1. 1) Potencias de base natural y
exponente natural
En este caso se multiplica la base
por si misma las veces que indique
el exponente. Ejemplo:
63
= 6 .6.6=216
104=
10.10.10.10= 10.000
3. Valor de una potencia
• Si la base es positiva, el resultado siempre
será positivo, pues los
• factores que se multiplican son positivos (e
iguales), como:
• 32
= 3 • 3 = 9 ó 33
= 3 • 3 • 3 = 27
4. • Si la base es negativa, el resultado puede ser positivo
o negativo, dependiendo del exponente:
• Cuando es par, el resultado será positivo, pues la
cantidad de factores es par, como:
• (–3)2
= (–3) • (–3) = 9 (dos números negativos)
• Cuando es impar, el resultado será negativo, pues la
cantidad de factores es impar, como:
• (–3)3
= (–3) • (–3) • (–3) = –27 (tres números negativos
5. • Calcula mentalmente el valor de cada
potencia y escribe el resultado.
• a) (–4)2
=
• b) 33
=
• c) (–10)9
=
• d) (–1)15
=
• e) (–5)3
=
• f) 24
=
• g) 122
=
• h) (–12)2
=
6. PROPIEDADES DE LAS
POTENCIAS.
• 1.- Multiplicación de potencias de igualMultiplicación de potencias de igual
base y distinto exponente.base y distinto exponente.
• al multiplicar potencias de igual base (positiva), se puede conservar la
base y sumar los exponentes.
• 52
+ 53
= 52+3
= 5 5
• ¿Sucederá lo mismo si la base de las potencias es negativa, como
• (–2)3
• (–2)4
?
• Realizamos la multiplicación de las potencias:
( –2)3
• (–2)4
= (–2 • –2 • –2) • (–2 • –2 • –2 • –2) = –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2 • –2
3 factores 4 factores 7 factores
= (–2)7
= –128
7. • Luego, al multiplicar potencias de igual
base (negativa), se puede conservar la
base y sumar los exponentes.
• No olvides que...
• Para multiplicar potencias de base entera y
exponente natural, si tienen igual base, se
puede conservar la base y sumar los
exponentes.
• Esta propiedad también es aplicable al producto
de tres o más potencias de igual base.
8. EJERCITAR
• 1. Escribe las siguientes expresiones como
una sola potencia y calcula su valor.
• a) 4 • 42
• 43
=
• b) (–5)3
• (–52
=
• c) (–1)2
• (–1)3
• (–1)5
=
• d) 103
• 106
=
• e) 2 • 2 • 2 • 22
=
• f) (–6)2
• (–6)5
• (–6) =
9. • 2. Encuentra el exponente que falta, en
cada caso, para que se cumplan las
igualdades.
• a) (–3) • (–3)4
= (–3)9
• b) 113
• 11 = 1112
• c) (–22
• (–2) • (–2)5
= (–2)10
• d) (–10) • (–10) • (–10)2
= (–10)4
10. 3. Multiplicación de potencias de
igual exponente y distinta base.
Al multiplicar potencias con igual exponente,
podemos multiplicar las bases y conservar
el exponente.
Ejemplo:
(–2)3
• 33
• 43
= ( -2) . 3 .4= ( -24)3
11. EJERCITAR
• 1. Escribe cada expresión como una
sola potencia.
• a) 34
• 44
= b) 26
• (–5)6
=
• c) (–6)7
• 117
= d) (–2)8 • (–7)8
=
• e) 43
• 53
• 63
=
• f) (–3)2
• (–4)2
• (–2)2
=
12. 4. División de potencias de igual
base y distinto exponente.
• al dividir potencias de igual base (positiva), se
puede conservar la base y restar los
exponentes.
Ejemplo: 66
: 64
= 62
• ¿Sucederá lo mismo en (–2)12
: (–2)7
?
• Si: (-2)12
: (-2)7
= (-2)12 -7
= (-2)5
13. • Resuelve las siguientes divisiones de
potencias.
Guíate por el ejemplo.
(–4)5
: (–4)3
= (–4)2
= 16
• a) (–10)8 : (–10)2
= c) 66
: 65
=
• e) (–81)12
: (–81)12
= b) (–5)4
: (–5) =
• d) (–12)20
: (–12)18
= f) 73
: 7 =
14. 5. División de potencias de igual
exponente y distinta base.
• Al dividir potencias con igual exponente,
podemos dividir las bases y conservar
el exponente.
123
: 63
= 23
(-18)2
: 32
= (-6)2
(-40)3
: (-4)3
= 103
15. • 1. Escribe cada expresión como una
sola potencia.
a) 1004
: (–25)4
= c) 816
: 96
=
b) (–36)9
: (–4)9
= d) (–96)3
: 123
=
• 2. Calcula el valor de las siguientes
expresiones. Guíate por el ejemplo.
(–18)3
: 93
= (–18)3
: 93
= (–2)3
= (–8)
a) 2252
: (–25)2
= c) (–200)5
: (–2)5
=
b) (–24)3
: 33
= d) 154
: 54
=
16. Potencia de una potencia
• Para calcular el valor de dicha potencia,
podemos mantener la base y multiplicar
los exponentes, es decir:
(53
)2
= 53 • 2
= 56
En el caso de que la base sea negativa,
tenemos:
(–5)3
)2
= (–5)6
= 15. 625.
17. 1. Calcula el valor de las siguientes
expresiones.
a) (32
)4
= c) (–3)2
)2
=
b) (–2)3
)3
= d) (–1)3
)5
)2
=
f) (–5)2
)4
=
2. Completa con los exponentes que
faltan para que se cumpla cada igualdad.
a) (35
)3
= 3 c) (22
)5
) = 220
b) (-7)x
)2
= (–7)10
d) (–7)9
)3
=(–7)x
18. POTENCIAS DE BASE
FRACCIONARIA POSITIVA
Y EXPONENTE NATURAL .
Para elevar una fracción a una potencia se
eleva tanto el numerador como el
denominador al exponente.
19. • El exponente nos indica cuantas veces
debemos multiplicar por sí mismos tanto
el numerador como el denominador de la
fracción.
20. • 1 5
: 1 2
= 1 3
= 1 . 1 . 1 = 1
2 2 2 2 2 2 8
• en la división de potencias de igual base
(en este caso fraccionaria), se conserva la
base y se restan los exponentes.
• 2 5
: 2 2
= 2 3
= 2 . 2 . 2 = 8
3 3 3 3 3 3 27
• 3 7
: 3 5
= 3 2
= 3 . 3 = 9
5 5 5 5 5 25
21. • 3 2
. 2 2
= 6 2
= 6 . 6 = 36
5 7 35 35 35 1225
En la multiplicación de potencias de igual
exponente se multiplican las bases (en este caso
fraccionarias)y se conserva el exponente
• 4 2
. 2 2
= 8 2
= 8 . 8 = 64
7 3 21 21 21 441
• 2 3
. 4 3
= 8 3
= 8 . 8 . 8 = 51
• 6 3 18 18 18 18 5832
22. • 2 2 3
2 6 64
3 = 3 = 729
• En este caso, podemos notar que, en la
potencia de una potencia, se mantiene la
base(en este caso fraccionaria) y se multiplican
los exponentes
• 4 1 3
4 3 64
5 = 5 = 125
3 3 3
3 9 X
7 = 7 = X
23. 3) Potencias de base decimal y
exponente natural
Multiplicaremos el decimal por sí
mismo cuantas veces nos indique el
exponente.
25. ejemplos:
a) (0,3)3
. ( 0,3)3
= (0,3)6
•Como las bases son iguales; entonces, se
conserva la base y se suma los
exponentes, es decir:
(0,3)3
• (0,3)3
= (0,3)3 + 3
= (0,3)6
.= 0,000729
b) (0,2)2
. ( 0,2)3
= (0,2)5 = 0,00032
27. POTENCIAS
• Otra manera de resolver una potencia de
base decimal, es transformando el
decimal a fracción y luego multiplicando la
fracción por sí misma las veces que nos
indique el exponente
30. Potencia de 10
• Como verás, es muy simple resolver potencias de base
10 y exponente natural. El resultado siempre será un 1
acompañado de cuantos ceros nos indique el
exponente. Así si tenemos,
•
• entonces el resultado será un 1 acompañado de 3 ceros,
es decir,
• 1 000.
32. Ejercitar números grandes
• Anota el número que corresponde a la
información dada:
• a)Radio de la Luna 106
metros =
• b) Distancia de la Tierra a la Luna 105
km =
• c) Duración promedio de la vida de una persona
109
segundos =
• d) Tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta
al Sol 107
segundos =
•
37. Expresa en notación científica los
siguientes números:
• a) Velocidad de la luz: 300.000 km/s
• b) Radio terrestre: 6.370.000 metros
• c) Edad de la Tierra: 4.500.000.000 años
• d) Radio de la Luna: 1.700.000 metros
• e) Desaparición de los dinosaurios: 65.000.000 años
• f) Medida del virus de la gripe: 0,000000120 metros
• g) Medida del virus del SIDA: 0,0000001 metros
• h) Constante de gravitación universal: 0,0000000000667
Nm2/kg2
38. Crecimiento exponencial
• Un grupo de estudiantes está analizando la
pudrición de una hortaliza. Ellos consideran que
la infección es extensa, es decir, la hortaliza no
puede ser consumida cuando tiene 1024 o
más bacterias por milímetro cuadrado (mm2).
Además, observaron que las bacterias que
producen la pudrición de la hortaliza se duplican
cada una hora.
39.
40. • Si observamos la tabla, hay 64 bacterias
por mm2 en la hortaliza transcurridas 6
horas, es decir, si comenzaron el estudio
a las 8:30 horas, dicha cantidad está
presente a las 14:30 horas.
• Por otra parte, la hortaliza no podrá ser
consumida transcurridas 10 horas, es
decir, a las 18:30 horas la infección será
considerada extensa por los estudiantes
41. • Este tipo de relación entre las variables se
llama crecimiento exponencial, o se dice
que crecen exponencialmente. Este
tema lo estudiarás con más profundidad
en cursos posteriores.
42. EJERCITAR
• 1. Pedro organiza una campaña solidaria con el
fin de recaudar dinero para una protectora de
animales; el primer día, le informa a 3 amigos:
cada uno dona $ 100 y, a su vez, se
comprometen a que cada uno pedirá $ 100 a
otras 3 amistades diferentes el segundo día, y
que cada una de estas personas les pedirán $
100 a otras 3 personas diferentes el tercer día, y
así, sucesivamente, los siguientes días.
• Completa la siguiente tabla y responde.
