SE puede decir que los datos son homogéneos o heterogéneos? Justifique. Valor
1punto.
INTERACCIÓN
 No estás solo. Tu tutor está a tu disposición vía correo
electrónico, chat y en consultas personales los días de clases o
pautadas para consultas.
 Cualquier duda o consulta participar en el foro de consulta.
 Asiste a las clases presenciales.
 Revise su correo y materiales por lo menos 4 veces a la semana.
 Realice la autoevaluación de la unidad, en el tiempo pautado.

77
 Haga grupo de trabajo para que sea más fácil hacer las
prácticas.
FELICIDADES
HA CULMINADO DE ESTUDIAR LAS HERRAMIENTASDE ESTADISTICA
DESCRPTIVA.
ESTAS DANDO PASOS PARA TENER UNA VISION GLOBAL DE SU
ENTORNO QUE SABE APROVECHAR LAS CIRCUNSTANCIA Y
OPORTUNIDADES QUE PUEDE DETECTAR DE MANERA
SISTEMATICA Y ORGANIZADA.
NO OLVIDE
“Aprovecha esta vida que vives y
lograras vivir la que esperas”
San Agustín.
Referencias
 Anderson. David R.; Sweeney, Dennis y Thomas A., Williams. (2008).
Estadística para Administración y Economía. 10ª edición. LEARNING
CENGAGE. México..734 pp.
 Berenson, Mark L. Levine, David M. y Krehbiel Timothy C. (2001).Estadística
para Administración. Segunda edición. Editorial Prentice Hall. México. 734 p
 Martínez Bencardino, Ciro. (2000). Estadística y Muestreo. Décima Edición.
Ecoe ediciones. Santa Fe de Bogotá, Colombia. 863p
 La Rosa, Susan, Acosta , Darwin; Carrasquero , Lizmar y , Bracho Joray.(2009).
Glosario de Estadística. Medidas de Resumen. Universidad del Zulia. Facultad
de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración y Contaduría
Pública. Trabajo de Estadística.
 Lind, Douglas A.; Marchal, William G y Mason, Robert D. (2004). Estadística para
Administración y Economía. GLOBA EDICIONES.11EDICION. Bogotá,
Colombia.830 pp

78
 ANA MILENA GARCIA PORTO Medidasdeposiciónparadatosagrupadosyno
agrupados:cuartiles,decilesypercentiles.http://www.monografias.com/trabajos27/datos-
agrupados/datos-agrupados.shtml. CONSULTADA EL 02-01-2011
 Estadística básica Este página es un proyecto. Contiene consultas de
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