INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO Y MANEJO DE ERRORES

2. El análisis numérico es una rama matemática que se encarga de
estudiar, describir, analizar y crear algoritmos (pasos o
procedimiento para realizar algo) numéricos para solucionar
problemas de matemáticas discretas, esto es,
funciones matemáticas en las cuales, para puntos cercanos del
dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de
la función. Esto hace que el algoritmo creado nos dé un
resultado de un problema con una precisión determinada, por lo
que nunca se podrá obtener un resultado preciso, sino soluciones
aproximadas

3. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver
problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas
numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente
el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de
computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios
científicos básicos.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las
soluciones de problemas expresados matemáticamente.
El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas
complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una
secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema
matemático.

5. Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios; Aquí solo se
analizara uno . Naturalmente es mucho mas fácil una conversión con una calculadora
científica, pero no siempre se cuenta con ella, así que es conveniente por lo menos
conocer una forma manual para hacerlo.
El método que se explicara utiliza la división sucesiva, entre 2 guardando
el residuo como digito binario y el resultado como la siguiente cantidad
a dividir.
Ejemplo: tomemos el numero 43 en decimal.
43/2= 21 𝑦 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 1
21/2= 10 𝑦 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 1
10/2= 5 𝑦 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 0
5/2= 2𝑦 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 1
2/2= 1𝑦 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 0
1/2= 0 𝑦 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 1
Luego armando el numero de abajo hacia arriba tenemos que el numero en binario
es : 101011

6. Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida
y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o
negativo, según si la medida es superior al valor real o
inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades,
las mismas que las de la medida.
Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error
absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se
obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el
error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea
el error absoluto) porque puede ser por exceso o por
defecto. no tiene unidades.

7. 1 Para comenzar, ha de producirse una medida: contar el dinero de una hucha,
medir la longitud del escritorio, etcétera. Después de determinar lo que se va a
medir, hay que determinar la herramienta. Para contar monedas no se necesita una
herramienta real, pero para medir longitudes o temperaturas sí. Por ejemplo, para
medir la longitud de una hoja de papel de carta se necesita una regla. La medida
muestra que la longitud del papel es de 28,5 centímetros.
2 Un error es la comparación entre el valor de medida y el valor real. Por ejemplo,
una hoja de papel de carta es 21,59 centímetros multiplicado por 27,94
centímetros, así que el lado largo mide 27,94 centímetros.
3 Para calcular el error absoluto, se toma la diferencia entre la medida y el valor
real. El ejemplo continúa con la determinación del error absoluto de 0,31
centímetros en la medida.
4 El error relativo, por tanto, se calcula dividiendo el error absoluto entre el valor
real. En el ejemplo, 0,31 centímetros/27,94 centímetros da un error relativo de
~0,11364.
5 Para convertirlo en porcentaje, multiplícalo por 100. El error relativo en la medida
en porcentaje es 1,1364%.

8. Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un
error, el error absoluto.
El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor
exacto y el valor aproximado.
Además, no es lo mismo decir que el error de medición es menor
que medio metro cuando medimos una calle de 5 metros o cuando
medimos una carretera de 120 km. Para dar una medida cualitativa
de la precisión aparece el error relativo.
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
La cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar
una medida o tomar una aproximación. El error cometido al tomar
2,718 será menor que una milésima; diremos que 0,001 es una cota
de dicho error.

9. a) Cota del error absoluto: = 50
Cota del error relativo: 0,008
b) Cota del error absoluto: = 5 000 000
Cota del error relativo: 0,03
c) Cota del error absoluto: 500 000
Cota del error relativo: 0,12
d) Cota del error absoluto: = 0,0005
Cota del error relativo 0,07
e) Cota del error absoluto: = 0,05
Cota del error relativo= 0,125
Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes
aproximaciones:
a) Radio de la Tierra: 6 400 km.
b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.
c) Habitantes de España: 41 millones.
d) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,007 segundos.
e) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3.
SOLUCION:

10. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos:
Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se
asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los
números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es
necesario conocer las formas en que se almacenan los números y
como se llevan a cabo las sumas y restas
dentro de una PC). El Error de Truncamiento,
se debe a las aproximaciones utilizadas en la
fórmula matemática del modelo (la serie de
Taylor es el medio más importante que se
emplea para obtener modelos numéricos y
analizar los errores de truncamiento). Otro
caso donde aparecen errores de truncamiento
es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo,
truncando los términos de una serie).

11. Truncamiento:
En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado
para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando
los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la
derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el
redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos,
meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser
hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

12. Redondeo:
Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su
representación decimal, para obtener un valor aproximado.
Reglas de redondeo
Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos
dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas:
Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::,
truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415
Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última
cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5.
Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14,
a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el
redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor.
Estimación:
Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear los números con los
que se opera, y los resultados que se obtienen no son verdaderos, sino que se consideran
estimaciones.

13. Método común
Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al
número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3
decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:
Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.
Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el
tercer decimal: 12,612= 12,61.
Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se
incrementa en una unidad.
Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el
tercer decimal: 12,618= 12,62.
Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el
tercer decimal: 12,615= 12,62.