Modulo de Matematica 8 año

Colegio Particular a Distancia
“Continental”
Acuerdo Ministerial Número Nº 0003701
Matemática- Octavo Año de Educación Básica 1
MÓDULO DE MATEMÁTICA
8vo
DE BÁSICA
Nombre: ………………………………………………………
Curso: ………………………………………………………………
Especialidad: ………………………………………………………

“Continental”
CONTENIDOS
LECCIÓN Nº1. NÚMEROS ENTEROS “Z” (PAG. 7)
Definición
Números Opuestos
Representación Gráfica
Orden y Comparación
LECCIÓN Nº2. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (PAG. 15)
Adición de Números Enteros
Sustracción de Números Enteros.
Supresión de Signos de Agrupación
LECCIÓN Nº3. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS (PAG. 22)
Multiplicación de Números Enteros.
- Propiedad Conmutativa
- Propiedad Distributiva
División de Números Enteros
LECCIÓN Nº4. POTECIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (PAG. 30)
Potenciación de los números enteros
- Reglas de cálculo de la potenciación
Radicación de los números enteros

“Continental”
LECCIÓN Nº5. NÚMEROS RACIONALES “Q” (PAG. 38)
Definición
Fracciones propias e impropias
Representación en la recta numérica
Orden y Comparación
Transformación de fracciones a denominador común
LECCIÓN Nº6. AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES (PAG. 47)
Amplificación de fracciones
Simplificación de fracciones
Fracciones Irreducibles
LECCIÓN Nº7. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 54)
Adición de Números Racionales
Sustracción de Números Racionales
LECCIÓN Nº8. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (PAG. 62)
Multiplicación de Números Racionales
División de Números Racionales
Fracciones Complejas
LECCIÓN Nº9. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES (PAG. 72)
Potenciación de Números Racionales
Radicación de Números Racionales
LECCIÓN Nº10. SISTEMA DE FUNCIONES (PAG. 801)
Par Ordenado
Producto cartesiano de dos conjuntos
Sistema Cartesiano de Coordenadas
Relaciones Binarias

“Continental”
LECCIÓN Nº11. FUNCIÓN (PAG. 91)
Definición
- Dominio
- Contradominio
Gráfica de una función en un sistema cartesiano
LECCIÓN Nº12. EXPRESIONES ALGEBRAICAS (PAG. 99)
Definición
Tipos de expresiones algebraicas
Monomios
Polinomios
LECCIÓN Nº13. GEOMETRÍA Y MEDIDA (PAG. 108)
Figuras Geométricas
Figuras Geométricas más elementales
LECCIÓN Nº14. TRIÁNGULOS (PAG. 115)
Definición
Clasificación de los Triángulos
- Por las longitudes de sus lados
- Por la amplitud de sus ángulos
LECCIÓN Nº15. TEOREMA DE THALES (PAG. 124)
Definición
Propiedades del Teorema de Thales
LECCIÓN Nº16. RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO (PAG. 132)
Altura
Mediana
Bisectriz

“Continental”
Mediatriz
LECCIÓN Nº17. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS (PAG. 139)
Congruencia de Triángulos
- Postulados de Congruencia
Semejanza de Triángulos
- Casos de Semejanza
LECCIÓN Nº18. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ELEMENTALES (PAG. 146)
Construcción de un triángulo equilátero dado un lado
Perpendicular a una rectas por uno de sus puntos
Construcción de un cuadrado dado uno de sus lados
Trazar una bisectriz
LECCIÓN Nº19. PRISMA Y CILINDRO (PAG. 153)
Prisma
- Cálculo del área de un Prisma
- Cálculo del volumen de un Prisma
Cilindro
- Cálculo del área del Cilindro
- Cálculo del volumen del Cilindro
LECCIÓN Nº20. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (PAG. 160)
Estadística
Frecuencias Absoluta y Relativa
Frecuencias Absoluta y Relativa Porcentual

“Continental”

“Continental”
LECCIÓN Nº1
NÚMEROS ENTEROS “Z”
BLOQUE: SISTEMA NUMERICO
OBJETIVOS:
 Comprender el concepto de los de los números enteros.
 Conocer la forma de ordenar y de comparar los números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:
 Ubicar correctamente números enteros positivos y negativos en la recta numérica;
ordenar y comparar números enteros aplicando los conocimientos adquiridos.
DEFINICIÓN
En las operaciones con número naturales, se vio la imposibilidad de resolver una diferencia en la
que el minuendo es menor que el sustraendo; así por ejemplo, dad la diferencia
5 9 ? 
Para poder resolver esta clase de diferencias, se crearon los llamados número enteros negativos,
que se representan por los números precedidos por el signo menos. Ejemplo: -5, -1, -124, -403.
En la vida real, hay algunas cantidades que toman valores positivos y negativos, por ejemplo
valores de temperatura 13°C, -10°C, por lo tanto se debe recurrir al conjunto de números enteros
“Z”.
Los números enteros corresponden al conjunto de números naturales y números enteros
negativos. A los números naturales con excepción del cero se los llama también números enteros
positivos. A la sucesión en orden que se muestra a continuación se llama sucesión de los números
enteros:  ... 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...Z      
Se dice que esta sucesión es infinita, es decir que no tiene fin, puesto que dado un número hay
otro que le sigue en la sucesión.

“Continental”
Números opuestos. Dos números enteros que tienen el mismo valor absoluto y distinto signo se
llaman opuestos. Son números opuestos:
7 7 ; 10 10y y 
Representación gráfica. Los números enteros están representados gráficamente en una recta; los
positivos, a partir del punto 0 en un sentido, y los negativos, a partir del mismo punto en sentido
opuesto.
ORDEN Y COMPARACIÓN EN LOS NÚMEROS ENTEROS
Relación de mayor entre números enteros. Se dice que un número entero es mayor a es mayor
que otro b si:
1. Siendo ambos positivos, el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b.
Ejemplo:
17 5, 17 5pues    
2. Siendo ambos negativos, el valor absoluto de a es menor que el valor absoluto de b.
Ejemplo:
9 12, 9 12pues  
3. Siendo de distinto signo, es a positivo. Ejemplo:
2 8 
4. El número 0 es mayor que cualquier número negativo.
Relación de menor entre números enteros. Se dice que un número entero a es menor que otro b
si:
1. Siendo ambos positivos, el valor absoluto de a es menor que el valor de b. Ejemplo:

“Continental”
27 35, 27 35pues  
2. Siendo ambos negativos, el valor absoluto de a es mayor que el valor absoluto de b.
Ejemplo:
15 3, 15 3pues  
3. Siendo de distinto signo, es a negativo. Ejemplo:
16 5 
ORDENAMIENTOS DE NÚMEROS ENTEROS.
Sea, por ejemplo, ordenar de mayor a menor los siguientes números:
2; 0; 5; 1; 8; 3  
Como hay que ordenar de mayor a menor, primero deben considerarse los números positivos, en
el ejemplo son 5 y 8, y es inmediato que 8 > 5; consideramos que entre los números para ordenar
está el 0, que es menor que cualquier número positivo y es mayor que cualquier número
negativo. Por último se consideran los números negativos, donde el mayor de los cuales es el que
está más cerca del 0 en la recta numérica, es decir:
8 5 0 1 2 3    

“Continental”
LECCIÓN Nº 1
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cuál es la definición de los números naturales?
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Número:……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Números Naturales:…………………………………………………………………………………………………………………..
Números Enteros: ……………………………………………………………………………………………………………………
Número Negativo: ………………………………………………………………………………………………………………….
Ordenamiento:………………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
RESUMO:
Conjunto de números enteros “Z"
Es la
De:
Los el y los
Relación de orden “Z"
Un número positivo es: Un número negativo es:

“Continental”
Menor
Cualquier negativo

“Continental”
CUESTIONARIO
1. En las sustracciones propuestas escribe un SI en las que son posibles en el conjunto de
los números naturales y el cero, y un NO en las que no son posibles.
18 9 ( ) 76 76 ( )
32 33 ( ) 1067 1146 ( )
84 125 ( ) 138 98 ( )
   
   
   
2. Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: -7, 6, 1, -5, -3, 5, 2.
3. Escribe los opuestos de los siguientes números:
18 ..... 4 .....
2 ..... 6 .....
4 ..... 9 .....
y y
y m y
n y y


 
4. Escribe el valor absoluto de los siguientes números enteros: -6, 35, -235, 8, -12.

“Continental”
5. Escribe entre los números planteados el signo “mayor que”, “igual”, o “menor que”,
según sea el caso.
8 1 4 ..... 5 98 ..... 98
2 ..... 3 13 ..... 13 123 ..... 123
6 ..... 7 10 ..... 9 78 ..... 79
  
   
    
6. Ordena de mayor a menor, los números enteros:
8, 12, 1, 0, 3 4 12
4, 0, 5, 19, 6 23 23
3, 2, 1, 0, 4 9
y
y
y
          
       
    
7. Ordena de menor a mayor, los siguientes número:
0, 3, 2, 11, 3 5, 0 100 11
8, 2, 14, 20, 3 19 19
3, 5, 9, 15, 20 4
y
y
y
           
          
     
Firma del Profesor Calificación Firma del Estudiante Fecha

“Continental”
LECCIÓN Nº2
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.
BLOQUE: BLOQUE NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de los números enteros.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y
sustracción de números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO:
 Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, con números enteros
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y al resultado se le
asigna el mismo signo de los sumandos; pero si tienen signo diferente, se restan sus valores
absolutos y, al resultado, se le asigna el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplo:
1.8 ( 4) 4
2. ( 7) ( 8) 15
3. ( 11) 7 4
  
   
  
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
La sustracción de los números enteros a y b se define como: a – b = a + (– b). Ejemplo:

“Continental”
1. 4 8 4
2. 7 ( 9) 7 9 16
3. ( 4) ( 9) ( 4) (9)
 
    
     
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
En algunas operaciones matemáticas se manejan signos de agrupación, los cuales pueden
suprimirse desde los más interiores hasta los exteriores.
    
Todo signo (+) puede suprimirse, escribiendo a cada número que encierra con su propio signo,
mientras que todo signo (-) puede suprimirse, escribiendo los números que encierra con signo
cambiado.
Ejemplo:
   8 4 6 3 8 4 6 3 8 4 6 3 9              

“Continental”
LECCIÓN Nº 2
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de las propiedades conmutativa, asociativa y modulativa en la adición
de los números enteros Y ponga y un ejercicio de cada uno.
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Adición: ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Sustracción o Diferencia: ……………………………………………………………………………………………………………..
Signo de Agrupación: …………………………………………………………………………………………………………………..
Paréntesis:…………………………………………………………………………………………………………………………….
Suprimir………………………………………………………………………………………………………………………………….

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
ADICIÓN
Para sumar 2 números enteros
De igual signo
Se restan
Sus valores absolutos
y al resultado se le asigna

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Realiza las siguientes adiciones:
( 54) (78) 86 ( 86)
( 318) ( 315) ( 60500) ( 10500)
(25) ( 125) 138 ( 138)
     
       
     
2. Realiza las siguientes sustracciones:
( 38) (53) ( 250) ( 200)
( 1234) ( 34) ( 420) ( 10)
(725) (125) ( 9870) ( 9870)
      
       
     
3. Suprime los signos de agrupación y halla el valor de la expresión:
  
    
  
21 3 18 12 8 9 15 19
13 17 6 4 13 5 8
3 4 6 ( 3) 5 5
         
        
        

“Continental”
 
  
  
4 ( 3) 5 10 ( 20)
40 30 (100) 200 30
40 80 100 200 60 30 100
        
      
           
4. ¿Qué número debe restarse de -200 para obtener 600?
5. ¿Qué número debe adicionarse a 300 para obtener -300?
6. A qué distancia se hallan 2 ciclistas que salen de una misma estación y en la misma
dirección pero en sentido contrario, si el uno ha recorrió 530km y el otro 315km.
7. En cierta familia, el abuelo tiene 40 años más que el hijo, éste 2 años menos que su
esposa, y ésta 18 años más que su hija Ana. Si Ana tiene 17 años, determina la edad de
su abuelo.

“Continental”
8. Un helicóptero vuela a 180m sobre el nivel del mar. En una plataforma submarina que se
encuentra a 420m del helicóptero, se ha depositado un tesoro, ¿A qué profundidad se
halla el tesoro?

“Continental”
LECCIÓN Nº3
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS.
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la multiplicación y división de los números enteros.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación y
división de números enteros.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
 Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta
con números enteros.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Para realizar la multiplicación entre números enteros de debe tomar en cuenta lo siguiente:
1. El producto de dos números enteros con signos iguales es un número entero positivo.
Ejemplo:
( 2) ( 6) 12
( 3) ( 5) 15
   
  
2. El producto de dos números enteros con signos diferentes es un número entero negativo.
Ejemplo:
( 2) ( 4) 8
( 3) (4) 12
   
 
Estas reglas de la multiplicación se pueden resumir en una regla general, llamada ley de los signos,
la misma que sirve para estandarizar y normalizar los signos de la multiplicación.

“Continental”
Propiedad Conmutativa. Si se cambia el orden de los factores, el producto es el mismo. Ejemplo:
( 7) ( 5) 35
( 5) ( 7) 35
   
   
Propiedad Distributiva. La multiplicación de números enteros es distributiva con respecto a un
polinomio aritmético. Ejemplo:
(6) (3 2 4) (6)(3) (6)(2) (6)( 4) 18 12 24 6          
DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS
Dividir un número entero a para otro b, siendo a múltiplo de b, es hallar un tercer número c tal
que multiplicado por b dé por resultado a. Ejemplo:
( 28)
4 ( 4) 7 28
7
porque

   
De la misma manera para la división entre números enteros se debe tomar en cuenta lo siguiente:
1. El cociente de dos números enteros de igual signo es un número entero positivo. Ejemplo:
( 15) (21)
5 ; 3
( 3) (7)

 

+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -

“Continental”
2. El cociente de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo.
Ejemplo:
( 24) (30)
3 ; 5
(8) ( 6)

 

De igual manera para la división se tiene ley de los signos, la misma que sirve para estandarizar y
normalizar los signos de la división.
Propiedad Distributiva. La división de números enteros es distributiva con respecto aun polinomio
aritmético.
( 10 4 16) ( 2) ( 10) ( 2) (4) ( 2) ( 16) ( 2) 5 2 8 11                   
+ + = +
- - = +
+ - = -
- + = -

“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar acerca de la propiedad modulativa en la multiplicación de los números
enteros y ponga un ejemplo.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Producto: …………………………………………………………………………………………………………………………………….
Cociente: ……………………………………..……………………………………………………………………………………………..
Ley de Signos: ……………………………………………………………………………………………………………………………..
Propiedad:…………………………………………………………………………………………………………………………….
División exacta: ………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 3

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
RESUMO:
EL PRODUCTO Y LA DIVISIÓN
De 2 números enteros
Con signos diferentes
Es Es
Un número entero
Negativo

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Realiza el producto respectivo:
( 12)(9)
( 18)(5)
(10)( 6)(4)
(5)( 18)
(25)( 20)( 2)( 15)(1)
(25)( 36)( 105)(0)(124)( 36)
 
 
 
 
   
   
2. Aplica la propiedad distributiva y halla el producto:
( 15)( 4 3 2)
( 8 9 7)(9)
(10 6)(4 3)
(5 8)( 1 9 3)
    
   
  
    

“Continental”
3. Realiza la operación y halla el cociente:
1728 32
78200 ( 25)
2000 125
77320 ( 98)
16488 ( 36)
43968 ( 64)
 
  
  
   
  
  
4. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor:
(36 27 60) ( 3)
(64 96 24) ( 8)
(320 60 120 90) ( 10)
(150 250) 5 4(9 10) 80 (8)
    
    
     
      
5. Suprime los signos:
 8( 5) 20 (5) 9( 2) 10
5(4 12) (40 5)
       
    

“Continental”
 
  
10(12) 2 ( 84) ( 7) 36(2)
10 5 2 4 2 (8 2) 3 20 4
     
         
6. ¿En cuántos minutos puedes trozar una tela de cuatro metros en cuatro partes, si cortas
un metro de tela en cada minuto?

“Continental”
LECCIÓN Nº4
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la potenciación y radicación de los números enteros.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la potenciación y
radicación de números enteros.
 Simplificar expresiones de números positivos con la aplicación de las reglas de
potenciación y de radicación
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para la multiplicación de factores iguales, se la puede representar de una manera mas
simplificada, esta nueva operación se llama potenciación. Ejemplo:
6
5 5 5 5 5 5 5     
Por lo tanto se dice que la potencia enésima de un número entero a, es el producto de n factores
iguales a a. En la potencia a n
, a es la base de la potencia y n es su exponente.
Es necesario tomar en cuenta la siguiente regla al momento de realizar la potenciación:
La potencia de exponente par lleva signo positivo, y la potencia de exponente impar lleva el
mismo signo de la base. Ejemplo:
3
4
( 2) ( 2)( 2)( 2) 8
( 3) (3)(3)(3)(3) 81
     
  

“Continental”
La potencia de base diferente de cero y exponente cero es igual a la unidad: 0
12 1 .
REGLAS DE CÁLCULO DE LA POTENCIACIÓN:
Producto de potencias de igual base. El producto de potencias de igual base es otra potencia con
la misma base y su exponente igual a la suma de los exponentes.
Cociente de potencias de igual base. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia
con la misma base y su exponente igual a la resta los exponentes.
Potencia de potencia. La potencia de potencia de igual base y exponente igual al producto de los
exponentes.
Propiedad Distributiva. La potenciación es distributiva únicamente en la multiplicación y en la
división. Ejemplo:
3 3 3
[( 4)*(5)] ( 4) *(5)  
4 4
4
5 ( 5)
12 ( 12)
      
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.
Raíz enésima de un número entero llamado radicando, es otro entero que elevado a la potencia
enésima, es igual al mismo radicando. En la operación:
n a b a = radicando, n = índice, b = raíz
Se debe tomar en cuenta que en la radicación:
1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.
2. Si el índice es par y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.
3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en el conjunto de los
números enteros.

“Continental”
Se debe aclarar que el índice (2) puede ser omitido:
2
16 16
Se debe puntualizar diciendo que la radicación es una operación inversa a la potenciación.
Ejemplo:
2
33
9 3 3 9
125 5 ( 5) 125
pues
pues
 
   
Propiedad Distributiva. La radicación de números enteros es distributiva únicamente en la
multiplicación y en la división. Ejemplo:
(4)*(9) 4* 9
3
3
3
64 64
9 9
 


“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue Aristoff Rudolff y que aportó al estudio de la radicación?.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Exponente: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
Radicando: …………………………………..……………………………………………………………………………………………..
Base: …………………………………………………………………………………………………………………………………………
Índice: ………………………………………………………………………………………………………………………………………
Potencia:………………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 4

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
REGLAS DE LA POTENCIACIÓN
El producto de potencias El cociente de potencias
De igual base es
Otra potencia de igual base
y su exponente es la y su exponente es la y su exponente es el
Resta

“Continental”
De los exponentes
CUESTIONARIO
1. Escribe el valor de cada potencia:
2
3
4
2
(3)
( 5)
( 10)
4

 
 
 
2. Aplica la regla de cálculo correspondiente halla el producto:
  
  
18 15
7
5
2 3
3 0 4
132
01712
( 5) ( 5)
( 3)
( 3)
(4) (4) (4)
(2) (2) (2) (2)
4
3290
   



  

   
   
3. Aplicar la propiedad distributiva de la potenciación:

“Continental”
 
 
3
4
( 4) ( 3) (2)
( 20) ( 5)
    
   
4. Halla la raíz en caso de ser posible:
5
3
100
32
216
343


 
 
5. Aplica la propiedad distributiva de la radicación
5
3
(25) (4) (9)
1024
32
( 216) 27
  
 
  
6. Suprime los signos de agrupación y halla el valor de la expresión:
3 0 0 1
( 4) 8 2 5( 4) (3) (5)      
7. Encuentra un número cuyo cubo elevado al cuadrado es 15625.

“Continental”

“Continental”
LECCIÓN Nº5
NÚMEROS RACIONALES “Q”.
BLOQUE: SISTEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender el concepto de los de los números racionales.
- Conocer la forma de ordenar y de comparar los números racionales.
 Asimilar el concepto de números racionales; aplicándolo para realizar secuencias, orden y
transformaciones
DEFINICIÓN.
Un número racional se puede expresar de la forma:
a
b
Donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El número a se llama numerador y el número b se llama
denominador. Los números racionales, pueden denotarse mediante una fracción o mediante
expresión decimal. Por ejemplo:
5
; 0,5
10
Para leer un número racional denotado como una fracción se nombra primero el numerador y
luego el denominador.
1 3 4 2
; ; ; int
2 7 15 31
un medio tres séptimos cuatro quinceavos dos tre a y un avos

“Continental”
Fracción propia. Una fracción propia es aquella en donde cuyo numerador es menor que el
denominador Ejemplo:
2
3
Fracción impropia. Los números fraccionarios cuyo numerador es mayor que el respectivo
denominador, se denomina fracción impropia. Ejemplo:
7
4
se necesitan dos gráficas.
Representación en la recta numérica. A cada número racional le corresponde un único punto en
la recta numérica. Ejemplo: Representar
9 3
4 4
y  en la recta numérica:
ORDEN Y COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

“Continental”
En la recta numérica es mayor aquel número ubicado más hacia la derecha. Ejemplo: Tomando en
cuenta el ejemplo anterior podemos decir entonces que:
9 3
4 4
 
Ya que
9
4
está más a la derecha que
3
4
 .
Cuando se tiene dos números fraccionarios, puede ocurrir que sean iguales o desiguales. Al ser
desiguales pueden presentarse los siguientes casos:
1. Que los dos números dados sean positivos, en cuyo caso es mayor el que tiene mayor
valor absoluto. Ejemplo:
4 2 4 2
4 3 5 2
5 3 5 3
porque dado que    
2. Que los dos números dados sean negativo, en cuyo es mayor el que tiene menor valor
absoluto. Ejemplo:
2 1 2 1
2 4 13 1
13 4 13 4
porque dado que       
Transformación de fracciones a denominador común mínimo. Se procede de en el denominador
la siguiente manera:
1. Se halla el múltiplo común mínimo (m.c.m.) de los denominadores de todas las fracciones,
el cual se transforma en el denominador común.
2. Se divide el múltiplo común mínimo por el denominador de cada fracción, obteniendo
siempre un cociente exacto
3. El cociente obtenido se multiplica por el respectivo numerador y se obtienen los
numeradores de las fracciones equivalentes. Ejemplo:
7 3 5
, ,
12 16 8

“Continental”
12 2
6 2
3 3
1
16 2
8 2
4 2
2 2
1
8 2
4 2
2 2
1
3
4
3
12 2 3
16 2
8 2
 


Donde que el m.c.m. =
4
2 3 48  , por lo que las fracciones equivalentes son:
7 28 3 9 5 30
; ;
12 48 16 48 8 48
  

“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Por qué razón surgió el conjunto de números racionales? Explique con un ejemplo:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. ¿Qué son las fracciones equivalentes?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
LECCIÓN Nº 5

“Continental”
GLOSARIO:
Fracción: ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
Fracción Propia:……………………………………………………………………………………………………………………………
Fracción Impropia:………………………………………..……………………………………………………………………………
Transformación de fracciones: ……………………………………………………………………………………………………
Múltiplo: …………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Entre 2 números enteros iguales
Si los dos son positivos
Es Es

“Continental”
MAYOR
el que el que
valor absoluto tenga
CUESTIONARIO
1. Escribe la lectura de las siguientes fracciones:
2
8
9
23

33
42
7
25
49
11

3
210
2. Indicar que fracción representan los siguientes gráficos:
3. Realiza la interpretación gráfica de las fracciones dadas, utiliza cualquier figura
geométrica.

“Continental”
1
2
5
4
6
3
7
10
1
5
3
4
4. Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no, si lo son
explique por qué:
12 4
9 3
y
5 10
6 8
y
14 2
47 7
y
5. Escribe los signos <, > o =, según corresponda. Escriba su desarrollo:
2 4 6 3
.... ....
7 28 4 2
1 3 1 7
.... ....
4 12 5 3
2 1 8 4
.... ......
9 3 3 5
   


6. Representa en la recta numérica los números dados, y luego ordénalos de mayor a
menor:
7 1 1 5
, 3, , 4,
3 2 4 3
y   

“Continental”
7. Transforma las siguientes fracciones dadas a otras equivalentes con mínimo común
denominador:
8 9 11 5 6 7 1 3
; ; ; ;
9 6 3 4 5 2 3 4
y y
1 20 9 7 4 1 5 2
; ; ; ;
5 25 2 4 9 2 6 3
y y

“Continental”
LECCIÓN Nº6
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la amplificación y simplificación de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la amplificación y
simplificación de fracciones, empleando la multiplicación y división de números enteros.
 Conocer los conceptos y métodos de resolución de problemas relacionados con la
amplificación y simplificación de números racionales
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Comparemos las fracciones
4 16
5 20
y . Observamos que éstas fracciones son equivalentes, ya que
4 20 5 16   , y notemos que la segunda fracción
16
20
se obtiene a partir de la primera
4
5
,
multiplicando por 4 tanto al numerador como al denominador.
Ahora tomemos la fracción
2
3
. Al multiplicar por 3 a los dos términos de la fracción, se obtiene
2 3 6
3 3 9



, que es equivalente a
2
3
porque se cumple que 2 9 6 3   .

“Continental”
Si se multiplican los dos términos de una fracción por un mismo número entero, tanto al
numerador como al denominador, se obtiene otra fracción equivalente a la primera.
Ejemplo: Por medio de amplificación, calculemos la fracción equivalente a la fracción dada, según
se indica:
7 7 7 ( 4) 28 28
4;
9 9 9 ( 4) 36 36
por
  
     
  
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
En la fracción
20
15
observamos que los dos términos (20 y 15) tienen a 5 por divisor común. Al
dividir el numerador y el denominador por dicho divisor común, se obtiene
20 5 4
15 5 3



. Entonces
observamos que
20 4
15 3
 puesto que 2 9 6 3   . Por lo tanto:
Si se dividen los dos términos de una fracción por un divisor común se obtiene una fracción
equivalente a la primera.
Ejemplo: Realicemos simplificaciones y hallemos tres fracciones equivalentes a
18
24
:
Algunos divisores de 18 y 24 son 2, 3 y 6, por lo tanto:

“Continental”
18 2 9 18 3 6 18 6 3
; ;
24 2 12 24 3 8 24 6 4
  
  
  
18 9
24 12
 puesto que 18 12 24 9  
18 6
24 8
 puesto que 18 8 24 6  
18 3
24 4
 puesto que 18 4 24 3  
FRACCIONES IRREDUCIBLES
Si los términos de una fracción no tienen divisores comunes distintos a la unidad es decir, si el
numerador y el denominador son números primos entre sí, la fracción no puede ser simplificada.
Por ejemplo, la fracción
13
7
es irreducible por cuanto 13 y 7 no tienen divisores comunes
distintos de la unidad y la fracción no puede ser simplificada.
Se denomina fracción irreducible a la fracción que no puede ser simplificada
Ejemplo: Calculemos la fracción irreducible equivalente a
24
16
24 24 8 3
16 16 8 2

 

Donde
3
2
es la fracción equivalente irreducible.

“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Cuándo una fracción es irreducible y reducible? Escriba un ejemplo:
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
GLOSARIO:
Equivalente:………………………………………………………………………………………………………………………………..
Irreducible:…….……………………………………………………………………………………………………………………………
Ampliar:………………………………………………………..……………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 6

“Continental”
Simplificar:………………………………………………………………………………………………………………………………….
Divisor Común: ……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
En la amplificación se La fracción irreducible
Se divide a la fracción no puede ser
Por un mismo numero entero
al numerador

“Continental”
y al determinador
CUESTIONARIO
1. Amplifica cada una de las fracciones dadas , multiplicando al numerador y al
denominador por el número que se indica:
12 2
6 3
13 3
3 4
5 4
7 5
1 3
6 2
3 7
1 3
2 6
4 2
por por
por por
por por
por por

2. Simplifica y halla la fracción irreducible equivalente a las fracciones dadas:

“Continental”
36 72 336
48 180 384
2880 64 120
2160 72 160
   
    
3. Representa gráficamente en una misma recta numérica los siguientes números:
3 7 1
,
4 8 2
2 5 1 11
, ,
6 3 2 3
y
y 

“Continental”
LECCIÓN Nº7
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la adición y sustracción de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la adición y
sustracción de los números racionales.
 Realizar ejercicios de números fraccionarios con operaciones combinadas de adición y
sustracción, aplicando los métodos de resolución correctamente.
ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
La suma de dos o más fracciones homogéneas es otra facción cuyo numerador es la suma de los
numeradores mientras que el denominador es el mismo. Ejemplo:
2 5 1 2 5 ( 1) 6
9 9 9 9 9
        
 
2 ( 12) 3 2 ( 12) ( 3) 13 13
5 5 5 5 5 5
            
 

“Continental”
Cuando se van a sumar fracciones heterogéneas, es necesario transformarlas a un denominador
común. Ejemplo:
1 1 3 5 4 ( 2) ( 12) 5 4 2 12 5 5
2 4 2 8 8 8 8
                    
   
3 6 4 7 6 24 ( 32) ( 7) 6 24 32 7 9
8 4 2 16 16 16 16
                    
   
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
El concepto de la sustracción de dos números racionales es igual al concepto de sustracción de los
números enteros, es decir se fundamenta en la adición de los números racionales. Ejemplo:
1 5 4 5 9 9
2 8 8 8 8
        
 
1 1 6 1 1 2 36 10 5 120 99
0,6 2
6 12 10 6 12 1 60 60
            
 

“Continental”
6 3 1 1 5
1 2
14 10 3 6 9
30 21 1 6 1 5
1
70 3 6 9
51 5 1 5
1
70 3 6 9
51 5 1 5
1
70 3 6 9
51 18 30 3 10 51 41 51 41 459 1435 976
70 18 70 18 70 18 630 630
              
    
              
    
         
  
      
 
                 
   
488
315
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
03 – 04 Dic
1. Averiguar acerca de las propiedades asociativa, conmutativa, y modulativa en la adición de
números racionales, escriba un ejemplo de cada una.
LECCIÓN Nº 7

“Continental”
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Adición:……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Sustracción: …………………………………………………………………………………………………………………………………
Homogéneo:………………………………………………………………………………………………………………………………..
Heterogéneo:….……………………………………………………………………………………………………………………………
Racional: ………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:

“Continental”
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
De 2 números racionales
Homogéneos es otra función cuyo: Heterogéneos es necesario
Es
En un
y el
CUESTIONARIO
1. Adiciona los siguientes número racionales:

“Continental”
8 7 6 3
5 5 5 5
4 12 8 5
7 7 7 7
2 3
8 12
5 3 7
4 6 5
2 5 3
7 8 4
1 2
3 ( 0,2)
8 5
1 2 1
2 ( 1,2)
3 3 2
1 1 1
1 2 ( 1,5) 2 3
4 2 3
               
     
               
     
 
     
 
     
 
   
       
 
         
 

“Continental”
2. Efectúa la sustracción, según se indica:
3 1
5 4
12 13
e
5 15
7 9
4 7
7 1
Re
9 4
De resta
R sta de
De resta
sta de



 
3. Calcula el valor de la expresión:
1
7
4
3
5
7
3 1 5
1
5 2 4
1 5
4 3 0,8
2 3
3 9
10 5 2
5 4
 
  
    
   
           
   

“Continental”
4. Comprueba que el valor de la expresión es :
11
2
4 1 8 5
2 4 6
3 2 3 3
           
  
5. Grafica (pinta) la sustracción:
1 1 1
2 3 6
 
6. En una fiesta de aniversario, María se ha comido la tercera parte de la torta, Laura la
cuarta parte y Diana la sexta parte, y sobró 1/7 de la torta. ¿Es cierto? ¿Por qué?
7. En cierto instituto ecuatoriano, 5/12 de los alumnos estudian químico y el 30% estudian
matemáticas. ¿Qué asignatura tiene más acogida?

“Continental”
LECCIÓN Nº8
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES.
BLOQUE: SITEMA NUMÉRICO
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos de la multiplicación y división de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la multiplicación y
división de números racionales.

“Continental”
 Conocer los conceptos y métodos de resolución de problemas relacionados con la
multiplicación y división de números racionales.
 Aplicación de las propiedades en cada operación.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
El producto de dos o más números racionales es otro número racional, que tiene por numerador el
producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores
correspondientes. Ejemplo:
3 5 3 5 15
2 7 2 7 14

  

En la multiplicación de fracciones, por conveniencia se acostumbra a simplificar los factores del
numerador con otros del denominador. Ejemplo:
1 2
33
3 10 3 10 1 2 2
15 9 15 9 3 3 9
  
   
  
Propiedad Distributiva. La multiplicación de números racionales es distributiva respecto a un
polinomio aritmético. Ejemplo:

“Continental”
1 1 4 2 1 1 1 4 1 2
2 2 3 7 2 2 2 3 2 7
1 2 1
4 3 7
21 56 12
84
65
84
             
   
  
 


La Fracción como operador. La expresión “dos quintos del segmento AB” quiere decir que al
dividir el segmento AB en cinco partes de igual longitud, sólo se toman esas dos de esas partes,
es decir, si AB mide 15cm, para determinar los dos quintos
2
5
, se divide a 15 para 5 y el
resultado se multiplica por 2. Es decir, multiplicamos dos de esas partes.
2
15 6
5
cm cm 
Entonces
2
5
transforman 15cm en 6cm, es decir
2
5
se convierte en un operador.
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
El cociente de un número racional entre otro, es un tercer número racional tal que multiplicado
por el segundo, nos dé un producto igual al primero. Ejemplo:
2 2 5 5 2 2
:
3 5 3 3 5 3
porque   
En la práctica, la división de dos fracciones se efectúa multiplicando el dividendo por el inverso del
divisor. Ejemplo:
5 1 5 3
5
3 3 3 1
              

“Continental”
FRACCIONES COMPLEJAS.
La división de dos
a c
b d
 la podemos representar también como:
Extremos
a
a dbMedios
c b c
d

 

Para realizar la operación de fracciones complejas, aplicaremos el proceso de multiplicar extremos
con extremos y medios con medios.
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
LECCIÓN Nº 8

“Continental”
INVESTIGO:
1. ¿Qué es un polinomio aritmético? Escriba un ejemplo
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Fracción Compleja:……………………………………………………………………………………………………………………..
Fracción Simple:……………………………………………………………………………………………………………………………
Fracción como operador:……………………………………………………………………………………………………………..
Extremos:……………………………………………………………………………………………………………………………………
Medios:……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

“Continental”
RESUMO:
Mediante un mapa conceptual elabore un resumen de la lección estudiada.
CUESTIONARIO
1. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor de la expresión:

“Continental”
3 5 2
2 3 6
4 7 1
3 2 5
1 1 7 8
3 2
4 2 6 5
6 1 1 5 1
5 2 3 6 3
1 1 3 8 1 1
1
2 2 2 3 2 5
   
 
    
 
       
  
       
  
           
   
2. Halla el cociente simplificado.

“Continental”
5 280
4 8
33 11
4 20
5 125
20 40
16 3
2
24 4
2 1
5 4
3 4
3
1 1,2
4
   
 
 
  
 
 
  
3. Aplica la propiedad distributiva y halla el valor:
7 1 5
3 6 6
2 3 1 7
3 4 2 4
7 1 3 1 3
2
2 4 2 4 5
     
 
          
   
          
   

“Continental”
2 1 7 1 1 1
3
5 3 4 4 2 4
                
     
4. Un grifo ha vertido 243 litros de agua en un depósito y otro grifo los
5
9
con respecto al
anterior. Determina el número de litros que faltan para llenarlo, si la capacidad del
depósito es de 500 litros.
5. Transforma las fracciones complejas a fracciones simples.

“Continental”
6
1
3
5
6
1
1 2
13
4
1
31
5
6


 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
1
1
1
2
2
3
22
3
2
2





1 3
2 4
2
1
3



2
1 3
1 32
2 4
2 1
1 5 2
12 1
2







“Continental”
4
2
3
1 1
2
3 6
1
1 3
2




LECCIÓN Nº9
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
OBJETIVOS:

“Continental”
- Comprender los conceptos de la potenciación y radicación de los números racionales.
- Conocer los métodos de resolución de los problemas relacionados con la potenciación y
radicación de números racionales.
DESTREZAS CON CRITERIO DE DESEMPEÑO
 Conocer los conceptos de potenciación y radicación de números racionales.
 Comprender y dominar los métodos para la resolución de problemas relacionados con la
potenciación y radicación de números racionales.
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
La potencia enésima de un número racional
a
b
, es el producto de n factores iguales a
a
b
.
...
...
...
n n
n
a a a a a a a a
b b b b b b b b
              
Ejemplo:
3
2 2 2 2 8
3 3 3 3 27
                     
       
Regla de los signos. La potencia de exponente par lleva signo positivo y la potencia de exponente
impar lleva el mismo signo de la base.
Ejemplo:
2
3
2 2 2 4
5 5 5 25
1 1 1 1 1
4 4 4 4 64
               
     
                     
       

“Continental”
Potencias con exponente negativo. Un número racional elevado a un exponente negativo, es igual
al inverso del número racional elevado al exponente dado pero con signo positivo.
n n
a b
b a

      
   
RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES.
Raíz enésima de un número racional llamado radicando, es otro número racional llamado raíz que,
elevado a la potencia enésima es igual al mismo radicando. Ejemplo:
33
3
3
27 27 3 3 27
135 5 5 135135
porque     
 
Al igual que en los números enteros para la radicación de los números racionales se debe tomar en
cuenta lo siguiente:
1. Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando.
2. Si el índice es par, y el radicando es positivo, la raíz es un número positivo.
3. Si el índice es par y el radicando es negativo, la raíz no es posible en es conjunto de
números racionales.
Ejemplos:
3 4
1 1 1 1
; 2 ;
8 2 16 9
no es posible   
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
LECCIÓN Nº 9

“Continental”
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
3. ¿Cuáles son las dos formas de realizar una división de fracciones?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
GLOSARIO:
Exponente:…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Exponente negativo……………………………………………………………………………………………………………………..
Exponente par:…………………………………………………………………………………………………………………………….
Exponente impar:…………………………………………………………………………………………………………………………
Regla de signos en la radicación:….………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

“Continental”
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:
CUESTIONARIO
1. Halla el valor de la potencia:

“Continental”
2 1
3 4
0 2
3 23
2 200
4 5
3 6
39432 6
26782 5
         
   
         
   
        
   
2. Halla el valor de las potencias con exponentes negativos:
 
3 4
3
5
2 6
5 1
3
2 2
8
0,2
9
6 2
7 5
 


 
         
   
    
 
         
   
3. Halla la raíz de ser posible:
3 5
4 4
8 1024
27 32
256 81
81 256
25 100
4 4
   
 
  
4. Determina el valor de x para que se cumpla la igualdad:

“Continental”
3
2
4 2
9
100
121 11
x
x
x



5. Suprime los signos de agrupación y halla el valor.
0 2
3
21
0
3
1
0
16 3 5 1 1
2
25 4 9 2 64
1 1 1 4 1 81
2 3
4 3 2 3 9 25
25 9 1 1 1
3
9 25 2 4 8
2
1 4 1 1 13 2 3
2 5 2 2 32
3


         
   
               
      
     
 
                   
     
 
6. Un señor tiene $5600. Si en la mañana gasta 3/8 del dinero y en la tarde gasta 1/5 de lo
que le queda, calcula el dinero que le sobra al señor.

“Continental”

“Continental”
LECCIÓN Nº10
SISTEMA DE FUNCIONES
BLOQUE Nº1: RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender los conceptos relacionados con el sistema de funciones.
- Conocer y aplicar los métodos de resolución de los problemas del sistema de funciones.
 Resolver relaciones de conjuntos cumpliendo las condiciones determinadas
 Ubicar en el plano cartesiano pares ordenados.
PAR ORDENADO
Se dice que (a, b) es un par cualquiera, con (a ≠ b), será un par ordenado si (a, b) ≠ (b, a). Por lo
tanto dos pares ordenados son iguales si los elementos respectivos son iguales y están dados en el
mismo orden. Ejemplo:
(5,6) (5,6)
(5,6) (6,5)


PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS.
El producto cartesiano A x B es el conjunto formado por todos los pares ordenados, cuyas
primeras componentes pertenecen a un conjunto A, que es llamado conjunto de partida, y cuyas
segundas componentes pertenecen a un conjunto B llamado también conjunto de llegada.
Ejemplo: Realizar el producto cartesiano A x B, si:
   2,4 0,1,5A y B 

“Continental”
- Simbólicamente:  (2,0);(2,1);(2,5);(4,0);(4,1);(4,5)A B 
Se podría denotar así:
 (2,0);(2,1);(2,5);(4,0);(4,1);(4,5)/(2,4) (0,1,5)A B A B    
- Gráficamente: Podemos representar así:
SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS.
Si tomamos dos sistemas de coordenadas en una dimensión (recta numérica), de tal manera que
el origen cero coincida y que sean perpendiculares entre sí (uno horizontal y otro vertical), se tiene
un sistema cartesiano.
Al plano horizontal lo llamamos el eje X y al
sistema vertical lo llamamos eje Y. Estos dos
sistemas, dividen al plano en cuatro regiones
que se llaman cuadrantes, los mismos que se
encuentran nominados en sentido contrario
a las manecillas del reloj (I, II, III, IV).

“Continental”
Para la ubicación de un par ordenado en el sistema cartesiano, se coloca primera la componente
en el eje X, y la segunda componente en el eje de las Y.
Puntualicemos los signos de las componentes y sus cuadrantes:
En el I cuadrante, las coordenadas son positivas (+, +).
En el III cuadrante, las coordenadas son negativas (- , -).
En el II cuadrante, la primera es negativa y la segunda es positiva (- , +).
En el IV cuadrante, la primera es positiva y la segunda es negativa (+ , -)
Ejemplo: Representar en el sistema cartesiano de coordenadas, los pares ordenados del producto
P x Q, si P = {-2, 3} y Q = {4, -3}.
El producto  ( 2,4);( 2,3);(3,4);(3, 3)P Q     , luego la representación en el plano
cartesiano es:

“Continental”
RELACIONES BINARIAS.
En la vida diaria se presentan situaciones en donde se comparan dos elementos, por ejemplo:
- Laura “es reina de” Cuenca.
- 3 “es menor que” 5
- Jaime “es profesor de” Matemática.
- 8 “es divisor de” 48.
Podemos notar que en todos los ejemplos planteados se relacionan dos elementos. En este tema
se estudian las relaciones entre lo elementos de dos conjuntos; de aquí parte una definición
acerca del conjunto llamado relación.
El conjunto relación R, está formado por los pares ordenados que validen cierta regla o condición
definida y cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto.

“Continental”
Entonces, para hallar el conjunto relación debemos considerar lo siguiente:
1. Un primer conjunto.
2. Un segundo conjunto (puede ser el mismo primer conjunto)
3. Una regla o condición definida.
4. Los pares ordenados del producto cartesiano entre los dos conjuntos.
Ejemplo:
Hallar simbólicamente el conjunto relación PRQ, si P = {1, 4, 9} y Q = {5, 7}, que valide la regla
“menor que”.
Primero realizamos las consideraciones para ver si tenemos los argumentos necesarios para una
relación:
1. Primer conjunto. P = {1 , 4 , 9}
2. Segundo conjunto. Q = {5 , 7}
3. La regla es: “menor que”
4. El producto PxQ es:
 (1,5);(1,7);(4,5);(4,7);(9,5);(9,7)P Q 
Por lo tanto el conjunto relación estará formado por los pares ordenados que cumplan con la
condición inicial, es decir:
 (1,5);(1,7);(4,5);(4,7)RPQ
Gráficamente tenemos:

“Continental”
Dominio de una relación. El dominio es el conjunto formado por las primeras componentes de
cada par ordenado del conjunto relación.
Para el ejemplo anterior el dominio se representaría:
Dom = {1, 4}
Contradominio de una relación. El contradominio es el conjunto formado por las segundas
componentes de cada par ordenado del conjunto relación.
Para el ejemplo anterior el contradominio se representaría:
Cont = {5 , 7}

“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: ………………………………………
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. ¿Quién fue René Descartes?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
LECCIÓN Nº 10

“Continental”
GLOSARIO:
Par Ordenado:……………………………………………………………………………………………………………………………..
Sistema Cartesiano:………………….….………………………………………………………………………………………………
Relación Binaria:………………………………………………………………………………………………………………………….
Dominio:……………………………………………………………………………………………………………………………………..
Contradominio:……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Para los conjuntos P= {4, 6} y Q= {a, e, i, o, u}. Hallar simbólicamente el [producto
indicado:
P Q
Q P
 
 
2. Representa gráficamente el producto de F x G, si F = {-2, 0} y G = {1, 2, 3, 4}.
3. Halla simbólicamente el conjunto relación “mayor que” definido por los conjuntos:
H= {3, 6, -7, 8, 9} y G = {9, 4, 5}.
H G 

“Continental”
4. Halla simbólica y gráficamente el conjunto relación XRY dadas por las siguientes
relaciones, luego escribe el conjunto dominio y contradominio.
" " {1,3,5,7} {2,4,6}mayor que Si X y Y 
" " {4,6,8} {1,2,3}el doble de Si X y Y 
" " {2,3,4,6} {8,3,4}mitad de Si X y Y 
" 2" { 2,0,1,2} { 1,0,2,4,5}x y Si X y Y     

“Continental”
" 6" { 3, 1,2} { 6, 2,0,3}xy Si X y Y      
5. En las relaciones dadas determina el conjunto dominio y el conjunto contradominio:

“Continental”
LECCIÓN Nº11
FUNCIÓN
BLOQUE: RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender el concepto de función.
- Identificar diferentes problemas de funciones y aplicar los métodos de resolución a las
mismas.
 Reconocer el dominio y contradominio de una función.
 Graficar correctamente una función en un sistema cartesiano.
DEFINICIÓN
En algunas relaciones, cada elemento del primer conjunto está relacionado con un sólo elemento
del segundo conjunto, en estos casos la relación toma el nombre específico de función. Una
función se denota generalmente así:
:
f
f X Y o X Y 
Que se lee: “f es una función de X en Y”.
Las funciones pueden ser escritas en el lenguaje simbólico y en el lenguaje coloquial, de la
siguiente manera:
 1. ( , )/ 2 1f x y y x   y se lee: “f es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que y es el
doble de x, más 1”

“Continental”
 3
2. ( , )/ 1f x y y x   y se lee: “f es el conjunto de pares ordenados (x,y) tales que y es el
cubo de x, disminuido en 1”
Dominio de una función. El dominio de una función definida de X en Y es el conjunto de partida X.
Contradominio de una función. El contradominio de una función f es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al conjunto Y que cumplan con ésta función.
Ejemplo: Si X = {1, 3, 5} y 2f x , el conjunto Y = {2 , 6 , 8 , 10}, entonces el Dom = {1 , 3 , 5} y en
Cont = {2 , 6 , 10}.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN EN UN SISTEMA CARTESIANO
.Una función numérica definida en los números enteros, se acostumbra representarla como:
 ( , )/ ( ) ,f x y y f x x y Z   
Donde el dominio estará formado por los números enteros que se asignen arbitrariamente a x; y el
conjunto del contradominio estará formado por los valores de y (y = f(x)) obtenidos al reemplazar
x en la regla dada. Ejemplo: Grafiquemos en un sistema cartesiano la función:
 ( , )/ 2 1 ,f x y y x x y Z    

“Continental”

“Continental”
Nombre: ……………………………………………………………………………………….
Curso: …………………………………………………………………………………………..
Especialidad: ………………………………………………………………………………..
INVESTIGO:
1. Averiguar que es una función Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
GLOSARIO:
Función:……….……………………………………………………………………………………………………………………………..
Lenguaje simbólico:………………….….………………………………………………………………………………………………
Lenguaje coloquial……………………………………………………………………………………………………………………….
Contradominio:……………………………………………………………………………………………………………………………
Dominio:………………………………………………………………………………………………………………………………………
LECCIÓN Nº 11

“Continental”
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
RESUMO:

“Continental”
CUESTIONARIO
1. Representa los siguientes puntos en el sistema cartesiano:
A(2,-1) ; B(3,1) ; C(4-3) ; D(6,-2) ; E(4,-4) ; F(5,0)
2. En una función, ”x” representa:
a. ( ) Un elemento del Dom. y Cont.
b. ( ) Un elemento del Dom.
c. ( ) Un elemento del Cont.

“Continental”
3. Grafica las funciones dadas por:
2 4y x 
2
2 4y x x  

“Continental”
4. Grafica en un sistema cartesiano la siguiente función si el dominio es Dom={3,-2,-1,0-1,2}
 ( , )/ 2 2 ,f x y y x x y Z    

“Continental”
LECCIÓN Nº12
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
BLOQUE: RELACIONES Y FUNCIONES
OBJETIVOS:
- Comprender el concepto de un monomio y un polinomio.
- Relacionar los polinomios y los monomios asociados a las operaciones entre polinomios.
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO.
 Reconocer la estructura y características de un expresión algebraica
 Relacionar los tipos de expresiones algebraicas para resolver ejercicios; conocer el grado
de un polinomio y monomio.
DEFINICIÓN.
En el lenguaje algebraico, los números reales se representan por medio de letras.
El uso de letras permite al álgebra expresar del modo más general, las magnitudes representativas
de diversas situaciones reales. En este sentido se dice que el lenguaje algebraico es una
generalización del lenguaje de la aritmética.
Por ejemplo, la base de un rectángulo es el doble de su altura. Si la altura mide x unidades, la base
mide entonces 2x unidades, por lo tanto, el área del rectángulo se expresa como:
2
(2 ) ( ) 2
A b a
A x x x
 
  
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las
letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las
expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje
habitual.
Tipos de expresiones algebraicas. Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.

“Continental”
Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios
(varios sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos),
etc.
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son
equivalentes.
MONOMIOS
Un monomio es una expresión algebraica que puede ser un número, una letra que representa una
variable o el producto de números y letras elevadas a potencias con exponentes enteros mayores
o iguales a cero.
Ejemplo:
2 4 3 5
5 ; 3 ; 24x xy x y z
A la parte numérica del monomio se le llama coeficiente numérico y al producto de las letras que
representas las variables de un monomio con sus respectivos exponentes se lo llama parte literal.
Ejemplo: En el monomio
3
5x , el coeficiente numérico sería -5, mientras que la parte literal la
conformaría
3
x .
Grado de un monomio. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que
representan las variables. Ejemplo: El grado del polinomio 3
7x y es 4, ya que 3 3 1
7 7x y x y . En
este curso únicamente se analizaran los monomios de grado 2.
Monomios Semejantes. Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.
Ejemplo: Son semejantes los monomios:




“Continental”
Pues la parte literal de todos ellos es: .
Valor Numérico. El valor numérico de una expresión algebraica, y en particular de un monomio, es
el valor que se obtiene al reemplazar las variables por sus respectivos valores.
Para conocer acerca de monomios homogéneos es necesario el siguiente concepto:
Polinomio. Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios.
El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Polinomio homogéneo. Un polinomio se denomina homogéneo en una o varias variables si todos
sus términos son del mismo grado en dichas variables;
Ejemplo: 3xy+ 2x2
5y2
es un polinomio homogéneo de segundo grado en x e y.

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