El documento describe los pasos para calcular el punto de tangencia P entre una circunferencia y una recta. Primero se obtienen las ecuaciones de las dos curvas. Luego, se igualan sus ecuaciones y para encontrar P = (-12/5, -9/5). Finalmente, se calcula el radio como la distancia entre P y el centro C = (0, -5), dando como resultado r = 4.

1. 3x-4y = 0
3x = 4y
3x/4 = y
Como y = (3/4)x entonces la pendiente es 3/4
Sabemos que las pendientes de dos rectas perpendiculares cumplen que
m·m’=-1
Como el segmento que va de C a P es el radio y el radio y la tangente siempre son
perpendiculares, la pendiente de la recta debe ser
(3/4) · m =-1
m = -4/3
La recta que pasa por C y P tiene pendiente -4/3 y pasa por C(0,-5), y su ecuación
es:
y+5 = (-4/3)x
y = -4x/3 – 5
Paso 2. Calcular el punto de intersección entre ambas rectas
y = 3x/4
y = -4x/3 – 5
Igualamos la y de ambas ecuaciones y despejamos x
3x/4 = -4x/3 -5
3x/4 + 4x/3 = -5
25x/12 = -5
x = -12/5
Sustituimos para obtener y
y = 3x/4
y = (3/4)(-12/5) = -9/5
Y así el punto P de tangencia es (-12/5,-9/5)
Paso 3. Calcular el radio
La distancia entre C y P es el radio
r = √ ((-9/5+5)2 + (-12/5)2)
r = √ ((16/5)2 + (-12/5)2)
r = √ (256/25 + 144/25 )
r = √ 16
r = 4
El radio es 4
Paso 4. Obtener la ecuación de la recta
Sabiendo que el radio es 4 y el centro es (0,-5)
x2
+ (y+5)2
= 42
x2
+ (y+5)2
= 16