Este documento presenta dos problemas de funciones reales de variable real. El primer problema define una función para modelar la cantidad de personas vacunadas contra COVID-19 en función del número de semanas transcurridas desde mediados de setiembre. El segundo problema define una función para modelar la velocidad de internet recibida en función del número de horas punta transcurridas, considerando que la velocidad contratada disminuye un 25% por hora punta. Ambos problemas solicitan determinar estas funciones y realizar cálculos utilizando dichas funciones.

1. SEMANA 2
PROBLEMA 1
Si un moderno respirador artificial costaba al inicio de la pandemia del COVID-19 $18 000 y se
eleva su precio, un 8 % de su valor inicial cada semana, determine una función que exprese el
valor “V” de la máquina después que han transcurrido “t” semanas.
SOLUCIÓN:
Valor original: $ 18 000
Cada semana se eleva su precio 8% de su valor inicial:
8% 18 000 =
8
100
. 18 000 = 1 440
PROBLEMA 2
Una empresa textil en Los Olivos fabrica prendas de algodón, tiene costos fijos de 4500 soles al
mes y sus costos unitarios para elaborar cada polo es 14 soles. Si cada polo de exportación lo
vende en 40 soles. Determine la función que modele:
a) El costo total
b) La utilidad.
c) Qué utilidad o pérdida obtendría al vender 180 polos
SOLUCIÓN:
a) C(x) = 4500 +14x
b) U(x)= 40x – (4500 +14x)
U(x)= 40x – 4500 -14x)
U(x)= 26x –4500
c) U(180) = 26(180) -4500 =180
Por lo tanto la empresa estaría ganando solo 180 soles
V(t) = 18000 +1440 t

2. EJERCICIOS SEMANA 01:
1. Dada la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5 − 3, determinar el dominio, rango y la intersección con
el eje 𝑋.
SOLUCIÓN:
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓:
2𝑥 − 5 ≥ 0
𝑥 ≥
5
2
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = [
5
2
; +∞⟩
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓:
√2𝑥 − 5 ≥ 0
√2𝑥 − 5 − 3 ≥ 0 − 3
𝑦 ≥ −3
𝑅𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = [−3; +∞⟩
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋:
𝑦 = 0
√2𝑥 − 5 − 3 = 0
√2𝑥 − 5 = 3
2𝑥 − 5 = 9
𝑥 = 7
Respuesta: La intersección con el eje 𝑋 es 𝑥 = 7.
2. Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥−3
𝑥2−4𝑥−12
a) Determinar el dominio.
b) Las intersecciones con el eje X y el eje Y.
c) Calcular 𝑓(−3), 𝑓(8)
d) El valor de 𝑥 para el que 𝑓(𝑥) = 2
SOLUCIÓN:

3. a) Dominio de 𝑓:
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑅 − {−2; 6}
b) Intersección con el eje 𝑋:
𝑦 = 0
𝑥 − 3
𝑥2 − 4𝑥 − 12
= 0
𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
Respuesta: La intersección con el eje 𝑋 es 𝑥 = 3.
Intersección con el eje 𝑌:
𝑥 = 0
𝑦 =
0 − 3
02 − 4(0) − 12
=
1
4
= 0.25
𝑦 = 0.25
Respuesta: La intersección con el eje 𝑌 es 𝑦 = 0.25.
c) 𝑓(−3) =
−3−3
(−3)2−4(−3)−12
=
−6
9
= −
2
3
𝑓(8) =
8 − 3
82 − 4(8) − 12
=
1
4
d) 𝑓(𝑥) = 2
2 =
𝑥 − 3
𝑥2 − 4𝑥 − 12
2(𝑥2
− 4𝑥 − 12) = 𝑥 − 3
2𝑥2
− 8𝑥 − 24 = 𝑥 − 3
2𝑥2
− 9𝑥 − 21 = 0
𝑥 =
−(−9) ± √(−9)2 − 4(2)(−21)
2(2)
=
9 ± √249
4
𝑥 =
9 + √249
4
= 6.195
𝑥 =
9 − √249
4
= −1.695
𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 6
𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = −2
𝑥 − 6
𝑥 + 2
𝑥2
− 4𝑥 − 12 = 0

4. e) 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: Los valores para los cuales 𝑓(𝑥) = 2 son: 𝑥 = 6.195 y 𝑥 = −1.695
3. Los Ingresos (I) de cierta empresa se expresan como 𝑰(𝒙) = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟖.
Asimismo, sus egresos (C) se expresan como 𝑪(𝒙) = 𝟓 + 𝟏𝟎𝒙, donde
“x” representa el número de artículos producidos y vendidos y ambas
funciones expresadas en dólares. Determinar la Utilidad (U) para 50
artículos producidos y vendidos.
Sol:
Primero determinamos como se expresa la función Utilidad
Se sabe que:
𝑼𝒕𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 = 𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 − 𝑬𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐
𝑼(𝒙) = 𝑰(𝒙) − 𝑪(𝒙)
𝑼(𝒙) = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟖 − (𝟓 + 𝟏𝟎𝒙)
𝑼(𝒙) = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟖 − 𝟓 − 𝟏𝟎𝒙)
𝑼(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟑
Ahora determinamos la utilidad para x=50
𝑼(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟑
𝑼(𝟓𝟎) = 𝟐𝟎(𝟐𝟎) − 𝟏𝟑
𝑼(𝟓𝟎) = 𝟑𝟖𝟕
Rpta. La Utilidad de la empresa será de 387 dólares.

5. 4. Un centro médico planea atender entre 20 y 50 pacientes por día en el
área de pediatría. El precio (p) en soles de una consulta por paciente se
expresa como 𝒑(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐, siendo “x” la cantidad de pacientes
atendidos por día. Cuál será el ingreso (I) mínimo y cuál será el ingreso
máximo esperado por dicho centro médico.
Primero determinamos como se expresa la función Ingreso
Se sabe que:
𝑰𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐 = 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒙 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅
𝑰(𝒙) = (𝟓𝒙 − 𝟏𝟐). (𝒙); 𝒙 ∈ [𝟐𝟎; 𝟓𝟎]
𝑰(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙
Ahora determinamos el Ingreso obtenido por 20 pacientes (Ingreso mínimo)
𝑰(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙
𝑰(𝟐𝟎) = 𝟓(𝟐𝟎)𝟐
− 𝟏𝟐(𝟐𝟎)
𝑰(𝟐𝟎) = 𝟓(𝟒𝟎𝟎) − 𝟐𝟒𝟎
𝑰(𝟐𝟎) = 𝟏 𝟕𝟔𝟎
Ahora determinamos el Ingreso obtenido por 50 pacientes (Ingreso máximo)
𝑰(𝟓𝟎) = 𝟓(𝟓𝟎)𝟐
− 𝟏𝟐(𝟓𝟎)
𝑰(𝟓𝟎) = 𝟓(𝟐𝟓𝟎𝟎) − 𝟔𝟎𝟎
𝑰(𝟓𝟎) = 𝟏𝟏 𝟗𝟎𝟎
Rpta. El Ingresó mínimo será de S/ 1 760 y el Ingreso máximo será
de S/ 11 900
5. Valor numérico de una función. Determine el valor de N en cada caso:
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3,
(19) (12)
(7)
f f
N
f

=
Solución:
Hallemos los valores:

6. (19) 19 3 16 4
f = − = =
(12) 12 3 9 3
f = − = =
(7) 7 3 4 2
f = − = =
Sustituyendo en la expresión N, tenemos:
(19) (12) 4 3
6
(7) 2
f f
N
f
 
= = =
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
3𝑥−4
,
(0) (1)
(2) (3)
f f
N
f f
−
=

Solución:
Hallemos los valores:
0 2 1
(0)
3(0) 4 2
f
+
= = −
−
1 2
(1) 3
3(1) 4
f
+
= = −
−
2 2
(2) 2
3(2) 4
f
+
= =
−
3 2
(3) 1
3(3) 4
f
+
= =
−
Sustituyendo en la expresión N, tenemos:
1 5
( 3)
(0) (1) 5
2 2
(2) (3) 2 1 2 4
f f
N
f f
− − −
−
= = = =
 

7. 6. Halle el dominio de 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √
2𝑥
𝑥2−4
Solución:
Para hallar el dominio de una función raíz cuadrada se debe exigir que el radicando sea no
negativo, es decir:
2𝑥
𝑥2 − 4
≥ 0
2𝑥
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
≥ 0
Los puntos críticos son: x=0, x=-2 y x=2
Luego, ubique los puntos críticos en la recta real y se tiene:
Por lo tanto, el dominio de la función es:

8. 𝐷𝑓 = (−2; 0⟧ ∪ (2; +∞)
SEMANA 1: PROBLEMA 1-Función Real de Variable Real-
La vacuna experimental contra el COVID 19 ha llegado a nuestro país y aunque varios
sectores de salud tienen reservas de su efectividad, el gobierno central ha dispuesto su
aplicación. La demanda es tal que a mediados de setiembre son 35400 los vacunados,
además semanalmente se registra que se vacunan nuevos pacientes en cantidades
iguales al 23% de ésta cantidad. Por tanto se le pide determinar:
a) La función “C” que exprese la cantidad de personas vacunadas cuando transcurran
“t” semanas posteriores a la quincena de setiembre.
b) Cuántas semanas deberán transcurrir para tener 100 000 personas vacunadas.
SOLUCIÓN
a) Calculando la función de la cantidad de personas vacunadas.
A mediados de setiembre: 35400 vacunados.
Cada semana se vacunan:
23
100
∗ 35400 = 8142 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠.
Al pasar x semanas después de la quincena de setiembre, estarán vacunados:
C(x) = 35400 + 8142 x
b) Si se vacunaron 100 000 personas, habrán pasado:
C(x) = 100 000
35400 + 8142 x = 100 000
8142 𝑥 = 100 000 − 35400

9. 8142 𝑥 = 64600
𝒙 = 𝟕, 𝟗𝟑 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒔. 𝐄𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐀𝐩𝐫𝐨𝐱𝐢𝐦𝐚𝐝𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐞 𝟖 𝐬𝐞𝐦𝐚𝐧𝐚𝐬
SEMANA 1: PROBLEMA 2-Función Real de Variable Real-
Las plataformas virtuales siguen colapsando y vemos que la creciente demanda de megas
para acceso a internet, aminora la señal a puntos tal que en las horas punta la señal llega
a alcanzar a 18 Mbps en la casa de Daniel. Sin embargo el tiene un plan contrato para
tener 200 megabyte por segundo, además también confirmó que por cada hora punta
que pasa, la velocidad de internet que va recibiendo “R” disminuye en 25% de lo
contratado. Por tanto se le pide determinar:
a) La función “R” que exprese la cantidad de megas que recibe cuando transcurran “t”
horas punta.
b) A qué hora recibirá 18 Mbps, si la hora punta empieza a las 5 pm.
SOLUCIÓN
a) Calculando la función de la cantidad de megas que recibe.
Tiene contrato para una velocidad de: 200 Mbps.
Cada hora punta que pasa, la velocidad de internet disminuye:
25
100
∗ 200 = 50𝑚𝑏𝑝𝑠.
Al pasar x horas de horas punta, recibe:
R(t) = 200 − 50t
b) Si se reciben 18Mbps, habrán pasado:
R(t) = 18
18 = 200 − 50t
50t = 200 − 18
50t = 182

10. t = 3,64 horas. Es decir 3 h 38m 24 s
Daniel recibirá los 18 Mbps a las 8h 38m 24 s de la noche
EJERCICIOS DE FUNCIONES:
3. Grafique y determine el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones:
𝑓(𝑥) = 2 + √𝑥 − 3
Solución:
Hallamos e dominio de la función:
𝑥 − 3 ≥ 0
→ 𝑥 ≥ 3
𝐷𝑜𝑚𝑓(𝑥) = [3; +∞⟩
Hallamos el rango de la función:
𝑓(𝑥) = 2 + √𝑥 − 3
→ (𝑓(𝑥) − 2)2
+ 3 = 𝑥
𝑓(𝑥) ≥ 2
𝑅𝑎𝑛𝑓(𝑥) = [2; +∞⟩
Graficamos:

11. 4. Dadas las representaciones gráficas de las siguientes funciones, determine su Dominio y
Rango.
Solución:
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ⟨−∞; −1⟩𝑈〈−1; 1〉𝑈〈1; 3〉𝑈〈3; 17〉
𝑅𝑎𝑛𝑓 = ⟨−∞; 5⟩
SEMANA 1

12. 5. Mediante el criterio de la recta vertical, determine si las siguientes gráficas Corresponden a
una función
RESPUESTA
La figura 1 no es función por el criterio de la línea vertical. Las demás son funciones por el mismo
criterio
6) En las siguientes grafica de funciones, indica el dominio y rango de cada función.
a) b)
c)
RESPUESTA
Figura a) El dominio de la función que representa esta gráfica está dado por el intervalo [-2, 5 > y el
rango por el intervalo [-7, 2].
f
g

13. Figura b) El dominio de la función es la unión de los tres intervalos: -2≤ x < 0, 0≤ x < 2, 2< x ≤ 4. La
cual es el intervalo -2< x ≤ 4. El rango es el intervalo -1< x ≤ 4.
Figura c) El dominio de la función que representa esta gráfica está dado por el intervalo [-2, 3] y el
rango por el intervalo [-4, 5].
7)Determine el dominio de las siguientes funciones:
a) 2
4
)
( 2
+
−
= x
x
x
f b) 1
8
)
( −
= x
x
f c) 1
2
3
)
( 2
+
−
=
x
x
x
x
f
d) x
x
x
x
f
2
4
)
(
2
+
−
=
RESPUESTA
a) Dom R
b) [1/8, +∞ >
c) R – (1)
d) R – (0)