Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELECOMUNICACIONES
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
Página 1 de 14
TEMA: Límites, continuidades y derivadas de dimensiones superiores SEMANA: 10
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II
LÍMITES, CONTINUIDADES Y DERIVADAS EN DIMENSIONES SUPERIORES
Límites para funciones de dos variables
Si valores de f (x, y) son arbitrariamente cercanos a un número real fijo L para todos los puntos (x, y) suficientemente
cercanos a un punto (𝑥0, 𝑦0), decimos que f tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0). Esto es similar a la
definición informal de límite de una función de una sola variable. Sin embargo, observe que si (𝑥0, 𝑦0)está en el interior
del dominio de f, (x, y) se puede acercar a (𝑥0, 𝑦0) desde cualquier dirección. Para que el límite exista, se debe obtener
el mismo valor límite desde cualquier dirección de aproximación. Ilustramos este hecho con varios ejemplos después
de la definición.
Definición.- Decimos que una función f (x, y) tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0), y escribimos
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
x y
f

 si para cada número 𝜀 > 0, existe un número correspondiente 𝛿 > 0 tal que para todo (x, y) en
el dominio de f , (x,y) Lf   siempre
que 2 2
0 00 (x x ) (y y ) .    
En la definición de límite, d es el radio de un
disco con centro en (𝑥0, 𝑦0). Para todos los
puntos (x, y) dentro de este disco, los valores
de la función f (x, y) se encuentran dentro del
intervalo correspondiente 〈 𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀〉.
Propiedades de los límites de funciones de dos variables
Las siguientes reglas se cumplen si L, M y k son números reales y
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
x y
f

 y
0 0( , ) (x ,y )
lim g(x,y)
x y
M


Regla de la suma
0 0( , ) (x ,y )
lim ( (x,y) g(x,y)) M
x y
f L

  
Regla de la resta
0 0( , ) (x ,y )
x y
f L

  
Regla de la multiplicación por una constante
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
x y
kf k

 (Para cualquier número k)
Regla del producto

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 2 de 14
0 0( , ) (x ,y )
x y
f L

 
Regla de del cociente
0 0( , ) (x ,y )
(x,y)
lim , 0
g(x,y)x y
f L
M
M
 
  
 
Regla de la potencia
 0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
n n
x y
f

 , n es entero positivo
Regla de la raíz
0 0
1
( , ) (x ,y )
lim (x,y) Ln nn
x y
f L

  , n es entero positivo, y n es par. Suponemos que 𝐿 > 0
Ejemplo 01: Compruebe que el siguiente límite no existe
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
Solución
El dominio de esta función es D = R2
– {(0,0)}. Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias
diferentes de acercamiento al punto (0,0).
∎ Sobre el eje 𝑋 (𝒚 = 𝟎) cada punto es de la forma (x, 0) y el límite en esta dirección es:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 =
𝑥(0)
𝑥2+(0)2 =
0
𝑥2 = 0
∎ Sobre la trayectoria 𝒚 = 𝒙 cada punto es de la forma (𝑥, 𝑥) y el límite en esta dirección es
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥,𝑥)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 =
𝑥(𝑥)
𝑥2+(𝑥)2 =
𝑥2
𝑥2+𝑥2 =
𝑥2
2𝑥2 =
1
2
Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0) existen puntos (𝑥, 𝑦) en los cuales f vale 1/2 y
0. Luego f no puede tener límite cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0).
Ejemplo 02. Compruebe que: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥2 𝑦
𝑥2+𝑦2 = 0
Solución
La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite dé cero a través de
muchas trayectorias esto no demuestra que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.
Sea 𝜀 > 0, queremos encontrar un 𝛿 > 0 tal que
|
3x2y
x2+y2 − 0| < 𝜀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 3 de 14
Es decir:
3x2|y|
x2+y2 < 𝜀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
Como:
𝑥2
≤ 𝑥2
+ 𝑦2 1
x2+ y2 ≤
1
x2
3x2|y|
x2+y2 ≤
3x2|y|
x2 = 3| 𝑦| = 3√𝑦2 ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2
Por consiguiente, si elegimos a δ =
ε
3
, entonces
|
3x2
y
x2 + y2
− 0| ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3𝛿 = 3 (
𝜀
3
) = 𝜀
Por consiguiente, por la definición:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥2 𝑦
𝑥2+𝑦2 = 0
Recordatorio sobre las propiedades del valor absoluto
(1) | 𝐚. 𝐛| = | 𝐚|. | 𝐛|
(2) |
𝐚
𝐛
| =
|𝐚|
|𝐛|
(3) | 𝐚 + 𝐛| ≤ | 𝐚| + | 𝐛|
(4) | 𝒂 − 𝒃| ≥ | 𝒂| − | 𝒃|
Ejemplo 03. Usar la definición de límite para demostrar que 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏
Solución
El primer requisito de la definición es que 2x + 3y debe estar definido en algún disco abierto que tenga centro en el
punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3). Como 2𝑥 + 3𝑦 está definida en cada punto (x, y), entonces cualquier disco
abierto centrado en (1,3) satisfará este requisito. Ahora, debe demostrarse que para cualquier 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal
que:
Si 0< √(𝒙 − 𝟏) 𝟐 + (𝒚 − 𝟑) 𝟐 < 𝛿, entonces | 𝐟(𝐱, 𝐲) − 𝐋| = | 𝟐𝐱 − 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 𝜀
De la desigualdad,
| 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟏| = | 𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟑𝒚 − 𝟗| ≤ 𝟐| 𝒙 − 𝟏| + | 𝒚 − 𝟑|
Debido que:
| 𝑥 − 1| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 y | 𝑦 − 3| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2
Se deduce que:
Si0 < √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 < 𝛿 entonces 2| 𝑥 − 1| + 3| 𝑦 − 3| < 2𝛿 + 3𝛿

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 4 de 14
Esta proposición muestra que una elección adecuada para 𝛅 es 5𝜹 = 𝜺, esto es, 𝜹 =
𝟏
𝟓
𝜺. Con esta 𝛅 se tiene el argumento
siguiente:
0< √(𝒙 − 𝟏) 𝟐 + (𝒚 − 𝟑) 𝟐 < 𝛿 | 𝒙 − 𝟏| < 𝛿 y | 𝒚 − 𝟑| < 𝛿
2| 𝒙 − 𝟏| + 𝟑| 𝒚 − 𝟑| < 5𝛿 | 𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝟑(𝒚 − 𝟑)| < 5 (
𝟏
𝟓
𝜺)
| 𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 𝜀
De este modo, se ha probado que para cualquier 𝜺 > 0 se elige 𝛿 =
1
5
𝜀 a fin de que la proposición 0 <
√(𝒙 − 𝟏) 𝟐 + (𝒚 − 𝟑) 𝟐 < 𝛿, entonces |( 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) − 𝟏𝟏| < 𝜀
Sea verdadera. Esto demuestra que:
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏
Ejemplo 04. Calcule el límite siguiente: lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑥+𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Solución
Evaluando da:
1+0
(1)2+02 = 1
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥−𝑦
𝑥3− 𝑦3
Solución
Evaluando dá:
1−1
(1)3−13 =
0
0
la cual es una indeterminación, entonces factorizando el denominador, recordando que:
A3
- B3
= (A – B)(A2
+ AB + B2
), luego:
lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥−𝑦
𝑥3− 𝑦3 = lim
(𝑋,𝑌)→(1,1)
𝑥−𝑦
(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
1
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 =
1
(1)2 + (1)(1)+ (1)2 =
1
1 + 1 + 1
=
1
3
(𝑥,𝑦)→(4,4)
𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
Solución
Evaluando dá:
4 − 4
√4 − √4
=
0
0
la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:
lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
√ 𝑥 + √ 𝑦
√ 𝑥 + √ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
(𝑥 – 𝑦)(√ 𝑥 + √ 𝑦)
(𝑥 − 𝑦)
=
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
(√ 𝑥 + √ 𝑦)= √4 + √4 = 2 + 2 = 4

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 5 de 14
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2+ 𝑦2
Solución
Sean (r,𝜃) las coordenadas polares del punto (x, y) y sean (r, θ, z) las coordenadas cilíndricas del punto (x, y, z). Entonces
debemos tener presente que en coordenadas polares y en coordenadas cilíndricas:
Polares Cilíndricas
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 x = ρ. sen∅. cosθ 𝜌2
= x2
+ y2
+ z2
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 y = ρ. sen∅. senθ
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2 z = ρ. cos∅
Evaluando da:
(0)(0)
√(0)2+(0)2
=
0
0
la cual es una indeterminación, luego usando coordenadas polares, cuando (x,y)→(0,0)
entonces r→ 𝟎, luego el
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2+ 𝑦2
= lim
𝑟→0
(𝑟.𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑟
= lim
𝑟→0
𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =0
Pues, | 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃| ≤ 1 para cualquier valor de 𝜃.
Ejemplo 08. Estudie la existencia del siguiente límite: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3 𝑦
𝑥6 + 𝑦2
Solución
∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen 𝒚 = 𝒎𝒙, donde m ≠ 0, tenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3 𝑦
𝑥6 + 𝑦2 = lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥3(𝑚𝑥)
𝑥6 + (𝑚𝑥)2 = lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥3(𝑚𝑥)
𝑥2(𝑥4 + 𝑚2)
=
𝑚(0)
(0)4 +𝑚2 =
0
𝑚2 = 0
∎ Usando como trayectoria la parábola y=x2
, luego tenemos que:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑦
𝑥6 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥3
(𝑥2
)
𝑥6 + (𝑥2)2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥5
𝑥4(𝑥2 + 1)
=
0
(0)2 + 1
=
0
1
= 0
∎ Esto nos podría llevar a concluir que el límite existe y es cero, pues las rectas y la parábola que pasan por el origen
son una infinidad de trayectorias. Pero observe que al usar la trayectoria y = x3
, obtenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑦
𝑥6 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥3)→(0,0)
𝑥3
(𝑥3
)
𝑥6 + (𝑥3)2
= lim
(𝑥,𝑥2)
𝑥6
2𝑥6
=
1
2
Por tanto, el límite no existe.
Ejemplo 09. Calcule el siguiente límite: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−𝑦4
𝑥2 + 𝑦2

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 6 de 14
Solución
Evaluando da:
(0)4−(0)4
(0)2+(0)2 =
0
0
la cual es una indeterminación, entonces factorizando el numerador, nos queda:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−𝑦4
𝑥2 + 𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2−𝑦2)(𝑥2+𝑦2)
𝑥2 + 𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2
− 𝑦2)= (o)2
- (0)2
= 0
Ejemplo 10. Calcule el siguiente límite: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
Solución
Evaluando dá:
(0)2−(0)(0)
√0 − √0
=
0
0
la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥(𝑥− 𝑦)(√ 𝑥 + √ 𝑦)
𝑥 − 𝑦
=
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥(√ 𝑥 + √ 𝑦) = (0)(√0 + √0) = 0
Ejemplo 11. Aplicando la definición de límite, demostrar que: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 = 0
Solución
Para cualquier 𝜀 > 0 existe un𝛿 > 0 tal que:
| 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 Siempre que 0< √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿, o sea
|
4xy2
x2+y2 − 0| < 𝜀 Siempre que 0< √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿
|
4xy2
x2+y2| < 𝜀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
4|x|y2
x2+y2 < 𝜀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
Desde 𝑦2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 tenemos que:
4|x|y2
x2 + y2
≤ 4|x| = 4√x2 ≤ 4√x2 + y2
Si escogemos 𝛿 = 𝜀
4⁄ y deje 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿, obtendremos que:
|
4xy2
x2 + y2
− 0| ≤ 4√x2 + y2 < 4𝛿 = 4 (
𝜀
4
) = 𝜀
Esto demuestra que:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= 0

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 7 de 14
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 =
𝟏
𝟑
2) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒕𝒈(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
3) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚 − 𝟏
𝟏 + 𝒙𝒚
= 𝟎 4) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐+ 𝒛 𝟐 = 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
5) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 𝟐 + 𝒙𝒛 𝟐
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐+ 𝒛 𝟐 6) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛
√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐+ 𝒛 𝟐
= 𝟎
7) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝒌,𝟎)
𝒙 𝟐.𝒔𝒆𝒏(
𝒚
𝒌
)
𝒚
(Trabajo) 8) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙+𝒚)
𝒚
9) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒆 𝒙𝒚 − 𝟏
𝒙
(Trabajo) 10) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝟏
11) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙 𝟑 + 𝒚 𝟑
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝟎 12) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
= 𝟎 13) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
)𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
) = 𝟎
14) Usar coordenadas esféricas para encontrar el límite. (Sugerencia: tomar:
x = ρ. sen∅. cosθ
y = ρ. sen∅. senθ
z = ρ. cos∅
𝜌2
= x2
+ y2
+ z2
Observar que (x, y, z)→(0, 0, 0) es equivalente a 𝜌 → 0+
)
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚𝒛
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
= 𝟎
Continuidad
Como en las funciones de una variable, la continuidad se define en términos de límites.
DEFINICIÓN Una función f (x, y) es continua en el punto (𝑥0, 𝑦0) si
1. ƒ está definida en (𝑥0, 𝑦0).
2.
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y)
x y
f

existe,
3.
0 0
0 0
( , ) (x ,y )
lim (x,y) f(x ,y )
x y
f


Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.
Ejemplo 01. Determine si la función g es continua en (0, 0), si
 
4 2 2 4
2 2
2 2
(x, y) (0,0)
(x, y)
2 (x, y) 0,0
g
si
x x y y
si
x y
  





 



FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 8 de 14
Solución
(i) 𝒈(𝟎, 𝟎) = 𝟐. Por tanto, se cumple la primera condición.
(ii) Veremos si lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4+2𝑥2+2𝑦2+𝑦4
𝑥2+𝑦2 , evaluando da: 0
0⁄
∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑦2
+ 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2(𝑚𝑥)2
+ (𝑚𝑥)4
𝑥2 + (𝑚𝑥)2
=
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑚2
𝑥2
+ 𝑚4
𝑥4
𝑥2 + 𝑚2 𝑥2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥2
(𝑥2
+ 2 + 2𝑚2
+ 𝑚4
𝑥2
)
𝑥2(1 + 𝑚2)
=
=
(0)2
+ 2 + 2𝑚2
+ 𝑚4
(0)2
(1 + 𝑚2)
=
2 + 2𝑚2
1 + 𝑚2
=
2(1 + 𝑚2
)
1 + 𝑚2
= 2
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑦2
+ 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2(𝑥2
)2
+ (𝑥2
)4
𝑥2 + (𝑥2)2
=
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥2
(𝑥2
+ 2 + 2𝑥2
+ 𝑥6
)
𝑥2(1 + 𝑥2)
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥2
+ 2 + 2𝑥2
+ 𝑥6
1 + 𝑥2
=
(0)2
+ 2 + 2(0)2
+ (0)6
1 + (0)2
=
2
1
= 2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑠 2
(𝑖𝑖𝑖) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(0,0) = 2
Por tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que cumple con las tres condiciones de continuidad.
Ejemplo 02. Determine si la función h es continua en (0, 0), si
 
2 2
(x,y) (0,0)
h(x,y)
0 (x,y) 0,0s
xy
si
i
x y





 


Solución
(i) 𝒉(𝟎, 𝟎) = 𝟎. Por tanto, se cumple la primera condición.
(ii) Veremos si lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
ℎ(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2, evaluando da: 0
0⁄

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 9 de 14
∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥(𝑚𝑥)
𝑥2 + (𝑚𝑥)2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑚𝑥2
𝑥2(1 + 𝑚2)
=
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑚
(1+𝑚2)
=
𝑚
(1+𝑚2)
, ya podemos concluir que el limite no existe porque el limite quedo en función de m, sin
embargo vamos a usar otra trayectoria de acercamiento al punto (0,0), para verificar que el limite no existe.
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥(𝑥2
)
𝑥2 + (𝑥2)2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥(𝑥2
)
𝑥2(1 + 𝑥2)
=
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥
1 + 𝑥2
=
0
1 + (0)2
=
0
1
= 0
Luego, el 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒉(𝒙, 𝒚) 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a,b) pero 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, entonces se dice
que f tiene una discontinuidad removible (o eliminable) en (a,b) debido a que si se redefine f en (a,b) de modo que:
𝒇(𝒂, 𝒃) = 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚)
Entonces la nueva función es continua en (a, b). Si una discontinuidad no es removible, entonces de denomina
discontinuidad esencial.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Analizar la continuidad de la función siguiente:
𝒇(𝒙, 𝒚) = {
𝑥2
+ 2𝑥𝑦2
+ 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)
𝟏 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)
2) En los ejercicios (2.1) a (2.4) la función es discontinua en el origen debido a que 𝑓(0, 0) no existe. Determine si la
discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible redefina 𝑓(0, 0) de modo que la nueva función
sea continua en (0,0).
(2.1) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
(2.2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑥2 + 𝑦2) 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0
(2.3) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3 𝑦2
𝑥6 + 𝑦4 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
(2.4) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3−4𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 10 de 14
Derivadas parciales de una función de varias variables
El cálculo de varias variables es como el cálculo de una
variable aplicado a cada una de las variables. Cuando
mantenemos constantes todas las variables independientes de
una función, excepto una, y derivamos con respecto a esa
variable, obtenemos una derivada “parcial”. Esta sección
muestra cómo se definen e interpretan geométricamente las
derivadas parciales y cómo calcularlas aplicando las reglas
de derivación para funciones de una sola variable. La idea de
derivabilidad de funciones de varias variables requiere algo
más que la existencia de las derivadas parciales, pero
veremos que las funciones derivables de varias variables se
comportan del mismo modo que las funciones derivables de
una variable.
Derivadas parciales de una función de dos variables
Si 0 0(x , y ) es un punto en el dominio de una función f (x, y),
el plano vertical 𝑦 = 𝑦0 cortará la superficie 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)
en la curva 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦0) (figura). Esta curva es la gráfica
de la función 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦0) en el plano 𝑦 = 𝑦0 . La
coordenada horizontal en este plano es x; la coordenada
vertical es z. El valor de y se mantiene constante en 𝑦0, de manera que y no es una variable.
Definimos la derivada parcial de f con respecto a x en el punto 0 0(x , y ) como la derivada ordinaria de f (x, 𝑦0) con
respecto a x en el punto 𝑥 = 𝑥0 . Para
distinguir las derivadas parciales de las
ordinarias usamos el símbolo 0 en vez de la
d usada previamente. En la definición, h
representa un número real, positivo o
negativo.
DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x,
y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es
0 0
0 0 0 0
0
( , )
( , ) ( , )
lim ,
h
x y
f x h y f x ydf
dx h
 

si el límite existe.
DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x,
y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es
0 0
0 0 0 0
0
( , )
( , ) ( , )
lim ,
h
x y
f x y x y hdf
dy h
 
 si el
límite existe.
La pendiente de la curva 𝑧 = 𝑓 (𝑥0, 𝑦) en
el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0)) del plano
vertical 𝑥 = 𝑥0 es la derivada parcial de f

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 11 de 14
con respecto a y en (𝑥0, 𝑦0). La recta tangente a la curva en P es la recta en el plano 𝑥 = 𝑥0 que pasa por P con esta
pendiente. La derivada parcial proporciona la tasa de cambio de f con respecto a y en (𝑥0, 𝑦0) cuando x se mantiene fija
en el valor 𝑥0.
La derivada parcial con respecto a y se representa del mismo modo que la derivada parcial con respecto a x:
0 0( , )
f
x y
y


, 0 0( , )yf x y , yf ,
dy
dx
Observe que ahora tenemos dos rectas tangentes asociadas a la superficie
𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦)en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0))
Notaciones de derivadas parciales: Si definimos a la función  yxfz , se puede denotar:
La derivada parcial de f respecto de x:     fDyxf
xx
f
yxff xxx 





 ,,
La derivada parcial de f respecto de y:     fDyxf
yy
f
yxff yyy 





 ,,
Ejemplo. El plano 𝑥 = 1 corta al paraboloide
2 2
z x y  en
una parábola. Determine la pendiente de la tangente a la
parábola en (1, 2, 5)
Solución
La pendiente es el valor de la derivada parcial
dz
dy
en (1, 2):
 2 2
(2,1)
(1,2) (1,2)
2 2(2) 4.
z
x y y
y y
 
    
 
Para verificar, podemos considerar a la parábola como la
gráfica de una función de una sola variable
2 2 2
z (1) 1y y    en el plano 𝑥 = 1 y calcular la
pendiente en 𝑦 = 2. La pendiente, calculada ahora como una
derivada ordinaria, es
 2 2
2
2 2
1 2 4.y
y y
z
y y
y y 
 
 
   
 
Funciones de más de dos variables. Las definiciones de las derivadas parciales de funciones de más de dos variables
independientes son similares a las definiciones para funciones de dos variables. Son derivadas ordinarias con respecto
a una variable, la cual se calcula mientras las demás variables independientes se mantienen constantes.
Ejemplo 01: Si x, y y z son variables independientes y (x,y,z) xsen(y 3z),f   entonces
 (y 3z) (y 3z)
f
xsen x sen
z z z
  
   
  
⇒ xcos(y 3 ) (y 3z) 3xcos(y 3z).z
z

   


FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 12 de 14
Ejemplo 02: Si tres resistencias de R1, R2 y R3 ohms se
conectan en paralelo para obtener una resistencia de R
ohms, se puede obtener el valor de R con la ecuación
1 2 3
1 1 1 1
R R R R
   Determine el valor de
2
R
R


cuando
1 2 330, 45 90 .R R y R ohms  
Solución
Para obtener
2
R
R


, consideramos a R1 y R3 como
constantes y, usando la derivación implícita, derivamos
ambos lados de la ecuación con respecto a R2:
2 2 1 2 3
1 1 1 1R
R R R R R R
   
    
    
⇒
2 2
2 2
1 1
0 0
R R R

    

⇒
2
2
2
2 2 2
R R R
R R R
 
   
  
Cuando 1 2 330, 45 90 ,R R y R ohms  
1 1 1 1 3 2 1 6 1
,
30 45 90 90 90 15R
 
      de manera que
𝑅 = 15 y
2 2
2
15 1 1
.
45 3 9
R
R
    
     
    
Por lo tanto, en los valores dados, un pequeño cambio en la resistencia R2 trae consigo un cambio en R con un tamaño
cercano a 1 y 9.
Reglas para hallar derivadas parciales
Para hallar xf considere a la letra y como constante y derive  yxf , con respecto a x.
Para hallar yf considere a la letra x como constante y derive  yxf , con respecto a y.
Ejemplo 1: Si f(x, y)= x3
+ x2
y3
+ 2 y2
, hallar las expresiones de xf y yf .
Solución:
Hallamos primeramente xf , hacemos y constante, al derivar respecto a x se obtiene:   32
23, xyxyxfx 
Ahora se halla yf , hacemos x constante, al derivar respecto a y se obtiene:
  yyxyxfy 43, 22

Bien, si además piden evaluar esas derivadas parciales en el punto  1,2 .Se hace:
       16122231,2
32
xf
        8141231,2
22
yf

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 13 de 14
Ejemplo 2: Si   







y
x
senyxf
1
, , hallar las expresiones de
y
f
y
x
f




.
Solución:
Recordando usar la regla de la cadena para las funciones de una variable se tiene:
yy
x
y
x
xy
x
x
f

























1
1
1
cos
11
cos
Con respecto de y se tiene:
 2
11
cos
11
cos
y
x
y
x
y
x
yy
x
y
f


























Ejercicios Propuestos
1. En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función.
a.  
yx
yx
yxf


, b.  
y
x
yxyxf  2
, c.    22
ln, yxxyxf 
2. En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función en el punto indicado.
  yxeyxf y
3,  , evalúe en el punto (1, 0)
  yxyxf 32,  , evalúe en el punto (2, 4)
   xysenyxf , , evalúe en el punto (3, 3)
  22
2, yxyxyxf  , evalúe en el punto (0, 1)
 





 x
ysen
eyxf , , evalúe en el punto (1, 1)
   yxsen
eyxf 
, , evalúe en el punto (1, 1)
  22
, yxyxf  , evalúe en el punto (2, -1)
3. Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función .xy
z e
4. Sea
2
ln(x y).z   Comprobar que ,xy yxz z en los puntos donde esta igualdad tenga sentido.
5. Probar que la función
y
z arctg
x
 
  
 
satisface la ecuación de Laplace 0.xx yyz z 
6. Calcular las derivadas parciales de:
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 + 3𝑦
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2
+ 4𝑦2
− 7𝑥 + 8𝑦

FACULTAD DE
CIENCIAS E
INGENIERÍA
TELECOMUNICACIONES
Página 14 de 14
Encuentre la derivada parcial de cada función según las condiciones dadas
7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥3
– 5𝑥𝑦 + 𝑦2
, respecto a x en el punto (1, -2)
8. 2 2
(x,y) ,
xy
f
x y


respecto a y en el punto (2, -1)
9. 3 33
(x,y)f x y  , respecto a x en el punto (1, 1)
10. ,xy
z ye respecto a y en el punto (0, 1)
11. Si 2 3 ,z x y  demuestre que 3 2 0x yz z 
12. Si ,
y
x
z e demuestre que 0x yxz yz 
13. Si
2
,
y
x
z x e

 demuestre que 2x yxz yz z 
14. Si
3 3
y ,z x  demuestre que 3x yxz yz z 
15. Si ,xy
z ye demuestre que
xy
x yxz yz e  
16. Si ,
y
z
y x


demuestre que
2
y x
x
xz yz
x y
 
   
 
Bibliografía
LARSON. HOSTETLER. Cálculo y geometría analítica. Tercera edición. McGRAW-WILL
(Stewart, Cálculo de varias variables conceptos y contextos, 2010)
Venero, A. (2012). Análisis matemático III Transformaciones Integrales múltiples y de superficie. Lima: Gemar.
Referencias
https://ingejoel.jimdo.com/c%C3%A1lculo-vectorial/
https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo
https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
www.migueltarazonagiraldo.com
https://www.youtube.com/watch?v=Cq4ihtKd7So

Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores

Similar a Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores (20)

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV (20)

Último

Último (20)

Límites, continuidades y derivadas en dimensiones superiores