Álgebra

- Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez

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Competencia.

Identifica patrones aritméticos y algebraicos aplicando propiedades y relaciones
para la resolución de problemas.

Indicadores de logro.
1. Realiza operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y división).
2. Distingue las propiedades y las relaciones de las operaciones básicas aritméticas.
3. Aplica la factorización de polinomios al operar y simplificar fracciones complejas.

CONTENIDOS

DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Algebra: definición, notación Escritura y lectura de Practicar el valor de la
algebraica, signos, símbolos y expresiones algebraicas. constancia en la interpretación
lenguaje algebraico.

Operaciones y agrupación de Ejercicios con símbolos de Utilización del valor de la
símbolos: prioridad de las agrupación identificando las responsabilidad ante la
operaciones, números reales, propiedades de los números aplicación de la propiedad de
propiedad de los números reales reales y utilizando la prioridad los números reales.
de las operaciones.

Operaciones con polinomios: Resolución de operación con Disposición puntual y el valor
suma, resta, multiplicación, polinomios. de la limpieza ante la
productos notables y división resolución y dificultad de las
de polinomios. operaciones algebraicas.

Factorización: factor común, Procedimiento y resolución Practica de la comunicación
factor común por grupos, para aplicar todos los casos de para el trabajo en grupo con
trinomio cuadrado perfecto, factorización. factorización.
Cuatrinomio de cubo perfecto,
diferencia de cuadrados,
divisibilidad y combinación de
casos de factorización.

2-


Álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades.
La palabra álgebra es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa
Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala que significa "Compendio
de cálculo por el método de completado y balanceado", el cual proporcionaba operaciones
simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la
palabra álgebra (yabr) , proviene del árabe y significa "reducción".

Notación algebraica

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se
emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las
cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades
desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Signos y símbolos

En el álgebra se utilizan signos y símbolos en general utilizados en la teoría de conjuntos- que
constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa
misma letra en otros problemas y su valor va variando.

Aquí algunos ejemplos:

Signos y Símbolos

Expresión Uso

Además de expresar adición, también es usada
+
para expresar operaciones binarias

cók Expresan Términos constantes

Primeras letras del abecedario
Se utilizan para expresar cantidades conocidas
a, b, c,...

Últimas letras del abecedario
Se utilizan para expresar incógnitas
...,x, y, z

n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)

Exponentes y subíndices Expresar cantidades de la misma especie, de
diferente magnitud.

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Lenguaje Algebraico

Lenguaje Algebraico

Lenguaje Común Lenguaje Algebraico

Un número cualquiera. m

Un número cualquiera aumentado en siete. m+7

La diferencia de dos números cualesquiera. f-q

El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5

La división de un número entero entre su antecesor x/(x-1)

La mitad de un número. d/2

El cuadrado de un número y^2

La semisuma de dos números (b+c)/2

Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es
2/3 (x-5) = 12
igual a 12.

Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2.

La parte mayor de 1200, si la menor es w 1200 - w

El cuadrado de un número aumentado en siete. b^2 + 7

Las tres quintas partes de un número más la mitad de su
3/5 p + 1/2 (p+1) = 3
consecutivo equivalen a tres.

El producto de un número positivo con su antecesor equivalen a
x(x-1) = 30
30.

El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho
x^3 + 3x^2
número.

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EJERCICIO 1:

Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

ab
1. ) : __________________________________________________________________
2

ab
2. ) :__________________________________________________________________
2

a
3. ) ; b  0 : ________________________________________________________________
b

4. ) 2n  1 : __________________________________________________________________

5. ) 5x  1  9 : _______________________________________________________________

6. ) a  ba  b : ____________________________________________________________

7. ) x  x  2  x  4  1202 :________________________________________________

8. ) 3x  2 x  5  x  4 : ______________________________________________________

9. ) x 2  7 x  12  0 : _________________________________________________________

10. ) 3n 2  n  2 : ____________________________________________________________

Marca la alternativa correcta de cada pregunta. Escribe también el desarrollo.

1. ) ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de dos números enteros
consecutivos”?

a) x 2 , ( x 2  1), ( x 2  2)

b)  
x 2 , x 2  12 , x 2  22 
5-


x 2 , 1  x  , 2  x 
2 2
c)

x , 2 x  , 3x 
2 2
d)

e) x 2 ,2 x 2 ,3x 2

2. ) Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de
x, será:

a)  x  2
b) x  3
c)  x  4
d)  x  5
e)  x  6

3. ) Un alumno debe resolver 3m  2n ejercicios de algebra. De estos resultan n  m
correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo?
a) 4m  3m
b) 2m  n
c) 3m  2n
d) n  2m
e) 3n  4m

4. ) El “ triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje
algebraico es:

a) 3a  b2
b) 3a 2  4b2


c) 3 a  4b
2 2

d) 3a  4b 
2

e) 3(a  b )
4 2

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5. ) La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por:
z
a)  18w
2
z  18  w
b)
2
z 18w
c) 
2 2
z  18w
d)
2
1
e)  z  18w
2

6. ) Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica
tenía 10 años?
a) x años
b) 10 años

c) x  20 años
d) 20  x años
e) x  20 años

7. ) Si el doble de 3x es 36, entonces. ¿Cuál (es) de las afirmaciones siguientes es (son)
verdadera (s)?
I. El doble de 3x es igual al triple de 2x
II. La mitad de 3x es igual al cuadrado de 3
III. El doble de x es igual al triple de 3

a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d) Sólo I y III
e) Sólo II y III

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RECUERDA
LA CONTANCIA
La constancia es la virtud que nos conduce a llevar a cabo lo necesario para
alcanzar las metas que nos hemos propuesto, pese a dificultades o a la
disminución de la motivación personal por el tiempo transcurrido.

Operaciones y agrupación de símbolos
La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en
los símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.
Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas
horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las
raíces, como en el siguiente ejemplo:

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+),
sustracción ( ), multiplicación ( ) y división ( ).

En el caso de la multiplicación, el signo ‘ ’ normalmente se omite o se sustituye por un punto,
como en a·b . Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.
La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla,
también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha,
en las fracciones.

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Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.
Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientras
que (ax + b)/(c – dy) representa la fracción:

Prioridad de las operaciones

Cada expresión algébrica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.

Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecido
con el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.
Ese orden es el siguiente:
1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) hacemos primero las
multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamos
y después los sumamos.
2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas las
operaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.
Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen
primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.
Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la regla
de los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos
(recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).
3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la misma
jerarquía)
4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisiones
tienen la misma jerarquía)
5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)
Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, las
operaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.

Por ejemplo:

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Números Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada
punto de la recta numérica.
Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros los
cuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).
Podemos verlo en esta tabla:

Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y b
sea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras para hacerlo:
1) como decimales finitos
2) como decimales que se repiten infinitamente

Los números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros se
llaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimales
que se repiten infinitamente.
Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la
aritmética numérica.
En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética,
por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir números
irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.
Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye el
conjunto de los números reales.

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Propiedades de los números reales

a. Propiedades de la adición
La suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que se
escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con números
reales el resultado es otro número real.
b. Propiedad Asociativa de la adición:
Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma es
siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).

También Es la llamada propiedad asociativa de la adición.
Un ejemplo aritmético:
(4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)
Elemento neutro de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutro
de la adición,
tal que a + 0 = 0 + a = a.

Elemento simétrico de la adición
Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (o
elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.

c. Propiedad Conmutativa de la adición
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b
+ a.

También Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.

4+2=2+4

d. Propiedades de la multiplicación
Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en la
multiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco o
inverso.
El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab.

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e. Propiedad Asociativa de la multiplicación
Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre el
mismo: (ab)c = a(bc).

También Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.

Elemento neutro
Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de la
multiplicación,
tal que a(1) = 1(a) = a.

Elemento recíproco o inverso
Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso
(o elemento recíproco de la multiplicación), para el que
a(a–1) = (a–1)a = 1.
f. Propiedad Conmutativa de la multiplicación
Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo
ab = ba.

También Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.


g. Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:
Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la
multiplicación de la forma siguiente:
a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + ca

También


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Término algebraico

Término algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal.
Ejemplo:

7xy3 –2mnp2 π r2
Partes del Término Algebraico:

-7 xy3
Signo Exponente
Coeficiente Parte literal
Numérico (Variable)

Signo: positivo o negativo
Coeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraico
Factor literal: son las letras y sus exponentes
Exponente (Grado): corresponde al mayor exponente dentro de los términos

Término algebraico Signo Coeficiente Factor Grado
numérico literal

2m2n5 Positivo 2 m2n5 5

5 a3b6c8 Positivo 5 a3b6c8 8

- 1/3 zhk5 Negativo 1/3 zhk5 5

Expresiones Algebraicas

Una Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más
términos algebraicos.
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
a. Monomio: Contiene un solo término.
Por ejemplo: 3x2
b. Binomio: suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x

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c. Trinomio: suma o resta de tres monomios.
Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5

d. Polinomio: suma o resta de cualquier número de monomios.

Monomio Binomio Trinomio Polinomio

8 x3y4 3 a2b3 + 8z a – b9 + a3b6 2/3 a2 + bc + a2b4c6– 2

x2 z5 +32 x3 9a – b2 + c3 ab – a6b3c + 8 – 26a

Reglas de los Exponentes:
Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enteros
positivos diferentes.

Ejemplo:

x2 . x4 = x2+4 = x6
Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se queda
igual.

Ejemplo:
(x2)4 = x2+4 = x6
En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan los
exponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n.

Ejemplo:
(xy)2 = x2 y2

En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es su
coeficiente numérico.
Términos Semejantes
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen
igual parte literal o variable, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos
literales) e iguales exponentes.

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-7 xy3
Exponente
Parte literal
(Variable)

Por ejemplo:
6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a 2b3)
1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)
0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducción de Términos Semejantes

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión
algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva
el factor literal.
Ejemplo 1: xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6

Hay dos tipos de factores literales: xy3 x2y
Hay también una constante numérica: 6
Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy3 con 5xy3 y –3 x2y con –12
x2y.
Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número
significa que es 1 (x3y = 1 xy3).
xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 = 6 xy3 + – 15 x2y + 6

Ejemplo 2:
3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 = Respuesta 25ab + 1abc – 30
Operaciones:
3ab+ 8ab + 14ab = 25ab
- 5abc + 6abc = abc
-10 – 20 = -30

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EJERCICIO 2:
Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuando
corresponda:

1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =

2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =

3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =

4. 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p =

5. 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r =

6. 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 =

7. 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b =

8. 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a =

2 1 2
9. 3m - n + 5m - 7n + 5 n + 3n - p - 5n + 8p =
5 2 5
1 2 3 2
10. 2 a + 3 b - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 =
2 5

11. 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =

12. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =

13. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =

14. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =

15. -( x - 2y ) -  { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =

16. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =

1 3 3 3
17. 8x - ( 1 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y+z)=
2 4 5 4

1   1  1  
18. 9x + 3 y - 9z - 7x   y  2z   5 x  9 y  5z  3z  
2   2  3  

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RECUERDA
LA RESPONSABILIAD
Es un valor que está en la conciencia de la persona, que le permite
reflexionar, administrar, orientar y valorar las consecuencias de sus actos.
La persona responsable es aquella que actúa conscientemente siendo él la
causa directa o indirecta de un hecho ocurrido.

Operaciones con polinomios
1. Suma de Polinomios

EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x

B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3

2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
+
-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x – 18

Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado
El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta
algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo
polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada
columna queden los términos de igual grado.

EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado)

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A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)
B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)
+
4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

4x3 - 8x2 + 7x - 3

A + B = 4x3 - 8x2 + 7x - 3

2. Resta de Polinomios
EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x
B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)

5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)

La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)

4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta
("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto".
Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.

Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la
suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)

A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)
B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)

18-


0x3 - 3x2 + 5x - 4

-4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)

-4x3 + 2x2 + 3x - 5

A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5

Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos
con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que
quede en columna término a término con el otro polinomio.

3. Multiplicación de Polinomios

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x
B = -5x4

-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

X -5x4
______________________________
15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra
con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación
de potencias de igual base.
También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y
luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos
de las dos maneras.

EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1
B = 3x - 6

4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)

X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)
____________________
-24x3 + 30x2 - 12x - 6
+
12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x

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_________________________
12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x – 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer
polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también
completos y ordenados, y es más fácil colocarlos en columna según su grado, porque van saliendo
en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento
similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan"
números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila,
por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias
cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.

EJERCICIO 3:

1. Identifica los elementos que se piden:

a) Los términos de 5r +s
b) Los términos de 5xy2 +2y –7w
c) Dos factores de 5z
d) La base en 3xy2
e) El coeficiente numérico en 2xy
f) El coeficiente numérico en x/3
g) Las variables en 6xy
h) Las variables en 6x 5 y 2
i) El grado de la variable m en 7m5n
j) El grado de la variable n en 7m5n
k) La constante de 7x2 –1

2. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables
explique por qué las siguientes expresiones no son monomios

a) 5x +y b)  7xy3 c) x

3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letra

a) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 y

b) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6

c) 7x5y f) x+4

I) Identifique los polinomios:____________________________________________________
II) Identifique los monomios:____________________________________________________
III) Identifique los binomios:_____________________________________________________
IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los
términos_________________________________________________________________

20-


V) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E

4. Evalúe cada polinomio para los valores dados:

a) 4x2 –x +3 x=-2

b) x2/3 –3x +5 x=3/2

c) –x2 +7 x =5

d) 4xy –8y2 x=3 y=0,5

5. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios:

a) 8x -3x+7x=

b) 3x +9y –2x –6y=

c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =

d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =

e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c=

6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios

a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=

b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=

7. Dados los polinomios

A: 2b2c –3b + 6c
B: 4b - c2b + 12 b2c
C: 4 – 2c

Ejecute las siguientes operaciones:

a) A + B=

b) A - C=

c) B - A=

21-


8. Calcular el perímetro de la siguiente figura:

x2 +x

2x2 +x x

3x2 +x –3

9. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado?

RECUERDA
LA PUNTUALIDAD
Es la obligación para terminar una tarea requerida o satisfacer una obligación
antes o en un plazo anteriormente señalado o hecho a otra persona.

PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los
valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y
que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy
utilizados en los ejercicios.

22-


a. Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble
de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la
forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a
+ b)2

b. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a –
b)2

c. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios
conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos el cuadrado de la segunda

23-


Demostración:

forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2
– b2

d. Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Demostración:

Ejemplo:
Tenemos la expresión algebraica x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla
como (x + a) (x + b)

e. Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)

Demostración:

24-


forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como
(x + a) (x – b).

f. Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)

Demostración:

forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como
(x – a) (x – b).

g. Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y
nx).
Demostración:

forma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemos
factorizarla como (mx + a) (nx + b).
h. Cubo de una suma

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla
como (a + b)3.
i. Cubo de una diferencia

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

25-


forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla
como (a – b)3.
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión
algebraica que lo representa:

Producto notable Expresión algebraica Nombre
2 2 2
(a + b) = a + 2ab + b Binomio al cuadrado

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo

a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados

a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos

a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + Trinomio al cuadrado
2bc

EJERCICIO 4: Resuelve los siguientes PRODUCTOS NOTABLES.

1.- Resuelva los siguientes binomios al cuadrado.
a) x  2 b) x  4 c) x  y 
2 2 2

d) x  3 e) 2 x  2 f) 3x  5
2 2 2

g) 2a  1 h) a  2b  i)  a  2b 
2 2 2

j)  2  5 x  k) x  7 y  l) 2m  4n 
2 2 2

2.- Factoriza utilizando los productos notables:
a) x  4 x  4 b) x  36 c) x  12 x  36
2 2 2

d) y2  x2 e) 9  12 x  4 x
2
f) 4 x  16
2

g) x  8 x  16 h) x  8 x  16 i) 25  x
2 2 2

j) 4 x  4 x  1 k) x  81 l) 9 x  6 x  1
2 2 2

4.- Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:
a) 2a  2b b) 10a  20 c) 4a b  12ab
2

d) 2ab  a b e) 2 x  4 x f) 4 x  2 x
2 2 2 3

g) 3xy  6 xz  3x h) xy  x 2 y  xy 2 i) 3x  6 x  9 x
2 3

j) 15x  5x  10 x k) 10 x y  2 x y  4 y x l) 6a b  4ab
4 3 2 3 2 2 4 2 2

m) 20 x  45x  15x  5x n) 3x  15x  18x o) x  5x  x
4 3 2 5 4 3 7 5 3

26-


5.- Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes para descomponer en factores las
siguientes expresiones:
a) 6x 2 y  9x 3 y b) 3x 2 y  27 y c) 7 x 3  7 x
d) 3x  18x  27 x e) 8x  32 x  32 x f) x  x
3 2 6 5 4 5 3

6. Resuelva los siguientes cubos de un binomio

a) x  3 b) x  4 c) x  y 
3
3 3

d) x  3 e) x  2 f) 3x  5
3 3 3

g) 2a  1 h) 2a  2b  i)  a  2b 
3 3 2

j) 2  5 x  k) x  7 y  l) 2m  4n 
3
3 2

7. Resuelva las siguientes diferencias y sumas de cubos

a) 1  27 y b) y  729  c) 343x 3  512 
3 3

d) 27x 3  64  e) 1331x 6  216  f) x  512y
9 3

RECUERDA
LIMPIEZA
Limpieza es la ausencia de suciedad. Es la cualidad de limpio .Honradez e
integridad con que se comporta o actúa una persona.

27-


4. División de Polinomios
a. División entre fracciones

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas
de división de fracciones de la aritmética.

 Se aplica ley de signos

 Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear
el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo
para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)

 Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

 Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como
elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

b. División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se
realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

 Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

 Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio.

 Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el
capitulo anterior.

28-


 Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

c. División entre polinomios

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son
los siguientes.

 Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden
ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los
términos que faltan.

 El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el
primer miembro del divisor.

 Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

 El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o
resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

 Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

 Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
término no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se
encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

29-


S i m pl i f i caci ón de f racci on es al gebrai cas

P ar a s i mp l if ica r u na f r a cci ó n a l g eb r a ica s e d i v id e el nu mer a d or y el
d en o mi na d or de la f r a cci ó n p or u n p ol i n o mi o qu e s ea f a ct or co mú n d e a mb os .

A mp l i f i ca ci ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i ca s

P ar a a mp lif i ca r u na f r a cció n a l g eb r a ica s e mu lt ip l ica el nu mer a d or y el
d en o mi na d or de la f r a cci ó n p or u n p ol i n o mi o.

30-


R ed u cci ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i ca s a co mú n d eno mi na d o r

S e d es c o mp o n en l os d en o mi na d or es en f a ct or es p ar a ha lla r les el mí ni mo
co mú n mú lt ip lo , qu e s er á el c o mú n d en o mi n a dor .

x 2 − 1 = ( x+1) · ( x − 1)

x2+ 3x + 2 = (x+1) · (x + 2)

m. c. m. (x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x − 1) · (x + 2)

D i vi d i mos el c o mú n d en o mi na d or ent r e l os d en o mi na d or es d e la s f r a cci o n es
da da s y el r es u lt a d o l o mu lt ip li ca mos p or el nu mer a d or cor r es p o n d i ent e.

O p eraci on e s con fra cci on es alg eb rai ca s

a. S u ma d e f r a cci o nes a l g eb r ai ca s co n el mi smo d eno mi na d o r

31-


b . S u ma d e f r a cci o nes a l g eb r ai ca s co n el di s t i nt o d eno mi na d o r

E n p r i mer lu ga r s e p o n en la s f r a ccio n es a l g eb r a ica s a co mú n
d en o mi na d or , p os t er ior ment e s e s u ma n l os nu mer a d or es .

c. Mu l t i pl i ca ci ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i cas

32-


d . D i vi s i ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i ca s

Ejercicios 5: Resolver las siguientes divisiones de polinomios:

1) ( x5 –4x4 + 4x3 + x2 – 4x + 4) ÷ (x + 4)=

2) ( 2p5 - 3p4 – 8p3 + 16p2 –16) ÷ ( p - 2)=

3) ( 3z2 + 2z – 8) ÷ ( z + 2)=

4) (m4 + m2 – 12) ÷ (m2 – 3)=

5) ( 2t3 – 4t – 2 ) ÷ (2t + 2)=

6) ( x2 – x – 12) ÷ ( x – 4)=

7) (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) ÷ (x2 + 3x − 2) =

8) ( x3 − 3x2 + 6x − 2) ÷ (x2 + 2)=

9) (6x2+ x + 1) ÷ (x + 1)=

33-


EJERCICIO 6:

1. Calcula la expresión polinomial del área de un rectángulo que representa a un campo de
futbol.

2. Determine el área del cuadrado de la siguiente figura la cual representa al área recorrida por una
atleta.

3. Encuentre el volumen del cubo siguiente:

4. Determine la expresión polinomial del área marcada para la práctica de basquetbol.

34-


5. Encuentre la expresión polinomial del área de un triangulo utilizado para realizar un
competencia.

h= x-4

b = 6x

RECUERDA
COMUNICACIÓN.
Es el proceso mediante el cual se puede transmitir información de una entidad a
otra. También, es el “intercambio de sentimientos, opiniones, o cualquier otro
tipo de información mediante habla, escritura u otro tipo de señales".

35-


FACTORIZACIÓN

La factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños
(factores) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Factorizar se le llama al proceso
de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. Este proceso
puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar, entonces, quiere decir
identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una
expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. Así, factorizar un
polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al
multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

1. Factor Común.

Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la
propiedad distributiva dice:

a.( x  y)  a.x  a. y

Pues bien, si nos piden Factorizar la expresión a.x  a. y , basta aplicar la propiedad
distributiva y decir que

a.x  a. y  a.( x  y)

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con
factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si
nos piden Factorizar la expresión 36 x  12 x  18x , será
2 3

36 x 2  12 x 3  18x  6 x(6 x  2 x 2  3)

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Procedimiento para encontrar factor común:

1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible).

2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que
resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

36-


Ejemplos:

4a 2 b  2ab2

1)
 Factor común
2ab(2a  b)

3xby  9 xa

2)
 Factor común
3x(by  3a)

2. Factor Común por grupos

Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.

Procedimiento

1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho
factor común en cada uno de los grupos.

2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.

3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.

Ejemplos:

2 xy 2 a  mb  2 xy 2 b  ma
 Agrupo
2 xy a  ma  mb  2 xy b
2 2

1)  Factor Común
a(2 xy 2  m)  b(m  2 xy 2 )
 Factor Común
(2 xy  m)(a  b)  Factor Común por Grupos
2

37-


( x 2  ax)  (bx  ab)
  Factor comun
2) x ( x  a )  b( x  a )
 Factor comun
( x  a)( x  b)  Factor Común por Grupo

3. Trinomio Cuadrado Perfecto:

Recordamos el trabajo que hicimos con el “Cuadrado de un Binomio”

(x + y) 2  x 2  2 xy  y 2
Procedimiento para resolver:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.

2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el
doble producto figura en el trinomio dado.

3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio
Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.

OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:

 Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del
Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.

 Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del
Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.

Ejemplos:

1)
4 x 2  12 xz  9 z 2
4x2  2x 


9 z 2  3z   Es un Trinomio Cuadrado Perfecto
2.2 x.3z  12 xz 


Entonces: 4 x  12 xz  9 z 2 = (2 x + 3z) 2 o( 2 x  3z ) 2
2

38-


2)
1
4x6   x3
16

4x6  2x3 

1 1 
   Es un Trinomio Cuadrado Perfecto
16 4 
3 1 3
2.2 x .  x 
4 
1 1 1
Entonces: 4 x 6   x 3 = (2 x 3 + ) 2 o( 2 x 3  ) 2
16 4 4

4. Cuatrinomio de cubo perfecto

Recordamos el trabajo realizado con el “Cubo de un Binomio”

 x  y3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos. Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las
bases.

2° Paso: Luego calculo:

 el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda
 el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda

Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el Cuatrinomio dado,

3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio
Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:

Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo. Ejemplos:

39-


1)8a 3  36a 2 b  54ab2  27b 3
3
8a 3  2a 

3
 27b  3b
3 

  Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto
3.(2a ) 2 .(3b)  36a 2 b 

3.(2a ).(3b) 2  54ab2  
Entonces: 8a 3  36a 2 b  54ab2  27b 3 = (2a - 3b) 3

1 3 3
2) x 3  x 2  x  1
8 4 2
1 3 1 
3 x  x 
8 2 
3
 1  1 

1 2 3 2   Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto
3.( x) .(1)   x 
2 4 
1 3 
3. x.(1) 2  x 
2 2 
1 3 3 1
Entonces: x 3  x 2  x  1 = ( x - 1) 3
8 4 2 2

5. Diferencia de Cuadrados

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

( x  y)( x  y)  x 2  y 2

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados
perfectos.

2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)

3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados,
formado por dichas bases.

Ejemplos:

40-


1)
9 x 2  25 y 2
9 x 2  3x  
Entonces: 9 x  25 y  (3x  5 y )(3x  5 y )
2 2

25 y 2  5 y 


2)
4 6 4 2
x z y
9
4 6 2 3
x  x 
3  Entonces: x 6  z 4 y 2   x 3  z 2 y  x 3  z 2 y
4 2 2
9   
9 3  3 
z4 y2  z2 y 


6. Divisibilidad

Este caso consiste en hallar los divisores del polinomio dado. Esto lo efectuamos mediante la
siguiente propiedad.

“Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dicho polinomio es divisible por (x-a), es decir
que, al dividir P(x) por (x-a), el resto de la división es cero”

Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0

En símbolos:
Entonces: P(x)=(x-a)C(x)
Este tipo de división la podemos realizar con la Regla
P(x) (x-a) C(x)
de Ruffini

Cálculo de las raíces de un polinomio:

 Para calcular la raíces de un polinomio en el cual figura una sola incógnita, elevada a
una potencia, podemos calcular su raíz igualando a cero y resolviendo esa ecuación.
 Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la incógnita dos veces (una
elevada al cuadrado y otra con exponente 1, podemos calcular sus raíces aplicando la
resolvente.
En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos ya saben factorizar un polinomio de este tipo.

Entonces:

41-


Si P( x)  ax 2  bx  c, y sean x , x raices de P( x)
1 2
entoncespodemosescribir a P( x) como :
P( x)  a( x  x )( x  x )
1 2

 Ahora si nos encontramos con un polinomio de grado mayor que dos, y la incógnita
aparece más de una vez, podemos calcular sus raíces mediante el Teorema de Gauss,
que si bien no nos asegura exactamente cuáles son sus raíces, nos da un número finito
de raíces posibles.

7. COMBINACIÓN DE LOS CASOS DE FACTORIZACION

Ejemplos:

1) Factoriza la siguiente expresión

20 5 3
x b  5x 3b
9
 Factor Común
4
5 x 3 b( x 2 b 2  1)
9
4 2 2 2
 Diferencia de cuadrados  x b  xb, 1  1
9 3
2  2 
5 x 3 b xb  1 xb  1
3  3 

2. Factoriza la siguiente expresión

a3  a 2  a  1
 Agrupo los terminos
a 3

 a 2   a  1
 Saco factorcomun en cada grupo
a 2 (a - 1) + (-1)(a - 1)
 Factor Comun por Grupos
(a - 1)(a 2  1)
 Diferencia de Cuadrados
a - 1a  1a  1
 Multiplico, los factorescon igual base
(a  1) 2 (a  1)

42-


3. Factoriza la siguiente expresión

x 3 - x 2 y - 2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5
 Agrupo terminos
x 3
   
- x 2 y + -2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5 
 Saco factor comun en cada grupo
x ( x  y )  2 xy 2 ( x  y )  y 4 ( x  y )
2

 Saco factor comun ( x - y )
( x  y )( x 2  2 xy 2  y 4 )
 Trinomio Cuadrado Perfecto
( x  y )( x  y ) 2

CÁLCULOS:

Trinomio Cuadrado Perfecto (Calculos)
x 2  2 xy 2  y 4
x2  x 


y 4  y 2   x 2  2 xy 2  y 4  ( x  y ) 2

2 xy 2 


EJERCICIO 7: Resuelva los siguientes problemas de factorización.

1. =

2. =

3. 35

4.

5.
6.

7.

43-


8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Evaluación

Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes
instrumentos.
 Declarativos: rúbrica.
 Procedimentales: lista de cotejo.
 Actitudinales: escala de rango.

44-

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