Este documento presenta una introducción al sistema de coordenadas polares. Explica que las coordenadas polares definen la posición de un punto en un plano mediante una distancia (r) y un ángulo (θ) desde un origen. También describe cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas usando trigonometría, y presenta varias ecuaciones polares que definen curvas como el círculo, la espiral de Arquímedes y la rosa polar.

1. República Bolivariana de Venezuela
Vice Rectorado Académico
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Telecomunicaciones
COORDENADAS POLARES
Alumno:
Carlos Daniel Diaz
CI:
272290446
Barquisimeto Edo-Lara 04 de Mayo del 2018
Coordenadas Polares

2. Para iniciar debemos comenzar resaltando que, un sistema de
coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el
origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto,
constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Por otro lado, el concepto delo que son coordenadas polares, Sistema de
Coordenadas Polares es un sistema de referencia constituido porun eje quepasa
por el origen. La primera coordenadaes la distancia existente entre el origen y
el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que
pasa por ambos puntos. Las coordenadas polares son un sistema que definen la
posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y
una distancia. En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para
definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir
ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y
complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas
puede simplificarnos la vida. Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores que permiten definir unívocamente la posiciónde cualquier punto de un
espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de
ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se
calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina
sistema de referencia.

3. Conversión de Coordenadas
A representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer
mediante diferentes sistemas de coordenadas. En estos momentos nos ocupan
los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes
sistemas, en este caso nos ocuparemos de la conversión del rectangular al polar
y viceversa.
En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación
de un punto en cada uno de los sistemas respectivos.

4. Conversión de coordenadas cartesianas a polares y de polares a
cartesianas
De cartesianas a polares
Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas
polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.
Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?
Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):
r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13
Usa la función tangente para calcular el ángulo:
tan( θ ) = 5 / 12
θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°
Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ)
son:
r = √ (x2 + y2)
θ = atan( y / x )

5. De polares a cartesianas
Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas
cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces ellado largo y
un ángulo:
Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?
Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08
Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ)a cartesianas (x,y)
son:
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ ).
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

6. Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y
las coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy concentro de coordenadas enel punto O se puede definir
un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la
distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo del vector de posición
sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y
su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene
que la coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
 Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.

7.  Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un
intervalo de tamaño 2π. Porconvención, los intervalos utilizados son [0,
2π) y (−π, π].
Transformación de Coordenadas
En algunos casos puederesultar útil referir las coordenadas asistemas de ejes a
los originalmente planteados. Consideremos las siguientes transformaciones:
 Traslaciones: tomamos un nuevo sistema de ejes coordenados cartesianos O’
X’ Y’ donde el origen de coordenadas O’ tiene coordenadas (x0, y0) referidas
a los ejes coordenadosO X Y. Obviamente se cumple que: A
esta transformación se la denomina traslación.
 Rotaciones: tomamos un nuevo sistema de ejes cartesianos O’ X’ Y’ en el que
los ejes X’ e Y’ se giran solidariamente un cierto ángulo “α” en sentido
antihorario.
Veamos cuál es la relación entre las coordenadas XY referidas al sistema inicial
y las coordenadas X’ Y’ referidas al sistema girado:
Dado un punto “P” en el plano de coordenadas (x, y), escribimos:
en el sistema de coordenadas sin transformar, mientras que en el transformado
tenemos:

8. Sustituyendo con las anteriores igualdades:
Puesto que éstas son las componentes respecto a la base de vectores
coordenados “i” y “j” deducimos:
Sistemas de Referencia
Podemos definir un sistema de referencia como un sistema de
coordenadas respecto delcual estudiamos el movimiento de un cuerpo. Supone
la posición del observador respecto al fenómeno observado. Hasta ahora han
aparecido dos conceptos clave para entender el movimiento de un cuerpo
El sistema de referencia en Físicaes muy importante a la hora de estudiar
los movimientos resulta fundamental a la hora de establecer la posición del
cuerpo estudiado. Normalmente en Física usamos el sistema formado por los
ejes cartesianos y las coordenadas cartesianas como sistema de referencia.
Dicho sistema está formado por3 ejes perpendiculares (OX, OY y OZ) llamado
espacio o 3 dimensiones, aunque también es posible utilizar unicamente 2 ejes
(OX, OY) llamados 2 dimensiones o plano e incluso, un único eje (OX)
conocido como 1 dimensión o recta.

9. Recordemos quesiestás estudiando el movimiento deun cuerpo queseproduce
en una o dos dimensiones puedes simplificar eligiendo adecuadamente el
sistema de referencia: en dos dimensiones, sólo nos quedaremos con 2 ejes
(generalmente OX y OY) y en una dimensión con 1 eje (generalmente OX).
En ocasiones, puede que el origen y orientación de los ejes nos dificulte la
comprensión o la resolución de un problema, por lo que siempre podemos
realizar transformaciones de forma que nuestro sistema se ajuste a un punto de
vista más cómodo para nosotros. En el ejemplo anterior, en el que se ve a una
bola cayendo sobreun plano inclinado, podríamos plantear un sistema como el
de A o como el de B, según nos convenga. En A la bola se mueve en 2
dimensiones (cambia sus coordenadas en el eje x e y mientras se desplaza) y en
B se mueve en una sola dimensión (solo semueve en el eje x). Realizar cálculos
en una dimensión suele ser mucho mas fácil que en dos, por lo que sería más
conveniente escoger el sistema B.
En cualquiera de los casos, tendremos que asegurarnos que las nuevas
referencias seajustan al cambio que hemos realizado en el sistema. Porejemplo,
en A la bola empieza a moverse en el punto (0,3) y en B empieza a moverse en
(0,0)
Representación de un Punto con una Coordenada Polar
Para iniciar debemos decir que el punto (3, 60º) indica que está a una
distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.El

10. punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un
ángulo de 210º sobre OL.
Por otra parte, un aspecto que considerar en los sistemas de coordenadas
polares es que un único punto del plano puede representarse con un número
infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de
coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay
una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las
coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:
En otro caso un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el
mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de
revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (
{displaystyle r} r, θ) se puede representar como ( {displaystyle r} r, θ ±
{displaystyle n} n×360°) o (− {displaystyle r} r, θ ± (2 {displaystyle n} n +
1)180°), donde {displaystyle n} n es un número entero cualquiera.4
Vale la pena resaltar que el centro de coordenadas está definido por una
distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen.
Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el
polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con
radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en
cuenta para evitar confusiones en estesistema de coordenadas. Paraobteneruna
única representación de un punto, se suele limitar {displaystyle r} r a números
no negativos {displaystyle r} r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°]
(en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).6
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en
radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de
navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas
aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del
cálculo matemático expresan las medidas en radianes.7

11. Ejemplo:
Ecuaciones Polares
Para iniciar se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva
expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal
ecuación definiendo {displaystyle r} r como una función de θ. La curva
resultante consiste en una serie de puntos en la forma ({displaystyle r} r(θ), θ)
y se puede representar como la gráfica de una función {displaystyle r} r.
Es importante resaltar que mediante estas se pueden deducir diferentes
formas de simetría de la ecuación de una función polar {displaystyle r} r. Si
{displaystyle r} r(−θ) = {displaystyle r} r(θ) la curva será simétrica respecto
al eje horizontal (0°/180°), si {displaystyle r} r(180°−θ) = {displaystyle r}
r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si {displaystyle r}
r(θ−α°) = {displaystyle r} r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido
horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de
coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir conuna simple ecuación
polar, mientras que en suforma cartesiana seríamucho más intrincado. Algunas
de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la
lemniscata, el caracol de Pascal y el cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa
polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
Por otro lado, aquí algunos tipos:

12. Circunferencia
Espiral de Arquímedes

13. Espiral logarítmica.
Espiral hiperbólica.
Y para finalizar otras graficas mas en Coordenadas Polares
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

14. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

15. CARDIOIDES
LIMACONES O CARACOLES

16. LEMNISCATA
LA NEFROIDE DE FREETH

17. CONCOIDES DE NICÓMENES
CISOIDE DE DIOCLES

18. PARÁBOLA
ESPIRAL