Este documento presenta los conceptos de derivada direccional y derivada parcial. Explica que la derivada direccional de una función de varias variables es el límite de la variación de la función en una dirección dada, mientras que la derivada parcial es la variación de la función con respecto a una variable específica, considerando las demás constantes. Proporciona un ejemplo para calcular la derivada direccional de una función de dos variables.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN SAN CRITÓBAL
Derivada direccional
AUTOR: Héctor Becerra
CI: 21 637055

2. Derivada direccional
Teniendo en cuenta la definición anterior, se puede considerar la posibilidad
dederivarcon respectoa unadirección diferente a lasde losejes coordenados,
tenemos entonces el concepto de derivada direccional: Definición: Sea f : R n
→ R definida al menos en un entorno de ~x0, y sea ~v un vector de R n tal que
k~vk = 1. Se define entonces la derivada direccional de f en la direcci´on3 de
~v en el punto ~x0 ∈ Dome como el límite: D~vf(~x0) = lim h→0 f(~x0 + h~v) −
f(~x0) h 3Se produce aquí un evidente abuso del lenguaje, pues lo correcto
sería decir: “en la dirección y sentido de ~v”. 22 CALCULO / INGENIERO GE ´
OLOGO / TEMA 3 ´ Alternativamente, esta definición puede escribirse de la
siguiente forma, con frecuencia más ´útil en los cálculos: D~vf(~x0) =d dt f(~x0
+ t ~v) ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 La equivalencia entre ambas expresiones es trivial si
recordamos la definición de derivada ordinaria. Una vez definido el concepto
de derivada direccional, podemos comprobar con facilidad que las derivadas
parciales no son más que las derivadas direccionales en la dirección de los
vectores ~uj de la base canónica de R n . En particular, para el caso de una
función de tres variables f(x, y, z), tendremos: ∂f ∂x= D~i f , ∂f ∂y = D~j f , ∂f ∂z
= D~k f donde se ha denotado, como es tradicional, por {~i,~j,~k}, a la base
canónica de R 3 . Ejemplo: Encontrar la derivada direccional de la función f(x,
y) =x 2 + y+ 1 en la dirección de ~v = ( √ 1 2 , √ 12 ) en el punto (0,0). Utilizando
la definición de derivada direccional como un límite tendremos: D~vf(0, 0) =
lim h→0 f[(0, 0) + h( √ 1 2 , √ 1 2 )] − f(0, 0) h = = lim h→0 f( √ h 2 , √ h 2 ) − f(0,
0) h = lim h→0 h 2 2 + √ h 2 + 1 − 1 h = 1 √ 2 Alternativamente, usando la
definici´on como una derivada ordinaria: f[(0, 0) + t( 1 √ 2 , 1 √ 2 )] = t 2 2 + t √
2 + 1 ⇒ d dt µ t 2 2 + t √ 2 + 1¶ = t + 1 √ 2 y así: D~vf(0, 0) = µ t + 1 √ 2 ¶ t=0 =
1 √ 2 Veremos en el próximo tema como es posible calcular las derivadas
direccionales de una tercera forma, más fácil y operativa.
La derivada de una función real y de una variable real x en un punto x0 es lo
que varía y por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 .
Seescribey x ′( ) 0 = dy dx ⎞ ⎠⎟ x0 En funcionesreales de másde una variable

3. real se define de la misma forma la derivada para cada una de esas variables.
Por ejemplo, para la función de tres variables f x( ) , y,z la expresión df x( ) , y,z
dx ⎞ ⎠ ⎟ x0 (1) designa la derivada de f x( ) , y,z respecto a x en x = x0 , cuya
definición es df x( ) , y,z dx ⎞ ⎠ ⎟ x0 = lim h→0 f x( ) 0 + h, y,z − f x0 ( ) , y,z h
O sea, se considera x como única variable. Esa derivada es lo que varía f x( ) ,
y,z por cada unidad que varía x en los entornos más pequeños de x0 . Para
poner más claramente de manifiesto que f x( ) , y,z es función de más de una
variable, en vez de escribir esa derivada como en (1), se escribe ∂ f x( ) , y,z ∂x
⎞ ⎠⎟ x0 con la letra delta ∂ delalfabeto griego en lugar de d. Yse lee derivada
parcial de f x( ) , y,z respecto a x. Por tanto, derivada parcial de la función f x( )
, y,z respecto a x en x0 es ∂ f x( ) , y,z ∂x ⎞ ⎠ ⎟ x0 = lim h→0 f x( ) 0 + h, y,z − f
x0 ( ) , y,z h Si eselímite existe es una función del resto de las variables, en este
caso de y, z. Y es lo que varía f x( ) , y,z por cada unidad que varía x en los
entornos más pequeños de x0 para cada par de valores ( ) y,z . La función
derivada parcial de f x( ) , y,z respecto a x da la derivada parcial de f x( ) , y,z
para cada valor de x: ∂ f x( ) , y,z ∂x = lim h→0 f x( ) + h, y,z − f x( ) , y,z h y es
otra función de x, y, z. Se ve que la derivada parcial respecto a una variable se
obtiene como la derivada de una función cuya única variable fuera la variable
respecto a la quese deriva.Por eso las reglasde derivación sonlas mismas que
para una sola variable, considerando las demás como constantes. En física e
ingeniería aparecen de continuo funciones reales de más de una variable real.
Entre ellas magnitudes del espacio ordinario. Por ejemplo, la temperatura
tiene un valor en cada punto del espacio. Es, por tanto, una función real T x( )
, y,z de las coordenadas de cada punto del espacio, una función real de tres
variables reales. El potencial eléctrico tiene también un valor en cada punto
del espacio. Ese valor es un número real. Es, por tanto, una función real V x( )
, y,z de las coordenadas de los puntos del espacio2 .