Este documento trata sobre los retículos, incluyendo su definición, propiedades como ser acotado y distributivo, ejemplos de sub-retículos como el retículo diamante y pentágono, homomorfismos de retículos y diagramas de Hasse. Explica qué es un retículo, las leyes que cumplen como conjunción y disyunción, y provee ejemplos sobre sub-retículos y diagramas de Hasse.

1. Instituto universitario Politécnico Santiago
Mariño
Extensión Porlamar
Escuela de ingeniería de sistemas
Estructura discreta y grafos
RETICULOS,
HOMOFORMISMO Y
EJEMPLOS
REZ
EL PÉ 01
MANU 853,6
0,
C.I: 2

2. RETICULO. DEFINICION

Un retículo es un conjunto ordenado, (L; <) en el que cualquier conjunto
finito tiene supremo e ínfimo. Este conjunto está parcialmente ordenado
con ciertas propiedades específicas.

Sea L un conjunto no vacío cerrado para dos operaciones binarias
llamadas conjunción y disyunción, representadas respectivamente
por Ù y Ú . Entonces L se llama retículo si los siguientes axiomas son
ciertos, donde a, b, c son elementos arbitrarios de L:

Ley conmutativa:

Ley asociativa:

Ley de absorción:

3. PROPIEDADES DE LOS RETÍCULOS
•
Un retículo es acotado si posee máximo y mínimo. Se designa por
1 al máximo y por 0 al mínimo
•
Sea (A,≤ ) un retículo acotado.
•
Dado a∈ A se dice que a’∈ A es complementario de a si a∨ a’=1 y
a∧ a’=0. Un retículo es complementario si todos sus elementos
poseen complementario.
•
•
Un retículo es distributivo si para cualesquiera a, b, c ∈ A se
cumple que:
a∨ (b∧ c)= (a∨ b)∧ (a∨ c) a∧ (b∨ c)= (a∧ b)∨ (a∧ c)
Los retículos P(X) y Bn son complementarios y distributivos. En
cuanto a Dn es acotado y distributivo, pero no es complementario
para algunos valores de n (por ej., para n=12).

4. EFECTUAR EJEMPLOS CON LAS
PROPIEDADES DE LOS SUB-RETÍCULOS

Los retículos no-distributivos más simples son el
"retículo diamante", M3, y el "retículo pentágono", N5.
Un retículo es distributivo si y sólo si ninguno de sus
subretículos es isomorfo a M3 o N5; un subretículo es
un subconjunto cerrado bajo los operadores meet y
join del retículo original.

5. REALIZAR OPERACIONES REPRESENTATIVAS
AL HOMOFORMISMO DE LOS RETÍCULOS
La clasede todos los retículos forma una categoria si
definimos un homomorfismo entre dos retículos (L, ) y
(N, ) como una funcion f: L N tal que
 f(a b) = f(a) f(b);f(a b) = f(a) f(b);para todo a y b en L.
Si es un homomorfismo biyectivo, entonces su inverso
es también un homomorfismo, y se llama un
isomorfismo de retículos.


6. EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE HASSE
CONSIDERAMOS EL CONJUNTO ORDENADO
(P(F1;2G; µ). ENTONCES EL DIAGRAMA DE
HASSE SERÍA:EJEMPLOS SOBRE DIAGRAMA DE
HASSE

7. EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE HASSE
CONSIDERAMOS EL CONJUNTO ORDENADO
(P(F1;2G; µ). ENTONCES EL DIAGRAMA DE
HASSE SERÍA:EJEMPLOS SOBRE DIAGRAMA DE
HASSE