Curso matemática 2do secundaria

2. “Año de la Fraternidad, siendo Instrumentos de
Paz”
Mi logro será ...
Competencia Capacidad Desempeño

3. Bisectriz
La bisectriz de un ángulo, es aquel rayo, segmento, recta(línea) que divide al ángulo en otros
ángulos que tienen la misma medida.
P
Q
R
El Incentro (I).- es el punto donde concurren o
intersecan las bisectrices interiores de un
triángulo. Para ubicar el incentro basta con trazar
dos bisectrices interiores. El Incentro es el centro
de la circunferencia inscrita al triángulo. Todo
triángulo tiene un incentros. Y siempre se
encuentra ubicado dentro del triángulo.
𝑰

4. Bisectriz
Ahora debemos trazar las bisectrices
exteriores de los tres ángulos del triángulo.
Para ello prolongaremos los tres lados del
triángulo
P
Q
R
𝑬𝑷𝑸
𝑬𝑸𝑹
𝑬𝑷𝑹
𝐸𝑃𝑄: Excentro relativo al lado 𝑃𝑄
𝐸𝑄𝑅: Excentro relativo al lado 𝑄𝑅
𝐸𝑃𝑅: Excentro relativo al lado 𝑃𝑅
El Excentro (E)es el punto donde concurren o
intersecan las bisectrices exteriores de un
triángulo. Para ubicar un excentro basta con
trazar dos bisectrices exteriores. El Excentro es el
centro de la circunferencia ex-inscrita al
triángulo. Todo triángulo tiene tres excentros.

5. Mediatriz
Veamos la mediatriz de un segmento
Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento o lado de un
triángulo. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices las cuales convergen,
concurren o intersecan en un mismo punto denominado circuncentro del triángulo.
A B
P
L
Si L es mediatriz de AB,
entonces:
AP ≅ PB
Propiedad de la mediatriz
Todo punto que pertenece a la mediatriz de un
segmento, equidista de los extremos de dicho segmento.
A B
P
L
Q
M
AQ ≅ QB
AM ≅ MB
 
 
 
 

6. P
Q
R
Circuncentro
Es el punto donde concurren o intersecan las mediatrices de los tres lados de un triángulo.
En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices. Para localizar el circuncentro basta
con trazar dos mediatrices. El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.
C
Mediatrices trazadas
𝐿1: Mediatriz relativa al lado 𝑄𝑅
𝐿2: Mediatriz relativa al lado 𝑄𝑃
𝐿3 : Mediatriz relativa al lado 𝑃𝑅
𝐂 : Circuncentro del triángulo 𝑃𝑄𝑅.
𝑳𝟏
𝑳𝟐
𝑳𝟑

7. Circuncentro
El circuncentro de un triángulo acutángulo se
encuentra en el interior del triángulo.
El Circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Es decir, el
circuncentro equidista de los vértices del triángulo.
P
Q
R
C
Propiedad del circuncentro
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo
ya que es un punto que pertenece a las mediatrices.
𝐶𝑄 ≅ 𝐶𝑃 ≅ 𝐶𝑅 = radio de la circunferencia

8. Mediana
Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. En todo triángulo
se pueden trazar tres medianas que concurren o intersecan en un mismo punto llamado
Baricentro.
Para ello primero ubiquemos los puntos medios de cada lado, de la misma forma que trazamos las
mediatrices, ya que estas pasan por el punto medio del segmento o lado.
P
Q
R
𝑮
Medianas trazadas
𝑄𝑉: Mediana relativa al lado 𝑃𝑅
𝑅𝑇: Mediana relativa al lado 𝑃𝑄
𝐺 : Baricentro del triángulo 𝑃𝑄𝑅.
S
T
V
𝑃𝑆: Mediana relativa al lado 𝑄𝑅

9. Es el punto donde concurren o intersecan las medianas de un triángulo. En todo triángulo
se pueden trazar tres medianas. Pero para determinar el baricentro basta con trazar dos
medianas.
Baricentro
Propiedad del baricentro
En todo triángulo el baricentro divide a la mediana en dos segmentos que son proporcionales a 2 y 1.
P
Q
R
𝑮
S
T
V
𝑄𝐺 = 2𝐺𝑉
𝑅𝐺 = 2𝐺𝑇
𝑃𝐺 = 2𝐺𝑆
Relación o proporción

10. Es triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de los tres lados del triángulo. El
baricentro del triángulo mediano coincide con el baricentro del triángulo original. Por
consiguiente también cumple con las mismas propiedades
Triángulo mediano
El perímetro del triángulo mediano es la mitad del perímetro del triángulo original.
P
Q
R
𝑮
S
T
V

11. REVISO LO QUE APRENDÍ
1. Traza las alturas en un triángulo obtusángulo y determina el ortocentro y responde
dónde se encuentra localizado el ortocentro en dicho triángulo.
2. Traza las mediatrices en un triángulo obtusángulo y determina el circuncentro y responde
dónde se encuentra localizado el circuncentro en dicho triángulo.
3. Traza las mediatrices y las medianas en un triángulo acutángulo isósceles y determina el
circuncentro y el baricentro responde dónde se encuentran localizados dichos puntos en
el triángulo.