Este documento presenta el método de mapas de Karnaugh para simplificar funciones lógicas. Explica cómo construir mapas de Karnaugh para funciones de diferentes números de variables y cómo agrupar celdas adyacentes con el mismo valor para eliminar variables y simplificar la función. También cubre el uso de celdas con valores "no importa" y proporciona ejemplos del proceso de simplificación mediante mapas de Karnaugh.

1. Departamento de Electrónica
Electrónica Digital
Facultad de Ingeniería
Bioingeniería
Universidad Nacional de Entre Ríos
Diseño combinacional (Parte #2)
Mapas de Karnaugh

2. Procedimiento de diseño de un circuito combinacional

3. Expresión algebraica de una función lógica como la suma de los minitérminos de la
función.
• Considera únicamente las combinaciones de entrada que hacen 1 la función
• Cada variable aparece complementada si su valor es 0 y sin complementar si es 1
Determinación de la función lógica
1. Forma canónica de suma de productos

4. Expresión algebraica de una función lógica como el producto de los
maxitérminos de la función.
• Considera únicamente las combinaciones de entrada que hacen 0 la
función (salida)
• Cada variable aparece complementada si su valor es 1 y sin complementar
si es 0
2. Forma canónica de producto de sumas

5. Simplificación

6. Simplificación por mapas de Karnaugh (mapas K)
 Método gráfico para simplificar funciones
 Es una representación matricial de una tabla de verdad:
• una celda del mapa = una fila de la tabla de verdad
 Muy práctico para funciones de no más de 4 ó 5 variables
Ejemplo de mapa de 2 variables
B
0 2
0 1
1 3
0
1
A

7.  Cada celda se corresponde con un minitérmino ó maxitérmino de la función
 En cada celda se escribe el valor de la salida de la función lógica para ese
minitérmino/maxitérmino.
 Cada celda difiere de la adyacente en solo una variable.
 La numeración de las filas/columnas es en código Gray
 Las filas/columnas externas son adyacentes entre sí
Principales características del mapa K

8. Ejemplo de mapa de 4 variables
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
variables de entrada
numeración en
código continuo
número de minitérmino
celdas adyacentes
celdas adyacentes

9. 1. Agrupar todas las celdas con el mismo valor, en uno o más grupos
de celdas adyacentes
2. La cantidad de celdas en un grupo debe ser potencia de 2 (2, 4, 8)
3. Maximizar la cantidad de celdas en cada grupo
4. Minimizar la cantidad de grupos
5. Superponer grupos siempre que sea posible (una celda puede estar
en uno o más grupos), si eso conduce a cumplir 2, 3 y 4.
Reglas de aplicación

10. CB
1 1
00 01
0 0
0
1
A
0 1
0 1
11 10
Z1 = A’B’C’ + A’BC’ = A’C’ (B’ + B) = A’C’
Z2 = A’CB’ + ACB’ = CB’ (A’ + A) = CB’
Z = Z1 + Z2 = A’C’ + CB’
Fundamento del método
En celdas adyacentes, sólo cambia el valor de una de las variables entre los dos
términos representado por cada celda  aplicando álgebra de Boole se elimina la
variable que cambia de valor.
C B A Z
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Z =A’C’ + CB’

11.  Agrupar las celdas de valor 1 (minitérminos)
 Cada grupo representa a un término producto
 Un grupo de 2k celdas elimina k variables del término resultante
 Grupo de 2 celdas: elimina 1 variable
 Grupo de 4 celdas: elimina 2 variables
 Grupo de 8 celdas: elimina 3 variables
B
0 2
1
0 1
1 3
1 1
0
1
A
Z = A + B
BIEN
A = 1,
B = 0/1,
B se elimina
A = 0/1,
B = 1,
A se elimina
B
0 2
1
0 1
1 3
1 1
0
1
A
Z = A + A’ B = A + B
MAL paso adicional
Simplificación por unos lógicos (mapa K de minitérminos)

12. Ejemplos
CB
1 1
00 01
1 1
0
1
A
1
11 10
CB
0 2
1 1
00 01
1 3
1 1
0
1
A
6 4
0 1
7 5
0 0
11 10 Z = C’ + A’B’C = C’ + A’B’
MAL
Z = C’ + A’B’
CB
1 1
00 01
1 1
1
A 11 10
1
0
BIEN

13. MAL
MAL
CB
1 1
00 01
1 1
0
1
A 11 10
1
1
CB
1 1
00 01
1 1
0
1
A 11 10
1
1
BIEN
Z = C’ + B
CB
0 2
1 1
00 01
1 3
1 1
0
1
A
6 4
1 0
7 5
1 0
11 10
CB
1 1
00 01
1 1
0
1
A 11 10
1
1
Z = C’ + BC

14. DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
1
14 10
11
10
1
1 1
1
1
1
1
• Identificar primero las celdas que
solo tienen una posibilidad de
agrupación (y agruparlas).
• Continuar con el resto de las
celdas.
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
1
14 10
11
10
1
1 1
1
1
1
1
MAL BIEN
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
1
14 10
11
10
1
1
1
1
1
1
1
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
1
14 10
11
10
1
1
1
1
1
1
1

15. Más ejemplos
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
1
1
1
1
1
1
1
1
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
1
1
1
1
1
1
1
Z = B’D’ + A’B’ + ABC’D Z = A’C’
= A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’BC’D’ + A’BC’D
= A’B’C’ + A’BC’ = … = A’C’
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
1
1 1
1
Caso especial

16. Simplificación por ceros lógicos (mapa K de maxitérminos)
CB
0 2
1 1
00 01
1 3
1 1
0
1
A
6 4
1 0
7 5
1 0
11 10
A = 0/1, se elimina
B = 0,
C = 1, se complementa
ZM = (C’ + B)
Si se agrupara por minitérminos:
CB
0 2
1 1
00 01
1 3
1 1
0
1
A
6 4
1 0
7 5
1 0
11 10
Zm = C’ + B
 Agrupar las celdas de valor 0 lógico.
 Cada grupo representa un término suma.
 Un grupo de 2k celdas elimina k variables del término resultante.

17. Ejemplos
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 0
0
0
0
0
0
0
0
00 01
00
01
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10
0
0
0
0
0
0
0
0
8
9
11
10
00 01
00
01
0 4
1 5
12
13
11 10
3 7
2 6
15
14
11
10
0
0
0
0
0
0
0
0
Z = (B’ + C’).(D’ + C) Z = C

18. Funciones con combinaciones indiferentes
(no importa - don’t care)
Combinaciones de entrada para las que no importa el valor de la salida.
– Porque no se ha especificado el comportamiento del circuito
– Porque son imposibles
 En la tabla de verdad y en los mapas K, la salida para estas
combinaciones se indica con una letra X o d.
 En la simplificación por mapas K, estas celdas se toman como si
tuvieran valor 1 ó 0, según conveniencia.
 Usarlas para maximizar el tamaño de los grupos
 No agrupar celdas que solamente contengan X
 Implicancias del uso de X en un diseño.

19. DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
x
1
x
x
1
0
0
x
0
0 0 x
x 1
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 X
X
X
0
0
X
0
0 0 X
X
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
X
1
X
X
1
X
X
X 1
BIEN
MAL
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
X
1
X
X
1
X
X
X 1
BA 00 01
00
01
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 X
X
X
0
0
X
0
0 0 X
X
DC
minitérminos maxitérminos

20. Ejemplo: detector de números BCD pares
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
1
1 1
Z = D/A/ + A/B/C/
Z = [(D+A)/ + (A+B+C)/]// (todo NOR)
#compuertas: 7
#CIs: 3 (1 INV, 1 AND 3i, 1 OR 2i)
#compuertas: 4
#CI: 2 (1 NOR 2i, 1NOR 3i)

21. Usando las condiciones no importa:
DC
00 01
00
01
BA
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 X
X
X
X
1
1
1
1 1 X
X
Z = A’

22. SW: KarnaughMap

23. Ejemplo de diseño #1: circuito para encender un display
de 7 segmentos
a
b
c
d
e
f g
Circuito
combinacional
Circuito
combinacional
4 (BCD) 7
¿Qué código de entrada usaría el circuito?
¿Cuántas E y S tendría el circuito?
¿Qué código de entrada usaría el circuito?
¿Cuántas E y S tendría el circuito?
Diseño
Diseño

24. 1. Número de entradas y salidas
3. Obtención de las funciones
2. Tabla de verdad
Entradas: 4 - código BCD (ALSB, B, C, D)
Salidas: 7 (a, b, ...,g)
Función de múltiples salidas
7 funciones  7 mapas de 4 variables
Criterio de diseño:
¿Qué desventaja tiene usar X en
este caso?
¿Qué valor le daría a las X?
Criterio de diseño:
¿Qué desventaja tiene usar X en
este caso?
¿Qué valor le daría a las X?
Diseño
Diseño

25. Ejemplo de diseño #2: conversión electrónica de binario a Gray
Entradas: 4 (binario natural)
Salidas: 4 (Gray)
00 01
00
01
B1B0
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
1
1
1
1
1
1
B3B2
G3 = B3
00 01
00
01
B1B0
0 4
1 5
12 8
13 9
11 10
3 7
2 6
15 11
14 10
11
10 1
1
1
1
1
1
1
1
B3B2
G2 = B3B2/+ B3/B2
= B3  B2
Diseño
Diseño

26. B1
B2
B3
G1
G2
G3
Generalizando para n bits:
Gn = Bn
Gi = Bi xor Bi+1 para i entre 1 y n-1
Conversor binario-Gray de 3 bits
Diseño
Diseño

27. 30/04/2013
Mapas K de 5 y 6 variables

28. Tips finales acerca del diseño combinacional
 Más de 6 variables de entrada: no se puede usar mapas K
 La minimización es importante… pero más lo es el diseño correcto!
Algoritmo de Quine-McCluskey
• Funciones de hasta 8-12 variables
Programas heurísticos (p.e., Espresso, Minilog)
• Usados en casos de problemas grandes
 Programas para manipular las expresiones y minimizar
o PALASM, ABEL, CUPL (para PLDs Programmable Logic Devices)
o VHDL, Verilog, para ASICs Application-Specific IC)

29. FIN
FIN