Ecuaciones Integrodiferenciales

2. ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES
ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES
DEFINICI ´ON
Una ecuaci´on en la que la incognita es una funci´on y(x) y en la misma
aparecen por lo menos una derivada de y(x) y que tambi´en implica un
integrando que contiene a y(x) se llama una ecuaci´on integrodiferencial.
EJEMPLO: LA ECUACI ´ON DE VOLTERRA
La siguiente es una ecuaci´on diferencial de tipo convolutorio:
f(t) = g(t) +
t
0
f(τ)h(t − τ)dτ
en donde las funciones g(t) y h(t) son conocidas.
ECUACI ´ON INTEGRAL
En los casos en que en la ecuaci´on no esten las derivadas de la variable
dependiente, pero si un integrando que use la variable dependiente entonces
se le llama ecuaci´on integral.

4. ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES
SOLUCI ´ON DE EC. INTEGRODIFERENCIAL
EJEMPLO
Solucionar la ecuaci´on integrodiferencial dada por:
y(t) = 3t2
− e−t
−
t
0
y(t)et−τ
dτ,
Podemos observar que la parte integral de la ecuaci´on es una convoluci´on,
luego podemos expresar la ecuaci´on anterior como:
y(t) = 3t2
− e−t
− y(t) ∗ et
Ahora podemos aplicar la transformada de Laplace a la ecuaci´on para obtener
una ecuaci´on algebraica en la variables s y Y (s)
L y(t) = 3t2
− e−t
− y(t) ∗ et
sh
L {y(t)} = L 3t2
− L e−t
− L y(t) ∗ et

5. ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES
SOLUCI ´ON DE EC. INTEGRODIFERENCIAL
EJEMPLO
Y (s) =
6
s3
−
1
s + 1
− Y (s) ·
1
s − 1
solucionando para Y (s) obtenemos:
Y (s) =
6
s3
−
6
s4
+
1
s
−
2
s + 1
aplicamos ahora la transformada inversa se Laplace
L−1
{Y (s)} = L−1 6
s3
− L−1 6
s4
+ L−1 1
s
− L−1 2
s + 1
la soluci´on de la ecuaci´on ser´a:
y = 3t2
− t3
+ 1 − 2e−t

6. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
en la frontera, octava edici´on, Cengage Learning, Mexico, DF, 2014.
BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
Value problems, Novena edici´on, JohnWiley and Sons, Inc. USA, 2009.
NAGLE, R.K., SAFF, E.B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, Addison-
Wesley, Iberoamericana, 1992.
POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
dary value problems, Segunda edici´on, Pearson Prentice Hall, 2005.