1) El objetivo es experimentar métodos de demostración directa e indirecta. 2) Se definirán proposiciones y se identificarán sus conectivos lógicos. 3) Se conocerán diferentes formas proposicionales como tautologías y contradicciones, y leyes del álgebra proposicional.

1. Objetivo Unidad 1
Basados en la revisión bibliográfica, la discusión y ejercitación dirigida,
experimentar los métodos de demostración directa e indirecta.
Objetivos Específicos
1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
La proposición es cualquier expresión lingüística de la que tenga sentido
peguntarse si es verdadera o falsa. Además, cuando el lenguaje cumple una
función informativa, en lo que se dice o se escribe, es una proposición.
Las proposiciones vienen hacer enunciados de tipo declarativo
2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.
Se denominan conectivos lógicos a toda expresión que aplicada a uno o
más enunciados cualesquiera, permita formar otro enunciado. Un conectivo
puede constar de.
a) Una sola palabra como “no”, “o”, “y”.
b) Una frase como es “falso que”, “me han informado que”
c) Dos palabras o más, separadas entre sí, como “si….entonces”
En general, dentro de las operaciones veritativas, se encontrarán los
conectivos lógicos de una proposición, que son en tal sentido; Negación (usa
“no”), conjunción (usa el conectivo “y”), disyunción (usa “o”), condicional (usa
“si…entonces”), bicondicional (usa “si y solo si”), y finalmente disyunción
exclusiva (usa “o la primera proposición, o la segunda proposición”).

2. 3. Identificar las distintas formas proposicionales.
Las proposiciones de acuerdo a su forma pueden ser atómicas o
moleculares, siendo las primeras expresadas mediante una sola proposición,
mientras las moleculares compuestas por más de una proposición y haciendo
uso de los conectivos lógicos. Cuando a partir de la tabla de la verdad, todos
los posibles resultados de la proposición en estudio son verdadero, se le
llamará proposición tautológica, por el contrario cuando todos los posibles
resultados sean negativos, se llamará contradicción.
Por consiguiente, existen tres formas proposicionales:
1. Tautológicas: Es aquella forma proposicional que siempre da como
resultado verdadero.
2. Contradictoria: Es aquella forma proposicional que siempre da como
resultado falso.
3. Falacias o Indeterminadas: Es aquella forma proposicional que
siempre es verdadera y falsa la vez
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que
se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del
bicondicional. Las leyes del algebra proposicional se identifican como se
nombran a continuación; Ley asociativa, conmutativa, de impotencia, de
complementación, de identidad, distributiva, y por ultimo leyes de Morgan.
Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes:
1. EQUIVALENCIA P⇔P
2. INDEPOTENCIA P∧P ⇔P P∨ P ⇔P
3. ASOCIATIVA P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R) P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R
⇔ P∧ (Q∧R)
4. CONMUTATIVA P∧Q⇔ Q∧P P∨Q⇔ Q∨P
5. DISTRIBUTIVAS P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)
6. IDENTIDAD P∧F ⇔ F P∧V⇔ P P∨F⇔ P P∨V⇔V

3. 7. COMPLEMENTO P∧¬P⇔F P∨¬P⇔V ¬(¬P)⇔P ¬F⇔V ¬V⇔F
8. DE MORGAN ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q ¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q
9. ABSORCION P∧(P∨Q)⇔P P∨(P∧Q)⇔P
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e
Ingeniería.
La demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo
conocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros
conocimientos. Cuando un conocimiento queda demostrado, entonces se le
reconoce como válido y es admitido dentro de la disciplina correspondiente. El
enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está
constituidos por una sucesión finita de proposiciones que o bien son
postulados o bien son conocimientos cuya validez se ha inferido de otras
proposiciones, mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas. La
demostración permite explicar unos conocimientos por otros y por tanto es una
prueba rigurosamente racional
La demostración constituye un proceso creados dentro del conocimiento
científico ``es una cuestión personal que se adquiere con la práctica y el
desarrollo de la iniciativa de cada uno.
En cuanto a la demostración indirecta, si se tiene dificultades en la
construcción de una demostración directa, se puede a veces obtener
resultados más importantes y mejores, empleando algunos otros métodos.
Cuando se establece validez de una tesis probando, que las consecuencias
de su contraria son falsas, entonces se realiza una demostración indirecta. El
método de demostración indirecta se basa en el hecho de que si es falsa,
entonces es verdadera (negar-negando)
a) Probemos que, para todo entero n, si n es par, → n2 par.
Demostración: (METODO DIRECTO)
Sea un número entero par. Entonces 2 es factor de n, por tanto se puede
expresar como n = 2m para algún entero m. Se sigue que n2 = (2m)2 =4m2.

4. Ahora, 4m2 se puede escribir como 2 (2m2) donde 2m2 es también un entero,
por lo que 2 (2m2) es par y como 2 (2m2) = n2, llegamos a que n2es par, que
era lo que queríamos demostrar.
b) Para todo entero n, si n2 par, entonces n es par.
Demostración: (METODO CONTRARECIPROCO)
La proposición a probar es P(n) → Q(n), donde P(n) es “ n2 es par”, Q(n) es “n
es par” y n es un entero arbitrario. El contrarrecíproco es ∼ Q(n) → P(n), es
decir, si n es impar entonces n2 es impar. Se demostrará esto último. Para ello
hemos de asumir la veracidad de que “n es impar” y llegar a demostrar que “n2
es impar” es cierto.
Sea n un entero impar, entonces n = 2m +1, donde m es un entero.
Ahora, n2 = (2m+1)2 = 4m2+ 4m+1 donde n2 = 4m2+ 4m+1 = 2(2m2+2m)+1
Así 2m2+2m es un número entero, por lo tanto n es impar
c) Demostrar que √2 es irracional.
Demostración: (REDUCCION AL ABSURDO)
Suponemos que √2 es racional y llegamos a una contradicción.
Supongamos que √2 es racional, por lo tanto √2= m/n donde m y n son
números enteros, con n≠0.
Podemos suponer que la fracción m/n es una fracción reducida (irreducible),
es decir, que m y n no tienen factores en común. (Si tuvieran factores en
común, simplificamos) Ahora:
√2= m/n 2 = m2/n2 2n2=m2, m2 es par (por demostración anterior)
Así, m = 2p, p ∈ Z, luego m2 =4p2,.
Sustituyendo este resultado en la ecuación tenemos:
2n2 =4p2 n2 = 2p2 n2 es par n es par

5. 6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.
Los circuitos lógicos o redes de conmutación se pueden identificar con
una forma proposicional es decir, dada una forma proposicional, podemos
asociarle un circuito; dado un circuito podemos asociarle una forma
proporcional correspondiente, además, usando las leyes podemos simplificar
los circuitos en otro más sencillo. Pero que cumple con la misma función que
el original. Conexión en serieP^qpq Conexión en paralelo p q
Ejemplo:
Diseñar el circuito S = qr + pq
S = (q^r) ∨ (p^q)
Podemos simplificar:
S = q(r + p)
S = q^(r ∨ p)