Índices de Miller

1. Índices de Miller
Profesor Hans Kauffmann
Clase 20 de septiembre 2021
Puntos, direcciones y en una celda
unitaria

2. Planos Cristalinos
d
Plano Cristalino: Es el ordenamiento geométrico plano e imaginario que se
distingue en la periodicidad de una red cristalina
d’

3. 1. Establecer origen de coordenadas
más cercanas al plano
2. Identificar las intersecciones
atómicas del plano = obtener
coordenadas
3. Obtener los recíprocos de las
coordenadas
4. Obtener enteros en caso de que
haya fracciones
Índices de Miller (h k l)

4. Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria
Coordenadas de puntos
Son los puntos coordenados en la celda unitaria que indican la posición de
los átomos.
Direcciones de una celda unitaria
Son vectores unitarios que indican la posición de los átomos. Se determinan
utilizando una notación llamada índices de Miller, se
identifica con las letras h, k, l Índices de Miller
También pueden tomar otras notaciones como [ u v w ] = [ h k l ] = [ x y z ]

5. Coordenadas de puntos de una celda cristalina
La distancia se mide en términos del número de parámetros de la red que
debemos mover en cada una de las coordenadas x,y,z para llegar del origen al
punto en cuestión
Las coordenadas se escriben como las tres distancias
con comas separando los números

6. Coordenadas de puntos de una celda cristalina

7. Los índices de Miller
Los índices de Miller son números enteros positivos o
negativos que se utilizan para especificar las direcciones y
los planos cristalográfico
La dirección es el vector que une 2 puntos en una red cristalina
Para determinar direcciones con índices de Miller :
a) Utilizando un sistema dextrógiro, determine las coordenadas de dos puntos
que caigan en la línea de la dirección que se desea.
b) A las coordenadas del punto final le restamos las coordenadas del punto
inicial
c) Reducir las facciones a números enteros simples y bajos
d) Encierre los número en corchetes [ ], son comas. Si se obtiene un signo
negativo se representa con una barra sobre el número.

8. a) Utilizando un sistema dextrógiro, determine las coordenadas de dos puntos que caigan en la línea
de la dirección que se desea.
b) A las coordenadas del punto final le restamos las coordenadas del punto inicial
c) Reducir las facciones a números enteros simples y bajos
d) Encierre los número en corchetes [ ], son comas.Si se obtiene un signo negativo se representa con
una barra sobre el número.
Determinar los índices de Miller de la siguientes
direcciones
0, 0, 0
0, 0, 1 𝟎, 𝟎, 𝟏 − 𝟎, 𝟎, 𝟎 = 𝟎, 𝟎, 𝟏
[ 0 0 1 ] índices de Miller

9. [ 1 0 0 ] índices de Miller
Determinar los índices de Miller de la siguientes
direcciones
0, 0, 0
1, 0, 0
1, 𝟎, 𝟎 − 𝟎, 𝟎, 𝟎 = 𝟏, 𝟎, 𝟎
0, 0, 0
0, 1, 0
0, 𝟏, 𝟎 − 𝟎, 𝟎, 𝟎 = 𝟎, 𝟏, 𝟎
[ 0 1 0 ] índices de Miller

10. z
x
y
z
x
y
0, 0, 0
1, 1, 1
1, 𝟏, 𝟏 − 𝟎, 𝟎, 𝟎 = 𝟏, 𝟏, 𝟏
[ 1 1 1 ] índices de Miller
1/2, 1, 0
0, 0, 1
0, 𝟎, 𝟏 −
𝟏
𝟐
, 𝟏, 𝟎 = − Τ
𝟏 𝟐 , 𝟏, 𝟏
−
𝟏
𝟐
, −𝟏, 𝟏 ∗ 𝟐 = −𝟏, −𝟐, 𝟐
ഥ
𝟏, ഥ
𝟐, 𝟐 índices de Miller
Determinar los índices de Miller de la siguientes
direcciones

11. Se debe mencionar varios puntos sobre el uso de los índices
de Miller para las direcciones:
Una dirección y sus múltiplos
son idénticas [ 0 1 0] = [ 0 2 0]
y
Debido a que las direcciones son
vectores, una dirección y su
negativo no son idénticas;
𝟎 ഥ
𝟏 𝟎 ≠ [𝟎 𝟏 𝟎 ]
Representan la misma línea, pero
con direcciones opuestas

12. Ciertos grupos de direcciones son equivalentes; sus índices particulares
dependen de cómo se construyen las coordenadas
Por ejemplo una, dirección [ 1 0 0 ] es
una dirección [ 0 1 0 ] si redefinimos
el sistema de coordenadas
Podemos referirnos a grupos
de direcciones equivalentes
como direcciones de una
familia.
Los corchetes se utilizan
para indicar una colección de
direcciones.
Un material puede
tener las mismas
propiedades en
cada una de estas
doce direcciones
de la forma 1 1 0
Direcciones [ ]
Familia de direcciones

13. Establezca la siguiente dirección 𝟏 ഥ
𝟐 𝟏
z
y
x
-y

14. Ejemplos de índices de Miller

15. Índices de Miller para un sistema Hexagonal
Índices de Miller sistema Hexagonal h k ҧ
𝑖 𝒍 , cual las primeras
tres letras se refieren a los ejes a1, a2 y a3 y la ultima letra al
eje c. En esta notación h + k + i = 0