El documento trata sobre los conceptos de máximos y mínimos de funciones. Explica que los máximos y mínimos son valores extremos que toma una función y presenta el criterio de la primera derivada para encontrarlos. También incluye ejemplos de aplicación de este criterio para hallar los extremos de funciones dadas.

1. UNIVERSIDAD PRIVADA
ANTENOR ORREGO
APLICACION
ES DE LA
DERIVADA
DOCENTE: GARCÍA

2. EXTREMOS RELATIVOS,
CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADALos máximos o mínimos de una
función conocidos como
extremos de una función, son
los valores mas grandes
(máximos) o mas pequeños
(mínimos) que toma una
función en un punto situado ya
sea dentro de una región en
particular de la curva o en el
dominio de la función en su
totalidad
DOCENTE: GARCÍA

3. EXTREMOS RELATIVOS,
CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADA
Sea una función
Se dice que tiene un máximo
absoluto en A si existe por lo menos
un punto en A tal que:
Sea se dice que tiene
un máximo relativo en si
existe un intervalo abierto que
contiene a tal que
RAf : RA
    Axafxf 
RAf : f
Aa
I
AIx a
MÁXIMOS DE UNA FUNCIÓN
DOCENTE: GARCÍA

4. EXTREMOS RELATIVOS,
CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADA
Diremos que tiene un mínimo
absoluto en A si existe
tal que
MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
f
Ab
   xfbfAx  ,
Una función tiene un mínimo
o un máximo relativo en un
punto c cuando c es un valor
crítico de f.
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5. NINGUNO
--
NINGUNO
++
MÍNIMO
+-
MÁXIMO
-+
c, f(c)Signo de
f ‘ en (c,b)
GRÁFICO
a c b
Signo de
f ‘ en (a,c)
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6. 1) Se deriva la función y = f( x ) y se iguala a cero la derivada.
2) Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior. Las raíces
encontradas se llaman valores críticos y son los que por tener
tangente con pendiente cero (tangentes horizontales), pueden
ser máximos o mínimos.
3) Para investigar cada valor crítico si es máximo o mínimo:
a) Se toma un valor un poco menor a ese valor crítico y se
sustituye en la derivada. Luego se toma un valor un
poco mayor y se sustituye en la derivada.
b) Si el valor de la derivada cambia de positivo a negativo,
el valor crítico en análisis es un máximo; si cambia de
negativo a positivo, es un mínimo.
REGLA PARA ENCONTRAR LOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
DOCENTE: GARCÍA

7. EJEMPLOS
Hallar los valores máximos
y/o mínimos de la función
y=x2 −4x+7
Graficando la función
anterior se obtiene la
parábola de la figura . Lo
que deberá confirmarse
aplicando el procedimiento.
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8. Paso 1: Derivando la función e igualando a cero:
dy /dx = 2x – 4=0
Paso 2: Resolviendo 2x - 4 = 0, se llega a que
x = 2. - Este es el valor crítico.
Paso 3a: Dando primero un valor un poco más pequeño que x = 2, por
ejemplo, con x = 1 y sustituyendo en la derivada: dy/ dx = 2(1) -4 =2
luego con un valor un poco mayor que x = 2, por ejemplo con x = 3 y
sustituyendo en la derivada: dy /dx = 2(3)- 4 =2
Paso 3b: Como la derivada cambió de signo de negativo a positivo significa
que existe un mínimo en el valor crítico que se analiza, es decir, hay un
mínimo en x = 2.
RESPUESTA: Tiene solamente un mínimo.
SOLUCIÓN
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9. EJEMPLOS
Halla los extremos de la función
SOLUCIÓN
Calculamos las derivadas parciales de primer orden.
Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las
derivadas parciales.
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10. Resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es
el único punto crítico de la función.
Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).
Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se
trata de un mínimo.
El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.
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11. INTEGRANT
ES
 CABALLERO CRUZ, IVONNE
 CÁRDENAS GONZÁLEZ RAQUEL
 CORNEJO URBINA, ESTRELLA
 GALLARDO GABRIEL, FLAVIO
 LÓPEZ DOMINGUEZ, DONATILA
 SEVILLANO TALAVERA, RENATO
 TIRADO CUENCA, HENRY
 QUILICHE ZELADA, LUIS
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12. GRACI
AS