El documento define varias unidades de medida antiguas como la onza, la pulgada y la libra. Explica sus orígenes en la Roma antigua y cómo aún se usan en países anglosajones. También describe otros términos como el palmo y define los polinomios en matemáticas.

1. Onza
La onza (símbolo: oz) es una unidad de masa usada desde la Antigua Roma para pesar con
mayor precisión las mercancías y otros artículos, especialmente si su peso era menor que
una libra romana. La onza todavía se usa corrientemente en los países anglosajones, y
antiguamente su uso era más extendido en toda Europa.[cita requerida]
Origen del término
La palabra onza proviene del latín ūncia, derivada a su vez del protoindoeuropeo *oinoko-
(de donde por cierto también deriva único), forma sufijada de la raíz *oino- (de donde
también deriva uno). La ūncia era la unidad fraccionaria empleada por los romanos,
quienes se servían de fracciones duodecimales; es decir, significaba "una duodécima parte".
En el contexto monetario, la uncia era la moneda de valor correspondiente a 1/12 de as. Por
su parte, la onza de peso era 1/12 de libra (nótese que la libra de 16 onzas es posterior a la
de 12 onzas). Las palabras inglesas ounce (onza) e inch (pulgada = 1/12 de pie) derivan
igualmente de ūncia.
Pulgada
La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud de la
primera falange del pulgar, y más específicamente a su falange distal. Fue utilizada en
muchos países, con diferentes equivalencias (muy probablemente dependiendo de la
longitud de la falange del gobernante que fijó la medida), pero tras la introducción del
Sistema Métrico Decimal en el siglo XIX, se fue abandonando en casi todos, salvo en los
de la zona de influencia anglosajona, aunque también en ellos se está empezando a adoptar
el Sistema Internacional de Unidades.
Como ejemplo, una pulgada castellana equivalía a 23,22 milímetros, mientras que la
anglosajona actual equivale a 25,4 mm.
Para la pulgada anglosajona (en inglés inch), su símbolo es in o ” (es importante no mezclar
este símbolo, ", con medidas en el SI, pues en el sistema internacional, es el símbolo del
segundo de arco). Actualmente en Estados Unidos, Panamá y otros países se usa una
pulgada de 25,4 milímetros.
Libra
La libra (lb) es una unidad de masa usada desde la Antigua Roma. La palabra (derivada del
latín) significa "escala o balanza", y todavía es el nombre de la principal unidad de peso y
masa usada en los países anglosajones. 1 libra equivale a 0,45359237 kilogramos y a su vez
1 kilogramo es igual a 2,20462262 libras.
Historia

2. Mucho después de la caída del imperio romano occidental cada región europea tenía su
propia manera de estimar el valor de una libra, y surgieron numerosas unidades de masa
también llamadas libra. La libra latina equivalía a 273 gramos. Aunque como unidad
monetaria de cuenta se usaba la libra griega, de 3.274 gramos.
Durante mucho tiempo hubo confusiones al pesar una mercancía en diferentes unidades
denominadas libra. Para acabar con el problema, Antoine Lavoisier propuso sustituir las
libras y otras antiguas unidades en toda Europa, por el gramo, sus múltiplos y submúltiplos.
Con el paso del tiempo, todas las naciones europeas abandonaron el uso de la libra para
sustituirla por el kilogramo, excepto las naciones anglosajonas, que todavía la usan (y otras
con influencia anglosajona, como Puerto Rico o Panamá).
Palmo
El palmo era una antigua unidad de longitud antropométrica: la medida entre el extremo
del dedo pulgar y el extremo del meñique con la mano extendida. En España se estandarizó
en 20,873 centímetros; en Nápoles, en 26,367 cm.1
Esta medida, cuando se emplea en la actualidad, se suele denominar "cuarta",
coloquialmente, y se utiliza para indicar una distancia aproximada de quince a veinte
centímetros.
Definición de polinomios
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla,
prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3
es una expresión matemática
constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y
constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones
aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.
En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y
restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial),
como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún
parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son
utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las
ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran
variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la
física, química, economía y las ciencias sociales.

3. Tipos de polinomios
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2
+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3
− 2x2
+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4
+ x3
− 2x2
+ 3x + 2
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2
+ 3xy
Polinomio heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3
+ 3x2
− 3
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el
término de mayor grado.

4. P(x) = 2x3
+ 3x2
+ 5x − 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a
menor grado.
P(x) = 2x3
+ 5x − 3
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3
+ 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2
+ 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3
− 3x2
+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x3
+ 5x − 3) + (2x3
− 3x2
+ 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3
+ 2x3
− 3 x2
+ 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3
− 3x2
+ 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3
+ 5x − 3) − (2x3
− 3x2
+ 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3
+ 5x − 3 − 2x3
+ 3x2
− 4x
P(x) − Q(x) = 2x3
− 2x3
+ 3x2
+ 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2
+ x − 3

5. Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3
− 3 x2
+ 4x − 2) = 6x3
− 9x2
+ 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el
polinomio.
3 x2
· (2x3
− 3x2
+ 4x − 2) = 6x5
− 9x4
+ 12x3
− 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2
− 3 Q(x) = 2x3
− 3x2
+ 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2
− 3) · (2x3
− 3x2
+ 4x) =
= 4x5
− 6x4
+ 8x3
− 6x3
+ 9x2
− 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5
− 6x4
+ 2x3
+ 9x2
− 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que
se multiplican.
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5
+ 2x3
−x − 8 Q(x) = 3x2
−2 x + 1

6. P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en
los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5
: x2
= x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4
: x2
= 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3
: x2
= 5 x

7. Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2
: x2
= 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede
continuar dividiendo.
x3
+2x2
+5x+8 es el cociente.
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve
para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4
−3x2
+2 ) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan
con ceros.

8. 2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente
término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.

9. 8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
x3
+ 3 x2
+ 6x +1
Productos notables
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el
doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2
= a2
+ 2 · a · b + b2
(x + 3)2
= x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el
doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2
= a2
− 2 · a · b + b2
(2x − 3)2
= (2x)2
+ 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x2
+ 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2
− b2
(2x + 5) · (2x − 5) = (2 x)2
− 52
= 4x2
− 25

10. Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del
primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo
del segundo.
(a + b)3
= a3
+ 3 · a2
· b + 3 · a · b2
+ b3
(x + 3)3
= x 3
+ 3 · x2
· 3 + 3 · x· 32
+ 33
=
= x 3
+ 9x2
+ 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del
primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el
cubo del segundo.
(a − b)3
= a3
− 3 · a2
· b + 3 · a · b2
− b3
(2x − 3)3
= (2x)3
− 3 · (2x)2
·3 + 3 · 2x· 32
− 33
=
= 8x 3
− 36 x2
+ 54 x − 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno,
más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del
primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c >
(x2
− x + 1)2
=
= (x2
)2
+ (−x)2
+ 12
+ 2 · x2
· (−x) + 2 x2
· 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4
+ x2
+ 1 − 2x3
+ 2x2
− 2x =

11. = x4
− 2x3
+ 3x2
− 2x + 1
Suma de cubos
a3
+ b3
= (a + b) · (a2
− ab + b2
)
8x3
+ 27 = (2x + 3) (4x2
− 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3
− b3
= (a − b) · (a2
+ ab + b2
)
8x3
− 27 = (2x − 3) (4x2
+ 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2
+ ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2
+ (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2
+ 5x + 6
Teorema de Abel-Ruffini
En matemáticas el teorema de Abel o teorema de Abel-Ruffini postula que no pueden
resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a
cinco.
Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:
de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas,
multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.