Este documento describe el diseño cuadrado latino, incluyendo sus características, formación, modelo estadístico, estimación de parámetros, sumas de cuadrados y un ejemplo de su aplicación para evaluar el rendimiento de cuatro variedades de melón con riego por exudación. El diseño permite asignar tratamientos al azar y compararlos estadísticamente mediante un análisis de varianza. El ejemplo no encontró diferencias significativas en el rendimiento de las variedades de melón evaluadas.

1. Cuadrado Latino 1
DISEÑO CUADRADO LATINO : DCL
El agrupamiento de las unidades experimentales en dos direcciones (filas y columnas) y la
asignación de los tratamientos al azar en las unidades, de tal forma que en cada fila y en cada
columna se encuentren todos los tratamientos constituye un diseño cuadrado latino.
Características:
1. Las u.e. se distribuyen en grupos , bajo dos criterios de homogeneidad dentro de la fila y dentro
de la columna y heterogeneidad en otra forma.
2. En cada fila y en cada columna, el número de unidades
es igual al número de tratamientos.
3. Los tratamientos son asignados al azar en las unidades
experimentales dentro de cada fila y dentro de cada columna.
4. El número de filas = número de columnas = número de tratamientos.
5. Los análisis estadísticos T-student, Duncan, Tuckey y en
pruebas de contraste se procede como el diseño completo al azar y el diseño de bloques. La
desviación estandar de la diferencia de promedios y la desviación estandar del promedio, están en
función del cuadrado medio del error experimental.
El nombre de cuadrado Latino se debe a R.A. Fisher [The Arrangement of Field Experiments, J.
Ministry Agric., 33: 503-513 (1926)]. Las primeras Aplicaciones fueron en el campo agronómico,
especialmente en los casos de suelos con tendencias en fertilidad en dos direcciones.
Formación de cuadrados latinos
Suponga 4 tratamientos A,B,C y D, con estos tratamientos se pueden formar 4 cuadros diferentes
llamadas típicas o estandar (en la primera fila y en la primera columna se tiene la misma
distribución).
┌─────────┐ ┌─────────┐ ┌─────────┐ ┌─────────┐
│ A B C D │ │ A B C D │ │ A B C D │ │ A B C D │
│ B A D C │ │ B C D A │ │ B D A C │ │ B A D C │
│ C D B A │ │ C D A B │ │ C A D B │ │ C D A B │
│ D C A B │ │ D A B C │ │ D C B A │ │ D C B A │
└─────────┘ └─────────┘ └─────────┘ └─────────┘
De cada cuadro se obtienen 144 formas diferente, en total se tienen 576 cuadros diferentes.
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2. Cuadrado Latino 2
La siguiente tabla permite relacionar el numero de cuadros en función del tamaño.
┌──────────┬────────┬──────────┬──────────────┐
│ Tamaño │ Nro de │ │ Núm total │
│ del │ formas │ Valor de │ de cuadrados │
│ cuadrado │ típica │ n!(n-1)! │ diferentes │
├──────────┼────────┼──────────┼──────────────┤
│ 3 x 3 │ 1 │ 12 │ 12 │
│ 4 x 4 │ 4 │ 144 │ 576 │
│ 5 x 5 │ 56 │ 2880 │ 161280 │
│ 6 x 6 │ 9408 │ 86400 │ 812851200 │
└──────────┴────────┴──────────┴──────────────┘
n = tamaño del cuadro.
Asignación de tratamientos.
Los tratamientos deben asignarse empleando uno de los cuadros de los posibles, es decir si son
cuatro tratamientos, escoger entre los 576 posibles.
Modelo estadístico.
Cada observación del experimento es expresado como una relación lineal de los efectos
involucrados ( tratamiento, fila y columna ), así:
Y ij(k) = µ + F i + C j +τ (k) + error ij(k) i,j,k=1,2,...,n
µ = efecto medio (parámetro del modelo)
F i = efecto de la fila i
C j = efecto de la columna j
τ (k) = efecto del tratamiento k
error ij(k) = error experimental de la u.e. i,j
Yij(k) = Observación en la unidad experimental
El subíndice (k) indica que tratamiento k fue aplicado en la u.e.
El modelo esta compuesto por n2 ecuaciones, una para cada observación.
Estimación de parámetros.
El número de parámetros a estimar es igual a 3n+1 y la estimación puede resolverse por mínimos
cuadrados del error, máxima verosimilitud u otro método, en nuestro caso se utilizara el método de
mínimos cuadrados del error.
La función a minimizar es:
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3. Cuadrado Latino 3
2 2
∑ ∑ error = ∑ ∑ ( Y ij(k) - µ - F i - C j - τ (k) )
ij(k)
La solución constituye el conjunto de estimadores de los parámetros del modelo, dado por:
( µ , F i ,C j ,τ k ) para i,j,k = 1,2,...,n
ˆ ˆ ˆ ˆ
El sistema de ecuaciones que darán solución constituyen las ecuaciones normales, para tener una
única solución, se agregan al sistema las siguientes restricciones:
∑ F i = 0 ; ∑ C j = 0 ; ∑τ i = 0
ˆ ˆ ˆ
La solución son los estimadores mínimos cuadráticos:
µ = Y ..
ˆ
ˆ
F i = Y i. - Y ..
ˆ
C= Y .j - Y ..
τ (k) = Y (k) - overlineY ..
ˆ
y el error en cada u.e. es:
Error ij(k) = Y ij(k) - Y i. - Y .j - Y (k) + 2 Y ..
Y i. : Promedio de la fila i
Y .j : Promedio de la columna j
Y (k) : Promedio del tratamiento k
Sumas de cuadrados
A partir del modelo estimado, la suma de cuadrados del total es descompuesto en suma de
cuadrados de tratamientos, filas, columnas y error experimental:
ˆ 2 ˆ2 ˆ2 2
∑ ∑( Y ij(k) - µ ) = ∑ ∑ F + ∑ ∑C + ∑ ∑τ + ∑ ∑ error
ˆ
2
i j (k) ij(k)
+ dobles productos
∑ ∑( Y ij(k) - µ )2 : Suma de cuadrados del total
∑ ∑Fˆ2 : Suma de cuadrados de filas
i
∑ ∑Cˆ2 : Suma de cuadrados de columnas
j
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4. Cuadrado Latino 4
2
∑ ∑τˆ : Suma de cuadrados de tratamientos
(k)
2
∑ ∑ error : Suma de cuadrados del error
ij(k)
Los dobles productos son iguales a cero.
Ejercicio. Probar las siguientes identidades:
2 2
Y Y
ˆ 2 i. ..
SC Fila : ∑ nF = ∑ -
i n n2
2 2
Y Y
ˆ2
SC Columna: ∑ nC = ∑
.j ..
- 2
j n n
Aplicación:
"Evaluación del sistema de riego por exudación utilizando cuatro variedades de melón, bajo
modalidad de siembra, SIMPLE HILERA.". Se desea probar el comportamiento de tres variedades
híbridas de melón y uno estándar. (Tesis).- autor Alberto Ángeles L.
Variedades: V1 : Híbrido Mission
V2 : Híbrido Mark.
V3 : Híbrido Topfligth.
V4 : Híbrido Hales Best Jumbo.
Hipótesis : Ho : Efecto de variedades de melon en estudio es nulo.
H1 : Al menos dos variedades tienen efectos distintos.
Datos: Rendimiento en Kgs. por parcela.
C1 C2 C3 C4 C1 C2 C3 C4
F1 45 50 43 35 F1 V1 V2 V3 V4
F2 29 53 41 63 F2 V4 V3 V2 V1
F3 37 41 41 63 F3 V2 V4 V1 V3
F4 38 40 35 41 F4 V3 V1 V4 V2
Solucion:
C1 C2 C3 C4 Y.j
F1 45 50 43 35 173
F2 29 53 41 63 186
F3 37 41 41 63 182
F4 38 40 35 41 154
Yi. 149 184 160 202 695
V1 V2 V3 V4
189 169 197 140 695
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5. Cuadrado Latino 5
Estimacion de parametros :
µ : 695/16 = 43.4375
τ1 : 189/4 – 43.4375 = 3.81 ; τ2 : -1.18 ; τ3 : 7.57 ; τ4 : -8.4375
c1 : 149/4 – 43.4375 =-6.1875 ;c2 : 2.5625 ; c3 : -3.4375 ; c4 : 7.0625
f1 : 173/4 – 43.4375 = -0.1875 ; f2 : 3.0625 ; f3 : 2.0625 ; f4 : -4.9375
CALCULO DE SUMAS DE CUADRADOS
Termino de corrección TC = 695 ² /16 = 30189.1
SC(Total) = 45 ² + 50 ² + . . . 41 ² - TC = 1359.9375
SC(Filas) = (173 ² + … + 154 ² ) / 4 - TC = 152.18750
SC(Columna) = ( 149 ² + … + 202 ² ) / 4 – TC = 426.18750
SC(Melon) = ( 189 ² + … + 140 ²) / 4 – TC = 483.68750
SC(error) = SC(total) – SC(filas) – SC(columnas) = 297.8750
Promedio = 695 /16 = 43.438
CM (error) = SC(error) / [(t-1)(t-2)] = 49.6458
CV = Raiz (CM error) *100 / Promedio = 16.2 %
Analisis de Variancia:
Fuente Gl S.C. C.M. Fc Pr > F
FILA 3 152.1875 50.7291 1.02 0.4466
COLUMNA 3 426.1875 142.0625 2.86 0.1264
MELON 3 483.6875 161.2291 3.25 0.1022
Error 6 297.8750 49.6458
Total 15 1359.9375
Se acepta la Hp, a un riesgo de rechazar la Hp de 0.05
Por lo tanto, no existe diferencias en el rendimiento de las variedades de melon tratadas con el
sistema de riego por exudación.
El coeficiente de variacion es de 16% aceptable para evaluación en campo.
El rendimiento promedio del melon en condiciones experimentales resulto 43.3 kilos por parcela
experimental.
El rendimiento por hibrido fue el siguiente :
V1 : Híbrido Mission 47.3 kilos
V2 : Híbrido Mark. = 42.3 kilos
V3 : Híbrido Topfligth. 49.3 kilos
V4 : Híbrido Hales Best Jumbo. = 35.0 kilos
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6. Cuadrado Latino 6
Según los resultados experimentales no existen diferencias estadísticas entre las variedades ; las
diferencias se dan a un riesgo mayor de 0.10, esto significa que muy posible existen diferencias
pero en este experimento no fue posible detectar por los pocos grados de libertad para el error, lo
recomendable cuando se prueba un testigo, se recomienda tener mas repeticiones, en un cuadrado
latino pequeño, lo recomendable es doblar el numero de parcelas del testigo ; esto significa tener
en forma ficticia 5 variedades en 5 filas y 5 columnas y los grados de libertad para el error serian
4x3 = 12. En el analisis de variancia se realiza en forma normal, y para las pruebas estadísticas
utilizar contrastes o dunnett. Si son pocos los tratamientos y hay inseguridad en el resultados,
realizar el ajuste de bonferroni u otro ajuste de probabilidades (ver ejmplos de agricolae)
Ejemplo : Suponga en este caso que la variedad V4 se dobla en el experimento y se identifica como
(V4 y V5), entonces un plan podria ser :
C1 C2 C3 C4 C5
F1 V1 V2 V3 V4 V5
F2 V4 V3 V2 V5 V1
F3 V2 V4 V5 V1 V3
F4 V3 V5 V1 V2 V4
F5 V5 V1 V4 V3 V2
El Analisis de variancia tendra las siguientes fuentes y grados de libertad :
Fila 4
Columna 4
Melon 4
Error 12
Total 24
Como los tratamiento V4 y V5 son los mismos, entonces la suma de cuadrados de Melon debe ser
descompuesta en :
Melon 4
V4, V5 vs V1, V2, V3 1
V4 vs V5 1
Entre V1, V2 , V3 2
Supuestamente no debe haber diferencia estadistica entre V4 y V5.
Para el ejercicio de este proceso, suponga los siguientes totales de Variedades para el ejemplo
V1 V2 V3 V4 V5 Y(k)
189 169 197 140 145 840
SC(Melón) = (189² + … + 145²) / 5 - 840 ² / 25 = 519.2
SC(V4, V5 vs V1, V2, V3) = (189+169+197)² / 15 + (140+145) ² / 10 - 840 ² / 25 = 433.5
SC(V4 vs V5) = 140² / 5 + 145 ² / 5 - (140 + 145 ) ² / 10 = 2.5
SC(V1, V2 , V3) = (189² +169² +197² ) / 5 - (189+169+197)² / 15 = 83.2
Este ultimo resultado puede ser obtenido por diferencia del total de SC(Melón)
519.2 – (433.5 + 2.5 ) = 83.2
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7. Cuadrado Latino 7
Para estos calculos tambien puede utilizar los contrastes ortogonales.
V1 V2 V3 V4 V5 Suma Numerador Denominador SC
V4,V5 vs demas 2 2 2 -3 -3 255 65025 150 433.5
V4 vs V5 0 0 0 1 -1 -5 25 10 2.5
189 169 197 140 145 840
Procedimiento R para el experimento de hibridos de Melón (datos de la tesis).
Crear el archivo “melon.txt” con NOTEPAD y almacenar en su folder de trabajo.
fila columna melon rdto
1 1 V1 45
1 2 V2 50
1 3 V3 43
1 4 V4 35
2 1 V4 29
2 2 V3 53
2 3 V2 41
2 4 V1 63
3 1 V2 37
3 2 V4 41
3 3 V1 41
3 4 V3 63
4 1 V3 38
4 2 V1 40
4 3 V4 35
4 4 V2 41
Ingresar al programa R y ubicarse en su folder de trabajo.
Ejecutar las siguientes instrucciones en el ambiente R.
rm(list=ls())
datos <- read.table("melon.txt",header=TRUE)
datos[,1] <- as.factor(datos[,1])
datos[,2] <- as.factor(datos[,2])
datos[,3] <- as.factor(datos[,3])
modelo <-aov(rdto ~ fila + columna + melon,data=datos)
modelo
Call:
aov(formula = rdto ~ fila + columna + melon, data = datos)
Terms:
fila columna melon Residuals
Sum of Squares 152.1875 426.1875 483.6875 297.8750
Deg. of Freedom 3 3 3 6
Residual standard error: 7.04598
Estimated effects may be unbalanced
> anova(modelo)
Analysis of Variance Table
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8. Cuadrado Latino 8
Response: rdto
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fila 3 152.19 50.73 1.0218 0.4466
columna 3 426.19 142.06 2.8615 0.1264
melon 3 483.69 161.23 3.2476 0.1022
Residuals 6 297.88 49.65
cv<-cv.model(modelo)
cv
[1] 16.22096
En el caso de encontrar diferencias siginifcativas, puede realizar las comparaciones muliples de
tratamientos con las funciones de agricolae.
library(agricolae)
gl<- 6
cm<- 49.65
attach(datos)
# Caso LSD con t-students en grupos.
compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05)
Study:
LSD t Test for rdto
......
Alpha 0.050000
Error Degrees of Freedom 6.000000
Error Mean Square 49.650000
Critical Value of t 2.446912
Treatment Means
melon rdto std.err replication
1 V1 47.25 5.359960 4
2 V2 42.25 2.750000 4
3 V3 49.25 5.543389 4
4 V4 35.00 2.449490 4
Least Significant Difference 12.19166
Means with the same letter are not significantly different.
Groups, Treatments and means
a V3 49.25
a V1 47.25
ab V2 42.25
b V4 35
Una apariencia de diferencia entre tratamientos.
Para hallar las probabilidades de diferencia, se realiza la comparacion
sin grupos.
# Caso LSD con t-students sin grupos.
compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05, group=FALSE)
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9. Cuadrado Latino 9
LSD t Test for rdto
......
Alpha 0.050000
Error Degrees of Freedom 6.000000
Error Mean Square 49.650000
Critical Value of t 2.446912
Treatment Means
melon rdto std.err replication
1 V1 47.25 5.359960 4
2 V2 42.25 2.750000 4
3 V3 49.25 5.543389 4
4 V4 35.00 2.449490 4
Comparison between treatments means
tr.i tr.j diff pvalue
1 1 2 5.00 0.3544
2 1 3 2.00 0.7020
3 1 4 12.25 0.0492
4 2 3 7.00 0.2096
5 2 4 7.25 0.1958
6 3 4 14.25 0.0288
Para un conclusión correcta, se realiza el ajuste de bonferroni.
# Caso LSD con el ajuste de bonferroni sin grupos.
compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05, group=FALSE,
p.adj="bonferroni")
LSD t Test for rdto
P value adjustment method: bonferroni
......
Alpha 0.050000
Error Degrees of Freedom 6.000000
Error Mean Square 49.650000
Critical Value of t 3.862991
Treatment Means
melon rdto std.err replication
1 V1 47.25 5.359960 4
2 V2 42.25 2.750000 4
3 V3 49.25 5.543389 4
4 V4 35.00 2.449490 4
Comparison between treatments means
tr.i tr.j diff pvalue
1 1 2 5.00 1.0000
2 1 3 2.00 1.0000
3 1 4 12.25 0.2952
4 2 3 7.00 1.0000
5 2 4 7.25 1.0000
6 3 4 14.25 0.1728
Conclusión: No hay diferencias entre las variedades de Merlon
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10. Cuadrado Latino 10
Para una evaluacion simulada de esta tesis, suponiendo que se realiza otro experimento en
igualdad de condiciones con los siguientes datos experimentales:
Crear datos2:
fila columna melon rdto
1 1 V1 44
1 2 V2 40
1 3 V3 48
1 4 V4 41
2 1 V4 45
2 2 V3 36
2 3 V2 30
2 4 V1 33
3 1 V2 50
3 2 V4 45
3 3 V1 45
3 4 V3 53
4 1 V3 57
4 2 V1 50
4 3 V4 31
4 4 V2 37
Grabar con el nombre melon2.txt
datos2 <- read.table("melon2.txt",header=TRUE)
datos2[,1] <- as.factor(datos2[,1])
datos2[,2] <- as.factor(datos2[,2])
datos2[,3] <- as.factor(datos2[,3])
modelo2 <-aov(rdto ~ fila + columna + melon,data=datos2)
anova(modelo2)
Analysis of Variance Table
Response: rdto
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fila 3 308.187 102.729 3.2124 0.1042
columna 3 240.687 80.229 2.5088 0.1557
melon 3 201.688 67.229 2.1023 0.2014
Residuals 6 191.875 31.979
Como se puede observar un resultado similar al experimento real.
Realizando un análisis combinado de los ANVAS.
Error = error1 + error2
Columna = columna1 + columna2
Filas = filas1 + filas2
Dado que son efectos anidados por cuadro, podemos tener con R los
siguientes resultados:
set1 <- data.frame(cuadro=”1”, datos)
set2 <- data.frame(cuadro=”2”, datos2)
setJunto <- rbind(set1,set2)
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11. Cuadrado Latino 11
# el modelo:
general <- lm(rdto ~ cuadro + fila%in%cuadro + columna%in%cuadro +
melon+melon:cuadro,setJunto)
anova(general)
Analysis of Variance Table
Response: rdto
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
cuadro 1 3.12 3.12 0.0766 0.78671
melon 3 572.75 190.92 4.6779 0.02185 *
cuadro:fila 6 460.38 76.73 1.8800 0.16577
cuadro:columna 6 666.88 111.15 2.7233 0.06594 .
cuadro:melon 3 112.62 37.54 0.9199 0.46064
Residuals 12 489.75 40.81
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Analisis comparativo de tratamientos.
Utilizando agricolae.
gl<- df.residual(general)
cm<- deviance(general)/gl
attach(setJunto)
# Caso LSD con t-students en grupos.
compara <- LSD.test(rdto, melon, gl,cm, alpha=0.05, p.adj=”bonferroni”)
LSD t Test for rdto
P value adjustment method: bonferroni
......
Alpha 0.050000
Error Degrees of Freedom 12.000000
Error Mean Square 40.812500
Critical Value of t 3.152681
Treatment Means
melon rdto std.err replication
1 V1 45.125 3.090524 8
2 V2 40.750 2.373590 8
3 V3 48.875 3.324355 8
4 V4 37.750 2.169184 8
Least Significant Difference 10.07040
Means with the same letter are not significantly different.
Groups, Treatments and means
a V3 48.875
ab V1 45.125
ab V2 40.75
b V4 37.75
F.de Mendiburu / 3/24/2007