Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de variable real, incluyendo: 1) La definición de función, dominio y rango. 2) Cómo calcular el dominio y rango de una función. 3) Ejemplos de funciones reales como f(x)=x2+1 y g(x)=-x2+2x y el cálculo de sus dominios y rangos.

1. FUNCIONES
REALES
Nivel PRE
−14
ℍ
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2. Par ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado por (, ) donde importa
el orden.
1era 2da
componente componente
Ejemplos: Ojo
1 1
2; 5 −1; 3 ; ; Son diferentes
2 2
Teorema (Igualdad de pares ordenados)
, = , ↔ = ∧ =
Ejemplo:
Si − 2; 6 = 3; 2 → − 2 = 3 ∧ 6 = 2 → = 5 ∧ = 3
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3. Plano cartesiano
Un sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular), se forma
con dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en el punto
correspondiente al número 0 en cada línea.
Segundo Primer Nombrado en honor del
cuadrante cuadrante matemático y filosofo
francés René Descartes.
(; )
Tercer Cuarto
cuadrante cuadrante
1596 - 1650
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4. Plano cartesiano
Ejemplo.
Represente geométricamente los puntos: 3; 2 , −4; 1 y (2; −3).
(3; 2)
2
(−4; 1)
1
2
−4 3
−3
(2; −3)
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5. Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos y . El producto cartesiano de
con se denota por × y se define como:
× = , / ∈ ∧ ∈
Ejemplo:
Dados los conjuntos = 1; 3 y = 2; 4; 5
Entonces
× = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Propiedades: Del ejemplo anterior
. × ≠ × × = 2; 1 , 2; 3 , 4; 1 , 4; 3 , 5; 1 , (5; 3)
. × = × ↔ =
. (×) = ⋅ En el ejemplo: (×) = 2 ⋅ 3 = 6
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6. Relación binaria
Sean y dos conjuntos no vacíos. Se llama relación de en a
todo subconjunto del producto cartesiano × . Es decir,
es una relación de en ↔ ⊂ ×
Ejemplo:
Dados los conjuntos = 1; 3 y = 2; 4; 5
Entonces
× = 1; 2 , 1; 4 , 1; 5 , 3; 2 , 3; 4 , 3; 5
Algunas relaciones de en seran:
= 1; 2 ⊂ ×
= 1; 4 , (3; 2) ⊂ ×
= 1; 2 , 1; 5 , 3; 5 ⊂ ×
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7. Función
Diremos que la relación de en es una función si y solo si:
a cada elemento ∈ le corresponde un único elemento ∈ , tal
que ; ∈ .
Notación funcional: : ⟶ o
Ejemplo:
Dada la relación = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Lo representamos con un diagrama sagital:
Vemos que a cada elemento del
conjunto , le corresponde un único
⋅3 ⋅1 elemento del conjunto .
⋅5 ⋅2
Por lo tanto, es una función.
⋅8 ⋅5
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8. Función
Ejemplo: indique cual de las siguientes relaciones es un función.
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9. Condición de unicidad
Sea una función.
Si ; ∈ ∧ ; ∈ , entonces, =
Ejemplo:
Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una función,
halle el valor de + .
= 2; − 5 , 5; 9 , + 2; 1 , 2; 6 , 5; 2
De la función vemos que:
− 5 = 6 → = 11
9 = 2 → = 3 ∨ = −3
Analicemos para cada caso:
Si = : = 2; 6 , 5; 9 , 5; 1 (no es función)
Si = −: = 2; 6 , 5; 9 , −1; 1 (si es función)
Es decir, = 11 y = −3. Por lo tanto, + = 8
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10. Dominio y rango de
una función
Dominio de una función:
Es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Dom()
Rango de una función:
Es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los
pares ordenados que pertenecen a la función.
Se denota por: Ran()
Ejemplo:
Dada la función = 3; 5 , 5; 1 , 8; 2 .
Dom = 3; 5; 8 (Conjunto de pre imágenes)
Ran = 5; 1; 2 (Conjunto de imágenes)
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11. Regla de correspondencia
Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del
rango.
Sea : ⟶ una función, entonces
; ∈ ↔ =
denota la dependencia entre e .
Además, es la variable independiente.
es la variable dependiente.
Ejemplo.
Dada la función = 1; 1 , 2; 4 , 3; 9 , (4; 16)
Se obtiene que:
1 = 1 = 12
2 = 4 = 22 = 2 ∈ 1; 2; 3; 4
3 = 9 = 32
o = 2 ∈ 1; 2; 3; 4
4 = 16 = 42
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12. Funciones reales
Diremos que la función : ⟶ es una función real de variable
real, si y son subconjuntos de los reales.
Es decir: ⊂ ℝ ∧ ⊂ ℝ.
Ejemplo:
: −1; 3 ⟶ 1; 10
⟼ 2 + 1
Como = −1; 3 ⊂ ℝ y = 1; 10 ⊂ ℝ, entonces = 2 + 1 es
una función real de variable real.
Observaciones:
1. Dom = En el ejemplo, Dom = −1; 3
2. Ran ⊆
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13. Cálculo del
dominio y rango
Sea : ⟶ una función tal que ⊂ ℝ y ⊂ ℝ.
Dominio de : Rango de :
Esta formado por todos los Esta formado por todos los
valores reales de ∈ , que valores reales de ∈ (conjunto
garantizan la existencia de de imágenes) y se calcula a
= . partir de su dominio.
Ejemplo: Halle el dominio y rango de la función = − 2 + 1
existe en ℝ si y solo si: Se tiene la función = − 2 + 1
− 2 ≥ 0 Como ≥ 2 (Dominio)
→ ≥ 2 → − 2 ≥ 0
→ ∈ 2; +∞ → − 2 ≥ 0
→ Dom = 2; +∞ → − 2 + 1 ≥ 1
∴ Ran = 1; +∞
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14. Cálculo del
dominio y rango
APLICACIÓN
Halle el rango de la función () = − 2 + 2, si se sabe que su
dominio es igual al conjunto de los números reales.
Se sugiere completar el cuadrado:
() = − 2 + 2 = − 2 − 2 +1 − 1 = −( − 1)2 +1
( − 1)2
Como Dom = ℝ, entonces, ∈ ℝ
→ ( − 1) ∈ ℝ
→ ( − 1)2 ≥ 0
→ −( − 1)2 ≤ 0
→ −( − 1)2 + 1 ≤ 1
∴ Ran = −∞; 1
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