Este documento presenta una serie de ecuaciones diferenciales lineales que deben resolverse usando series de potencias alrededor de puntos ordinarios y singulares. También incluye ejemplos de circuitos eléctricos que deben modelarse y resolverse usando este método. Finalmente, pide determinar los primeros términos de las series de potencias para la carga de un capacitor en un circuito dado.

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMÁTICA IV
SECCIÓN 03
CICLO 02-2014
“Solución de Ecuaciones Diferenciales Lineales por Series de Potencias”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
PARTE I.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias alrededor de puntos ordinarios.
1. 푦′′+푥푦′+푦=0
2. 푦′′+푥푦′+(2푥2+1)푦=0
3. (푥2+1)푦′′+푥푦′+푥푦=0
4. (푥3−1)푦′′+푥2푦′+푥푦=0
5. 푦′′−푥푦′−푦=0,푦(0)=1,푦′(0)=0
6. (푥2+1)푦′′+푥푦′+2푥푦=0,푦(0)=2,푦′(0)=3
7. 푥푦′′+푦′+2푦=0,푦(1)=2,푦′(1)=4
8. (1+푥2)푦′′+2푥푦′−2푦=0,푦(0)=0,푦′(0)=1
9. 푦′′+푥푦′−2푦=0,푦(0)=1,푦′(0)=0
10. 푦′′+푥푦′+(2푥2+1)푦=0,푦(0)=1,푦′(0)=−1
11. 푦′′+(푥−1)푦′+푦=0,푦(1)=2,푦′(1)=0
12. (푥2−1)푦′′−6푥푦′+12푦=0
13. 3푦′′+푥푦′−4푦=0
14. 푦′′+푥2푦′+2푥푦=0
15. 푦′′+푥2푦=0
16. (푥2+3)푦′′−7푥푦′+16푦=0
17. 푦′′−2푦′+푦=0
18. (푥2−6푥+10)푦′′−4(푥−3)푦′+6푦=0,푦(3)=2,푦′(3)=0
19. (푥2+6푥)푦′′+(3푥+9)푦′−3푦=0,푦(−3)=0,푦′(−3)=2
20. (4푥2+16푥+17)푦′′=8푦,푦(−2)=1,푦′(−2)=0

2. PARTE II.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias alrededor de puntos singulares, identificar si los puntos son regulares o irregulares.
1. 2푥2푦′′+푥푦′+(푥2−1)푦=0
2. 푥2푦′′−푥푦′+(푥2+ 89)푦=0
3. 3푥푦′′−(푥−2)푦′−2푦=0
4. 푥2푦′′−푥푦′+(푥−1)푦=0
5. 9푥2푦′′+9푥2푦′+2푦=0
6. 2푥(푥−1)푦′′+3(푥−1)푦′−푦=0
7. 푥2푦′′+푥푦+푥2푦=0
8. 푥푦′′+푦′−4푦=0
9. 푡2푦′′+(푡2+푡)푦′+푦=0
10. 3푥푧′′+(2−푥)푧′−푧=0
11. 4푥2푦′′+2푥2푦′−(푥+3)푦=0
12. 3푥2푦′′+8푥푦′+(푥−2)푦=0
13. 푥푦′′+(푥−1)푦′−2푦=0
14. 푥(푥+1)푦′′+(푥+5)푦′−4푦=0
15. 푥푤′′−푤′−푥푤=0
16. 2푥2푦′′+푥(푥+1)푦′−(2푥+1)푦=0
17. (2푥2+5푥3)푦′′+(3푥−푥2)푦′−(1+푥)푦=0
18. 4푥2푦′′−4푥푦′+(3−4푥2)푦=0
19. 푥푦′′−푦′+4푥3푦=0
20. 푥푦′′+2푦′−4푥푦=0
APLICACIÓN.
Un circuito conectado en serie que responde a la E.D: 퐿푞′′(푡)+푅푞′(푡)+ 1 퐶 푞(푡)=퐸(푡), de lo cual se sabe que la fem es cero volts, la inductancia 0.1H, la capacitancia 2farads y una resistencia que varía con el tiempo de la siguiente forma: 푅(푡)=1+ 푡 10ohms. Si se sabe que 푞(0)=10 Coulombs y que 푞′(0)=0 amperes, determine al menos los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo de potencias en torno a 푡=0 para la carga del capacitor.
Un circuito está conectado en serie con una fuerza electromotriz dada por 퐸(푡)= 100푠푒푛(60푡)voltios, una resistencia de 2Ω, con un inductor de 0.1H y un capacitor de 1260Faradios. Si la corriente inicial y la carga inicial del capacitor son ambas cero; entonces hallar la carga del capacitor en cualquier tiempo 푡>0.