Este documento describe un laboratorio sobre la difracción de rayos X. Explica cómo funciona un difractómetro de rayos X y la ley de Bragg. Luego, los estudiantes realizan experimentos para analizar muestras de CsCl, Fe y NaCl usando un programa de difracción. Registran los picos de difracción y sus índices de Miller para cada muestra y determinan parámetros de red como la constante de red.

1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
INTRODUCCIÓN A LA CRISTALOGRAFÍA
“LABORATORIO 8.”
ALUMNOS:
JOSE LUIS LEON 100214C
JOSE MIGUEL HUEZA GONZALES 062124F
RICARDO GARCIA ARANA
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
PROFESOR: Lic. QUIÑONES MONTEVERDE, CARLOS
Ciudad universitaria, 14 de Julio del 2014

2. DIFRACCIÓN DE RAYOS X
1) OBJETIVOS:
Tener la capacidad para interpretar, obtener y analizar un registro de rayos X
usando el programa Powder Cell 2.3 for Windows.
Determinar la constante de red de los cristales que se analizan. *
Determinar el tipo de red de Bravais al que pertenece dicho cristal.
Registraremos los ángulos de difracción para el CsCl, NaCl, Fe.
Asignaremos los índices de Miller para cada pico de intensidad.
Determinaremos las distancias interplanares de cada plano que ha producido un
pico de intensidad.
*Recordar que únicamente trabajamos con cristales de simetría cúbica. Ya que los
datos teóricos obtenidos para generar la red de Bravais varían dependiendo a que
clase pertenece dicho cristal.
Nótese que este método utilizado puede ser practicado para cualquier sistema
cristalino, pero tendríamos que variar ciertos datos teóricos.
2) INFORMACIÓN PRELIMINAR:
EL DIFRACTÓMETRO DE RAYOS X.
El difractómetro de rayos X es un dispositivo que mide la intensidad de las reflexiones
de rayos X desde un cristal con un detector electrónico, tal como un contador Geiger o
cámara de ionización, en lugar de una película fotográfica. La figura 1 muestra las
partes elementales de un difractómetro de una probeta cristalina, un haz de rayos X
paralelo y un detector. El aparato está dispuesto en tal forma que giran tanto el cristal y
el dispositivo medidor de intensidad (contador Geiger). Sin embargo, el detector,
siempre se mueve a una velocidad doble que la de la probeta, lo que mantiene al
dispositivo registrador de intensidad en el ángulo correcto durante la rotación del cristal
de modo que pueda recoger cada reflexión de Bragg, según aparezca. En los
modernos instrumentos de este tipo, el dispositivo medidor de intensidad está
conectado a través de un sistema amplificador adecuado a una gráfica registradora o
un dispositivo de almacenamiento digital. De esta manera se obtiene con exactitud un

3. trazado gráfico de la intensidad contra los ángulos de Bragg. Una gráfica típica de
difractómetro de rayos X se muestra en la figura. 2. La identificación de la estructura
cristalina y de su fase en materiales multifase es comúnmente realizadas por
comparación del patrón de difracción almacenado en bases de datos contenidos en los
archivos de difracción de polvo (PDFs) de los estándares conocidos.
El difractómetro de rayos X se utiliza más comúnmente con una probeta de polvo en
forma de una placa rectangular con dimensiones de aproximadamente 25 mm de largo
y 12,5 mm de ancho. La probeta puede ser una muestra de un metal policristalino, y
hay que señalar que, en contraste con el método de Debye-Scherrer en donde la
probeta es un alambre fino (aproximadamente 0,5 mm de diámetro), la muestra del
difractómetro tiene un tamaño limitado, lo cual hace que la probeta sea mucho más fácil
de preparar y por lo tanto ventajosa. Debido a que el difractómetro de rayos X es capaz
de medir las intensidades de reflexión de Bragg con gran precisión, los análisis
químicos tanto cualitativos como cuantitativos se pueden realizar por este método. Para
una mezcla multifase, la técnica permitirá la determinación de la concentración relativa
de las fases constituyentes, así como la identificación de cada fase.
FIGURA 1
Difractómetro de rayos X

4. FIGURA 2
Los registros difractómetro de rayos X en un gráfico de la intensidad reflejada en
función del ángulo de Bragg. Cada pico de intensidad corresponde a un plano
cristalográfico en una posición reflectante.
 RAYOS X EN UN CRISTAL
Cuando los rayos X son dispersados por el entorno ordenado de un cristal, tienen lugar
interferencias - tanto constructivas como destructivas - entre los rayos dispersados ya
que las distancias entre los centros de dispersión son del mismo orden de magnitud que
la longitud de onda de la radiación. El efecto acumulativo de esta dispersión desde los
centros regularmente espaciados del cristal es la difracción.
FIGURA 3: ESPECTRO DE DIFERENTES MATERIALES

5. Los requisitos para la difracción de rayos X son:
 El espaciado entre capas de átomos sea próximamente el mismo que la longitud
de onda de la radiación
 Los centros de dispersión estén distribuidos en el espacio de una manera muy
regular.
Para este tipo de experimento de difracción, debemos tener en cuenta los análisis hechos
en el laboratorio anterior, como la ley de Bragg:
FIGURA 4: REPRESENTACIÓN DE LA LEY DE BRAGG
Según esta representación en el laboratorio anterior se dedujo la ley de Bragg
Donde “n” es el orden de difracción, “d” es la distancia interplanar, “ 𝝀𝝀“es la longitud de
onda del proveniente del blanco, y “ 𝜽𝜽” es el ángulo de incidencia del rayo X.
La relación que predice el ángulo de difracción para cualquier conjunto de planos se
obtiene combinando la ley de Bragg y la ecuación de espaciado de los planos para una
estructura cristalina cúbica (se deduce con una simple relación de homogeneidad)
𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜽𝜽)

6. Entonces para un cristal cúbico la ecuación de espaciado de los planos es:
Entonces reemplazando la distancia interplanar de la ley de Bragg en la ecuación de
espaciado de planos para una estructura cristalina tenemos la siguiente ecuación:
Pero sabemos que la suma 𝒅𝒅𝟐𝟐
+ 𝒌𝒌𝟐𝟐
+ 𝒍𝒍𝟐𝟐
, es siempre un número entero y
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐 es
una constante para cualquier patrón de difracción, entonces la ecuación final para poder
hallar el ángulo de difracción será el siguiente:
Ahora el valor de “s”, es siempre entero, y para cada valor de ángulo de difracción se
encontraran valores de “s” diferentes, sin embargo a continuación veremos cuatro tipos
de redes cubicas que son reconocidas si se logra encontrar a estos valores de “s”:
CÚBICA SIMPLE : 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,…
CÚBICA CENTRADA EN EL CUERPO: 2,4,6,8,10,12,14,16,…
CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS: 3,4,8,11,12,16,…
CÚBICA DIAMANTE: 3,8,11,16,…
El diagrama de difracción obtenida de la sustancia cristalina obtenido por el registro de
los haces difractados en un contador y su desplazamiento angular 𝟐𝟐𝟐𝟐 respecto al centro
𝟏𝟏
𝒅𝒅𝟐𝟐
=
(𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒌𝒌𝟐𝟐 + 𝒍𝒍𝟐𝟐)
𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽) = 𝝀𝝀𝟐𝟐
.
(𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒌𝒌𝟐𝟐 + 𝒍𝒍𝟐𝟐)
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐

7. del goniómetro, está constituido por una serie de líneas y sus intensidades relativas
dependen de la periodicidad y sus posiciones de los átomos en la sustancia y que cada
sustancia posee una distribución característica de sus átomos, da como resultado que
su diagrama de difracción sea único, dejando la posibilidad que existan dos sustancias
con el mismo diagrama de difracción.
FIGURA 5: CONFIGURACIÓN DE BRAGG EN EL DIFRACTÓMETRO
Recordar que existe también en la ecuación para hallar el ángulo de difracción, la
constante “a” la cual hace referencia a parámetro de celda cúbica; para poder hallarlo
necesitamos de otra ecuación más que nos deja relacionar, las propiedades más que
todo químicas del elemento:
Entonces sabemos que la densidad de la sustancia a estudiar es de la siguiente
manera.
Sabemos esto ya que para todo elemento químico existe la relación que tiene la
cantidad de masa, con la masa molar, el número de Avogadro y el número de
moléculas o átomos que existen en la celda unitaria. Donde 𝑵𝑵𝟎𝟎 es el número de
Avogadro, " 𝑴𝑴" es la masa molar de la sustancia, “V” es el volumen de la celda
unidad, entonces la fórmula quedaría de la siguiente manera:
𝝆𝝆 =
𝒎𝒎
𝑽𝑽
=
𝑵𝑵. 𝑴𝑴
𝑵𝑵𝟎𝟎 𝑽𝑽

8. 3) PROCEDIMIENTO:
 Procederemos primeramente a cargar el programa Powder Cell 2.3 for Windows
y usando la función de Diffraction ON en el menú Difraction procederemos a
analizar la difracción del CsCl.
 Luego la función “EXPERIMENT” del menú “DIFFRACTION” para hacer el cuadro
de dialogo “POWDER DIFFRACTION” y fijar las condiciones experimentales:
radiación 𝐾𝐾𝛼𝛼1 𝐶𝐶𝐶𝐶, 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 2θ 𝑑𝑑𝑑𝑑 16 ° 𝑎𝑎 80°. (el ultimo
dato del angulo solo lo aplicamos para el cloruro de cesio.
FIGURA 6: PARÁMETROS PARA LA DIFRACCIÓN DEL CLORURO DE CESIO
TABLA Nº 1
Pico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2θ 21.60 30.74 37.89 44.03 49.55 54.66 64.03 68.42 72.69 76.87
hkl 010 110 1-11 002 102 1-21 022 030 -301 311
d 4.110 2.906 2.373 2.055 1.838 1.678 1.453 1.370 1.300 1.239
𝑵𝑵 =
𝝆𝝆. 𝑵𝑵𝟎𝟎. 𝒂𝒂𝟑𝟑
𝑴𝑴

9.  La tabla anterior nos muestra los datos que obtenemos de la gráfica de difracción
del cloruro de cesio.
FIGURA 7: TABLA DE DIFRACCIÓN DEL CLORURO DE CESIO (planos hkl)
FIGURA 8: CELDA UNITARIA DEL CLORURO DE CESIO
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
9178
4589
0
PowderCell 2.2
cloruro de cesio 010
110
-1-11
002
102
-1-21
022
030
-301
311
Cs
Cs
Cs
Cs
Cl
Cs
Cs
Cs
Cs

10.  Repetimos los pasos anteriores para el cristal de Fe, pero esta vez cambiamos el
ángulo de barrido “2θ” de 40° a 140° y registramos los valores en una tabla igual
a la tabla anterior. (dato: el cubico de Fe tiene parámetros de red siguiente 2.8664
Amstrong y en cada celda existen átomos en las posiciones 000 y ½,1/2,1/2)
FIGURA 9: CELDA UNITARIA DEL CRISTAL DE Fe
 Entonces obtenemos la tabla siguiente y el gráfico de la difracción del cristal de
Fe, tener en cuenta que sólo anotaremos aquellos datos que tengan una gran
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe

11. intensidad relativa grande, eso quiere decir aquellos que tengan los picos más
pronunciados.
TABLA Nº 2
Pico 1 2 3 4 5 6
2θ 44.67 65.02 82.33 98.95 116.38 137.16
hkl 0-11 200 -1-21 220 -103 2-22
d 44.67 65.02 82.33 98.95 116.38 137.16
FIGURA 10: TABLA DE DIFRACCIÓN DEL CRISTAL DE Fe (Ángulos 2 teta)
 Repetir los mismos pasos anteriores para el cristal NaCl, considerando un barrido
de ángulo de 20° a 100°, de igual manera registrar los valores en una tabla y su
gráfica de difracción.
FIGURA 11: CELDA UNIDAD DEL CLORURO DE SODIO
Cl
Na
Na
Na
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Na
Na
Cl
Na
Na
Na
Cl
Na
Na
Cl
Cl
Cl
Cl
Cl
Na
Na
Na
Cl

12. FIGURA 12: GRÁFICA DE DIFRACCIÓN DEL CLORURO DE SODIO
TABLA Nº 3
Pico 1 2 3 4 5 6 7 8
2θ 27.42 31.76 45.63 53.97 56.58 66.36 73.22 75.45
hkl 111 020 202 -1-13 -222 400 -331 -204
d 3.250 3.815 1.991 1.698 1.625 1.408 1.292 1.259

13. 4) TAREA:
DEL REGISTRO DE DIFRACCIÓN DEL CSCL, IDENTIFICAR Y REGISTRAR
EL VALOR DE θ PARA CADA PICO DE INTENSIDAD Y COMPLETAR LAS 2
COLUMNAS SIGUIENTES DE LA TABLA Nº 4.
TABLA Nº 4
PICO iθ i
2
sen θ
1
2
i
2
sen
sen
θ
θ 222
kh ++ hk D A
1 10.8° 0.035 1 1 100 4.1109 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
2 15.37° 0.070 2 2 110 2.9062 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
3 18.945° 0.105 3 3 111 2.3726 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
4 22.015° 0.141 4.029 4 002 2.0550 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
5 24.775° 0.176 5.029 5 102 1.8382 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
6 27.33° 0.211 6.029 6 112 1.6778 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
7 32.015° 0.281 8.029 8 220 1.4530 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
8 34.21° 0.316 9.029 9 221 1.3700 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
9 36.345° 0.351 10.029 10 310 1.2998 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
10 38.435 0.386 11.029 11 311 1.2392 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
ANALIZAR LOS COCIENTES 1
22
/ θθ sensen i
PARA ASIGNAR LOS ÍNDICES DE
MILLER A CADA PICO DE INTENSIDAD. COMPLETAR LAS COLUMNAS 5 Y
6 DE LA TABLA ANTERIOR Y COMPARAR LOS VALORES DE LA TABLA 1

14. Con las ecuaciones siguientes
Como la parte de la derecha de la ecuación primera, es una constante, la relación de la
segunda ecuación tiene validez, sabiendo además que “s” es la sumatoria de los índices
de Miller de los planos que causan refracción, entonces hallamos las otras dos filas de
la tabla 1.
Pero no olvidar que el parámetro s1 de la ecuación anterior sirve para estabilizar a
1
2
i
2
sen
sen
θ
θ
, ya que este debe ser un número entero, y como todos los valores de la tabla se
aproximan a un número entonces esta relación de senos elevado al cuadrado es
correcta, sin embargo esta división se aproxime al próximo entero se procede a
multiplicarlo con un s1 (entero también).
CONSIDERANDO QUE LA LONGITUD DE ONDA DE LA RADIACIÓN ES
1.540598 AMSTRONG, DETERMINAR LA DISTANCIA INTERPLANAR “d” DE
CADA PLANO QUE HA PRODUCIDO UN PICO DE INTENSIDAD. COMPARAR
CON LOS VALORES “d” DE LA TABLA 1.
Según la tabla anterior y con la fórmula que está a continuación podemos hallar la
distancia “d”, procederemos hallar la distancia solo para el primer orden, lo demás lo
colocaremos en la tabla según la misma dinámica.
USANDO LA ECUACIÓN DE LA DENSIDAD EN LA PARTE TEÓRICA Y LOS
VALORES DE LA TABLA 4 DETERMINAR EL PARÁMETRO DE RED DEL
CsCl.
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽𝒊𝒊)
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽𝟏𝟏)
. 𝒔𝒔𝟏𝟏 = 𝒔𝒔𝒊𝒊
𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜽𝜽)
𝟏𝟏. (𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ ) = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟖𝟖) 𝒅𝒅 = 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇

15. De la siguiente ecuación:
Sólo procederemos a hallar el primero, como el parámetro de red es constante entonces
deberíamos tener una cantidad constante, para todos los valores de la tabla 4.
Para los segundos datos de difracción tenemos:
TOMANDO EN CUENTA LAS REFLEXIONES, DETERMINAR EL TIPO DE RED
DEL CsCl.
Tomando en cuenta el tipo de reflexiones para cada plano, vemos que es una red cúbica
simple. Además analizando los planos de las caras vemos que se trata de una forma
cúbica simple (observar la teoría de la parte inicial)
CONSIDERANDO QUE EL CsCl TIENE UNA DENSIDAD DE 3.99 g/cm3 Y UNA
MASA MOLAR DE 168.36 g/mol, DETERMINAR EL NUMERO DE ÁTOMOS O
MOLECULAS POR CELDA UNIDAD. ¿CORROBORA SU VALOR QUE EL TIPO
DE RED DEL CsCl CORRESPONDE AL ENCONTRADO DE LA PREGUNTA
ANTERIOR?
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟏
=
(𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ )
𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒂𝒂 = 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟐
=
(𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ )
𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒂𝒂 = 𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨̇

16. Para poder hallar que tipo de red de Bravais es con los datos anteriores entonces
reemplazamos en la fórmula siguiente:
Entonces vemos que existe un átomo dentro de la red lo cual nos da la impresión de una
red cúbica simple, según la teoría descrita en la parte superior, eso quiere decir que
corrobora su valor con la pregunta anterior.
 DEL REGISTRO DE DIFRACCIÓN DEL CRISTAL DE Fe, IDENTIFICAR Y
REGISTRAR EL VALOR DE θ PARA CADA PICO DE INTENSIDAD Y
COMPLETAR LAS 2 COLUMNAS SIGUIENTES DE LA TABLA Nº 5.
TABLA Nº 5
PICO iθ i
2
sen θ
1
2
i
2
sen
sen
θ
θ 222
kh ++ hk D A
1 22.335° 0.144 1 2 110 2.027 2.8707
2 32.510° 0.289 2.0069 4.01 200 1.433 2.8707
3 41.165° 0.433 3.0069 6.01 211 1.170 2.8707
4 49.475° 0.578 4.0138 8.03 220 1.013 2.8707
5 58.190° 0.722 5.0139 10.03 310 0.906 2.8707
6 68.580° 0.867 6.0208 12.04 222 0.827 2.8707
𝑵𝑵 =
𝝆𝝆. 𝑵𝑵𝟎𝟎. 𝒂𝒂𝟑𝟑
𝑴𝑴
𝑵𝑵 = 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝑵𝑵 =
(𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒈𝒈/𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄)(
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒎𝒎𝒎𝒎
). (𝟔𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) . (𝟒𝟒. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎)𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒈𝒈/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑵𝑵 = 𝟏𝟏

17.  ANALIZAR LOS COCIENTES 1
2
i
2
sen/sen θθ PARA ASIGNAR LOS ÍNDICES DE
MILLER A CADA PICO DE INTENSIDA. COMPLETAR LAS COLUMNAS 5 Y 6
DE LA TABLA ANTERIOR Y COMPARAR LOS VALORES DE LA TABLA 2.
Con las ecuaciones siguientes
Como la parte de la derecha de la ecuación primera, es una constante, la relación de la
segunda ecuación tiene validez, sabiendo además que “s” es la sumatoria de los índices
de Miller de los planos que causan refracción, entonces hallamos las otras dos filas de
la tabla 2.
Tomando en cuenta que el parámetro s1 de la ecuación anterior sirve para estabilizar a
1
2
i
2
sen
sen
θ
θ
, ya que este debe ser un numero entero, y como todos los valores de la tabla se
aproximan a un número entonces esta relación de senos elevado al cuadrado es
correcta, sin embargo esta división se aproxime al próximo entero se procede a
multiplicarlo con un s1 (entero también).
 CONSIDERANDO QUE LA LONGITUD DE ONDA DE LA RADIACIÓN ES
1.540598 AMSTRONG, DETERMINAR LA DISTANCIA INTERPLANAR “d” DE
CADA PLANO QUE HA PRODUCIDO UN PICO DE INTENSIDAD. COMPARAR
CON LOS VALORES “d” DE LA TABLA 2.
Según la tabla anterior y con la fórmula que está a continuación podemos hallar la
distancia “d”, procederemos hallar la distancia solo para el primer orden, lo demás lo
colocaremos en la tabla según la misma dinámica.
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽𝒊𝒊)
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽𝟏𝟏)
. 𝒔𝒔𝟏𝟏 = 𝒔𝒔𝒊𝒊
𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜽𝜽)
𝟏𝟏. (𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ ) = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨̇

18.  USANDO LA ECUACIÓN DE LA DENSIDAD EN LA PARTE TEÓRICA Y LOS
VALORES DE LA TABLA 5 DETERMINAR EL TIPO DE RED DEL CRISTAL DE
Fe.
De la siguiente ecuación:
Sólo procederemos en hallar el primero, como el parámetro de red es constante entonces
deberíamos tener una cantidad constante, para todos los valores de la tabla 5.
Para los segundos datos de difracción tenemos:
 TOMANDO EN CUENTA LAS REFLEXIONES, DETERMINAR EL TIPO DE RED
DEL CRISTAL DE Fe
Tomando en cuenta el tipo de reflexiones para cada plano, vemos que es una red cúbica
centrada en el cuerpo.
 CONSIDERANDO QUE EL CsCl TIENE UNA DENSIDAD DE 7.87 g/cm3 Y UNA
MASA MOLAR DE 55.845 g/mol, DETERMINAR EL NÚMERO DE ÁTOMOS O
MOLECULAS POR CELDA UNIDAD. ¿CORROBORA SU VALOR QUE TIPO
DE RED DEL CRISTAL DE Fe CORRESPONDE AL ENCONTRADO DE LA
PREGUNTA ANTERIOR?
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐
=
(𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ )
𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒂𝒂 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑨𝑨̇
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟒𝟒
=
(𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ )
𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒂𝒂 = 𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝑨𝑨̇

19. Para poder hallar que tipo de red de Bravais es con los datos anteriores entonces
reemplazamos en la fórmula siguiente:
Entonces vemos que existe dos átomos dentro de la red lo cual nos da la impresión de
una red cúbica centrada en el cuerpo, según la teoría descrita en la parte superior, eso
quiere decir que corrobora su valor con la pregunta anterior.
DEL REGISTRO DE DIFRACCIÓN DEL NaCl, IDENTIFICAR Y REGISTRAR EL
VALOR DE θ PARA CADA PICO DE INTENSIDAD Y COMPLETAR LAS 2
COLUMNAS SIGUIENTES DE LA TABLA Nº 6.
TABLA Nº 6
PICO iθ i
2
sen θ
1
2
i
2
sen
sen
θ
θ 222
kh ++ hk D A
1 13.71° 0.056 1 3 111 3.25 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
2 15.88° 0.075 1.3393 4.02 200 2.82 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
3 22.815° 0.150 2.6786 8.04 220 1.99 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
4 26.985° 0.206 3.6786 11.04 311 1.70 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
5 28.29° 0.225 4.0178 12.05 222 1.63 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝑵𝑵 =
𝝆𝝆. 𝑵𝑵𝟎𝟎. 𝒂𝒂𝟑𝟑
𝑴𝑴
𝑵𝑵 =
(𝟕𝟕. 𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒈𝒈/𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄)(
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒎𝒎𝒎𝒎
). (𝟔𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) . (𝟐𝟐. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎)𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓. 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖 𝒈𝒈/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑵𝑵 = 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝑵 = 𝟐𝟐

20. 6 33.18° 0.299 5.3393 16.02 040 1.41 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
7 36.61° 0.356 6.3571 19.07 402 1.29 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
8 37.725° 0.374 6.6786 20.04 422 1.26 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
ANALIZAR LOS COCIENTES 1
2
i
2
sen/sen θθ PARA ASIGNAR LOS ÍNDICES DE
MILLER A CADA PICO DE INTENSIDA. COMPLETAR LAS COLUMNAS 5 Y 6
DE LA TABLA ANTERIOR Y COMPARAR LOS VALORES DE LA TABLA 3.
Con las ecuaciones siguientes:
Como la parte de la derecha de la ecuación primera, es una constante, la relación de la
segunda ecuación tiene validez, sabiendo además que “s” es la sumatoria de los índices
de Miller de los planos que causan refracción, entonces hallamos las otras dos filas de
la tabla 3.
Tomar en cuenta que el parámetro s1 de la ecuación anterior sirve para estabilizar a
1
2
i
2
sen
sen
θ
θ
, ya que este debe ser un número entero, y como todos los valores de la tabla se
aproximan a un número entonces esta relación de senos elevado al cuadrado es
correcta, sin embargo esta división se aproxime al próximo entero se procede a
multiplicarlo con un s1 (entero también).
CONSIDERANDO QUE LA LONGITUD DE ONDA DE LA RADIACIÓN ES
1.540598 AMSTRONG, DETERMINAR LA DISTANCIA INTERPLANAR “d” DE
CADA PLANO QUE HA PRODUCIDO UN PICO DE INTENSIDAD. COMPARAR
CON LOS VALORES “d” DE LA TABLA 3.
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽𝒊𝒊)
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽𝟏𝟏)
. 𝒔𝒔𝟏𝟏 = 𝒔𝒔𝒊𝒊

21. Según la tabla anterior y con la fórmula que está a continuación podemos hallar la
distancia “d”, procederemos hallar la distancia sólo para el primer orden, los demás lo
colocaremos en la tabla según la misma dinámica.
USANDO LA ECUACION DE LA DENSIDAD EN LA PARTE TEÓRICA Y LOS
VALORES DE LA TABLA 4 DETERMINAR EL TIPO DE RED DEL NaCl.
De la siguiente ecuación:
Solo procederemos a hallar el primero, como el parámetro de red es constante entonces
deberíamos tener una cantidad constante, para todos los valores de la tabla 6.
Para los segundos datos de difracción tenemos:
TOMANDO EN CUENTA LAS REFLEXIONES, DETERMINAR EL TIPO DE RED
DE NaCl
Tomando en cuenta el tipo de reflexiones para cada plano, vemos que es una red cúbica
centrada en las caras.
𝒏𝒏𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝜽𝜽)
𝟏𝟏. (𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ ) = 𝟐𝟐𝟐𝟐. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟏𝟏𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕) 𝒅𝒅 = 𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑨𝑨̇
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟑
=
(𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ )
𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒂𝒂 = 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑨𝑨̇
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐( 𝜽𝜽)
𝒔𝒔
=
𝝀𝝀𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟒
=
(𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨̇ )
𝟐𝟐
𝟒𝟒𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒂𝒂 = 𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑨𝑨̇

22. CONSIDERANDO QUE EL CsCl TIENE UNA DENSIDAD DE 2.16 g/cm3 Y UNA
MASA MOLAR DE 58.44 g/mol, DETERMINAR EL NÚMERO DE ÁTOMOS O
MOLECULAS POR CELDA UNIDAD. ¿CORROBORA SU VALOR QUE TIPO
DE RED DEL CRISTAL DE Fe CORRESPONDE AL ENCONTRADO DE LA
PREGUNTA ANTERIOR?
Para poder hallar que tipo de red de Bravais es con los datos anteriores entonces
reemplazamos en la fórmula siguiente:
Entonces observamos que existe cuatro átomos dentro de la red (la del centro la de las
caras y esquinas) lo cual nos da la impresión de una red cúbica centrada en el cuerpo,
según la teoría descrita en la parte superior, eso quiere decir que corrobora su valor con
la pregunta anterior.
𝑵𝑵 =
𝝆𝝆. 𝑵𝑵𝟎𝟎. 𝒂𝒂𝟑𝟑
𝑴𝑴
𝑵𝑵 =
(𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒈𝒈/𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑)(
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒎𝒎𝒎𝒎
). (𝟔𝟔. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎) . (𝟓𝟓. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎)𝟑𝟑
𝟓𝟓𝟓𝟓. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒈𝒈/𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎
𝑵𝑵 = 𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑵𝑵 = 𝟒𝟒

23. 5) CONCLUSIONES:
En la primera conclusión observamos que para cada red de Bravais existen
diferentes tipos de refracción en planos específicos (hkl) , y que la suma de sus
cuadrados nos da un número aproximadamente entero en teoría y nos plantea la
existencia de un ordenamiento para cada red, clasificándolos en cúbica simple,
cúbica centrada en el cuerpo, y cúbica centrada en las caras (también lleva un
átomo en el centro del cuerpo)
Tomar en cuenta que este método de difracción de rayos X nos permite averiguar
sobre el tipo de red de Bravais de las estructuras cristalinas, sin embargo nosotros
sólo hemos podido analizar a las estructuras cúbicas, puede ser también utilizada
para estructuras tetragonales o trigonales, según la fórmula que se utilice una
ecuación de espaciado de planos diferente.

24. 6) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
- Principios de Cristalografía, E Flint. Editorial Paz.
- Borchardt-Ott Walter; Crystallography: An Introduction; Third Edition, Springer, New
York, 2011.
- Physical Metallurgy Principles Fourth Edition, Reza Abbaschian, Lara Abbaschian,
Robert E. Reed-Hill.
-Cornelius S. Hurlbut; Manual de mineralogía de Dana, Tercera Edición, Reverté,
Buenos Aires, 1988
Webs:
http://carine.crystallography.pagespro-orange.fr/books/31/carine_31_us.pdf
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_02.html
http://recursostic.educacion.es/ciencias/biosfera/web/alumno/1bachillerato/cristal
izacion/contenido1.htm
http://serc.carleton.edu/research_education/geochemsheets/techniques/XRD.html