Este documento trata sobre los retículos, que son estructuras algebraicas con dos operaciones binarias o conjuntos parcialmente ordenados con propiedades específicas. Explica que un retículo es completo si todo subconjunto acotado tiene un supremo e inferior, y que en un retículo distributivo y acotado el complemento de un elemento es único. También define los conceptos de subretículo, que es un subconjunto cerrado bajo las operaciones, y homomorfismo entre retículos, que preserva dichas operaciones.

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela de Ingeniería De Sistemas
Asignatura: Estructura discreta y Grafos
Realizado por:
José Brito
CI: 20.111.442
06 de Diciembre del 2013

2. Retículo
En matemáticas, un retículo es una determinada estructura algebraica con
dos operaciones binarias, o bien un conjunto parcialmente ordenado con
ciertas propiedades específicas (siendo equivalentes ambos enfoques). El
término "retículo" viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales
órdenes.

3. Propiedades
Todo retículo completo L es acotado, con
Todo retículo finito, no vacío L es completo, por lo que también es acotado.
En un retículo distributivo y acotado, el complemento de un elemento a es único si
existe, lo que suele denotarse como ac (particularmente en el caso de retículos de
subconjuntos) o bien ¬a(particularmente en aplicaciones de lógica).
•Demostración: Sean b y c complementos de a, queremos mostrar que b = c. Ahora se
cumple que b = b 1 = b (a c) = (b a ) (b c) = b c. Análogamente se muestra
que c= b c, por lo que b = c.
Sin embargo, si el retículo no es distributivo, pueden existir diversos complementos;
va un ejemplo más adelante.
En un retículo distributivo acotado se verifica
•¬0 = 1, ¬1 = 0.
Si a tiene un complemento ¬a, entonces también ¬a tiene un complemento, que es:
•¬(¬a) = a.

4. Sub-retículo
Un subretículo del retículo L es un subconjunto no vacío K de L que es
cerrado bajo las operaciones y de tal manera que (K,V,Λ) es a su vez un
retículo. Debe notarse que K debe estar dotado de la restricción de las
operaciones de L a K.

5. Homomorfismo
Una función φ:L₁ L₂ es un homomorfismo del retículo L₁ en L₂ si preserva las
operaciones, es decir, si para todo a, b Є L₁ se verifica:
φ(a V b) = φ(a) V φ(b)
φ (a Λ b) = φ(a) Λ φ(b)
Nótese que las operaciones V y Λ que aparecen en el lado izquierdo son las
de L₁ y las que aparecen en el lado derecho son las de L₂. Dos retículos
son isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo entre ellos.
Cualquier función que preserve una de las dos operaciones es isótona, por
ejemplo, si φ preserva infimos y x ≤ y, se tiene que x Λ y = x, luego
φ(x) Λ φ(y) = φ(x V y) = φ(x),
y por lo tanto φ(x) ≤ φ(y), luego φ es isótona