El documento discute diferentes temas relacionados con el conocimiento matemático. Explica que este conocimiento se mueve entre su naturaleza histórica y los objetos matemáticos actuales. También describe cómo se adquiere este conocimiento a través de la intuición directa o del razonamiento deductivo reflexivo. Finalmente, analiza diferentes métodos para establecer la verdad de proposiciones matemáticas como la inducción o la reducción al absurdo.
Parte de la filosofía que estudia las formas y principios generales que rigen el conocimiento y el pensamiento humano, considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.
Parte de la filosofía que estudia las formas y principios generales que rigen el conocimiento y el pensamiento humano, considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.
en esta publicación veremos el motivo de saber analizar un problema que a simple vista, pareciera ser correcto en procedimiento pero nos damos cuento que el resultado es erróneo y hay es donde entra el análisis exhausto de una falacia, la cual es un argumento que parece valido pero no lo es, aquí les dejo esta pequeña explicación
Lo visual y lo deductivo en las matematicas Carlos Torres Alcaraz TORNARSOL
En 1995 tuve la ocasion de publicar, en colaboración con Jaime Oscar Falcon, un ensayo cuyo tema central era la necesidad de la demostración en matematicas. A fin de evidenciar este hecho decidimos
acudir a un hito conceptual en la historia de las matematicas: al descubrimiento
de la irracionalidad. Para ello, recorrimos el mismo
camino que, al parecer, siguieron los pitagoricos hasta alcanzar el punto en que la evidencia visual no tuvo ningun poder, no pudo producir nada. El caso no se eligio al azar: se trata de la primera demostración matemática en el sentido pleno de la palabra. Paralelamente, exploramos
el recurso a la evidencia sensible como fuente del conocimiento en matemáticas. Tras límites a lo que se puede lograr por este camino, y asegurar con ello la necesidad de la demostración, el ensayo concluye con un análisis del lugar que ocupan los principios lógicos de
no contradiccion y del tercero excluido en la aceptacion de la verdad de aquello que se demuestra. El proposito de este trabajo es extender, en una de sus direcciones, la tarea iniciada en aquella ocasion. En particular, busca valorar el papel de la evidencia sensible en la construcción del conocimiento matemático, examinar el caracter de las pruebas visuales y explorar los nexos, un tanto problemáticos, entre la tendencia visual y la tendencia deductiva en la matemática. Dada la relevancia de las
ideas contenidas en el trabajo con Falcon, en la primera parte de este ensayo recapitulamos algunas de ellas.
En 1995 tuve la ocasion de publicar, en colaboración con Jaime Oscar Falcon, un ensayo cuyo tema central era la necesidad de la demostración en matematicas. A fin de evidenciar este hecho decidimos
acudir a un hito conceptual en la historia de las matematicas: al descubrimiento
de la irracionalidad. Para ello, recorrimos el mismo
camino que, al parecer, siguieron los pitagoricos hasta alcanzar el punto en que la evidencia visual no tuvo ningun poder, no pudo producir nada. El caso no se eligio al azar: se trata de la primera demostración matemática en el sentido pleno de la palabra. Paralelamente, exploramos
el recurso a la evidencia sensible como fuente del conocimiento en matemáticas. Tras límites a lo que se puede lograr por este camino, y asegurar con ello la necesidad de la demostración, el ensayo concluye con un análisis del lugar que ocupan los principios lógicos de
no contradiccion y del tercero excluido en la aceptacion de la verdad de aquello que se demuestra. El proposito de este trabajo es extender, en una de sus direcciones, la tarea iniciada en aquella ocasion. En particular, busca valorar el papel de la evidencia sensible en la construcción del conocimiento matemático, examinar el caracter de las pruebas visuales y explorar los nexos, un tanto problemáticos, entre la tendencia visual y la tendencia deductiva en la matemática. Dada la relevancia de las
ideas contenidas en el trabajo con Falcon, en la primera parte de este ensayo recapitulamos algunas de ellas.
2. ¿Qué es el conocimiento matemático?
◦ Se mueve entre dos posiciones, por un lado, su naturaleza
histórica y por otra, los objetos matemáticos actuales.
◦ Pudiera pensarse que el conocimiento matemático actual se
ocupa de estructuras y sus propiedades, lo que implica poner el
acento principal en cuestiones lógicas.
◦ Dichas estructuras pueden apreciarse por su belleza y
abstracción, como ocurre con otros productos de la creatividad
humana, pero también por el servicio que brindan a las demás
ciencias, por sus posibilidades de aplicación.
3. ¿Cómo se adquiere dicho conocimiento?
◦ Directa. Mediante la intuición, un conocimiento creativo
y subjetivo: Razonamiento empírico.
◦ Reflexiva. Mediante la lógica, un conocimiento analítico y
reflexivo: Razonamiento deductivo.
4. Razonamiento empírico
◦ El razonamiento empírico puede describirse como la
formulación de las conclusiones que se basan en la
experiencia y en la observación.
◦ El razonamiento empírico contiene a menudo
manipulaciones pesadas con casos especiales,
observación de coincidencias y el empleo frecuente de la
analogía, la experiencia a una buena suposición, la
experimentación considerable y los destellos de
intuición.*
*Estudio de las Geometrías: Howard Eves
5. Razonamiento deductivo
Platón filósofo griego en su obra La
República describe la contraposición entre
la realidad y el conocimiento e incluye
pasajes en los que establece que la
matemática (y todo razonamiento lógico)
necesita apoyarse en presupuestos
previos y en lo que llama el conocimiento
discursivo descendente, de lo que se
presupone a lo que se deduce.
6. Naturaleza empírica
El cálculo inicia por
determinar el área de la
base: 4×4 = 16.
Se encuentra el área de la
tapa: 2×2 = 4.
Después se computa el
producto del lado de la base
por el lado de la tapa: 4×2 =
8. Estos números se suman
y se obtiene 28.
Ahora se toma un tercio de
la altura, es decir, 2.
Finalmente se toman el
producto de un tercio de la
altura y 28 y el escriba
anota: Miren que da 56.
7. Naturaleza deductiva
La primera obra
conocida de
naturaleza
deductiva son los
Elementos de
Euclides.
8. Para establecer la verdad de proposiciones.
Para comunicar verdades matemáticas.
Para construir técnicas para resolver cierto tipo de
problemas.
Sistematización de resultados.
Descubrimiento
9. La intuición es un elemento importante al
demostrar una proposición.
Formular conjeturas, elaborar generalizaciones,
plantear hipótesis.
La intuición puede llevarnos a resultados poco
confiables, por tanto, es imprescindible demostrar
lo que la intuición nos proporciona.
10. El razonamiento inductivo se basa en la
elaboración de conjeturas e hipótesis que, a partir
de un conjunto de observaciones, conducen a la
generalización de propiedades. Probar una
propiedad requiere de la deducción que la
independiza de la experiencia y la torna universal.
11. El razonamiento deductivo. A partir de un sistema
axiomático, se elaboran cadenas de argumentos
que permiten establecer la validez de
proposiciones matemáticas.
El principio básico consiste en determinar el valor
de verdad de proposiciones del tipo “Si A
entonces B”
12. Antes de los griegos.
◦ Las matemáticas conocidas eran tratados sobre
formulas y procedimientos que permitían resolver
problemas, sin necesidad de una demostración.
La matemática griega.
◦ Es el primer ejemplo de sistematización de las
matemáticas conocidas, así como del uso del
razonamiento deductivo en las demostraciones
matemáticas.
13. Dada una proposición de la forma “ Si A entonces
B”, llamamos a A hipótesis y a B conclusión. Así,
la idea de demostrar una proposición del tipo
anterior, consiste en suponer que A es verdadero,
y al construir una cadena de argumentos, obtener
que B es verdadero.
14. Una manera de hacerlo es pensar “de adelante
para atrás”. Es decir, pensemos que B es
verdadero y en las posibles formas equivalentes
(en términos de verdad) de la proposición B, de
forma que resulte más simple obtener la
conclusión.
Otra manera es la de ir “de atrás para adelante”,
suponiendo que A es verdadero, obtener
proposiciones equivalentes a A encaminadas a
probar que B es verdadero.
15. Demostrar que:
◦ Si n es un entero par, entonces el cuadrado de n
también es par.
◦ Si n es un entero para el cuál −n +2
2
3 n+8=0
entonces 22−n −
n 3 =2
16. Otro método para demostrar proposiciones
matemáticas es utilizando la equivalencia lógica
de la proposición “si A entonces B” con la de “si
no B entonces no A”, conocido como
contrapositiva, y aplicando los métodos
anteriores.
Demuestre que si c es un entero+−=
2 impar, entonces la
n nc 0
solución de
es impar.
17. Otro método para demostrar proposiciones es el
de “reducción al absurdo”. En este método se
trata de suponer que A es verdadero y que no B
también es verdadero, de donde se obtiene una
contradicción.
Demuestre que raíz cuadrada de 2 es un número
no racional.
18. El método de inducción matemática consiste en
probar que una propiedad es verdadera para el
conjunto de los números naturales, haciendo uso
de lo siguiente: Si A es un subconjunto de los
números naturales que cumple: 1) el 1 pertenece
al conjunto A y 2) si k esta en A entonces k+1
también esta en A, entonces A es el conjunto de
los números naturales.