El documento describe diferentes tipos de transformaciones bidimensionales como traslación, escalamiento y rotación. Explica que la traslación mueve un objeto en una dirección recta, el escalamiento cambia el tamaño de un objeto y la rotación gira un objeto alrededor de un punto fijo. También cubre la representación matricial de las transformaciones que permite combinar múltiples transformaciones de una manera eficiente.

1. INSTITUTO TECNÓLOGICO SUPERIOR
DE LA MONTAÑA
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
DOCENTE: ING. NOEL DOMÍNGUEZ CARDONA
ASIGNATURA: “GRAFICACIÓN”
TLAPA DE COMONFORT, GRO., 2O DE ABRL DE 2015
ACTIVIDAD: INVESTIGACIÓN DE LOS SIGUIENTES TEMAS
2.3 Transformación bidimensional.
2.3.1 Traslación.
2.3.2 Escalamiento.
2.3.3 Rotación.
2.4 Representación matricial.
ALUMNO: JOSÉ LUIS REYES OLEA
No. CONTROL: S12120012

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Índice
Introducción ................................................................................................................. 2
2.3 Transformación bidimensional. .............................................................................. 3
2.3.1 Traslación. .......................................................................................................... 4
2.3.2 Escalamiento. ..................................................................................................... 5
2.3.3 Rotación.............................................................................................................. 6
2.4 Representación matricial........................................................................................ 8
Conclusión ................................................................................................................. 10
Bibliografías ............................................................................................................... 11

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Introducción
A continuación veremos los temas que se presentaron anteriormente, es
tan interesante conocer cuál es la función de cada uno de estos así como
la aplicación que tiene en el mundo real. Se preguntaran ¿en dónde se
aplica? Esto lo vemos a diario lo podemos ver en cielo, lo maravilloso que
es nuestro universo, otra seria en las películas vemos ejemplos de
escalamiento, un ejemplo de rotación lo podemos encontrar en los
programas que son para diseño. Claro para poder entender bien estos
temas debemos tener conocimiento previos de cálculo. Espero y al
terminar esta investigación hayas aprendido algo sobre gráficos.

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2.3 Transformación bidimensional.
La composición de transformaciones bidimensionales consiste en la mezcla de las
transformaciones bidimensionales básicas como son traslación, sesgado y escalado.
Notemos que no mencionamos la rotación como una transformación básica, esta es en
realidad la combinación de escalado y sesgado.
Estas transformaciones se representan mediante un matriz de tres por tres como esta
en la siguiente figura.
Los elementos a, b, c,d, tx y ty. Las posiciones adicionales u, v y w no las tomaremos
en cuenta porque por el momento no son importantes.
El significado para cada posición es la siguiente
a escalado en el eje x.
b sesgado en el eje y.
c sesgado en el eje x.
d escalado en el eje y.
tx traslación en el eje x
ty traslación en el eje y

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2.3.1 Traslación.
Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra. Se
traslada un punto de la posición coordenada (x,y) a una nueva posición (x', y')
agregando distancias de traslación, Tx y Ty , a las coordenadas originales:
x' = x + Tx, y' = y + Ty
El par de distancia de traslación (Tx,Ty) se denomina también vector de traslación o
bien vector de cambio. Los polígonos se trasladan agregando las distancias de
traslación especificadas a las coordenadas de cada punto extremo de la línea en el
objeto. Los objetos trazados con curvas se trasladan cambiando las coordenadas
definidoras del objeto. Para cambiar la posición de una circunferencia o elipse, se
trasladan las coordenadas centrales y se vuelve a trazar la figura en la nueva
localidad. Las distancias de traslación pueden especificarse como cualquier número real
(positivo, negativo o cero). Si un objeto se traslada más allá de los límites del
despliegue en coordenadas del dispositivo, el sistema podría retornar un mensaje de
error, suprimir partes del objeto que sobrepasan los límites del despliegue o presentar
una imagen distorsionada. Los sistemas que no contienen provisiones para manejar
coordenadas que sobrepasan los límites del despliegue distorsionaran las figuras
debido a que los valores coordenados desbordan las localidades de la memoria. Esto
produce un efecto conocido como doblez en redondo, donde los puntos que
sobrepasan los límites coordenados en una dirección se desplegaran en el otro lado del
dispositivo del dispositivo de despliegue

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2.3.2 Escalamiento.
Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalamiento.
Esta operación puede efectuarse con polígonos multiplicando los valores coordenados
(x,y) de cada vértice de frontera por los factores de escalamiento Sx y Sy para producir
las coordenadas transformadas (x', y').
X' = x.Sx
Y' = y.Sx
El factor de escalamiento Sx hace objetos a escala en la dirección x, mientras que Sy lo
hace en la dirección y.
Cualquier valor numérico positivo puede asignarse a los factores de escalamiento Sx y
Sy. Los valores menores que 1 reducen el tamaño de los objetos; los valores mayores
que 1 producen un agrandamiento. Si se especifica un valor de 1 para Sx y Sy se
mantiene inalterado el tamaño de los objetos. Cuando a Sx y Sy se les asigna el mismo
valor, se produce un escalamiento uniforme, la cual mantiene las propiedades relativas
del objeto a escala. A menudo se utilizan valores desiguales de Sx y Sy en aplicaciones
de diseño, donde las figuras se construyen a partir de unas cuantas formas básicas que
pueden ser transformadas por transformaciones de escalamiento.

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2.3.3 Rotación.
Se aplica una rotación bidimensional en un objeto al cambiar su posición a lo largo de la
trayectoria de una circunferencia en el plano de xy. Para generar una rotación,
especificamos un ángulo de rotación "theta" y la posición (xr, yr) del punto de rotación (o
punto pivote) en torno al cual se gira el objeto.
Los valores positivos para el ángulo de rotación definen rotaciones en sentido opuesto a
las manecillas del reloj alrededor del punto pivote y los valores negativos giran los
objetos en la dirección del reloj.
También es posible describir esta transformación como una rotación sobre el eje de
rotación que es perpendicular al plano de xy y pasa a través del punto pivote.
El primer paso es determinar las ecuaciones de transformación para la rotación de la
posición de un punto P cuando el punto pivote está en el origen de las coordenadas.
Utilizando identidades trigonométricas podemos expresar las coordenadas
transformadas en término de los ángulos "theta" y "phi" como:
Las coordenadas originales del punto en las coordenadas polares son:
Las rotaciones son transformaciones de cuerpos rígidos que mueven los objetos sin
deformarlos. Se giran a través del mismo ángulo todos los puntos del objeto.
Se gira un segmento de línea recta al aplicar las ecuaciones de rotación en cada
extremo de la línea y se vuelve a trazar la línea entre las nuevas posiciones de los
extremos.

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A continuación veremos otra imagen donde se aplica la rotación.

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2.4 Representación matricial.
Muchas aplicaciones incluyen secuencias de transformaciones geométricas:
 Una animación requiere que los objetos se trasladen y roten en cada fotograma
 Un diseño CAD requiere muchas transformaciones hasta obtener el resultado
final
Debemos formular de forma muy eficiente toda la secuencia de transformaciones. Cada
transformación puede representarse como
P’ = P M1 + M2
La matriz M1 contiene la información de ángulos y factores de escala. La matriz M2
contiene los términos de traslación asociados al punto fijo y al centro de rotación. Para
producir una secuencia de transformaciones hay que calcular las nuevas coordenadas
en cada transformación.
P’’ = P’ M3 + M4 =… = P M1 M3 + M2 M3 + M4
Buscamos una solución más eficiente que permita combinar las transformaciones para
obtener directamente las coordenadas finales a partir de las iniciales.
Coordenadas homogéneas
El uso de coordenadas homogéneas permite tratar todas las transformaciones
geométricas como una multiplicación de matrices.

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Conclusión
Todos alguna vez hemos necesitado mover, hacer más grandes los objetos, imágenes
etc. O simplemente rotar para ver otra perspectiva de del objeto o imagen. Esto es
usado muchísimo en programas de diseño, y estos programas nos ayudan bastante
para hacer todos estos tipos de efectos de traslación, rotación, escalado entre otros. Si
estas opciones no estuvieran disponibles tendríamos que dibujar muchas veces un
objeto y darle los parámetros desde que se crea, es decir, si necesitamos rotar un
objeto borraríamos el que ya hicimos o crearíamos uno nuevo con los ángulos que
necesitamos ver. Para facilitar este trabajo se utilizan formulas o ecuaciones que son
muy utilizadas en calculo vectorial y solo transportar la imagen original a través de la
aplicación de la ecuación que se requiera. Es importante conocer la aplicación de todo
esto ya nosotros como ingenieros debemos saber la raíz, cuales son los principios de
la Graficación. Como sabemos que con una simple función matemática podemos crear
figuras. Gracias al cálculo vectorial es más fácil aplicar esto a una aplicación.

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Bibliografías
http://marazama.blogspot.mx/2013/09/23-transformacion-
bidimensional.html
http://graficacionmoises.blogspot.mx/2013/09/23-transformacion-
bidimensional.html
http://unidadiigraficacion.blogspot.mx/2013/09/23-transformaciones-
bidimensionales.html
http://serdis.dis.ulpgc.es/~ii-fgc/Tema%203%20-
%20Transformaciones%202D.pdf