El documento describe el criterio de estabilidad de Nyquist y los conceptos de margen de ganancia y margen de fase, los cuales se utilizan para analizar la estabilidad de sistemas de control. Explica que un sistema es estable si el margen de ganancia y margen de fase son positivos, y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular y evaluar estos márgenes. También resume el criterio de Nyquist, el cual establece que un sistema es estable si el contorno de la función de transferencia en lazo abierto no rodea
Este documento describe el criterio de estabilidad de Nyquist, el cual relaciona la respuesta en frecuencia de lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado. Explica cómo utilizar la transformación de contornos en el plano complejo para mapear la respuesta en frecuencia de lazo abierto al plano de Nyquist y determinar la estabilidad analizando los rodeos al punto (-1, 0). También introduce conceptos como el margen de ganancia y margen de fase para medir la estabilidad relativa.
Ingeniería de control: Criterio de estabilidad de Nyquist con MatlabSANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento explica cómo utilizar el Criterio de Estabilidad de Nyquist en MATLAB para determinar si un sistema de control es estable o inestable. Proporciona instrucciones sobre cómo usar el comando "nyquist" y analizar la traza resultante para evaluar si rodea o no el punto (-1,0). También incluye ejemplos que muestran cómo aplicar el método y validar los resultados a través de simulaciones en Simulink.
Este documento presenta información sobre estabilidad relativa y margen de ganancia/fase. Define estabilidad relativa como la propiedad medida por el tiempo de estabilización de cada raíz del sistema. Explica que el margen de ganancia indica la cercanía a la inestabilidad y se mide como la ganancia adicional antes de que el sistema se vuelva inestable, mientras que el margen de fase mide los grados que la función de transferencia debe rotar para alcanzar la inestabilidad. El documento concluye explicando que las definiciones
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSODavinso Gonzalez
La transformada Z es una herramienta análoga a la transformada de Laplace para sistemas de tiempo discreto. Se define la transformada Z de una secuencia discreta x(k) y de una función muestreada x(kT). El documento presenta ejemplos de cálculo de transformadas Z para diferentes funciones y desarrolla propiedades como linealidad y traslación. También explica métodos para calcular la transformada Z inversa como división directa, uso de la función delta de Kronecker y expansión en fracciones parciales.
El documento describe el criterio de estabilidad de Routh, un método para determinar la estabilidad de sistemas de control lineales mediante el análisis de la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado. Explica cómo construir la tabla de Routh a partir del polinomio característico y analizar los signos de los coeficientes para identificar la existencia de polos con parte real positiva e indicar la (in)estabilidad del sistema. También incluye varios ejemplos ilustrativos de la aplicación del método.
Ejemplo fuente común mosfet versión finalLuis Monzón
Este documento resume los pasos para calcular la polarización de un transistor MOSFET en un circuito de auto polarización. Explica cómo calcular la tensión entre la puerta y la fuente (VGS), la corriente de drenaje (ID), la tensión de drenaje (VDS) y comprobar si el MOSFET opera en saturación. También describe cómo usar los parámetros calculados para determinar los parámetros pequeña señal pi del MOSFET. El documento incluye 16 ilustraciones que muestran el circuito y los cálculos.
Este documento describe los contadores binarios y sus características. Explica que un contador binario sincrónico de cuatro bits puede contar hasta 15 estados (2^4 = 15) antes de reciclar al estado inicial. También describe cómo cambiar el número de estados (MOD) alterando las entradas de la puerta NAND que reinicia los flip-flops. Finalmente, explica que los contadores síncronos pueden operar a frecuencias más altas que los contadores asincrónicos debido a que los retrasos no se acumulan.
Este documento describe el criterio de estabilidad de Nyquist, el cual relaciona la respuesta en frecuencia de lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado. Explica cómo utilizar la transformación de contornos en el plano complejo para mapear la respuesta en frecuencia de lazo abierto al plano de Nyquist y determinar la estabilidad analizando los rodeos al punto (-1, 0). También introduce conceptos como el margen de ganancia y margen de fase para medir la estabilidad relativa.
Ingeniería de control: Criterio de estabilidad de Nyquist con MatlabSANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento explica cómo utilizar el Criterio de Estabilidad de Nyquist en MATLAB para determinar si un sistema de control es estable o inestable. Proporciona instrucciones sobre cómo usar el comando "nyquist" y analizar la traza resultante para evaluar si rodea o no el punto (-1,0). También incluye ejemplos que muestran cómo aplicar el método y validar los resultados a través de simulaciones en Simulink.
Este documento presenta información sobre estabilidad relativa y margen de ganancia/fase. Define estabilidad relativa como la propiedad medida por el tiempo de estabilización de cada raíz del sistema. Explica que el margen de ganancia indica la cercanía a la inestabilidad y se mide como la ganancia adicional antes de que el sistema se vuelva inestable, mientras que el margen de fase mide los grados que la función de transferencia debe rotar para alcanzar la inestabilidad. El documento concluye explicando que las definiciones
Unidad 2 control 2 /FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PULSODavinso Gonzalez
La transformada Z es una herramienta análoga a la transformada de Laplace para sistemas de tiempo discreto. Se define la transformada Z de una secuencia discreta x(k) y de una función muestreada x(kT). El documento presenta ejemplos de cálculo de transformadas Z para diferentes funciones y desarrolla propiedades como linealidad y traslación. También explica métodos para calcular la transformada Z inversa como división directa, uso de la función delta de Kronecker y expansión en fracciones parciales.
El documento describe el criterio de estabilidad de Routh, un método para determinar la estabilidad de sistemas de control lineales mediante el análisis de la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado. Explica cómo construir la tabla de Routh a partir del polinomio característico y analizar los signos de los coeficientes para identificar la existencia de polos con parte real positiva e indicar la (in)estabilidad del sistema. También incluye varios ejemplos ilustrativos de la aplicación del método.
Ejemplo fuente común mosfet versión finalLuis Monzón
Este documento resume los pasos para calcular la polarización de un transistor MOSFET en un circuito de auto polarización. Explica cómo calcular la tensión entre la puerta y la fuente (VGS), la corriente de drenaje (ID), la tensión de drenaje (VDS) y comprobar si el MOSFET opera en saturación. También describe cómo usar los parámetros calculados para determinar los parámetros pequeña señal pi del MOSFET. El documento incluye 16 ilustraciones que muestran el circuito y los cálculos.
Este documento describe los contadores binarios y sus características. Explica que un contador binario sincrónico de cuatro bits puede contar hasta 15 estados (2^4 = 15) antes de reciclar al estado inicial. También describe cómo cambiar el número de estados (MOD) alterando las entradas de la puerta NAND que reinicia los flip-flops. Finalmente, explica que los contadores síncronos pueden operar a frecuencias más altas que los contadores asincrónicos debido a que los retrasos no se acumulan.
El documento describe el criterio de estabilidad de Nyquist, el cual determina la estabilidad de un sistema de control en lazo cerrado basado en la respuesta en frecuencia en lazo abierto. Explica que la curva de Nyquist muestra el mapeo de los contornos en el plano complejo y que la estabilidad depende del número de veces que la curva rodea el punto -1+j0. El criterio permite determinar gráficamente la estabilidad sin necesidad de calcular los polos en lazo cerrado.
El documento analiza el error en estado estacionario en sistemas de control. Explica que el error depende del tipo de sistema y de la señal de entrada. Los sistemas se clasifican como tipo cero, uno, dos, etc. dependiendo del número de integraciones en su función de transferencia. A mayor tipo, menor error pero menor estabilidad. El error se define mediante constantes como KP para entrada escalón y KV para rampa. Para cada tipo de sistema y señal, calcula el valor del error en términos de estas constantes.
El documento trata sobre sistemas de control y estabilidad relativa. Explica el criterio de estabilidad de Nyquist y cómo relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado. También cubre la aplicación del criterio de Nyquist para analizar la estabilidad a lazo cerrado y conceptos como márgenes de ganancia y fase. Finalmente, define la magnitud del pico de resonancia y cómo esta indica la estabilidad relativa de un sistema.
Este documento describe los sistemas de control en tiempo discreto. Explica que estos sistemas involucran el muestreo de señales análogas y su conversión a códigos digitales para su análisis y procesamiento. Luego discute los diferentes tipos de sistemas discretos, incluyendo si son causales, variantes en el tiempo, lineales o no lineales, determinísticos o estocásticos, y estacionarios o dinámicos. Finalmente, menciona que la transformada Z se usa para obtener la función de transferencia en sistemas
El documento describe la transformada discreta de Fourier (DFT), incluyendo su definición matemática, propiedades y aplicaciones. La DFT representa una secuencia de valores de muestra en el dominio del tiempo como una secuencia de componentes de frecuencia discreta. El documento también discute conceptos como el muestreo, aliasing, ventaneo y el algoritmo rápido de Fourier.
Este documento describe la transformada de Hilbert, un operador matemático que introduce un desfase de 90 grados en el espectro de frecuencias de una señal. Explica el fundamento matemático de la transformada de Hilbert y cómo introduce este desfase de fase. También describe algunas aplicaciones importantes de la transformada de Hilbert en el área de comunicaciones, como la separación de señales basada en la selectividad de fase. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de la transformada de Hilbert para diferentes señales como impulsos rectangulares
Este documento resume los conceptos fundamentales del formateo de señales analógicas en sistemas de comunicaciones digitales. Explica los procesos de muestreo, retención, cuantización y codificación binaria. También describe el teorema de muestreo de Nyquist y los efectos de aliasing. Finalmente, presenta ejemplos del formateo en sistemas PCM y circuitos de muestreo natural.
Este documento describe el desarrollo de un semáforo utilizando un circuito lógico secuencial con un temporizador 555, flip-flops JK 74LS73 y diodos LED en un protoboard. Explica los componentes del circuito, como el temporizador 555, los flip-flops JK y los diodos LED, y describe el funcionamiento del semáforo a través de una tabla de estados y mapas de Karnaugh. También incluye un marco teórico sobre circuitos secuenciales, biestables y tipos de basculas.
Este documento describe los controladores de voltaje alterno (AC-AC), los cuales permiten controlar el flujo de potencia entre una fuente de alimentación AC y una carga mediante la variación del voltaje RMS aplicado a la carga. Explica que estos controladores utilizan tiristores como elementos de conmutación y operan mediante tres tipos de control: control de fase, control por ráfagas y control PWM. Finalmente, detalla los diferentes tipos de configuraciones de controladores monofásicos bidireccionales y unidireccionales.
Este documento describe diferentes tipos de controladores diseñados mediante el lugar de las raíces, incluyendo controladores en adelanto, atraso y adelanto-atraso. Explica cómo la adición de polos o ceros afecta la estabilidad de un sistema. También cubre cómo se eligen los parámetros de un controlador en adelanto o atraso y cómo se realiza la sintonización fina de un controlador PID.
Este documento describe máquinas de estado finito y sus aplicaciones. Explica ecuaciones de estado, contadores ascendentes y descendentes utilizando FFs JK, y tipos de máquinas de estado como Mealy y Moore. También presenta ejemplos como un detector de secuencias y una máquina expendedora de chicles.
The document discusses the design of control system compensators using the root locus method (LGR) and frequency response (RF) methods. It covers introducing compensators to improve closed-loop response, different types of compensators (lead, lag, lead-lag), and the process for designing lead compensators using root locus graphs. An example is provided to illustrate how to design a lead compensator to place dominant closed-loop poles at a desired location on the s-plane to meet specifications like damping ratio and natural frequency.
El documento describe los circuitos secuenciales y los sistemas de memoria. Explica que los circuitos secuenciales tienen memoria y que su salida depende no solo de las entradas actuales sino también de las entradas anteriores. Introduce los biestables como elementos clave de los circuitos secuenciales que almacenan los estados internos del sistema. Describe las diferencias entre sistemas secuenciales síncronos y asíncronos y cómo los biestables RS pueden implementarse de forma síncrona por nivel o por flanco para proporcionar mem
El documento resume diferentes configuraciones de polarización para transistores JFET y MOSFET de canal N y P. Explica cómo calcular los puntos de operación mediante métodos matemáticos y gráficos para configuraciones de polarización fija, autopolarización y entrada común. Además, describe cómo determinar los valores de resistencias para configuraciones de divisor de voltaje y retroalimentación.
Este documento describe la implementación de un oscilador armónico basado en el Puente de Wien. Explica los conceptos teóricos detrás de los osciladores, incluyendo el criterio de Barkhausen y la necesidad de un mecanismo no lineal para controlar la amplitud. Luego, detalla el circuito del Puente de Wien, analizando su ganancia de lazo y estableciendo la condición para oscilaciones. Finalmente, propone implementar el circuito en el laboratorio y analizarlo con un osciloscopio.
Ingeniería de control: Tema 1b. Análisis de la respuesta en frecuenciaSANTIAGO PABLO ALBERTO
The document discusses analysis of frequency response and frequency domain analysis methods. It covers topics such as introduction to frequency response, using phasors to determine frequency response, frequency response from poles and zeros, Bode plots, phase margin and gain margin, and stability using Nyquist criterion. Examples are provided to demonstrate determining magnitude and phase from a transfer function and sketching frequency response based on pole and zero locations.
Este documento presenta el análisis del lugar geométrico de las raíces (LGR) para sistemas de control. Explica que el LGR muestra el movimiento de las raíces de la ecuación característica cuando se modifica un parámetro. Proporciona reglas para construir el LGR, como el inicio y final de las trayectorias, trayectorias sobre el eje real, y ubicación de ceros infinitos. También define conceptos como puntos de quiebre, ganancia de quiebre y ganancia crítica. Finalmente, presenta un ej
El documento contiene una serie de problemas relacionados con la simplificación de diagramas de bloques y el cálculo de funciones de transferencia. Los problemas incluyen reducir diagramas de bloques complejos a funciones de transferencia simples mediante la aplicación de pasos como asociación en serie, realimentación directa e indirecta, y puntos de suma.
Los flip-flops (FF) son dispositivos de almacenamiento de un bit que pueden mantener un estado alto o bajo. Existen diferentes tipos de FF como asincrónicos (RS, JK) y síncronos (D) que varían en sus entradas pero todos permiten almacenar información digital. Los FF se utilizan ampliamente en electrónica para aplicaciones como memoria, registros y contadores.
El documento describe los métodos de respuesta en frecuencia para analizar sistemas dinámicos. Estos métodos proveen herramientas gráficas para analizar sistemas complejos sin limitaciones de orden o parametrización. El análisis de respuesta en frecuencia se basa en la respuesta de un sistema a una entrada senoidal y puede representarse gráficamente a través de gráficas polares o funciones de transferencia. El criterio de Nyquist utiliza estas representaciones para determinar la estabilidad de un sistema a través del número de rodeos alrededor del punto
Este documento trata sobre el análisis de estabilidad de sistemas dinámicos. Define la estabilidad como una salida acotada para cualquier entrada acotada, independientemente del estado inicial. Explica que la estabilidad de un sistema depende de que todas las raíces de su ecuación característica tengan parte real negativa. Presenta tres métodos para analizar la estabilidad: el método de Routh-Hurvitz, el método del lugar de las raíces y el análisis armónico mediante diagramas de Bode.
El documento describe el criterio de estabilidad de Nyquist, el cual determina la estabilidad de un sistema de control en lazo cerrado basado en la respuesta en frecuencia en lazo abierto. Explica que la curva de Nyquist muestra el mapeo de los contornos en el plano complejo y que la estabilidad depende del número de veces que la curva rodea el punto -1+j0. El criterio permite determinar gráficamente la estabilidad sin necesidad de calcular los polos en lazo cerrado.
El documento analiza el error en estado estacionario en sistemas de control. Explica que el error depende del tipo de sistema y de la señal de entrada. Los sistemas se clasifican como tipo cero, uno, dos, etc. dependiendo del número de integraciones en su función de transferencia. A mayor tipo, menor error pero menor estabilidad. El error se define mediante constantes como KP para entrada escalón y KV para rampa. Para cada tipo de sistema y señal, calcula el valor del error en términos de estas constantes.
El documento trata sobre sistemas de control y estabilidad relativa. Explica el criterio de estabilidad de Nyquist y cómo relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado. También cubre la aplicación del criterio de Nyquist para analizar la estabilidad a lazo cerrado y conceptos como márgenes de ganancia y fase. Finalmente, define la magnitud del pico de resonancia y cómo esta indica la estabilidad relativa de un sistema.
Este documento describe los sistemas de control en tiempo discreto. Explica que estos sistemas involucran el muestreo de señales análogas y su conversión a códigos digitales para su análisis y procesamiento. Luego discute los diferentes tipos de sistemas discretos, incluyendo si son causales, variantes en el tiempo, lineales o no lineales, determinísticos o estocásticos, y estacionarios o dinámicos. Finalmente, menciona que la transformada Z se usa para obtener la función de transferencia en sistemas
El documento describe la transformada discreta de Fourier (DFT), incluyendo su definición matemática, propiedades y aplicaciones. La DFT representa una secuencia de valores de muestra en el dominio del tiempo como una secuencia de componentes de frecuencia discreta. El documento también discute conceptos como el muestreo, aliasing, ventaneo y el algoritmo rápido de Fourier.
Este documento describe la transformada de Hilbert, un operador matemático que introduce un desfase de 90 grados en el espectro de frecuencias de una señal. Explica el fundamento matemático de la transformada de Hilbert y cómo introduce este desfase de fase. También describe algunas aplicaciones importantes de la transformada de Hilbert en el área de comunicaciones, como la separación de señales basada en la selectividad de fase. Finalmente, presenta ejemplos del cálculo de la transformada de Hilbert para diferentes señales como impulsos rectangulares
Este documento resume los conceptos fundamentales del formateo de señales analógicas en sistemas de comunicaciones digitales. Explica los procesos de muestreo, retención, cuantización y codificación binaria. También describe el teorema de muestreo de Nyquist y los efectos de aliasing. Finalmente, presenta ejemplos del formateo en sistemas PCM y circuitos de muestreo natural.
Este documento describe el desarrollo de un semáforo utilizando un circuito lógico secuencial con un temporizador 555, flip-flops JK 74LS73 y diodos LED en un protoboard. Explica los componentes del circuito, como el temporizador 555, los flip-flops JK y los diodos LED, y describe el funcionamiento del semáforo a través de una tabla de estados y mapas de Karnaugh. También incluye un marco teórico sobre circuitos secuenciales, biestables y tipos de basculas.
Este documento describe los controladores de voltaje alterno (AC-AC), los cuales permiten controlar el flujo de potencia entre una fuente de alimentación AC y una carga mediante la variación del voltaje RMS aplicado a la carga. Explica que estos controladores utilizan tiristores como elementos de conmutación y operan mediante tres tipos de control: control de fase, control por ráfagas y control PWM. Finalmente, detalla los diferentes tipos de configuraciones de controladores monofásicos bidireccionales y unidireccionales.
Este documento describe diferentes tipos de controladores diseñados mediante el lugar de las raíces, incluyendo controladores en adelanto, atraso y adelanto-atraso. Explica cómo la adición de polos o ceros afecta la estabilidad de un sistema. También cubre cómo se eligen los parámetros de un controlador en adelanto o atraso y cómo se realiza la sintonización fina de un controlador PID.
Este documento describe máquinas de estado finito y sus aplicaciones. Explica ecuaciones de estado, contadores ascendentes y descendentes utilizando FFs JK, y tipos de máquinas de estado como Mealy y Moore. También presenta ejemplos como un detector de secuencias y una máquina expendedora de chicles.
The document discusses the design of control system compensators using the root locus method (LGR) and frequency response (RF) methods. It covers introducing compensators to improve closed-loop response, different types of compensators (lead, lag, lead-lag), and the process for designing lead compensators using root locus graphs. An example is provided to illustrate how to design a lead compensator to place dominant closed-loop poles at a desired location on the s-plane to meet specifications like damping ratio and natural frequency.
El documento describe los circuitos secuenciales y los sistemas de memoria. Explica que los circuitos secuenciales tienen memoria y que su salida depende no solo de las entradas actuales sino también de las entradas anteriores. Introduce los biestables como elementos clave de los circuitos secuenciales que almacenan los estados internos del sistema. Describe las diferencias entre sistemas secuenciales síncronos y asíncronos y cómo los biestables RS pueden implementarse de forma síncrona por nivel o por flanco para proporcionar mem
El documento resume diferentes configuraciones de polarización para transistores JFET y MOSFET de canal N y P. Explica cómo calcular los puntos de operación mediante métodos matemáticos y gráficos para configuraciones de polarización fija, autopolarización y entrada común. Además, describe cómo determinar los valores de resistencias para configuraciones de divisor de voltaje y retroalimentación.
Este documento describe la implementación de un oscilador armónico basado en el Puente de Wien. Explica los conceptos teóricos detrás de los osciladores, incluyendo el criterio de Barkhausen y la necesidad de un mecanismo no lineal para controlar la amplitud. Luego, detalla el circuito del Puente de Wien, analizando su ganancia de lazo y estableciendo la condición para oscilaciones. Finalmente, propone implementar el circuito en el laboratorio y analizarlo con un osciloscopio.
Ingeniería de control: Tema 1b. Análisis de la respuesta en frecuenciaSANTIAGO PABLO ALBERTO
The document discusses analysis of frequency response and frequency domain analysis methods. It covers topics such as introduction to frequency response, using phasors to determine frequency response, frequency response from poles and zeros, Bode plots, phase margin and gain margin, and stability using Nyquist criterion. Examples are provided to demonstrate determining magnitude and phase from a transfer function and sketching frequency response based on pole and zero locations.
Este documento presenta el análisis del lugar geométrico de las raíces (LGR) para sistemas de control. Explica que el LGR muestra el movimiento de las raíces de la ecuación característica cuando se modifica un parámetro. Proporciona reglas para construir el LGR, como el inicio y final de las trayectorias, trayectorias sobre el eje real, y ubicación de ceros infinitos. También define conceptos como puntos de quiebre, ganancia de quiebre y ganancia crítica. Finalmente, presenta un ej
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El documento describe el diseño de compensadores utilizando la respuesta en frecuencia. Explica que los compensadores modifican las curvas de magnitud y fase para imponer restricciones y cumplir especificaciones. Describe las características de los compensadores de adelanto, atraso y adelanto-atraso. Luego, se enfoca en explicar el diseño y características de los compensadores de adelanto y atraso utilizando la respuesta en frecuencia. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar el diseño de un compensador de
El documento describe los conceptos y métodos de compensación de sistemas de control. Explica que la compensación se utiliza para mejorar el comportamiento de un sistema de control para que cumpla mejor con los requerimientos específicos, mediante la inserción de un componente adicional llamado compensador. Luego detalla dos tipos de compensadores (adelanto y retardo de fase) y sus respectivas redes, y métodos de diseño utilizando diagramas de Bode y el lugar de las raíces. Finalmente presenta un ejemplo numérico de diseño de compensador por adel
Este documento describe tres métodos para determinar la estabilidad de sistemas de control: 1) el cálculo de las raíces de la ecuación característica, 2) el criterio de Routh-Hurwitz, y 3) el criterio de Nyquist. Explica que para que un sistema sea estable, todos los polos deben estar en el lado izquierdo del plano complejo y proporciona detalles sobre cómo aplicar cada uno de estos métodos.
Este documento describe el análisis de la respuesta en frecuencia de sistemas de control. Explica cómo calcular la respuesta en estado estable para una entrada sinusoidal sustituyendo s por jω en la función de transferencia. También describe los diagramas de Bode y cómo usarlos para analizar la estabilidad mediante los márgenes de ganancia y fase. Concluye que la respuesta en frecuencia mide puntos sobre la respuesta de una función de transferencia usando una señal de prueba senoidal.
El documento presenta un análisis sobre la técnica de respuesta en frecuencia. La respuesta en frecuencia mide la magnitud y fase de la salida de un sistema ante una señal de entrada senoidal de amplitud fija pero frecuencia variable. Para calcular la respuesta en frecuencia se sustituye s por jω en la función de transferencia del sistema y se grafican la relación de amplitud y ángulo de fase para diferentes frecuencias.
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cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
Ingeniería de control: Tema 2a ER y Criterio de estabilidad de Nyquist.pptx
1. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional de
México
Instituto Tecnológico de
Matamoros
CONTROL II
TEMA IIa: ESTABILIDAD RELATIVA Y CRITERIO DE
ESTABILIDAD DE NYQUIST
2. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Utiliza los conceptos de margen de ganancia y margen
de fase, así como el criterio de estabilidad de Nyquist
para analizar la estabilidad de un sistema de control.
Competencia Específica
3. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
SUBTEMAS
1.5 Margen de fase y margen de ganancia.
1.6 Criterio de estabilidad de Nyquist.
4. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1.5 Márgenes de Ganancia y de Fase
Son conceptos que se utilizan para analizar la
estabilidad de un sistema utilizando los diagramas de
Bode.
El método permite determinar la estabilidad relativa de
un sistema de control en lazo cerrado con un simple
análisis del sistema en lazo abierto.
Margen de ganancia (MG):
Es una medida de la estabilidad relativa, se define como
la magnitud del recíproco de la función de transferencia
de lazo abierto y se calcula a la frecuencia c, a la cual,
el ángulo de fase es de -180º.
5. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
MG =
1
G(jωc)
= −20 log G(jωc)
Donde:
G jωc = −180°
ωc = frecuencia de cruce de ganancia o frecuencia
crítica.
MARGEN DE FASE (m):
Es una medida de la estabilidad relativa y se define
como la suma de 180º al ángulo de fase g de la función
de transferencia de lazo abierto de ganancia unidad.
m = 180° + jωg °
6. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Donde:
G jωg = 1 ó G jωg dB
= 20 log 1 = 0 dB
ωg = frecuencia de cruce de ganancia.
ESTABILIDAD RELATIVA:
Los conceptos de margen de ganancia y margen
permiten determinar la estabilidad de un sistema según
el siguiente criterio:
Un sistema es estable si MG > 0 y m > 0
Estos conceptos no solo indican la estabilidad en
términos absolutos sino que permiten dar un margen de
que tan lejos está un sistema de la estabilidad o
inestabilidad, esto ya que entre más pequeños se hagan
los valores del margen de ganancia y de fase más
tendera el sistema hacia la inestabilidad y viceversa.
7. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO 1
Determine los márgenes de ganancia y fase para un sistema
cuya función de transferencia de lazo abierto está dada por:
G s =
5
s(s2 + 2s + 4)
SOLUCIÓN:
G jω =
5
4jω
jω 2 + 2jω + 4
4
=
1.25
jω 0.25 jω 2 + 0.5jω + 1
G(jω) =
1.25
0.25 jω 3 + 0.5 jω 2 + jω
=
1.25
−0.5ω2 + jω 1 − 0.25ω2
En dB:
G(jω) dB = 20 log 1.25 − 20 log ω − 20 log 1 − 0.25ω2 2 + 0.5ω 2
G jω = 0° − 90° − tan−1
0.5ω
1 − 0.25ω2
8. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Para calcular el margen de ganancia buscamos la
frecuencia donde el ángulo sea -180.
−180° = 0° − 90° − tan−1
0.5ωc
1 − 0.25ωc
2
Observamos que la tangente inversa será 90 en c=n, es
decir, en la frecuencia de corte del factor cuadrático.
jω 2
4
=
jω
2
2
=
jω
ωn
2
→ ωn = ωc = 2 rad
s
A esa frecuencia calculamos el margen de ganancia:
G(j2) =
1.25
−0.5 2 2 + j(2) 1 − 0.25(2)2
G(j2) =
1.25
−2 + j2 − j2
=
1.25
2
= 0.625
MG = −20 log 0.625 = 4.08 dB
9. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Para calcular el margen de fase buscamos la frecuencia
donde la magnitud sea 1 o 0 dB .
G(jωg) =
1.25
−0.5ωg
2 + jωg 1 − 0.25ωg
2
= 1
Entonces
1.25
−0.5ωg
2 2
+ ωg − 0.25ωg
3 2
= 1
1.25
0.25ωg
4
+ ωg
2 − 0.5ωg
4 + 0.0625ωg
6
= 1
Elevando al cuadrado ambos términos:
1.5625
0.0625ωg
6 − 0.25ωg
4
+ ωg
2
= 1
0.0625ωg
6
− 0.25ωg
4
+ ωg
2
− 1.5625 = 0
10. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Resolviendo en Matlab:
De las 6 raíces 4 son complejas y 2 son reales. De las 2
reales tomamos la frecuencia positiva. Entonces:
ωg = 1.443 rad
s
Obtenemos el ángulo de fase a esa frecuencia y
calculamos el margen de fase:
G jω = 0° − 90° − tan−1
0.5(1.443)
1 − 0.25(1.443)2
= −146.4°
11. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Márgenes de Ganancia y de Fase en Matlab
El comando “margin” calcula el margen de ganancia
(MG), el margen de fase (m) y las correspondientes
frecuencias de cruce (c y g)
Cuando se introduce el comando margin, Matlab
produce las representaciones de Bode con los
márgenes de ganancia y de fase marcados con líneas
verticales. En la parte superior de la gráfica aparecen los
valores de ambos márgenes, así como las
correspondientes frecuencias de cruce de ganancia. Los
argumentos requeridos para este comando son el
numerador y denominador de la función de
transferencia, es decir:
margin(num,den)
12. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
m = 180 − 146.4 ° = 33.6°
Se observa que MG>0 y m>0, entonces el sistema es
estable.
Esto se puede comprobar aplicando la función escalón a
la función de transferencia de lazo cerrado.
En Matlab:
13. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO 2
Determine los márgenes de ganancia y fase en Matlab
para el sistema del ejemplo anterior:
G s =
5
s(s2 + 2s + 4)
SOLUCIÓN:
14. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO 3
Evalúe la estabilidad de dos sistemas cuyas funciones
de transferencia de lazo abierto están dadas por:
1. G s =
3s + 1
s(5s3 + 3𝑠2 + 4s + 2)
2. G s =
3s + 1
5s3 + 3𝑠2 + 4s + 2
SOLUCIÓN:
Resolvemos ambos sistemas en Matlab utilizando el
comando margin.
Sistema 1
15. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
De acuerdo al resultado
se observa que MG=-19.5 dB
a c=0.879 rad/s y m=-
71.9 a g=1.12 rad/s.
Por tanto se concluye que el
sistema es inestable porque
los márgenes son negativos,
comprobemos con la
respuesta al escalón en lazo
cerrado.
16. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Sistema 2
En la figura se observa que MG= a c= rad/s y m=17 a
g=1.15 rad/s. Por tanto, el sistema es estable,
comprobemos con la respuesta al escalón en lazo cerrado.
17. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
NOTA:
Para obtener un desempeño satisfactorio del sistema el
margen de fase debe estar entre 30 y 60 y el de
ganancia debe ser mayor a 6dB.
18. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1.6 Criterio de estabilidad de Nyquist
El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la
respuesta en frecuencia de lazo abierto con la
estabilidad en lazo cerrado.
Se basa en un teorema de la variable compleja que se
fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano
complejo.
TRANSFORMACIÓN DE CONTORNOS EN EL PLANO
s
Suponga que se quiere transformar una serie de valores
de s en el plano s, donde todos ellos forman una
trayectoria cerrada o contorno , utilizando la función:
F s = 2s + 1
19. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene
su representación en el plano F(s). Se evalúan todos los
puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano
F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva
la misma forma que el contorno del plano s,
(Transformación conforme).
Ambos contornos se consideran que tienen un sentido
positivo.
20. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s,
utilizando otra función de transformación:
En este caso la transformación es no conforme pero
conserva el sentido positivo.
Existe una característica muy interesante que ocurre
cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la
función:
21. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1. Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
el mismo sentido del contorno en plano s.
2. Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra
al origen.
3. Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
sentido contrario.
22. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
1. Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
el mismo sentido del contorno en plano s.
2. Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra
al origen.
3. Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la
función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en
sentido contrario.
23. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
4. Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un
polo de la función, el contorno en el plano F(s) no
encierra al origen.
24. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Todos estos resultado son consecuencia del principio del
argumento (Teorema de Cauchy).
TEOREMA DE CAUCHY:
Si un contorno en el plano s rodea Z ceros y P polos de
F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s)
cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del
reloj a lo largo de contorno s, el contorno
correspondiente en el plano F(s), rodea al origen de
dicho plano, N = Z – P veces en la misma dirección.
CRITERIO DE NYQUIST:
Sea la ecuación característica:
1 + G s = 0 →
K i=1
m
s + si
k=1
n
s + sk
= 0
25. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s)
deben de estar localizados en la parte izquierda del
plano s. Por tal motivo se escoge un contorno en el
plano s que encierre toda la parte derecha del plano y
por medio del teorema de Cauchy se determina que
ceros están dentro del contorno. Esto se logra
graficando en el plano F(s) y observando el número de
rodeos al origen.
Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo
abierto G(s) por ser relativamente más sencillo,
entonces:
1 + G s = 0 → G s = −1
Con este cambio los rodeos se analizarán sobre el punto
(-1 + j0) del plano F(s).
26. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST:
Un sistema de retroalimentación es estable si y
solamente si, el contorno G en el plano G(s) no rodea
el punto (-1 +j0) cuando el número de polos de G(s) en
la parte derecha del plano s es cero.
27. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Un sistema de control con retroalimentación es estable
si y solamente si, en el contorno G el número de
rodeos al punto (-1 +j0) en el sentido contrario al
movimiento del reloj es igual al número de polos de G(s)
con partes reales positivas.
ESTABILIDAD RELATIVA Y CRITERIO DE NYQUIST
El criterio de estabilidad de Nyquist se define en
términos del punto (-1 + j0) en la gráfica polar. La
proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa
de un sistema.
El margen de ganancia. Se define como el recíproco de
la ganancia G(jω) para la frecuencia en que el ángulo
de fase alcanza -180°.
28. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá
que multiplicar la ganancia del sistema para que el lugar
geométrico pase a través del punto (-1 + j0).
El margen de fase, se define como el ángulo de fase
que se debe girar el lugar geométrico G(j) para que el
punto de magnitud unitaria pase a
través del punto (-1 + j0) en el plano G(j).
29. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
EJEMPLO:
Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:
)
5
)(
4
(
)
(
s
s
s
K
s
G
SOLUCIÓN:
Para realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:
s
G
Plano s
j
s
0
j
0
Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la
frecuencia hasta , (gráfica polar).
0
Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la
frecuencia . En este caso se cambia
la variable s de la función por donde
representa un radio de valor infinito y es
una evaluación angular de 90º a -90º.
j
j
j
e
j
e
Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la
frecuencia hasta , (espejo de la
gráfica polar).
0
j
Contorno s
1
T
2
T
3
T
4
T
30. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la
frecuencia . En este caso se cambia la
variable s de la función por donde
representa un radio de valor muy pequeño y es
una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se
diseña para rodear a posibles ceros o polos en el
origen de la función a evaluar.
0
0
j
e
j
e
T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar
j
20
4
5
)
5
)(
4
(
)
(
)
5
)(
4
(
)
( 2
2
3
j
j
K
j
j
j
K
j
G
s
s
s
K
s
G
se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador
)
20
(
9
)
20
(
9
)
20
(
9
)
( 2
2
2
2
2
2
j
j
j
K
j
G
31. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
400
41
)
20
(
400
41
9
)
( 3
5
2
2
4
K
j
K
j
G
Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde hasta
0
0
j
K
K
j
K
G
400
9
)
0
(
400
)
0
(
41
)
0
(
)
)
0
(
20
(
400
)
0
(
41
)
0
(
9
)
0
( 3
5
2
2
4
0
0
)
(
400
)
(
41
)
(
)
)
(
20
(
400
)
(
41
)
(
9
)
0
( 3
5
2
2
4
j
K
j
K
G
Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores
muy pequeños para aproximar y valores muy grande de para aproximar
cuando
0
.
32. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Entonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.
0
como a la frecuencia el valor es final es 0+j0,
se tiene que la gráfica polar llega a cero por el
cuadrante superior izquierdo. Como se inició en el
cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el
eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la
parte imaginaria de la ecuación resultante:
400
41
)
20
(
0 3
5
2
K
j
20
2
20
0
y esta frecuencia se evalúa en la parte real
400
)
20
(
41
)
20
(
9
)
Re( 2
4
K
180
1
)
Re(
K
Se obtiene otro punto para la
gráfica. Con ellos se dibuja de
manera aproximada la gráfica
polar. (Nota: para una mejor
aproximación de la gráfica, se
pueden evaluar más frecuencias)
j
180
K
Figura. Gráfica polar.
jv
u
33. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde 90º a -90º
j
e
)
5
)(
4
(
)
(
s
s
s
K
s
G
)
5
)(
4
(
)
(
j
j
j
e
e
e
K
j
G
Infinito
Infinito
pequeño
pequeño
3
3
0
)
)(
(
)
( j
j
j
j
j
e
e
K
e
e
e
K
j
G
Plano s
j
s
0
j
0
Contorno s
2
T
El punto ej90 en el plano s mapea al punto
0-270 = 0-90 en el plano F(s).
El punto ej80 en el plano s mapea al punto
0-240 en el plano F(s).
El punto e-j30 en el plano s mapea al punto 090 .en
el plano F(s).
Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir
que el tramo 2 forma en el plano F(s)
34. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
El resultado es tres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección
antihoraria.
jv
u
0
radio
Plano F(s), tramo 2.
T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1)
0
180
K
jv
u
Plano F(s), tramo 2.
T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde -90º a 90º
j
e
)
5
)(
4
(
)
(
s
s
s
K
s
G
)
5
)(
4
(
)
(
j
j
j
j
e
e
e
K
e
G
muy muy pequeño relativ, grande
35. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
j
j
j
j
e
e
K
e
K
e
G
)
5
)(
4
(
)
(
Plano s
j
s
0
j
0
Contorno s
2
T
El punto en el plano s mapea al punto . en
el plano F(s).
º
90
e
º
90
e
El punto en el plano s mapea al punto .
en el plano F(s).
º
45
e
º
45
e
P
j
0
j
Plano F(s)
Contorno . Tramo 4.
P
36. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
0
j
180
K
Figura. Gráfica de Nyquist.
jv
u
T1
T3
T4
T2
1
Criterio de Nyquist:
Como el sistema no tiene polos inestables en
lazo abierto, para que sea estable se necesita
que no haya rodeos al punto -1. Entonces el
rango de estabilidad es
180
0
K
37. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Criterio de estabilidad de Nyquist en Matlab
Utilizando el comando nyquist de Matlab se obtiene la
traza polar de una función de transferencia para todo el
rango de frecuencias de -. Analizando esta traza
podemos verificar si se presentan cualquiera de los
siguientes casos:
1. Si el punto -1 + j0 no está rodeado, entonces el
sistema será sistema es estable siempre y cuando
no haya polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho
del plano “s”; de lo contrario, el sistema será
inestable.
38. w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
2. Si el punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces
en sentido contrario al de las agujas del reloj,
entonces el sistema será estable si el número de
rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj
es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano
derecho del plano “s”; de lo contrario, el sistema será
inestable.
3. Si el punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces
en el sentido de las agujas del reloj, entonces el
sistema será inestable.