1) El documento presenta varias identidades trigonométricas para ángulos triples y fórmulas especiales. Incluye ejemplos de resolución de problemas y propiedades de triángulos notables. 2) Se incluyen 15 problemas resueltos como ejemplo de aplicación de las identidades. 3) El documento concluye con 11 problemas adicionales de repaso sobre el tema tratado.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
xTg
xTgTgx
xTg
CosxxCosxCos
xSenSenxxSen
2
3
3
3
31
3
3
343
433





UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas para el ángulo Triple”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL
ÁNGULO TRIPLE
xTg
xTgTgx
xTg
CosxxCosxCos
xSenSenxxSen
2
3
3
3
31
3
3
343
433





Formulas Especiales:











1x2Cos2
1x2Cos2
Tgxx3Tg
)1x2Cos2(Cosxx3Cos
)1x2Cos2(Senxx3Sen
Formulas de Degradación:
xCosCosxxCos
xSenSenxxSen
334
334
3
3


Propiedades:
x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg
x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4
x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4



xtgxtgxtgtgx 33)º120()º60( 
Observación:
4
15
36Cos
4
15
18Sen




Triángulo Notable de 18º y 72º
Triángulo Notable de 36º y 54º
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si: x
72

 ; Calcular:
M 2sen12x 2cos8x cos4x cos4x   
A) 3
2
B) 3
3
C) 3
6
D) 3
4
E) 3
12
RESOLUCIÓN
M 2sen12x cos4x 2cos8x 1   
cos12x
M 2sen12x cos4x
cos4x

M sen24x
3
M sen
3 2

  RPTA.: A
2.Si: tg3x mtgx, calcule:
M sen3x cscx cos3x secx 
A) m 1
m 1


B)  2 m 1
m 1


C)  2 m 1
m 1


D)
 
m 1
2 m 1


E) 1
4
72º
18º
5 – 1
10+ 2 5
4
36º
5 + 1
10 – 2 5
Semana Nº 10

2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
RESOLUCIÒN
 
sen3x cos3x
M 2cos2x 1
senx cosx
    
 2cos2x 1 4cos2x  
Pero: tg3x 2cos2x 1 m
m
tgx 2cos2x 1 1

  

 4cos2x m 1 m 1
2cos2x
2 m 1 m 1
 
  
 
 m 1
M 2
m 1
 
   
RPTA.: B
3.Halle: “m” si: m ctg20º
tg10º tg40º

A) 3
3
B) 3 C) 1 D) 1
3
E) 1
2
RESOLUCIÒN
ctg20º
m tg10º
tg40º

m ctg20º ctg40º ctg80º
m c tg60º
3
m
3
 RPTA.: A
4.Reducir:    H 1 cos40º 1 cos80º 1 cos160º   
A) 1
8
B) 2 C) 3
8
D) 4 E) 6
RESOLUCIÒN
   1 cos40º 1 cos80º 1 cos160º  
   2 2 2
2sen 20º 2sen 40º 2sen 80º
2 2 21
H 16sen 20ºsen 40ºsen 80
2
   
 
2
21 1 3
H sen60º
2 2 2
 
   
  
 31 3
H
2 4 8
 
  
 
RPTA.: C
5.Si:  tg 15º x 2  ; Halle: ctg 3x
A) 11
9
B) 13
9
C) 14
9
D) 16
9
E) 17
9
RESOLUCIÓN
Si:    tg 30º x tg 45º 15º x     
 
 
 
tg45º tg 15 x
tg 30º x
1 tg45ºtg 15º x
 
 
 
 
1
tg 30º x
3
  
Se pide:  ctg3x tg 90º 3x  
   
 
3
2
3tg 30º x tg 30º x
ctg3x
1 3tg 30º x
  
 
 
13
ctg3x
9
 RPTA.: B
PROBLEMAS DE CLASE
1) Evalúa 𝐸 =
𝑆𝑒𝑛310º+𝐶𝑜𝑠320º
𝑆𝑒𝑛 10º+𝐶𝑜𝑠 20º
a)−
3
4
b) −
√3
4
c)
3
4
d)
√3
4
e)
4
3
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2) Calcular 𝑄 = 8𝐶𝑜𝑠3
20º − 6𝐶𝑜𝑠20º + 1
A) ¼ B) ½ C) 1 D)2 E) 4
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
3) Al simplificar:
(1 −
2𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛3𝑥
) (1 −
2𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑠𝑒𝑛9𝑥
) (1 −
2𝑠𝑒𝑛9𝑥
𝑠𝑒𝑛27𝑥
) ⋯⏟
𝑛−𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠
,
se obtiene:
A) 𝑇𝑔𝑥. 𝑇𝑔3 𝑛
𝑥 B) 𝑇𝑔𝑥. 𝐶𝑡𝑔3 𝑛
𝑥 C) 𝐶𝑡𝑔3𝑥. 𝑇𝑔3 𝑛
𝑥
D) 𝐶𝑡𝑔𝑥. 𝐶𝑡𝑔3 𝑛
𝑥 E) 𝑇𝑔3𝑥. 𝑇𝑔3 𝑛
𝑥
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
4) Determinar la medidas del ángulo “ 𝜃 ” (en
radianes), si se cumple:
212
12 


Ctg
Cos
Cos


 , si
3
0

 
a) 0 b) .
6
rad
 c) .
4
rad
 d) .
8
rad
 e) .
12
rad

2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II
5) Calcular la suma de : 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 , para que la
siguiente igualdad sea una identidad:
pamCosaCosaCosaSenaSen n
 33
.3.3
A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 4
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I

3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
6) Si: cos 40º = 2n, entonces el valor de la
expresión :
4
1
º20cosº20.3 33
 senE
a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n
(Segundo examen sumativo 2012 – III)
7) Del gráfico, hallar la longitud de
a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36
d) 3,23 e) 2,32
8) Del gráfico, hallar :
a) b)
c) d) e)
9) Si  23
3
2cos1
6cos1
BAA
x
x



Determinar:
B
A
E
2

a) 






3
2
2
x
Cos b) 






3
4
2
x
Cos c) 






3
2x
Cos
d) 






3
4x
Cos e) 





3
2
2
x
Cos
10) Si: senx + cosx = a ,
Calcular P = Cos3x – Sen3x
a)2a-3a2
b) a2
-3a c) 3a5
+2a
d) 3a – 2a3
e) a2
+ 2a
(Segundo examen sumativo 2012 – II)
11) Si:
2
5
tg , determinar el valor de
2
3
Cos
a)
6
5
.
2
1

b)
3
2
.
2
1 c)
6
5
.
3
1

d)
5
5

e)
5
6

(Segundo examen sumativo 2011 – II)
12) Simplificar:
  )º120(cosº120coscos 333
xxxE 
a)
4
3cos x b)
5
3cos2 x c)
4
3cos3 x
d)
7
3cos2 x e)
4
3cos5 x
13) Si:
3
2
cos3  senxx
Calcular sen 3x
a) 23/27 b) - 23/27 c) 25/27
d) -25/27 e) -2/3
14) Señale el valor de "Senx", si: Sen2x = Cos3x
a) b) c) a y c son respuestas.
d) e) a, b y c son respuestas.
15) Simplificar:
R = 36Sen3
x + 12Sen3
3x + 4Sen3
9x + Sen27x
a) 27Senx b) 40Senx
c) 30Senx d) 21Senx e) N.A.
16) Calcular: Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º
a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) 8
PROBLEMAS DE REPASO
1) Calcular el valor de: M = Cos5°Cos55°Sen25°
a)
4
6
b)
16
26 
c)
4
2 d)
4
26  e)
4
26 
2) Calcular:



40Cos20Cos
40Cos20Cos
M
33
a) ¼ b) 2/4 c) 2/5 d) ¾ e) 3/7
CD
24º 36º
16
A
B
C
D
E
6º
y
x
A
B
C5º 45º 80º 20º
D Ex y
º5Csc2 º10Csc2
º5Csc
2
2 º10Csc
2
2 º5Csc
4
2
4
15 
4
15 
1

4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo
3) Si: ; Calcule: cos3a
a)
27
12 b)
27
5 c)
27
22 d)
27
15 e)
27
11
4) Reducir: P = (4Cos2
11° – 1) Sen11°Cos33°
a) 2tag22º b) cos11º c)
sen22º
d) 4csc22º e)
2
º66sen
5) Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1
a) 5 b) 2 c) 3 d) 7 e) 11
6) De la siguiente identidad:
   
 BctxxctgA
xctgxtg
xctg


.2
º60º30
3.8
Calcular A + B
a) 0 b) 2 c) -3 d) 1 e) -2
7) Si: Calcule: cos3
a)
27
57 b)
2
57 c)
27
5 d)
27
52 e) 5
8) Si:
Calcule: cos3
a)
27
57 b)
2
57 c)
27
5 d)
27
52 e) 5
9) Calcular:
a) b) c) d) e) -
10) Si: senx + cosx = m
Obtener: "sen3x + cos3x" en términos de "m".
A) B)
C) D) E)
11) Del gráfico mostrado, hallar: "x".
a) 4 b) 7 c) 17 d) 8 e)
12) Simplificar:



64564
66
CosCosCos
Cos
P
a) 8sen12º b) 4Sen12º c) 2Sen4º
d) 2Sen24º e) sen12º
13) El valor de: Es:
a) b) c) d) 192 e)
14) Del gráfico, hallar la medida del ángulo " "
a) 39º b) 17º c) 36º d) 51º e) 48º
15)
a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) ½
16) Si : , halle : en términos de "n"
a) n + 1 b) c)
d) n - 1 e)
17) Calcule:
a) b) c) d) e)
2
cos(60º )
3
 
5
sen(30º )
3
 
5
sen(30º )
3
 
º36Cosº18Sen 33

2
5
8
5
4
5
6
5
4
5
3m 2 3m 3m
2m
(3 m )
2
 2m
(2 m )
3
 2m(3 2m )
A
E
D
C
B



x
4
3
72
º70Secº50Secº10Sec2 222
3
128
64
9
64
1
9
64


a
4a
43º
17º
13º
2
22
)CosSen(
CosSen3CosSenCos3Sen


1n
1n
Tanx
x3Tan


x3Sen
Senx
1
)1n( 
 n
2
1
)1n( 

º13Cosº17Sen
º13Cosº17SenM
33


2
1
4
3
8
3
2
3
4
1