Información útil para la enseñanza de dichos métodos en la cátedra Optimización de Sistemas y Funciones, para la carrera Ingeniería de Sistemas

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENCIÓN COL-CABIMAS
CONDICIONES DE KUHN
TUCKER Y LAGRANGE
Autor: Denny Valero
Optimización de Sistemas
Prof. Ing. Sara López
Cabimas, Diciembre 2013

2. CONDICIONES
DE
KUHN TUCKER

3. METODO DE KUHN TUCKER
Definición
En programación matemática, las condiciones de Karush-KuhnTucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son
condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de
programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de
los Multiplicadores de Lagrange

4. Importancia
La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una función
de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis
matemático al estudio del comportamiento del consumidor.

5. CAMPO DE APLICACIÓN
Básicamente el procedimiento consiste en
resolver el problema no lineal como uno sin
restricciones, luego si la solución óptima de
dicho problema no cumple la totalidad o
parte de las restricciones del problema se
activan dichas restricciones (en conjunto y/o
secuencialmente)
y
se
resuelve
nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un
conjunto de restricciones activas cuya
solución también satisface las restricciones
omitidas. Notar que si se han activado la
totalidad de restricciones sin encontrar una
solución factible, entonces el problema es
infectable. Esta característica particular de
los modelos no lineales permite abordar
problemas donde existen economías o de
economías de escala o en general donde los
supuestos asociados a la proporcionalidad
no se cumplen.

6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
En los problemas de optimización, el método de los
multiplicadores de Lagrange, llamados así en
honor a Joseph Louis Lagrange, es un
procedimiento para encontrar los máximos y
mínimos de funciones de múltiples variables sujetas
a restricciones. Este método reduce el problema
restringido con n variables a uno sin restricciones
de n + k variables, donde k es igual al número de
restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser
resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables
escalares desconocidas, una para cada restricción,
son llamadas multiplicadores de Lagrange.
El método dice que los puntos donde la función
tiene un extremo condicionado con k restricciones,
están entre los puntos estacionarios de una nueva
función sin restricciones construida como una
combinación lineal de la función y las funciones
implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes
son los multiplicadores.

7. MÉTODO DE LAGRANGE
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar
máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a
menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se está
extremando. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea
maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o
restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una
herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la
necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para
eliminar las variables adicionales.
Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para
preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta
lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño
puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el
aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del
mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que
sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado
", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se
mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange son
útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla de un
problema son despedidos por las restricciones.

8. MÉTODO DE LAGRANGE

9. MÉTODO DE LAGRANGE

15. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS
CONDICIONES DE KHUN- TUCKER Y
LAGRANGE
Los multiplicadores de Kuhn-Tucker , al igual que los multiplicadores de
Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados
simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las
condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las restricciones
que se encuentran saturadas, tienen una clara interpretación económica y
financiera.
Dado el óptimo de un programa con
restricciones de desigualdad podría plantearse
un programa equivalente eliminando las
restricciones no saturadas y expresando en
forma de igualdad las saturadas.
También son aplicados en sistemas
eléctricos, en el área de sistemas, matemática,
toma de decisiones entre otras.

16. LA OPTIMIZACIÓN EN LA TOMA DE DESICIONES
Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar
decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar
las alternativas y evaluarlas en términos de su comportamiento
respecto de los objetivos que desea conseguir. Es una actividad tan
cotidiana que prácticamente no le prestamos atención. En muchos
casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como
fruto de la experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos
enfrentamos es muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y
son graves sus consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este
proceso de análisis y evaluación.
Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el sector privado como en el
público, son tan complejos que no pueden resolverse usando exclusivamente sentido común y
experiencia práctica. Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos
disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La Investigación Operativa
proporciona modelos y técnicas para abordar estos problemas, que permiten comprender los sistemas
reales y, en general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de decisiones más adecuado
de acuerdo con los objetivos establecidos y el impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del
sistema como un todo.