Este documento presenta definiciones y propiedades relacionadas con el cálculo vectorial, incluyendo la definición del límite de una función vectorial, la regla de L'Hôpital para límites indeterminados, y la continuidad de funciones vectoriales. También resuelve ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos.

1. CALCULOVECTORIAL

2. DEFINICION DEL LIMITE DE UNA
FUNCIONVECTORIAL
Si 𝑟 es una función vectorial tal que 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗, entonces
lim
𝑡→𝑎
𝑟 𝑡 = lim
𝑡→𝑎
𝑓 𝑡 𝑖 + lim
𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 𝑗
Siempre que existan los límites de f y g cuando 𝑡 → 𝑎.
Si 𝑟 es una función vectorial tal que 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘, entonces
lim
𝑡→𝑎
𝑟 𝑡 = lim
𝑡→𝑎
𝑓 𝑡 𝑖 + lim
𝑡→𝑎
𝑔 𝑡 𝑗 + lim
𝑡→𝑎
ℎ 𝑡 𝑘
Siempre que existan los límites de f, g y h cuando 𝑡 → 𝑎.

3. RECORDANDO LA REGLA L’HOPITAL
lim
𝑡→𝑎
𝑓 𝑡
𝑔 𝑡
= lim
𝑡→𝑎
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑔 𝑡
SEA “a” ELVALOR DEL LIMITEY SEA f(t) Y g(t) FUNCIONES PARAMETRICAS EN
DONDE AMBAS SON DERIVABLES. ESTE PROCEDIMIENTO CONSISTE EN
DERIVAR AMBAS FUNCIONES DE FORMA DIRECTA

4. EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE
lim
𝑡→2
𝑡 𝑖 +
𝑡2
− 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 +
1
𝑡
𝑘
SOLUCION:
lim
𝑡→2
𝑡 𝑖 +
𝑡2 − 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 +
1
𝑡
𝑘 = lim
𝑡→2
𝑡 𝑖 + lim
𝑡→2
𝑡2 − 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 + lim
𝑡→2
1
𝑡
𝑘
= 2 𝑖 + lim
𝑡→2
𝑡2
− 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 +
1
2
𝑘
PARA SOLUCIONAR EL SEGUNDO LIMITE HAY DOS METODOS PARA
ENCONTRAR SU SOLUCION

5. PRIMERO MODO: FACTORIZACION
lim
𝑡→2
𝑡2 − 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 = lim
𝑡→2
𝑡 + 2 𝑡 − 2
𝑡 𝑡 − 2
𝑗 = lim
𝑡→2
𝑡 + 2
𝑡
𝑗 =
4
2
𝑗 = 2 𝑗
SEGUNDO MODO: REGLA L’HOPITAL
lim
𝑡→2
𝑡2
− 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 = lim
𝑡→2
𝑑
𝑑𝑡
𝑡2
− 4
𝑑
𝑑𝑡
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 = lim
𝑡→2
2𝑡
2𝑡 − 2
𝑗 =
4
4 − 2
𝑗 = 2 𝑗

6. YVOLVIENDO A LA SOLUCION, EL RESULTADO ES:
lim
𝑡→2
𝑡 𝑖 +
𝑡2
− 4
𝑡2 − 2𝑡
𝑗 +
1
𝑡
𝑘 = 2 𝑖 + 2 𝑗 +
1
2
𝑘

7. EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE
lim
𝑡→0
𝑡2 𝑖 + 3𝑡 𝑗 +
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘
SOLUCION:
lim
𝑡→0
𝑡2
𝑖 + 3𝑡 𝑗 +
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘 = lim
𝑡→0
𝑡2
𝑖 + lim
𝑡→0
3𝑡 𝑗 + lim
𝑡→0
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘
= 0 𝑖 + 0 𝑗 + lim
𝑡→0
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘
PARA RESOLVER ELTERCER LIMITE UTILIZAREMOS LA FORMULA L’HOPITAL

8. lim
𝑡→0
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘
lim
𝑡→0
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘 = lim
𝑡→0
𝑑
𝑑𝑡
1 − cos 𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑡
𝑘 = lim
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡
1
𝑘 = 0𝑘

9. Y CAPTURANDO LOS DATOS, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:
lim
𝑡→0
𝑡2
𝑖 + 3𝑡 𝑗 +
1 − cos 𝑡
𝑡
𝑘 = 0 𝑖 + 0 𝑗 + 0𝑘

10. EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE
lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖 + cos 𝑡 𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘
SOLUCION:
lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖 + cos 𝑡 𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘 = lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖 + lim
𝑡→0
cos 𝑡 𝑗 + lim
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘
= lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖 + 1 𝑗 + 0𝑘
PARA RESOLVER EL PRIMER LIMITE SE UTIIZARA LA REGLA L’HOPITAL

11. lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖
lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖 = lim
𝑡→0
𝑑
𝑑𝑡
1
𝑑
𝑑𝑡
𝑡
𝑖 = lim
𝑡→0
0
1
𝑖 = 0 𝑖

12. Y CAPTURANDO LOS DATOS, OBTENEMOS EL RESULTADO FINAL:
lim
𝑡→0
1
𝑡
𝑖 + cos 𝑡 𝑗 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑘 = 0 𝑖 + 1 𝑗 + 0𝑘

13. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
VECTORIAL
Una función vectorial 𝑟 es continua en un punto dado por t=a si el límite de 𝑟 𝑡
cuando 𝑡 → 𝑎 existe y
lim
𝑡→𝑎
𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑎
Una función vectorial 𝑟 es continua en un intervalo 𝐼 si es continua en todos los
puntos del intervalo.

14. ANALIZAR LA CONTINUIDAD DE LA FUNCIONVECTORIAL
SIGUIENTE 𝑟 𝑡 =
1
2
𝑡2
𝑖 − 𝑡 − 1 𝑗 CUYOS CASOSCUANDO:
a) t = 1 b) t = 0
SOLUCION:
𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 ⇒ ⇒ ⇒ 𝑟 𝑡 =
1
2
𝑡2 𝑖 − 𝑡 − 1 𝑗
INCISO a) t = 1
𝑟 1 =
1
2
𝑖 − 0 𝑗
INCISO b) t = 0
𝑟 0 = 0 𝑖 + 1 𝑗

15. BIBLIOGRAFIAS
LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”,
1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.
Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial
Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097