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1. 5th
Chapter 03
SECONDARY
DIVISIÓN POLINÓMICA

2. MOTIVATING | STRATEGY
Motivation Strategy
RENÉ DESCARTES (1596-1650)
Filósofo y matemático francés.
En las matemáticas los principales
aportes que realizó son:
• Introdujo las coordenadas cartesianas
• Utilizó la notación exponencial
• Planteó el teorema del resto
• Planteó métodos para resolver
ecuaciones cúbicas, etc.

3. HELICO | THEORY
D I V I S I Ó N
P O L I N Ó M I C A
División de Polinomios
Sea la división de polinomios:
Polinomio Dividendo 𝑫(𝒙)
𝒅(𝒙)
Polinomio divisor
Genera
Polinomio Residuo(Resto)𝑹(𝒙
Polinomio Cociente: 𝒒(𝒙)
Identidad Fundamental de la División :
𝐷 𝑥 ≡ 𝑑(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥) R x °𝑚á𝑥 = [𝑑 x ]°−1
[q 𝑥 ]°
= [D 𝑥 ]°
−[𝑑 𝑥 ]°

4. HELICO | PRACTICE
A) MÉTODO DE HORNER
Para éste método los polinomios a dividir deben estar
completos y ordenados en forma descendente; además, si
faltase un término se le completa con ceros.
Esquema :
Coeficientes del Dividendo
Coeficientes
del
divisor
coeficiente
s
con signo
cambiado.
Cociente Residuo
Depende del grado
del divisor
q R

5. Ejemplo
:
Calcule los polinomios
cociente y residuo al
dividir:
𝟒𝒙𝟒
+ 𝟏𝟐𝒙𝟑
+ 𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 − 𝟕
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏
4 12 5 -2 -7
2
-3
1
÷
2
x
-6 2
3
-9 3
-1
3 -1
4 -8
q(x)= 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟏
R(x)= 𝟒𝒙 − 𝟖
MÉTODO DE HORNER
Resolución

6. B) MÉTODO DE RUFFINI
Se utiliza para calcular divisiones de la forma:
𝑃(𝑥)
𝑎𝑥+𝑏
Coeficientes del Dividendo
Cociente
Residuo
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
𝒙 = −
𝒃
𝒂
÷a

7. 1er Caso: (a=1)
2do Caso: (a≠1)
Calcule los polinomios cociente
y residuo al dividir
𝟓𝒙𝟑
− 𝟕𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒙 − 𝟐
5 -7 2 -1
𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝒙 = 𝟐
5
x
10
3
6
8
16
15
q(x)= 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟖
R(x)= 𝟏𝟓
𝟔𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟏
6 -1 7 3
𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝒙 =
𝟏
𝟐
6
x
3
2
1
8
4
7
÷2 3 1 4
q(x)= 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟒
R(x)=7

8. C) TEOREMA DEL RESTO
𝐷(𝑥)
𝑎𝑥+𝑏
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜: 𝑅 = 𝐷 −
𝑏
𝑎
Forma práctica:
1. El divisor se igual a cero (𝑎𝑥 + 𝑏 = 0)
2. Se despeja la variable (𝑥 = −
𝑏
𝑎
)
3. Se reemplaza en el dividendo
Obteniendo el resto (𝑅 = 𝐷(−
𝑏
𝑎
)
)

9. EJEMPLO
Calcule el resto de la siguiente división:
𝑥4
− 2𝑥3
+ 2𝑥 + 6
𝑥 − 2
1) 𝑥 − 2 = 0
2) 𝑥 = 2
3) Reemplazando en el Dividendo
𝑅 = (𝟐)4
−2 𝟐 3
+ 2(𝟐) + 6
𝑅 = 10
POR TEOREMA DEL RESTO
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧

10. PROBLEMA 1
5 -2 11 7 A B
5
7
-3
÷
1
x
7 -3
1
7 -3
3
21 -9
5
35 -15
0 0
𝑨 − 𝟗 + 𝟑𝟓 = 𝟎 𝑨 = −𝟐𝟔
𝑩 − 𝟏𝟓 = 𝟎 𝑩 = 𝟏𝟓
𝑩 − 𝑨 = 𝟒𝟏
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
MÉTODO DE HORNER
Si la división:
5x5 − 2x4+11x3+7x2+Ax+B
5x2−7x+3
es exacta.
Calcule: B-A

11. Si la división:
mx5 +nx4 + 3x2 − 6x3+4x−4
3x2+x−2
es
exacta.
Evalué: T= 𝒎𝟐 + 𝒏𝟐 + 𝟑
PROBLEMA 2
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
-4 4 3 -6 n m
-2
-1
-3
÷
2
x
-2 -6
-1
1 3
1
-1 -3
2
-2 -6
0 0
𝒏 − 𝟓 = 𝟎 𝒏 = 𝟓
m−𝟔 = 𝟎 𝐦 = 𝟔
𝑻 = 𝟔𝟒
𝑻 = 𝟖
Ordenando el dividendo y luego por método de horner
invertido

12. Si al dividir:
6𝑿4+16𝑿3+25x
2
+Ax+B
3x2+2x +1
el
resto obtenido es 2x+3 calcule:
𝑨
𝑩
PROBLEMA 3
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
6 16 25 A B
3
-2
-1
÷
2
x
-4 -2
4
-8 -4
5
-10 -5
2 3
A−𝟒 − 𝟏𝟎 = 𝟐 A= 𝟏𝟔
B−𝟓 = 𝟑 B= 𝟖
𝑨
𝑩
=
𝟏𝟔
𝟖
A/𝐁 = 𝟐
Por método de horner

13. Determine el residuo al dividir:
4x5 − 3x
4
+ 4x − 11x3 + 3 3
x− 3
PROBLEMA 4
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
4 − 3 -11 0 4 3 3
𝒙 − 𝟑 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
4
x
4 3
3 3
9
-2
−2 3
−2 3
-6
-2
-2 3
3
𝑬𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒐 𝒆𝒔 ∶ 𝑹 = 𝟑
Ordenando y completando el dividendo luego por RUFFINI

14. En la división:
4x5 + 2x4 − 10x3 −x2 −63x + 5
2x+ 5
Indique la suma de coeficientes del cociente.
PROBLEMA 5
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
4 2 -10 -1 -63 5
𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟎
𝒙 =
−𝟓
𝟐
4
x
−10
−8
20
10
−25
−26
65
2
-5
0
÷2 2 −4 5 −13 1
Por RUFFINI
Σ.𝒄𝒐𝒆𝒇. 𝑪𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 ∶ - 9

15. La edad de Madeline hace 5 años está dado por m en la división
exacta
3x
4
+( 𝟑−1)x
3
− 2 3x𝟐 + (𝟑 𝟑−1)x + m − 21
x− 3 +1
¿Qué edad tiene Madeline?
PROBLEMA 6
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
3-1 m-21
𝒙 − 𝟑 + 𝟏 = 𝟎
𝒙 = 𝟑 - 1
x
𝟑 − 𝟑
2 -2
−2 3+2
3+1 0
Madeline tiene 24 años
Dividendo ordenado y completo luego por RUFFINI
3 −2 3 3 3-1
3
𝟐 𝟑-2 2
m−𝟐𝟏 + 𝟐 = 𝟎
m= 𝟏𝟗

16. PROBLEMA 7
𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧
5 80 150 b a
5
-10
-4
÷
1
x
-10 -4
14
-140 -56
6/5
-12 -24/5
0 0
Q(x)=
𝟔
𝟓
𝒙𝟐
+14x+1
Ordenando el dividendo y luego por método de horner
invertido
La nueva edición del Pro Evolution soccer, PES 2021 para consolas play station PS4 fue lanzado
al mercado peruano y después de x meses de su lanzamiento el ingreso fue modelado por I(X)=
b𝒙𝟑 + 𝟓 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝐚𝒙𝟒 + 𝟖𝟎𝐱. Además, se sabe que el precio unitario de venta de cada juego PES
2021 esta dado por P(x)=10x+4𝒙𝟐+5.En éstas condiciones, indique el polinomio que representa el
numero de unidades vendidas de dicho juego.
PROPIEDAD
I(x)= 𝐏 𝐱 ∗ 𝐐(𝐱)