Analisis numerico

1. Analisis numerico
Jaime Marín
20,017,468

2. ¿Qué es el análisis numerico?
 El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las
matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a
través de números y reglas matemáticas simples, simular
procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos
del mundo real. Consiste en procedimientos que resuelven
problemas y realizan cálculos puramente aritméticos,
tomando en cuenta las características especiales de los
instrumentos de cálculo que nos ayudan en la ejecución de
las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o
aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de
errores en los cálculos

3. Numero maquina
 Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0)
y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o
"representación binaria" significa que es de base 2, la más
pequeña posible; este tipo de representación requiere de
menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de
más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la
unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan
componentes de apagado/prendido, o para una conexión
eléctrica abierta/cerrada.

4. Numerico maquina decimal
 También se pueden definir como: Aquellos números cuya
representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2
d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ...,
k"; De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras
IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £
76

5. Error absoluto
 Es la diferencia entre el valor exacto (un número
determinado, por ejemplo) y su valor calculado o
redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado";
debido a que la ecuación se dio en términos del valor
absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una
colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos,
sin reducirse. Cuando se utiliza 0.6 como aproximación de
0.613, el error equivale a (0.6-0.613), que es - 0.013
(algunos definen el error como 0.613-0.6). En este caso, el
error absoluto es |0.6-0.613|, que es 0.013.

6. Error relativo
 Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida.
Es el cociente entre el error absoluto y el valor que damos
como representativo (la media aritmética). Se puede dar en
% de error relativo. En efecto, si cometemos un error
absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de
fútbol de 100 m y también un metro al medir la distancia
Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error
relativo será 1/100 (1%) para la medida del estadio y 1
/600.000 para la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha
más calidad la segunda medida.

7. Cotas de error
 Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable,
el error cometido debe estar controlado o acotado de manera
que: Los números k y k se llaman cotas del error absoluto o
relativo, respectivamente.
 COTAS DE ERROR Al redondear, podemos dar una cota del
error absoluto de la siguiente manera:donde c = 5 unidades
del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo. Y
una cota del error relativo:

8. Fuentes básicas de errores
 Existen dos causas principales de errores en los cálculos
numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error
de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con
que se representan los números en una PC (para comprender
la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas
en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las
sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se
debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática
del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que
se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los
errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito
(por ejemplo, truncando los términos de una serie).

9. Error de redondeo
 Es aquel error en donde el numero significativo de dígitos
después del punto decimal, se ajusta a un numero especifico,
provocando con ello un ajuste en el ultimo digito que se tome
en cuenta. "Cualquier número real positivo y puede ser
normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. El
procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y
después truncar para que resulte un número de la forma fl =
0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. El último método comúnmente se
designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega
uno (1) a d k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia
arriba. Si dk+1 < 5, simplemente truncamos después de los
primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

10. Error de truncamiento
 Los errores de truncamiento tienen relación con el método
de aproximación que se usará ya que generalmente frente a
una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número
de términos, introduciendo en ese momento un error, por no
utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una
iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y
seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se
subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se
asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n"
veces.

11. Error de truncamiento
 Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n. Si y está dentro
del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante
de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la
mantisa de ‘y’ en ‘k’ cifras decimales. Existen dos formas de
llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente
truncar los dígitos dk+1, dk+2, . . . para obtener fl = 0,d1 d2
d3 ..., dk, x 10 n.

12. Error de suma y resta
 En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos
números en la computadora. Como cada suma introduce un error,
proporcional al épsilon de la máquina, queremos ver como estos
errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos
generaliza al problema del cálculo de productos interiores. En la
práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en
registros especiales que más bits que los números de máquinas
usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que
los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se
deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un
número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como
consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.

13. Cálculos estables e inestables
 Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es
la distinción entre los procesos numéricos que son estables y
los que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de
problema bien condicionado o mal condicionado. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas
posteriores y degradan la calidad de los resultados. Un
problema está mal condicionado si pequeños cambios en los
datos de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las
respuestas.

14. Cálculos estables e inestables
 La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los
cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es
numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada
aumentan considerablemente por el método numérico. Un proceso
numérico es inestable cuando los pequeños errores que se producen
en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y
degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. El que un
proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con
base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal
condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente
pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula
puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los
cálculos.

15. CONDICIONAMIENTO
 Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal
para indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de
pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está
mal condicionado si pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a
grandes cambios en las respuestas. Para ciertos tipos de problemas se
puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede
definirse como la razón de los errores relativos". Si el número de
condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se
establece un número de condición, es decir para la evaluación de una
función se asocia un número condicionado, para la solución de
sistemas de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de
condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta
qué punto la incertidumbre aumenta.