Este documento introduce los fundamentos del álgebra. Explica que el álgebra estudia estructuras y relaciones de un modo más general que la aritmética, utilizando letras u otros símbolos. Define los signos del álgebra como operadores, relaciones y agrupaciones. Finalmente, establece la equivalencia entre el lenguaje algebraico y el cotidiano para plantear problemas.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo notación algebraica, signos y símbolos, lenguaje algebraico, operaciones y agrupación de símbolos, prioridad de operaciones y números reales. Explica que el álgebra estudia estructuras y relaciones matemáticas usando símbolos. También define términos como variables, constantes, potencias y raíces. Finalmente, destaca la importancia de seguir el orden correcto al resolver expresiones algebraicas debido a la jerarquía y prioridad de operaciones.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas como sumar, restar y multiplicar con ellos. Los objetivos son crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones.
- Los números enteros son los números naturales precedidos de los signos + y -. El mayor de dos números naturales se sitúa siempre más a la derecha en la recta numérica.
- Podemos realizar operaciones aritméticas como sumar, restar, multiplicar y dividir con los números enteros.
- El máximo común divisor (mcd) de dos números es el mayor de los divisores comunes de ambos. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos números es el menor de los múltiplos comunes de ambos.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de primer grado. Explica cómo expresar situaciones del lenguaje ordinario en lenguaje algebraico usando letras y operaciones. Define expresiones algebraicas y cómo simplificarlas mediante sumas y restas. También cubre cómo encontrar el valor numérico de una expresión, igualdades y ecuaciones, y cómo resolver ecuaciones de primer grado.
Este documento explica las expresiones algebraicas, que son combinaciones de letras, números y signos de operaciones donde las letras representan cantidades desconocidas. Se describen los diferentes tipos de expresiones como monomios, polinomios, ecuaciones e identidades. También se explican las operaciones básicas que se pueden realizar con expresiones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento describe una unidad de 17 horas sobre números decimales para grados cuarto, quinto y sexto. La unidad cubre las operaciones básicas con números decimales, incluyendo adición, sustracción, multiplicación y división. El plan de estudios incluye lecciones sobre conversión entre fracciones y números decimales, multiplicación y división de números decimales, y ejercicios de práctica.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas para la carrera de profesorado de matemática. Se divide en módulos de aritmética y álgebra y geometría, impartidos por Mónica Aballey y Alejandro Nieto. Incluye revisiones de los conjuntos numéricos, operaciones básicas, propiedades de los números naturales como la suma, multiplicación y divisibilidad, y métodos para identificar números primos.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo notación algebraica, signos y símbolos, lenguaje algebraico, operaciones y agrupación de símbolos, prioridad de operaciones y números reales. Explica que el álgebra estudia estructuras y relaciones matemáticas usando símbolos. También define términos como variables, constantes, potencias y raíces. Finalmente, destaca la importancia de seguir el orden correcto al resolver expresiones algebraicas debido a la jerarquía y prioridad de operaciones.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas. Explica qué son monomios, polinomios y expresiones algebraicas, y cómo realizar operaciones básicas como sumar, restar y multiplicar con ellos. Los objetivos son crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Incluye ejemplos resueltos de estas operaciones.
- Los números enteros son los números naturales precedidos de los signos + y -. El mayor de dos números naturales se sitúa siempre más a la derecha en la recta numérica.
- Podemos realizar operaciones aritméticas como sumar, restar, multiplicar y dividir con los números enteros.
- El máximo común divisor (mcd) de dos números es el mayor de los divisores comunes de ambos. El mínimo común múltiplo (mcm) de dos números es el menor de los múltiplos comunes de ambos.
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones de primer grado. Explica cómo expresar situaciones del lenguaje ordinario en lenguaje algebraico usando letras y operaciones. Define expresiones algebraicas y cómo simplificarlas mediante sumas y restas. También cubre cómo encontrar el valor numérico de una expresión, igualdades y ecuaciones, y cómo resolver ecuaciones de primer grado.
Este documento explica las expresiones algebraicas, que son combinaciones de letras, números y signos de operaciones donde las letras representan cantidades desconocidas. Se describen los diferentes tipos de expresiones como monomios, polinomios, ecuaciones e identidades. También se explican las operaciones básicas que se pueden realizar con expresiones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento describe una unidad de 17 horas sobre números decimales para grados cuarto, quinto y sexto. La unidad cubre las operaciones básicas con números decimales, incluyendo adición, sustracción, multiplicación y división. El plan de estudios incluye lecciones sobre conversión entre fracciones y números decimales, multiplicación y división de números decimales, y ejercicios de práctica.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas para la carrera de profesorado de matemática. Se divide en módulos de aritmética y álgebra y geometría, impartidos por Mónica Aballey y Alejandro Nieto. Incluye revisiones de los conjuntos numéricos, operaciones básicas, propiedades de los números naturales como la suma, multiplicación y divisibilidad, y métodos para identificar números primos.
Este documento presenta notaciones y símbolos matemáticos comúnmente usados como conjuntos numéricos e igualdades. También define expresiones algebraicas y cómo se pueden usar para representar relaciones numéricas con cantidades desconocidas. Finalmente, explica qué son ecuaciones, cómo encontrar sus soluciones mediante transformaciones equivalentes, y que una ecuación puede tener una, ninguna o múltiples soluciones.
Este documento proporciona una guía sobre funciones matemáticas. Explica que las matemáticas no son solo una especulación intelectual, sino que estudian problemas concretos cuyos resultados contribuyen al acervo cultural y tecnológico de la humanidad. También describe las diferentes clases de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales y trigonométricas, así como conceptos como inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
El documento presenta una guía sobre funciones matemáticas. Explica que las matemáticas estudian problemas concretos que contribuyen al desarrollo cultural y tecnológico. También describe las diferentes clases de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales y trigonométricas; e ilustra su uso para modelar fenómenos del mundo real.
El documento explica conceptos básicos de operaciones con diferentes tipos de números. Introduce los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y describe las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir entre estos conjuntos numéricos. Incluye ejemplos ilustrativos de cada tipo de operación.
Este documento presenta diferentes técnicas para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo encontrar un factor común, usar un binomio como factor común, factorización completa, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y factorización de trinomios. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada técnica.
Este documento describe cómo se introducen las nociones de números, suma y resta a estudiantes de primaria. Se explica que el número 3 se usa como punto de partida en lugar de 1, y cómo las representaciones concretas de colecciones de objetos ayudan a los estudiantes a comprender los números de forma abstracta. También describe cómo las ilustraciones muestran que los números pueden descomponerse y componerse de diferentes maneras, sentando las bases para la suma y la resta.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y sistemas numéricos. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una o más propiedades, y que pueden representarse de forma explícita o implícita. Define términos como pertenencia, cardinalidad, conjuntos equivalentes e igualdad. También describe clases de conjuntos como unitarios, finitos, infinitos y vacíos. Por último, explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección.
Este documento presenta una introducción al cálculo algebraico. En primer lugar, explica brevemente la historia de los sistemas de numeración y define los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Luego, proporciona más detalles sobre las operaciones en los números naturales y la introducción de los números enteros para resolver problemas de resta. Finalmente, incluye un índice de los capítulos que componen el documento.
Este documento presenta reflexiones adicionales sobre la multiplicación y las tablas de multiplicar. 1) Explica cómo los estudiantes construyen un nuevo conocimiento basado en lo aprendido previamente, descomponiendo y componiendo números. 2) Detalla cómo los estudiantes descomponen 12 de varias maneras para resolver 3×12, mostrando propiedades de la multiplicación. 3) Señala que la habilidad de componer y descomponer números es fundamental para construir el algoritmo de la multiplicación.
El documento presenta un mapa conceptual sobre el proceso de construcción de la noción del número. El mapa incluye los siguientes conceptos principales: 1) el proceso de construcción de la noción del número, 2) las operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división, y 3) las cualidades y propiedades de cada operación. El mapa también incluye conceptos subordinados y enlaces entre conceptos para mostrar la relación jerárquica entre ellos.
El documento describe las propiedades y tipos de números, así como los algoritmos convencionales para operaciones matemáticas. Explica que los números naturales forman una sucesión infinita, que las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva se aplican a la suma y multiplicación, y que los algoritmos convencionales tratan las cifras de forma aislada en lugar de considerar el valor posicional.
Este documento presenta tres párrafos que describen cómo enseñar la suma y resta con números de tres dígitos a niños de primaria. Explica que es importante que los estudiantes comprendan el valor posicional de los números y cómo agrupar los números de las unidades, decenas y centenas al sumar y restar. Proporciona ejemplos detallados de cómo realizar las operaciones de suma y resta verticalmente con números de tres dígitos y sugiere actividades para los maestros en formación.
La aritmética estudia cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. La suma involucra agregar números, la resta quitar números, la multiplicación repite sumas, y la división reparte cantidades en partes iguales. Cada operación tiene propiedades como conmutatividad, asociatividad, y elementos neutros que afectan cómo se aplican y los resultados.
Este documento presenta los contenidos, aprendizajes esperados y estándares relacionados con los números y sistemas de numeración para los grados 1o a 7o de educación primaria. Se describen objetivos como la identificación y uso de números ordinales y la expresión oral y escrita de sucesiones numéricas. También incluye temas como fracciones, decimales, progresiones aritméticas y geométricas, y la conversión entre diferentes sistemas de numeración.
1) El documento describe cómo se enseña el concepto de fracciones equivalentes a estudiantes de primaria a través de dividir la unidad en partes iguales para construir fracciones unitarias.
2) Explica que fracciones con el mismo numerador pero diferentes denominadores tienen valores diferentes, y que fracciones con el mismo valor pueden tener diferentes numeradores y denominadores.
3) Describe cómo se enseña la suma y resta de fracciones con igual denominador usando recipientes con líquido graduado, donde la suma se reduce a sumar números enteros.
Evidencia 2.1.1 mapa proceso de construccion del numeroAlee Carrillo
El documento describe el proceso de construcción de la noción del número, incluyendo sus cualidades y operaciones básicas. Explica que los números naturales son la base de las operaciones aritméticas y que cada número natural tiene un antecesor y sucesor. También define conceptos como suma, resta, algoritmos y propiedades de las operaciones como la cerradura y conmutativa de la suma.
O Lyon geralmente joga em um 4-3-3, com Gomis como pivô ofensivo. Sua construção é feita pelos centrais e laterais, enquanto a transição defensiva é forte com os três médios centrais. Eles procuram o contra-ataque rápido após recuperar a bola.
The document discusses how social media is increasingly being used by employers for recruiting and hiring. It provides statistics on social media usage and notes that most employers use LinkedIn and Facebook to research candidates. The document advises job seekers to establish an online presence, customize their profiles, and remove unprofessional content. It stresses that a strong network and showing passion for one's work are key to standing out to employers online.
Twitter for personal learning and communication for school leaders in the North Penn School District. Follow #nped & @NPedtech for applications & takeaways.
Partnerships to PLCs - Dr. Michael Johanek, University of PennsylvaniaJoe Mazza, Ed.D.
This document outlines plans for a Professional Learning Community (PLC) involving university principal preparation programs, school districts, and program graduates. The PLC aims to use data from program self-assessments to identify needs and improve quality. Members will work together through ongoing coordinated learning activities focused on common problems of practice. The specific goals of the PLC are to better understand program needs using data, develop strategies to address needs, provide guidance for local PLCs within programs, and broadly disseminate lessons learned. A nested model is proposed with national and local PLCs allowing for cross-program and intra-program collaboration and feedback loops between all stakeholders to continuously improve principal preparation.
This very short document appears to be missing most of its content. It contains only a few unintelligible words and symbols that provide no clear meaning or narrative.
El documento explica cómo acceder a la configuración TCP/IP en Windows y configurarla manualmente. Los pasos incluyen hacer clic derecho en la red, seleccionar propiedades de la conexión local, seleccionar TCP/IPv4 e ingresar la dirección IP, máscara de subred, puerta de enlace predeterminada y servidor DNS.
Este documento presenta notaciones y símbolos matemáticos comúnmente usados como conjuntos numéricos e igualdades. También define expresiones algebraicas y cómo se pueden usar para representar relaciones numéricas con cantidades desconocidas. Finalmente, explica qué son ecuaciones, cómo encontrar sus soluciones mediante transformaciones equivalentes, y que una ecuación puede tener una, ninguna o múltiples soluciones.
Este documento proporciona una guía sobre funciones matemáticas. Explica que las matemáticas no son solo una especulación intelectual, sino que estudian problemas concretos cuyos resultados contribuyen al acervo cultural y tecnológico de la humanidad. También describe las diferentes clases de funciones como lineales, cuadráticas, exponenciales y trigonométricas, así como conceptos como inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
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El documento explica conceptos básicos de operaciones con diferentes tipos de números. Introduce los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y describe las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir entre estos conjuntos numéricos. Incluye ejemplos ilustrativos de cada tipo de operación.
Este documento presenta diferentes técnicas para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo encontrar un factor común, usar un binomio como factor común, factorización completa, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto y factorización de trinomios. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos de cada técnica.
Este documento describe cómo se introducen las nociones de números, suma y resta a estudiantes de primaria. Se explica que el número 3 se usa como punto de partida en lugar de 1, y cómo las representaciones concretas de colecciones de objetos ayudan a los estudiantes a comprender los números de forma abstracta. También describe cómo las ilustraciones muestran que los números pueden descomponerse y componerse de diferentes maneras, sentando las bases para la suma y la resta.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y sistemas numéricos. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una o más propiedades, y que pueden representarse de forma explícita o implícita. Define términos como pertenencia, cardinalidad, conjuntos equivalentes e igualdad. También describe clases de conjuntos como unitarios, finitos, infinitos y vacíos. Por último, explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección.
Este documento presenta una introducción al cálculo algebraico. En primer lugar, explica brevemente la historia de los sistemas de numeración y define los diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Luego, proporciona más detalles sobre las operaciones en los números naturales y la introducción de los números enteros para resolver problemas de resta. Finalmente, incluye un índice de los capítulos que componen el documento.
Este documento presenta reflexiones adicionales sobre la multiplicación y las tablas de multiplicar. 1) Explica cómo los estudiantes construyen un nuevo conocimiento basado en lo aprendido previamente, descomponiendo y componiendo números. 2) Detalla cómo los estudiantes descomponen 12 de varias maneras para resolver 3×12, mostrando propiedades de la multiplicación. 3) Señala que la habilidad de componer y descomponer números es fundamental para construir el algoritmo de la multiplicación.
El documento presenta un mapa conceptual sobre el proceso de construcción de la noción del número. El mapa incluye los siguientes conceptos principales: 1) el proceso de construcción de la noción del número, 2) las operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división, y 3) las cualidades y propiedades de cada operación. El mapa también incluye conceptos subordinados y enlaces entre conceptos para mostrar la relación jerárquica entre ellos.
El documento describe las propiedades y tipos de números, así como los algoritmos convencionales para operaciones matemáticas. Explica que los números naturales forman una sucesión infinita, que las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva se aplican a la suma y multiplicación, y que los algoritmos convencionales tratan las cifras de forma aislada en lugar de considerar el valor posicional.
Este documento presenta tres párrafos que describen cómo enseñar la suma y resta con números de tres dígitos a niños de primaria. Explica que es importante que los estudiantes comprendan el valor posicional de los números y cómo agrupar los números de las unidades, decenas y centenas al sumar y restar. Proporciona ejemplos detallados de cómo realizar las operaciones de suma y resta verticalmente con números de tres dígitos y sugiere actividades para los maestros en formación.
La aritmética estudia cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. La suma involucra agregar números, la resta quitar números, la multiplicación repite sumas, y la división reparte cantidades en partes iguales. Cada operación tiene propiedades como conmutatividad, asociatividad, y elementos neutros que afectan cómo se aplican y los resultados.
Este documento presenta los contenidos, aprendizajes esperados y estándares relacionados con los números y sistemas de numeración para los grados 1o a 7o de educación primaria. Se describen objetivos como la identificación y uso de números ordinales y la expresión oral y escrita de sucesiones numéricas. También incluye temas como fracciones, decimales, progresiones aritméticas y geométricas, y la conversión entre diferentes sistemas de numeración.
1) El documento describe cómo se enseña el concepto de fracciones equivalentes a estudiantes de primaria a través de dividir la unidad en partes iguales para construir fracciones unitarias.
2) Explica que fracciones con el mismo numerador pero diferentes denominadores tienen valores diferentes, y que fracciones con el mismo valor pueden tener diferentes numeradores y denominadores.
3) Describe cómo se enseña la suma y resta de fracciones con igual denominador usando recipientes con líquido graduado, donde la suma se reduce a sumar números enteros.
Evidencia 2.1.1 mapa proceso de construccion del numeroAlee Carrillo
El documento describe el proceso de construcción de la noción del número, incluyendo sus cualidades y operaciones básicas. Explica que los números naturales son la base de las operaciones aritméticas y que cada número natural tiene un antecesor y sucesor. También define conceptos como suma, resta, algoritmos y propiedades de las operaciones como la cerradura y conmutativa de la suma.
O Lyon geralmente joga em um 4-3-3, com Gomis como pivô ofensivo. Sua construção é feita pelos centrais e laterais, enquanto a transição defensiva é forte com os três médios centrais. Eles procuram o contra-ataque rápido após recuperar a bola.
The document discusses how social media is increasingly being used by employers for recruiting and hiring. It provides statistics on social media usage and notes that most employers use LinkedIn and Facebook to research candidates. The document advises job seekers to establish an online presence, customize their profiles, and remove unprofessional content. It stresses that a strong network and showing passion for one's work are key to standing out to employers online.
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Partnerships to PLCs - Dr. Michael Johanek, University of PennsylvaniaJoe Mazza, Ed.D.
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Este documento presenta las expresiones algebraicas, incluyendo monomios, polinomios y cómo operar con ellos. Introduce expresiones algebraicas y cómo obtenerlas a partir de enunciados. Explica cómo hallar el valor numérico de una expresión y clasificar expresiones como monomios o polinomios. Luego cubre cómo sumar, restar y multiplicar monomios y polinomios. Finalmente, ofrece ejercicios para practicar estas operaciones con expresiones algebraicas.
Este documento presenta información sobre el uso de las matemáticas en la educación física. Explica conceptos algebraicos como notación, operaciones con polinomios y factorización. También incluye ejemplos de cómo expresar enunciados verbales en lenguaje algebraico y viceversa. Finalmente, proporciona ejercicios para practicar la aplicación de estos conceptos.
El documento introduce conceptos básicos de álgebra. Explica que el álgebra estudia cantidades de manera general usando letras en lugar de números. Las letras pueden representar cualquier valor. Muestra cómo expresiones algebraicas representan enunciados matemáticos usando operaciones como suma y resta. También define los elementos de un término algebraico como el signo, coeficiente, variable y exponente.
Este documento presenta conceptos básicos sobre expresiones algebraicas, incluyendo definiciones de términos, coeficientes, términos semejantes, evaluación y operaciones con expresiones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre expresiones equivalentes, simplificación de expresiones y expresiones algebraicas racionales.
Este documento describe conceptos básicos relacionados con ecuaciones de primer grado, incluyendo expresiones algebraicas, igualdades, ecuaciones y su resolución. Explica cómo expresar situaciones del lenguaje ordinario en lenguaje algebraico y define términos como expresión algebraica, valor numérico, suma y resta de expresiones, igualdades y ecuaciones de primer grado.
El documento describe la diferencia entre lenguaje verbal y lenguaje algebraico. El lenguaje verbal se usa para la comunicación oral o escrita, mientras que el lenguaje algebraico representa valores numéricos desconocidos de manera generalizada para simplificar teoremas y problemas matemáticos. A continuación, proporciona ejemplos de cómo expresar frases verbales en notación algebraica.
El documento describe la diferencia entre lenguaje verbal y lenguaje algebraico. El lenguaje verbal se usa para la comunicación oral o escrita, mientras que el lenguaje algebraico representa valores numéricos desconocidos de manera generalizada mediante símbolos como una herramienta para simplificar problemas matemáticos. A continuación, proporciona algunos ejemplos de cómo expresar enunciados verbales en forma algebraica.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, polinomios y ecuaciones algebraicas. Define álgebra como el estudio de cómo resolver ecuaciones y explica que utiliza símbolos para representar números. También cubre temas como coeficientes, variables, exponentes, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones algebraicas.
El documento presenta información sobre números reales, racionales e irracionales, expresiones algebraicas, ecuaciones, funciones y proporcionalidad. Explica que los números reales incluyen a los racionales e irracionales, y que una expresión algebraica combina números y letras con operaciones. También define conceptos como ecuación, función, proporción y sistema de ecuaciones.
El documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, términos, operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división y factorización. Define qué son monomios, polinomios, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de segundo grado y cómo factorizarlos. También cubre productos notables y cómo reconocerlos.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de Matemática 2° año de secundaria. Entre los temas se encuentran números reales, notación científica, lenguaje algebraico, polinomios, ecuaciones e inecuaciones, funciones, proporcionalidad, teorema de Thales, volumen y capacidad. Explica conceptos matemáticos fundamentales y sus aplicaciones.
Este documento describe las expresiones algebraicas y los conceptos básicos relacionados como variables, monomios, polinomios, grados, coeficientes y operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Define términos como monomio, binomio, trinomio y polinomio y explica cómo calcular el valor numérico y realizar operaciones con estas expresiones.
El documento explica las expresiones algebraicas, que son combinaciones de letras y números unidas por operaciones. Las expresiones algebraicas incluyen monomios, polinomios y variables. Los monomios son expresiones con solo productos y potencias de variables, mientras que los polinomios están formados por más de un monomio. El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo valores numéricos por las variables y realizando las operaciones.
Este documento describe el lenguaje algebraico y cómo se usan símbolos para simplificar expresiones matemáticas. Explica que las letras se usan para representar números y cantidades variables y las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. También muestra ejemplos de cómo expresar proposiciones verbales comunes en lenguaje algebraico.
Este documento trata sobre expresiones algebraicas y ecuaciones. Explica que las expresiones algebraicas combinan números y letras con operaciones matemáticas. Define monomios, binomios, trinomios y polinomios. También describe cómo realizar operaciones con monomios como suma, resta, producto y cociente. Finalmente, introduce las identidades y ecuaciones, y explica cómo resolver ecuaciones algebraicas.
En este documento se presenta la propuesta de actividades tipo para la gestion de conocimiento matemático a traves del uso de TIC que se publica en el Blog Estrategias para procesos Matemáticos.
Actividad Uno sobre Expresiones Algebraicasolgalum
El documento describe cómo usar la web para fortalecer los procesos de pensamiento y conocimiento matemático en estudiantes de octavo y noveno grado. Explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, términos algebraicos, interpretación numérica y reducción de términos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre estas ideas junto con enlaces a recursos adicionales en la web.
El documento explica cómo expresar problemas matemáticos que involucran números enteros, su doble, división y multiplicación usando el lenguaje algebraico. Específicamente, muestra cómo escribir un problema que involucra sumar un número a su doble, dividir el resultado por tres y multiplicarlo por dos usando letras en lugar de números. Luego, introduce conceptos como monomios, binomios, trinomios y polinomios, y cómo reducir términos semejantes en expresiones algebraicas.
Matematicas 3o. de 5 al 9 de octubre 2020Esther Acosta
El documento presenta los objetivos y contenidos de una lección sobre expresiones algebraicas. Los objetivos incluyen crear expresiones algebraicas a partir de enunciados, hallar valores numéricos de expresiones, y clasificar y operar con monomios y polinomios. Se proveen ejemplos de cómo expresar conceptos matemáticos como áreas, perímetros y dobles/cubos de números en lenguaje algebraico. Finalmente, se define qué son las expresiones algebraicas y cómo obtenerlas a partir de enunciados y sustituir variables por números para hallar valores numéricos
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1. Cap´
ıtulo 3
FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA
a palabra algebra deriva del nombre del libro “Al-jebr – Al-muq¯b¯la” escrito en el a˜o
´ a a n
L 825 D.C. por el matem´tico y astr´nomo musulman Mohamad ibn M¯sa Al-Khw¯rizm¯i. El
a o u a
algebra es la rama de la matem´tica que estudia estructuras, relaciones y cantidades de un modo
´ a
m´s general que la aritm´tica, pues utiliza letras o s´
a e ımbolos que pueden tomar cualquier valor
para desarrollar distintos tipos de problemas que pueden tener multiples y cambiantes factores
que intervengan.
Para trabajar con el algebra es necesario conocer el denominado Lenguaje Algebraico, me-
´
diante el cual escribimos frases y proposiciones del lenguaje com´n, por medio de s´
u ımbolos y
letras para ya que de ´sta manera podemos plantear problemas que se quieren resolver. Para
e
hacer un lenguaje m´s fluido.
a
Versi´n 1.0, Febrero de 2008
o
3.1.Signos del ´
Algebra
En la escritura algebraica generalmente se representa a cantidades que nos son conocidas
por las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d, e, . . .), y para representar las cantidades que nos
son desconocidas utilizaremos las ultimas letras del alfabeto (. . .v, w, x, y, z). Para unir ´stas
´ e
cantidades utilizamos signos de operaci´n, de relaci´n y de agrupaci´n, los cuales son:
o o o
Signos de operaci´n:
o
• a + b a m´s b
a
• a − b a menos b
• a · b a multiplicado por b (o simplemente, a por b)
• a : b (o a ) a dividido por b
b
• ab a elevado a b
√
• b a la ra´ b-´sima de a.
ız e
Signos de relaci´n:
o
• = igual a
• > mayor que
• < menor que.
Signos de agrupaci´n: par´ntesis
o e
• (), {}, [ ]
37
2. ´ ´
3. Introduccion al Algebra
3.2.Lenguaje Algebraico
Para poder trabajar con el algebra es necesario manejar la equivalencia entre el lenguaje
´
com´n o cotidiano con el lenguaje algebraico. A continuaci´n haremos un paralelo entre los dos
u o
lenguajes, para as´ poder aplicarlo en el planteamiento de problemas.
ı
Lenguaje AlgebraicoLenguaje Cotidiano
+ M´s, suma, adici´n, a˜adir, aumentar
a o n
− Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar
· De, del, veces, producto, por, factor
:, ÷ Divisi´n, cuociente, raz´n, es a
o o
= Igual, es da, resulta, se obtiene, equivale a
x Un n´mero cualquiera
u
x+1 Sucesor de un n´mero
u
x−1 Antecesor de un n´mero
u
2x Doble de un n´mero, duplo, dos veces, n´mero
u u
par, m´ltiplo de dos
u
3x Triple de un n´mero, triplo, tres veces, m´ltiplo
u u
de 3
4x Cu´druplo de un n´mero
a u
x2 Cuadrado de un n´merou
x3 Cubo de un n´mero
u
1 x
2x o
´ 2 Mitad de un n´mero, un medio de
u
1x x
3 o
´ 3 Tercera parte de un n´mero, un tercio de
u
1
x Inverso multiplicativo
2x + 1 o 2x − 1
´ N´mero impar
u
x+y
2 Semi suma de dos n´meros
u
x−y
2 Semi diferencia de dos n´meros
u
x, x + 1, x + 2, x + 3, . . . N´meros consecutivos
u
2x, 2x + 2, 2x + 4, 2x + 6, . . . N´meros pares consecutivos
u
2x + 1, 2x + 3, 2x + 5, 2x + 7, . . . N´meros impares consecutivos
u
4x, 4x + 4, 4x + 8, 4x + 12, . . . M´ltiplos consecutivos de 4
u
5x, 5x + 5, 5x + 10, 5x + 15, . . . M´ltiplos consecutivos de 5
u
10x + y N´mero de dos cifras, N´mero de dos d´
u u ıgitos
♣ Actividad 3.1.
Escribir en lenguaje cotidiano las siguientes expresiones algebr´icas:
a
2x−3y 3x2 −(2y)3
1. x−4 7. 4 13. 4
(x+y)2 2
2. 2x + 3y 8. 3 14. ( x )2 − y2
2 2
2(x +y 3 )
3. 5x − y 9. x+ x4 15. 3
x 3 2
4. 4 + 3y 10. (7x) 16. x (x + 1) − 1
3x−2
5. (x − 3)2 11. 7(x)3 17. 3x−4
6. x2 − 3 12. (2x)2 − 4y 3 18. (2x − y)3
38 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
3. ´
3.3. Expresiones Algebraicas
♣ Actividad 3.2.
Escribir en lenguaje cotidiano las siguientes expresiones:
1.El doble de un n´mero disminuido en el triple de otro n´mero
u u
2.Un n´mero aumentado en su mitad
u
3.El exceso de n´mero sobre tres
u
4.El cu´druple del exceso de un n´mero sobre ocho
a u
5.El exceso del qu´
ıntuplo de un n´mero sobre diez
u
6.El doble del cubo de un n´mero
u
7.El cubo del cu´druple de un n´mero
a u
8.La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un n´mero y la tercera parte del
u
cuadrado de otro n´mero
u
9.La mitad del exceso del cuadrado del triple de un n´mero sobre el doble del cubo de
u
otro n´mero
u
10.La suma de dos m´ltiplos consecutivos cualesquiera de ocho
u
3.3.Expresiones Algebr´icas
a
Es la representaci´n de una o m´s operaciones algebr´icas.
o a a
♠ Ejemplos:
† (a + b)
6−2a
† 3b
a
† b
3.3.1.T´rmino
e
Es una expresi´n algebr´ica formada por varios s´
o a ımbolos no separados entre si por (+) o (−)
´
♠ Ejemplos:
† 7b
3a
† 4x
† 15xz
† a
Los elementos de un t´rmino son el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado
e
Ejemplos :
♠− 3b2 , es un t´rmino negativo, su coeficiente es −3, la parte literal es b2 y el grado es 2.
e
´
Matematica 39
4. ´ ´
3. Introduccion al Algebra
♦ Observa que . . .
El coeficiente puede ser num´rico o literal, por lo general se toma el primer elemento y
e
como se acostumbra poner el n´mero antes que la letra, este n´mero es el coeficiente.
u u
El grado puede ser absoluto o con respecto a una letra.
♠ 4a2 b3 c4 , el grado absoluto es 9 ya que es la suma de los exponentes de los factores literales,
con respecto a a es 2, a b es 3, a c es 4.
3.3.2.Clasificaci´n de las Expresiones Algebr´icas
o a
Monomio : Consta de un solo t´rmino.
e
♠ Ejemplos:
† 4b
†− 8c
4ab
† c2
Polinomio : Consta de m´s de un t´rmino.
a e
♠ Ejemplos:
† 4a + 2b
c−b− a +3−y
† b
5b3
a2 9c
† 5 − 4d − 14 + 11y
Los polimonios m´s utilizados son:
a
Binomios: Consta de 2 t´rminos
e
Trinomios: Consta de 3 t´rminos
e
3.3.3.T´rminos Semejantes
e
Dos o m´s t´rminos son semejantes si tienen la misma parte literal (iguales letras e iguales
a e
exponentes).
7p
♠ 12p, −3,5p y 2 , son t´rminos semejantes.
e
♦ Observa que . . .
Solo teniendo t´rminos semejantes tu puedes sumar o restar.
e
40 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
5. 3.4. Productos Algebraicos
3.3.4.Eliminaci´n de Par´ntesis
o e
Si al par´ntesis lo antecede un signo positivo (+), ponemos este y todos los t´rminos quedan
e e
igual, no sucede lo mismo con el signo negativo (−), ya que este invierte todos los signos de los
t´rminos del par´ntesis.
e e
♣ Actividad 3.3.
Resuelve reduciendo t´rminos semejantes.
e
1. 7a − 9b + 6a − 4b
2. −71a3 b − 82a4 b2 + 50a3 b + 84a4 b2 + 45a3 b
3. am+2 + xm+3 − 5 + 8 − 3am+2 + 5xm+3 − 6 + am+2 − 5xm+3
4. −a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b
3m2 1m2 1mn
5. 5 − 2mn + 10 − 3 + 2mn − 2m2
6. −{−[−(a + b − c)]} − {+[−(c − a + b)]} + [−{−a + (−b)}]
3.4.Productos Algebraicos
3.4.1.Multiplicaci´n de Monomios
o
Se multiplican los coeficientes y luego las letras en orden alfab´tico.
e
♠ (3x2 )(4xy 2 )=12x2+1 y 2 =12x3 y 2
♠ (−5a3 )(3ab)=−15a3+1 b=−15a4 b
♣ Actividad 3.4.
Multiplique los siguientes monomios:
1. (−5x3 y)(xy 2 ) 10. ( 1 a2 )( 4 a3 b)
2 5
2. (−4a2 b)(−ab2 ) 11. (− 3 x3 y 4 )(− 5 a2 by 5 )
5 6
3. (a2 b3 )(3ax ) 12. (− 2 ax bm+1 )(− 3 ax−1 bm )
9 5
4. (−15x4 y 3 )(−16a2 x3 ) 13. (a)(−3a)(a2 )
5. (−5am bn )(−6a2 b3 x) 14. (−m2 n)(−3m2 )(−mn3 )
6. (xm y n c)(−xm y n cx ) 15. (am bx )(−a2 )(−2ab)(−3a2 x)
7. (−mx na )(−6m2 n) 16. ( 2 am )( 3 a2 b4 )(−3a4 bx+1 )
3 4
8. (−3an+4 bn+1 )(−4an+2 bn+3 ) 17. (− 3 m3 )(−5a2 m)(− 10 ax ma )
5
1
9. (4xa+2 ba+4 )(−5xa+5 ba+1 ) 18. 1 2
(− 2 x y)(− 5 xy )(− 3 x )(− 3 x2 y)
3 2 10 3
4
3.4.2.Multiplicaci´n de Polinomio por Monomio
o
Multiplicamos el monomio por cada uno de los t´rminos del polinomio.
e
♠ (3a2 − 7a + 4)4ax2 =(3a2 )(4ax2 ) − (7a)(4ax2 ) + a(4ax2 )=12a3 x2 − 28a2 x2 + 16ax2
´
Matematica 41
6. ´ ´
3. Introduccion al Algebra
♦ Observa que . . .
Al multiplicar letras tienes que sumar los exponentes. Siempre tienes que reducir
t´rminos semejantes.
e
♣ Actividad 3.5.
Multiplicar:
1. (8x62 y − 3y 2 )(2ax3 )
2. (m4 − 3m2 n2 + 7n4 )(−4m3 x)
3. (a3 − 5a62b − 8ab2 )(−4a4 m2 )
4. (an+3 − 3an + 2 − 4an+1 − an )(−an x2 )
5. (a8 − 3a6 b2 + a4 b4 − 3a2 b6 )(−5a3 )
6. (am bn + 3am−1 bn+2 − am−2 bn+4 + am−3 bn+6 )(4am b3 )
7. ( 1 x2 − 2 xy − 1 y 2 )( 3 y 3 )
3 5 4 2
3
8. (3a − 5b + 6c)(− 10 a2 x3 )
9. ( 2 x4 − x2 y 2 + 1 y 4 )( 3 x3 y 4 )
9 3 2
10. ( 1 a2 − 1 b2 + 1 x2 − 1 y62)(− 5 a2 m)
2 3 4 5 8
11. ( 2 m3 + 1 m2 n − 5 mn2 − 1 n3 )( 3 m2 n3 )
3 2 6 9 4
12. ( 2 x6 − 1 x4 y 2 + 3 x2 y 4 −
5 3 5
1 6 5 3 4 3
10 y )(− 7 a x y )
3.4.3.Multiplicaci´n de Polinomio por Polinomio
o
Para multiplicar tomamos el 1er t´rmino del 1er polinomio y lo multiplicamos con el 2do poli-
e
nomio, luego tomamos el 2 do t´rmino del 1er polinomio y lo multiplicamos con el 2do polinomio,
e
y as´ continuamos sucesivamente hasta terminar con el polinomio.
ı
♠ (a + 5)(a2 − 3)=a(a2 − 3) + 5(a2 − 3)=a3 − 3a + 5a2 − 15=a3 + 5a2 − 15
♠ (a + a2 + a3 + · · · + an )(b + b2 + b3 + · · · + bn ) = a(b + b2 + b3 + · · · + bn ) + a2 (b + b2 + b3 + · · · +
bn )+a3 (b+b2 +b3 +· · ·+bn )+· · ·+an (b+b2 +b3 +· · ·+bn ) = ab+ab2 +ab3 +· · ·abn +a2 b+
a2 b2 + a2 b3 + · · · + a2 bn + a3 b + a3 b2 + a3 b3 + · · · + a3 bn + · · · + an b + an b2 + an b3 + · · ·an bn
♣ Actividad 3.6.
Multiplicar:
1. (a + 3)(a − 1) 7. (ax − ax+1 + ax+2 )(a + 1)
2. (6m − 5n)(−n + m) 8. (ax−1 − bn−1 )(a − b)
3. (x2 + xy + y 2 )(x − y) 9. (a2m+1 − 5a2m+2 3a2 m)(a3m−3 + 6a3m−1 − 8a3m−2 )
4. (m3 − 3m2 n + 2mn2 )(m2 − 2mn − 8n2 ) 10. ( 1 a − 1 b)( 1 a + 1 b)
2 3 3 1
5. (x2 + y 2 + z 2 − xy − xz − yz)(x + y + z) 11. ( 2 m2 + 1 mn − 1 n2 )( 3 m2 + 2n2 − mn)
5 3 2 2
6. (5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y)(y 4 − 3y 2 − 1) 12. ( 1 a2 − ab + 2 b2 )( 1 a − 3 b)
4 3 4 2
42 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
7. ´
3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra
3.5.Mini Ensayo III
´
Expresiones del Algebra
1.¿Cu´l de las siguientes expresiones representa mejor al qu´
a ıntuplo del cubo de un n´mero
u
cualquiera?
a)(5 x)3
b)5 x3
c)5 3 x
d )(3 x)5
e)3 x5
2.La expresi´n 6( x + 1) − x ÷ 2 est´ mejor representada por:
o a
a)El s´xtuplo del sucesor de un n´mero cualquiera menos el doble del mismo n´mero.
e u u
b)El s´xtuplo del antecesor de un n´mero cualquiera menos la mitad del mismo n´mero.
e u u
c)El s´xtuplo del sucesor de un n´mero cualquiera menos la mitad del mismo n´mero.
e u u
d )La diferencia entre el s´xtuplo de un n´mero cualquiera y su mitad.
e u
e)El exceso de la mitad de un n´mero cualquiera sobre seis veces el mismo n´mero.
u u
3.La expresi´n 2 a + 3b + 4c − (4a + 3b + 2c) es equivalente con:
o
a)2( c − a)
b)4( c − a)
c)2( a − c)
d )6( a + b + c)
e)6 b
4.El producto entre un binomio y un monomio da por resultado:
a)Un monomio.
b)Un binomio.
c)Un trinomio.
d )Un t´rmino algebraico.
e
e)Una expresi´n de 3 t´rminos algebraicos.
o e
5.4 x2 y 3 z 4 ( 1 x−2 y 2 z −4 − 1 x3 y −3 z −4 ) =
4 2
√
a)( y − 2x)5
5
√
b) y 5 − 5 2x5
c) y 5 − 2x5
d ) y 3 − 2x4
e) z 5 − 2x5
6.¿Cu´ntas unidades m´s tiene x que 2x − y?
a a
´
Matematica 43
8. ´ ´
3. Introduccion al Algebra
a) x − y
b) y − x
c) x + y
d ) y − 2x
e)2 x − y
7.¿Qu´ n´mero hay que restar a 3 a − 2b para obtener a + b?
e u
a)2 a − 3b
b)2 a − b
c)4 a + 3b
d )4 a − b
e)4 a − 3b
8.El area de un rect´ngulo viene dada por a·b, siendo a su largo y b su alto, ¿qu´ le suceder´ al
´ a e a
area del rect´ngulo si duplicamos su alto y cuadruplicamos su largo?
´ a
a)Se duplica.
b)Queda igual.
c)Aumenta 4 veces.
d )Aumenta en 8 unidades.
e)Aumenta 8 veces.
9.¿Que expresi´n algebraica representa a la sucesi´n de n´meros (. . . 9, 13, 17, 21, . . . )?
o o u
a)9 + 2 n
b)4 n + 5
c)3 n + 1
d )Todas
e)Ninguna
10.La diferencia entre el cuadrado del sucesor de un n´mero cualquiera y el doble de dicho
u
n´mero es:
u
a) x2 + 1
b)( x + 1)2
c) x2 + 1 − 2x
d )( x − 1)2 − 2x
e)No se puede determinar.
11.¿Cu´l de las siguientes expresiones es FALSA?
a
a)1/6 de hora equivale a 10 minutos.
b)3/4 de un d´ equivale a 18 horas.
ıa
c)5/6 de un a˜o equivale a 10 meses.
n
44 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
9. ´
3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del Algebra
d )1/8 de kilo equivale a 125 gramos.
e)1/6 de un angulo extendido equivale a 36 ◦ .
´
12.Si la mitad de n es igual al triple de m, entonces la mitad de m es:
n
a) 12
b) n/6
n
c) 4
d ) n/3
n
e) 2
13.Al resolver x − [x − (−x − y) − (−x)] se obtiene:
a) −2x − y
b)2 x − y
c)2 x + y
d ) −2x + y
e)4 x − y
14.El valor de a(a + b) − a(a − b) es:
a)2 a + 2ab
b) ab
c) a2 + ab
d )2 a2 b
e)2 ab
9
15.¿Qu´ fracci´n debe agregarce a 1 para obtener
e o 5
a)1/5
b)2/5
c)3/5
d )4/5
e) −1/5
16.“Al n´mero n se le suma m, ´sta suma se divide por k y el resultado se multiplica por p”,
u e
se representa por:
a)( n + m ÷ k) · p
b)( n + m · p) ÷ k
c) n ÷ k + m · p
d )[( n + m) ÷ k] · p
e) n · p + m ÷ k
17.La expresi´n (2 x)3 se lee:
o
´
Matematica 45
10. ´ ´
3. Introduccion al Algebra
a)El doble del cubo de un n´mero.
u
b)El doble del triple de un n´mero.
u
c)El cubo del doble de un n´mero.
u
d )El cubo del cuadrado de un n´mero.
u
e)El triple del doble de un n´mero.
u
46 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
11. Cap´
ıtulo 4
Desarrollo Algebraico
n el presente cap´
ıtulo aprender´s t´cnicas para “simplificar” expresiones algebraicas, re-
a e
E duciendo la mayor cantidad de t´rminos de cada expresi´n para lograr una apariencia mas
e o
agradable y breve, esto es lo que conocemos como factorizaci´n y reducci´n de las expresiones
o o
algebraicas.
Existen muchos m´todos distintos para lograr estos objetivos, pero sin duda que para todos
e
ellos te ser´ de mucha utilidad conocer los llamados Productos Notables, que nos permitir´n
a a
simplificar enormemente nuestro trabajo.
Versi´n 1.0, Febrero de 2008
o
4.1. Productos Notables
Estos son productos que cumplen con ciertas reglas, que nos permiten hacer m´s fluido
a
nuestros c´lculos.
a
4.1.1. Cuadrado de Binomio
Es el 1er t´rmino al cuadrado (+) ´ (−) el doble producto del 1ero por el 2do (+) el 2do
e o
t´rmino al cuadrado.
e
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
4.1.2. Suma por su Diferencia
Es el 1er t´rmino al cuadrado (−) el segundo t´rmino la cuadrado.
e e
(a + b)(a − b) = a2 − b2
4.1.3. Cubo de Binomio
Es el 1er t´rmino al cubo (+) ´ (−) el triple producto del 1ero al cuadrado por el segundo
e o
(+) el triple producto del 1ero por el 2do al cuadrado (+) ´ (−) el 2do t´rmino al cubo.
o e
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
47
12. 4. Desarrollo Algebraico
4.1.4.Multiplicaci´n de binomios con un t´rmino en com´ n
o e u
Es el t´rmino en com´n al cuadrado m´s (+) la suma de los t´rmino distintos por el t´rmino
e u a e e
en com´n m´s (+) el producto entre los t´rminos distintos.
u a e
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
♣ Actividad 4.1.
Resuelve los siguientes productos notables:
1. (5 + x)2 8. (xa+1 − 3xa−2 )2 15. (1 − 3y)3
2. (a2 x + by 2 )2 9. (1 − 3ax)(3ax + 1) 16. (a2 − 2b)3
3. (3a4 − 5b2 )2 10. (6x2 − m2 x)(6x2 + m2 x) 17. (4n + 3)3
4. (8x2 y + 9m3 )2 11. (3xa − 5y m )(5y m + 3xa ) 18. (2x + 3y)3
5. (x5 − 3ay 2 )2 12. (x2 + a2 )(x2 − a2 ) 19. (1 − a2 )3
6. (xa+1 + y x−2 )2 13. (ax+1 − 2bx−1 )(2bx−1 + ax+1 ) 20. (2x − 3y 3 )3
7. (ax−2 − 5)2 14. (2x + 1)3
4.1.5.Binomio a una Potencia Natural
Corresponde a la manera de generalizar el cuadrado de binomio, el cubo de binomio, binomio
a la cuarta, etc. A un binomio a la n, donde n es un n´mero natural.
u
(x ± y)n = a0 xn ± a1 xn−1 y + a2 xn−2 y 2 ± a3 xn−3 y 3 + · · · an y n
En la f´rmula anterior existe una relaci´n interesante de conocer en cada uno de sus t´rmi-
o o e
nos, notemos que en el primer t´rmino aparece xn , en el segundo xn−1 en el tercero xx−2 , . . .
e
en el m−´simo xn−(m−1) , es decir x va disminuyendo su potencia partiendo desde n hasta llegar
e
a 0 en el ultimo t´rmino1 , en el caso de y ocurre absolutamente lo contrario, la potencia parte
´ e
de 0 en el primer t´rmino hasta llegar a n en el ultimo. De ´sta manera obtendremos f´cil-
e ´ e a
mente los coeficientes literales de ´sta expresi´n, sin embargo los coeficientes {a0 , a1 , a2 , . . ., an }
e o
vienen determinados por una estructura conocida como el Tri´ngulo de Pascal, que vemos a
a
continuaci´n:
o
Tri´ngulo de Pascal
a
n=0 → 1
n=1 → 1 1
n=2 → 1 2 1
n=3 → 1 3 3 1
n=4 → 1 4 6 4 1
n=5 → 1 5 10 10 5 1
n=6 → 1 6 15 20 15 6 1
.
.
.
La manera de obtener ´ste tri´ngulo es partir de las dos primeras filas, y de ah´ en adelante
e a ı
sumar hacia abajo los coeficientes para obtener la fila que contin´a. Observa que en la tercera
u
1
Observa que la cantidad de t´rminos que resultan de la expresi´n (a + b)n es n + 1.
e o
48 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
13. ´
4.2. Factorizacion
y la cuarta fila aparecen los coeficientes del cuadrado y del cubo de binomio respectivamente,
cuando n = 2 y n = 3.
De ´sta manera podemos obtener (conociendo la fila que corresponde en el tri´ngulo de
e a
Pascal), cualquier potencia de un binomio.
♠ Ejemplo 1:
Encontremos la expresi´n expandida de (a + b)5 .
o
Respuesta; los coeficientes que le corresponden son los de la sexta fila del tri´ngulo de
a
Pascal, pues n = 5, entonces el primer paso es:
(a + b)5 = 1 +5 + 10 + 10 +5 +1
Ahora ponemos los t´rmino a y b con las potencias respectivas.
e
(a + b)5 = 1 · a5 · b0 + 5 · a4 · b1 + 10 · a3 · b2 + 10 · a2 · b3 + 5 · a1 · b4 + 1 · a0 · b5
= a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
♠ Ejemplo 2:
Encontremos la expresi´n expandida de (2x − 3)4
o
Respuesta: los coeficientes que le corresponden son los de la quinta fila del tri´ngulo de
a
Pascal, pues n = 4, entonces el primer paso es:
(2x − 3)4 = 1 −4 +6 −4 +1
Ahora ponemos los t´rmino 2x y 3 con las potencias respectivas.
e
(2x − 3)4 = 1 · (2x)4 · 30 − 4 · (2x)3 · 31 + 6 · (2x)2 · 32 − 4 · (2x)1 · 33 + 1 · (2x)0 · 34
= 64x4 − 96x3 + 216x2 − 216x + 81
4.2.Factorizaci´n
o
Al factorizar buscamos dos o m´s factores cuyo producto sea igual a la expresi´n que quer-
a o
emos obtener.
No todos los polinomios se pueden factorizar, ya que hay algunos que solo son divisibles
por si mismo y por 1, como por ejemplo: x + y. Pero hay que tener ojo ya que este polinomio
no es divisible en los reales R (que es donde estamos trabajando), esto no significa que no se
pueda factorizar en otro conjunto num´rico mayor, por ejemplo x + y si se puede factorizar en
e
√ √ √ √
los complejos C, quedando: ( x + yi)( x − yi).
Por ahora solo trabajaremos en los reales R.
4.2.1.Factor Com´ n
u
Factor Com´ n de un Monomio
u
♠ Ejemplos:
• 5x + 25x2 y = 5x(1 + 5xy)
• 18mxy 2 − 54m2 x2 y 2 + 36my 2 = 18my 2 (x − 3mx2 + 2)
´
Matematica 49
14. 4. Desarrollo Algebraico
Factor Com´ n de un Polinomio
u
♠ Ejemplos:
• x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)
• 2x(a − 1) − y(a − 1) = (2x − y)(a − 1)
• a(x + 1) − x − 1 = a(x + 1) − (x + 1) = (a − 1)(x + 1)
Factor Com´ n por Agrupaci´n de T´rminos
u o e
♠ Ejemplos:
• ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b)
• 2x2 −3xy−4x+6y = (2x2 −3xy)−(4x−6y) = x(2x−3y)−2(2x−3y) = (x−2)(2x−3y)
4.2.2.Factorizaci´n de Trinomios
o
Trinomio Cuadrado Perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, primero tenemos que ordenar el trinomio
dejando a los extremos los cuadrados perfectos.
Por ejemplo:
2m + m2 + 1 = m2 + 2m + 1
Luego extraemos la ra´ cuadrada a los cuadrados perfectos.
ız
de m2 es m y de 1 es 1 obteniendo:
(m + 1)(m + 1) = (m + 1)2
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Tomemos el trinomio x2 − 7x + 12 el cual ya est´ ordenado, entonces escribiremos:
a
x2 − 7x + 12 = (x )(x )
Luego nos preguntamos que n´meros sumados me dan −7 y a la vez multiplicados me den 12,
u
estos n´meros son −3 y −4, estos los colocamos en los par´ntesis.
u e
x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)
Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Tomemos el trinomio 6x2 − 7x − 3, ya ordenado amplificaremos por el coeficiente que acom-
pa˜a a x2 , que en este caso es 6 quedando:
n
(6x2 − 7x − 3) · 6 = (6x)2 − 7(6x) − 18
Ahora buscamos dos n´meros que multiplicados den −18 y sumados −7, estos son −9 y 2.
u
Como anteriormente amplificamos la expresi´n por 6 ahora hay que dividir por 6.
o
50 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
15. ´
4.2. Factorizacion
(6x)2 − 7(6x) − 18
6x2 − 7x − 3 =
6
36x2 − 7(6x) − 18
=
6
(6x )(6x )
=
6
(6x − 9)(6x + 2)
=
6
3(2x − 3)2(3x + 1)
=
6
6(2x − 3)(3x + 1)
=
6
= (2x − 3)(3x + 1)
4.2.3.Factorizaci´n de Cubos
o
Cubo perfecto de Binomio
Tenemos que ordenar la expresi´n con respecto a una letra. Y debe cumplir con las siguientes
o
condiciones:
1.Debe tener cuatro t´rminos
e
2.El 1 ero y el ultimo t´rmino deben ser cubos perfectos
´ e
3.El 2 do sea m´s o menos el triple del 1ero al cuadrado por el 2do .
a
4.Y que el 3 er t´rmino sea el triple del 1ero por el 2do al cuadrado.
e
Tomemos −27 + 27x − 9x2 + x3 ordenado queda: x3 − 9x2 + 27x − 27 Tiene cuatro t´rminos, la
e
ra´ c´bica de x3 es x y la de −27 es −3, adem´s 3 · x2 · −3 es el 2do t´rmino y 3 · x · (x)2 el 3ero .
ız u a e
Suma o Diferencia de Cubos Perfectos
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
4.2.4.Diferencia de Cuadrados Perfectos
Tenemos que extraer la ra´ cuadrada a los dos t´rminos y luego multiplicamos la diferencia
ız e
de las ra´
ıces con la suma de estas.
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Ya que la ra´ de a2 es a y la de b2 es b.
ız
´
Matematica 51
16. 4. Desarrollo Algebraico
4.2.5.Completaci´n de Cuadrados de Binomio
o
Tomemos y 2 − 8y + 15.
Digamos que y 2 y −8y son parte de un cuadrado perfecto.
Luego nos faltar´ el ultimo t´rmino que es el cuadrado de la mitad del coeficiente que
ıa ´ e
acompa˜a a x, que es 16.
n
Sumemos y restemos este ultimo t´rmino.
´ e
Arreglando los t´rminos convenientemente llegamos a la diferencia de dos cuadrados perfecto.
e
Y aplicamos desde luego suma por su diferencia.
y 2 − 8y + 15 = y 2 − 8y + 15 − 16 + 16
= (y 2 − 8y + 16) + (15 − 16)
= (y − 4)2 − 1
= (y − 4 − 1)(y − 4 + 1)
= (y − 5)(y − 3)
De manera m´s general:
a
ax2 + bx = 0
b
⇒ x2 + x = 0
a
b
x2 + x + 0 = 0
a
b b2 b2
x2 + x + 2 − 2 = 0
a 4a 4a
Un cuadrado perfecto
2
b b2
x+ =
2a 4a2
♦ Observa que . . .
Para comprobar si la factorizaci´n que hicimos esta correcta tenemos que aplicar el
o
axioma de distributividad. v´ase p´gina 9
e a
52 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
17. ´
4.3. Mini Ensayo IV, Factorizacion
♣ Actividad 4.2.
Factoriza utilizando cualesquier m´todo, si se puede simplifica:
e
a2
1. ax + bx − ay − by 11. 4 − ab + b2 21. x2 − 7x − 30
4
2. 2a2 x + 2ax2 − 3ax 12. 16x6 − 2x3 y 2 + y16 22. m2 − 20m − 300
3. 4x(m − n) + n − m 13. 196x2 y 4 − 289b4 m1 0 23. x4 + 7ax2 − 60a2
x6 4a1 0
4. (x + y)(n + 1) − 3(n + 1) 14. 49 − 121 24. 8a2 − 14a − 15
5. x(a + 2) − a − 2 + 3(a + 2) 15. a2n − b2n 25. m − 6 + 15m2
6. 6m − 9n + 21nx − 14mx 16. 64m2 − (m − 2n)2 26. 20x2 y 2 + 9xy − 20
7. n2 x − 5a2 y 2 − n2 y 2 + 5a2 x 17. −4y 2 + 9x4 27. 125a3 + 150a2 b + 60ab2 + 8b3
8. a3 + a2 + a + 1 18. 25 − x2 − 16y 2 + 8xy 28. 27a3 − b3
9. 20ax − 5bx − 2by + 8ay 19. 1 − 2a − 9n2 + 6an 29. x2 − 12x + 11
10. 36 + 12m2 + m4 20. 28 + a2 − 11a 30. y 2 + 16y + 20
4.3.Mini Ensayo IV
Factorizaci´n
o
1.Al simplificar la expresi´n
o
xk+1 − xy k
(x2k − y 2k ) ÷
y k+1 + xk y
Resulta:
y 2 (xk +y k )
a) x
(xk +y k )2
b) xy 2
x k k 2
c) y (x + y )
xy
d) (xk +y k )
e)Ninguna de las anteriores.
2. a2 − 4b2 =
a) a + 2b
b) a − 2b
c)( a − 2b)(a + 2b)
d )(2 b − a)(2b + a)
e)Ninguna de las anteriores.
3.¿Cu´l(es) de los siguientes t´rminos se puede(n) agregar a la expresi´n 4 x2 + 1 para com-
a e o
pletar el desarrollo del cuadrado de binomio?
I. −4x2
II.4 x
III.4 x2
a)Solo I
´
Matematica 53
18. 4. Desarrollo Algebraico
b)Solo II
c)Solo III
d )I y III
e)II y III
4.En la expresi´n algebraica ( y − 5)(y 5 − 8)(y − 3) el t´rmino libre (sin factor literal), es:
o e
a) −120
b)0
c)16
d )80
e)120
5.El grado de la expresi´n 5 x3 y 4 z es:
o
a)3
b)4
c)5
d )7
e)8
6.El producto entre la suma del cuadrado de a y el cubo de b y su diferencia es:
a) a4
b)2 a4 − 2b6
c) a4 − b9
d ) a4 − b6
e)2 a2 − 2b9
7.Al dividir ( x2 − y 2 ) por (x + y)(x − y) se obtiene:
a)0
x−y
b) x+y
x+y
c) x−y
1
d) x+y
e)1
8.¿Cu´l es el area de un rect´ngulo de lados ( m + n) y (m − n)?
a ´ a
a) m2 + 2mn + n2
b) m2 + n2
c) m2 − n2
d ) m2 − 2mn + n2
e) nm2 + mn2
54 ´
Prueba de Seleccion Universitaria
19. ´
4.3. Mini Ensayo IV, Factorizacion
9.La expresi´n equivalente a (3 m − 5p)2 es:
o
a)6 m2 − 10p2
b)9 m2 − 25p2
c)6 m2 − 15mp + 25p2
d )9 m2 − 30mp − 25p2
e)9 m2 − 30mp + 25p2
a6 b−15
10. a2 b−5
=
a) −97
b) a8 b−10
c) a4 b−20
d) a−3 b3
e) −9
11.El cuociente entre (5 2n+1 − 25n ) y 52n+2 es:
a)1/5
b)5
c)25/4
d )(2 /5)2
e)5 1−4n
12.Si x2 + y 2 = 36 y xy = 32 entonces el valor de (x + y) es:
a) −1
b)0
c)1
d )10
e)32
1 2
13.Si la cuarta parte del area de un cuadrado es
´ 4 x + x + 1, entonces el doble de su per´
ımetro
es:
a) x + 2
b)( x + 2)2
c)4 x + 8
d )2 x + 4
e)8 x + 16
14.El area de un cuadrado de lado (2 − x) es:
´
a)8 − 4x
b)4 − 4x + x2
c)4 + x2
d )4 − 2x
e)4 + 4 x + x2
´
Matematica 55