Este documento presenta los conceptos fundamentales de la cinemática, que estudia el movimiento mecánico sin considerar las causas. Describe magnitudes como posición, velocidad y aceleración, y diferentes tipos de movimiento como el rectilíneo uniforme y la caída libre. Además, explica métodos como el vectorial y de coordenadas para describir el movimiento, y conceptos clave como el sistema de referencia.

1. C 1 CINEMÁTICAC 1 CINEMÁTICA
• Movimiento Mecánico. Bases para suMovimiento Mecánico. Bases para su
estudio.estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas yMétodos vectorial, de coordenadas y
natural.natural.
• Magnitudes cinemáticas.Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional.Movimiento unidimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformementeMovimiento rectilíneo uniformemente
variado. Movimiento rectilíneo uniforme.variado. Movimiento rectilíneo uniforme.
• Caída libreCaída libre
• EjemplosEjemplos
Bibliog. Sears, Física UniversitariaBibliog. Sears, Física Universitaria

2. Mecánica deMecánica de
los cuerposlos cuerpos
macroscópicosmacroscópicos
MovimientoMovimiento
mecánicomecánico

3. Cinemática:Cinemática: Rama de laRama de la MecánicaMecánica
que se dedica a la descripción delque se dedica a la descripción del
movimiento mecánicomovimiento mecánico sin interesarsesin interesarse
por las causaspor las causas que lo provocan.que lo provocan.
Dinámica:Dinámica: Rama de laRama de la MecánicaMecánica
que se dedica aque se dedica a investigar las causasinvestigar las causas
que provocan el movimientoque provocan el movimiento
mecánico.mecánico.

4. Movimiento Mecánico:Movimiento Mecánico: Cambio deCambio de
posición deposición de un cuerpoun cuerpo respectorespecto a otrosa otros,,
tomados como referencia.tomados como referencia.
Carácter:Carácter: RelativoRelativo
Definir sistemaDefinir sistema
bajo estudiobajo estudio
DefinirDefinir
Sistema deSistema de
ReferenciaReferencia
(SR)(SR)

5. Bases para el estudio delBases para el estudio del
movimiento mecánicomovimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (Definición del Sistema de Referencia (SRSR))
• Utilización deUtilización de magnitudes físicasmagnitudes físicas apropiadas yapropiadas y
relaciones entre ellas.relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico:Empleo de modelos para el sistema físico:
Modelo de cuerpo rígidoModelo de cuerpo rígido yy Modelo de partículaModelo de partícula..
• Utilización delUtilización del principio de independenciaprincipio de independencia dede
los movimientos de Galileo así como dellos movimientos de Galileo así como del
principio de superposiciónprincipio de superposición..

6. SRSR:: Cuerpos que se toman como referencia paraCuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio delBases para el estudio del
movimiento mecánicomovimiento mecánico
x(t)x(t)
y(t)y(t)
z(t)z(t)
Se le asociaSe le asocia
• ObservadorObservador
• Sistema deSistema de
CoordenadasCoordenadas
y
x
z
• RelojReloj

7. Bases para el estudio delBases para el estudio del
movimiento mecánicomovimiento mecánico
SRISRI:: Es aquel para el cual elEs aquel para el cual el
sistema bajo estudio ensistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otrosausencia de la acción de otros
cuerpos, se mueve con MRU.cuerpos, se mueve con MRU.

8. Bases para el estudio delBases para el estudio del
movimiento mecánicomovimiento mecánico
Magnitudes FísicasMagnitudes Físicas
CinemáticasCinemáticas
Posición,Posición,
Velocidad,Velocidad,
AceleraciónAceleración
DinámicasDinámicas
Fuerza, TorqueFuerza, Torque

9. Bases para el estudio delBases para el estudio del
movimiento mecánicomovimiento mecánico
ModelosModelos
de Partícula:de Partícula: el cuerpo puede serel cuerpo puede ser
considerado como un objeto puntual.considerado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido:de Cuerpo Rígido: Las distanciasLas distancias
entre los diferentes puntos delentre los diferentes puntos del
cuerpo no varían.cuerpo no varían.

10. Traslación puraTraslación pura

11. Rotación pura de cuerpoRotación pura de cuerpo
sólidosólido
Es aplicable el modelo del cuerpoEs aplicable el modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícularígido pero no el de partícula

12. ObjetivoObjetivo
Determinación de lasDeterminación de las Leyes delLeyes del
MovimientoMovimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Describir elDescribir el
MovimientoMovimiento
mecánicomecánico

13. MétodosMétodos
•VectorialVectorial ((conciso, elegante)conciso, elegante)
•de Coordenadasde Coordenadas Mayor número deMayor número de
ecuacionesecuaciones
•NaturalNatural CoordenadasCoordenadas
curvilíneascurvilíneas
Problemas deProblemas de
la cinemáticala cinemática
Posición (t)Posición (t)
VelocidadVelocidad (t)(t)
AceleraciónAceleración (t)(t)
P.DirectoP.Directo
P.InversoP.Inverso
Cond.InicialesCond.Iniciales

14. ( )ttr ∆+
( )tr
)(: trposición
( )ttV ∆+
( )tV
dt
dr
t
r
tVvelocidad
t
=
∆
∆
=
→∆
lim0
)(:
dt
dV
tanaceleració =)(:
mV r∆
t
r
Vmediavelocidad m
∆
∆
=:
r∆
)()(: trttrrentodesplazami −∆+=∆
( ) ( )
t
tVttV
anaceleració m
∆
−∆+
=:
media
VectorialVectorialdr

15. )(tx
)(ty
)(tz
)(),(),(: tztytxposición
,)(:
dt
dx
tVvelocidad x =
dt
dy
tVy =)(
dt
dz
tVz =)(
dt
dV
tanaceleració x
x =)(:
dt
dV
ta y
y =)(
dt
dV
ta z
z =)(
De Coord.De Coord.
y∆
x∆
z∆
zyxentodesplazami ∆∆∆ ,,:

16. ,)(: ττ V
dt
ds
tVvelocidad ==
τ
dt
dV
taT =)(
Ta
a
22
TN
aaa +=
τn
0=s
0<s
n
V
dt
d
Vtanaceleració N
ρ
τ 2
)(: ==
Na
NaturalNatural
)()(: τV
dt
d
dt
dV
tanaceleració ==
ρ
n
)(: tsposición
0>s
τ
τ τ

17. MetodologíaMetodología
• Identificar sistema físicoIdentificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, deSelección del método o métodos (vectorial, de
coordenadas o natural)coordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (Resolver el problema directo (derivandoderivando) o el) o el
indirecto (indirecto (integrandointegrando) o ambos:) o ambos: HallarHallar
analíticamente la dependencia temporal de laanalíticamente la dependencia temporal de la
posición, la velocidad y la aceleración; yposición, la velocidad y la aceleración; y
Dibujar las gráficasDibujar las gráficas

19. y
x
t1
t2
A
B
r

∆
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

20. Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
)t()t( 12
rrr −=∆

21. B
t1
t2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
A
r∆

22. Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
( ) ( )




−
−
=
∆
∆
=
s
m
tt
rr
t
r
V
12
tt
m
12

23. y
x
t1
t2
A
B
r∆
mV
r//Vm ∆
)(t1
r
)(t2
r
La velocidad media apunta en la
misma dirección del vector
desplazamiento

24. Y(m)
x(m)
t1
t2
Δl
:Δl Distancia total recorrida en el
intervalo de tiempo [t1 , t2]
r∆

25. Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
t
l
empleadotiempo
recorridadistancia
v~
m
∆
∆
==
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo
del vector velocidad media (para el mismo
intervalo de tiempo)
mm Vv ≠

27. t2
t'
2
t"
2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
∆ r
r2
mV
r2
'
∆ r'
mV
r2
"
∆ r"
mV

28. t3
A
Y(m)
x(m)
El vector velocidad
instantánea es
tangente a la
trayectoria que
describe la partícula
t2
t1
)v(t1 )v(t2
)v(t3
τ= vv
τ
τ
τ

29. La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv(t) 0t =
∆
∆
= →∆

30. Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dt
dx(t)
vx =
dt
dy(t)
vy =
dt
dz(t)
vz =
dt
dr
t
r
limv(t) 0t =
∆
∆
= →∆

31. Rapidez instantánea
t
l
v(t)
∆
∆
= →∆ 0
~
tlim
Si 0Δt →r∆t1
t2
Δl
rl ∆=∆ dr
v
td
dr
==

32. Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv~
0t(t) =
∆
∆
= →∆
)t((t) vv~ =
Al modulo de la velocidad
instantánea se le conoce como
rapidez instantánea

34. A
Y(m)
x(m)
t2t1
12
12
m
tt
)V(t)V(t
a
−
−
=
)v(t1
)v(t2

35. Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado
intervalo de tiempo






−
−
= 2
12
12
m
s
m
tt
)V(t)V(t
a

37. Y(m)
x(m)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t
)v(t
t1 )v(t1
v∆
v∆ a
t
V
lima ot(t)
∆
∆
= →∆
a

38. dt
ˆd
v
dt
dv
ˆa
τ
+τ=
La aceleración instantánea es igual a
la derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t
=(t)a
( )
dt
ˆvd
dt
dV τ
=
nˆ
v
v
ρ
+τ= ˆ
dt
dv
a
nˆaˆaa n+τ= τ
dt
dv
a =τ ρ
=
2
n
v
a
2
n
2
aaa += τ

39. N
a

T
a

Es la aceleración normal , responsable
del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable
del cambio del modulo de la velocidad

40. dt
(t)dv
a x
x =
dt
(t)dv
a y
y =
dt
(t)dv
a z
z =
Expresado en componentes rectangulares
dt
dV
a =

41. Resumen:
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y
aceleración instantánea por simple derivación
dt
dr
v
(t)
(t) =
2
(t)
2
(t)
(t)
dt
rd
dt
dv
a == naa += τ
Problema directo

42. Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo
es posible encontrar la posición y la velocidad usando
el camino inverso, es decir integrando:
dtadv
dt
dv
a (t)
(t)
(t) =→=
∫=−
t
t
(t))(t(t)
O
O
dtavv
∫+=
t
t
(t))(t(t)
O
O
dtavv
dtvdr
dt
dr
v (t)
(t)
(t) =→=
∫+=
t
t
(t))(t(t)
O
O
dtvrr

Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Problema inverso

43. Ejemplo 1:
Si el vector posición de una partícula
esta dada por:
ktj1)2t(ti1)(2tr 423
(t)
ˆˆˆ ++++−=

Hallar:
1) el vector posición para t= 0 y 2 s
2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s
3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s
su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s
5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s
6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s

44. Movimiento en
una dimensión

45. Podemos aplicar lo discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviendose en una
sola dimensión, por ejemplo
a lo largo del eje x

46. iˆvviˆx(t)r (t)(t)(t) ==
iˆaa )t()t( =
x
)(to
v

(t)
v

)(to
r

(t)
r

Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
( )0ta

47. Movimiento rectilíneo variado
va Movimiento rectilíneo acelerado
v y a igual signo
va
( ) )t(a)t(vtx
Movimiento rectilíneo retardado
v y a signos opuestos

49. X(t)
t
p
Q
R 0v <
0v =
0v >
dt
dx
v (t)
=
Velocidad instantánea

50. υ
tti tf
∆t
a > 0
a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dv
a
(t)
=

51. υ
tti tf
∆t
En toda gráfica v versus t el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea== ∫
2
1
t
t
vdtΔx
v
dt
dx
=

52. Ejemplo 1:
En la gráfica velocidad versus
tiempo, haga un análisis del tipo de
movimiento e indique en que tramos
el movimiento es acelerado o
desacelerado

53. 2 4 8 12 16
t(s)
V(t)

55. Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el instante
t0=0 , con una velocidad vo

56. x
∫∫ =
t
0
v
v
adtdv
o
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de
integrar
tvv o(t)
a+= Velocidad
instantánea
Problema inverso

57. Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t
∫∫ =
t
0
(t)dtvdx
x
xo
∫∫ +=
t
0
o t)dtvdx a
x
xo
(
tvv o(t)
a+=
2
oo(t) t
2
1
tvxx a++=

58. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
Hallaremos ahora una expresión para
determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo [0, t]:
Δt
Δx
Vm
=
t
x-x
V o(t)
m
=

59. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
t
x-x
V o(t)
m =
2
oo(t) t
2
1
tvxx a+=−
t
v-v
a o(t)
=
Y usando las ecuaciones
anteriormente deducidas

60. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
2
vv
t
x-x
V o(t)o(t)
m
+
==
Finalmente obtenemos

61. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
Δx2vv 2
0
2
(t)
a+=
También se puede demostrar:
Donde : 0(t)
xxΔx −=
Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo
[0 , t]

62. Δx2vv 2
0
2
(t)
a+=
Resumen
0(t)
xxΔx −=
[0 , t]
tvv o(t)
a+=
2
oo(t) t
2
1
tvxx a+=−
2
vv
t
x-x
V o(t)o(t)
m
+
==
2
vv
tt
x-x
V )(t)(t
12
)(t)(t
m
1212
+
=
−
= [t1 , t2 ]
ctea = MRUA
Despejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra

63. Movimiento Uniformemente AceleradoMovimiento Uniformemente Acelerado
tvv o(t) a+=
υ
υ0
υ0
at
υ
Ο tt
Pendiente = a
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t)
t
2
1
tvxx a+=−
O t
a
a
Pendiente = 0
a

64. Movimiento Rectilíneo Uniforme MRUMovimiento Rectilíneo Uniforme MRU
datoa :
0
atVV += 0
0
2
2
00
at
tVxx ++=
0
aa
VV
xx
tt
tt
tt
xx00
VV00
Movimiento ParabólicoMovimiento Parabólico
0=xa
xx VV 0=
tVxx x00 +=
MRUMRU
Eje xEje x
gay −=
gtVV yy −= 0
2
2
00
gt
tVyy y −+=
MRUVMRUV
Eje yEje y

66. v0 -v0
V =0
Haga click en la bolita verde

67. jˆga −=
jˆvv 00
=
y
0
gtvv 0
−=
2
gt
2
1
tvyy 00
−+=
yg2vv 2
0
2
∆−=

68. a
v
x
t t
t
v0
-v0
-g
tv
tv/2
tv
H
jˆga −=
gtvv 0
−=
2
gt
2
1
tvyy 00
−+=

69. Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 100 m/s,
determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad
de 60 m/s a -60m/s