Este documento presenta una introducción a la primera unidad de cálculo diferencial sobre límites de funciones. La unidad abarca conceptos como vecindad, punto de acumulación, definición de límite, límites laterales, existencia y unicidad de límites, límites trigonométricos, límites de funciones compuestas e inversas, límites al infinito y límites infinitos. El documento provee ejemplos y gráficas para ilustrar estos conceptos fundamentales del cálculo diferencial.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES
Y CURSOS COMPLEMENTARIOS
CÁLCULO DIFERENCIAL
Wilfredo García Rodas

2. I UNIDAD
CONSIDERACIONES GENERALES

3. ORIENTACIONES GENERALES
◦ Estimado estudiante:
◦ A continuación ponemos a su disposición, las
siguientes diapositivas con la finalidad de
reforzar el aprendizaje de la unidad.
◦ ¡ MUCHOS ÉXITOS !

4. CONTENIDOS DE LA I UNIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES
SEMANA N° 1
1.1 Vecindad, entorno. Punto de acumulación.
Punto aislado. Aplicaciones.
1.2 Definición de límite. Límite de una suma,
producto, cociente de funciones.
1.3 Límites laterales. Teoremas sobre límites.
1.4 Existencia y unicidad del límite. Límites
trigonométricos.
SEMANA N° 2
1.5 Límite de la función compuesta y de la función
inversa.
1.6 Límites al infinito y límites infinitos.
1.7 Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.
Ejercicios y problemas

5. LÍMITES DE FUNCIONES
Veamos primero el comportamiento de una
función real f de variable real, con regla de
correspondencia y=f(x) , en la cercanía de
x=2.
x2  x  2
lim
 3
x2 x2

6. LÍMITES DE FUNCIONES
limx2  x  2
 3
x2 x2
f ( x)  x  1, x 2

7. Definiciones previas
 1.Vecindad de centro xO y radio  ,  0

8. Definiciones previas
 1.Vecindad de centro xO y radio  ,  0
V ( xO )   x  R / xO    x  xO   
V ( xO )  xO   ; xO   

9. Definiciones previas
 2.Vecindad reducida de centro xO y radio 
 0
V ´ ( xO )   x  R / xO    x  xO v xO  x  xO   
V ´ ( xO )  xO   ; xO  v  xO ; xO   

10. Definiciones previas
3.Entorno del punto xO

11. Definiciones previas
3.Entorno del punto xO
Ejemplo: xO = 2 tiene por entorno a I  0 ; 3 

12. V
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A,
A  R, A  
si A  V ´  xo)  

13. 4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
Ejemplo: Sea xO = 1 y A  1; 3 
¿Xo es punto de acumulación de A?

14. 4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
Ejemplo: Sea xO = 1 y A  1; 3 
Solución:
Hallamos A  V ´  xo)
 1; 3  [ 1   ,1    1;1   ]
  1; 3    1   ,1   1; 3    1;1   

15. 4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
Ejemplo: Sea xO = 1 y A  1; 3 
Hallamos A  V ´  xo) 
 1; 3  [ 1   ,1    1;1   ]
  1; 3    1   ,1   1; 3    1;1   
    1,   /   mínimo3;1   
 xO  1 es punto de acumulación de A.

16. DEFINICIÓN:
Sea f una función real de variable real
cuyo dominio es Df. Sea x0 un punto de
acumulación del dominio de f, xO puede
no pertenecer a Df, el límite de la función f
cuando x se aproxima al valor de xO (x
tiende a “xO”) y toma el valor L, se denota
y define por:
lim f  L    0 ;   0 / x  D f  x  xO    f ( x)  L   
x  xO

17. GRÁFICA:
 Caso extremo, se puede tomar  1
0   1

18. Oservaciones :

19. INDETERMINACIONES:

20. PROPIEDADES

21. PROPIEDADES

23. LÍMITES LATERALES

26. Aplicaciones:

30. Solución:

31. Solución:

42. LÍMITES AL INFINITO:

43. LÍMITES INFINITOS

44. El número Irracional (e)
 Es conocido como el número de Euler o la constante de Neper por
ser la base del logaritmo neperiano (logaritmo natural).

45. Valor de e

46. Gráfica

55. a x 1
 L  lim  ln a , a  0
x 0 x