La visita incluyó tres experiencias: 1) explorar exhibiciones interactivas en el Pavilhão do Conhecimento sobre matemáticas y física, 2) observar objetos en el Planetario, 3) reflexionar sobre 21 demostraciones matemáticas vivas como anamorfosis, atractores fractales, billares elípticos y la habitación de Ames.

1. VISITA A LISBOA:
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO
E PLANETARIO.
DPTO. DE MATEMÁTICAS Y FISICA-QUÍMICA.
IES ENRIQUE DIEZ CANEDO.
15 DE ENERO DE 2010.

2. Pozo
Modelo
de
Fractal.
Gravedad.
Pila
de Atmósfera
esferas. de
Júpiter.
MATEMÁTICA VIVA
1.- Anamorfosis oblicua
Una anamorfosis o anamorfismo es una deformación reversible de una imagen producida mediante un
procedimiento óptico (como por ejemplo utilizando un espejo curvo), o a través de un procedimiento matemático.
Es un efecto perspectivo utilizado en arte para forzar al observador a un determinado punto de vista
preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara.
Detrás de la rampa exterior de acceso al primer piso del Pavilhão y pasados los
mostradores de venta de recuerdos, a la entrada de un pasillo oscuro en el lado
derecho, encontrarás una marca en el suelo. Si te colocas ahí y miras (mejor con
uno de los ojos tapado) para la pared curva de la derecha, verás algo parecido a
esta imagen.
La posición óptima de visión se consigue a una altura de entre 1,65 m y 1,70 m;
si fueses más alto o más bajo, trata de hacer la corrección correspondiente.
Sin embargo, moviéndote a unos pasos por el pasillo, verás la misma imagen de la
pared con un aspecto similar a la fotografía.

3. Y al fondo del pasillo, el aspecto es el siguiente:
En la visión monocular, hay una multitud de formas que se ven desde una cierta posición exactamente con el
mismo aspecto. Esto tiene que ver con el hecho de que el observador vea "en el mismo punto" todos los puntos de
una misma semirrecta partiendo de su pupila. Explorando este hecho, se pueden dibujar formas con dimensiones
específicas, que vistas desde un punto adecuado, dan una ilusión de una forma completamente diferente, con
dimensiones muy diferentes de la real. Es un ejemplo de las llamadas anamorfosis, que pueden ser de tipos muy
diferentes.
2.- Atractor de Sierpinski.
El triángulo de Sierpiński es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.
Vas a encontrar un gran cubo revestido de mármol, con una tapa de vidrio y, dentro,
en un tronco de pirámide cuadrangular invertido, un dado con caras de tres colores.
Al presionar el botón, el dado es lanzado y contribuye con un punto para el dibujo
Proyectado en la pared de arriba: es el llamado Atractor de Sierpinski.
Esa imagen fue obtenida con los puntos construidos a partir de los lanzamientos de un dado tirado por los
sucesivos visitantes desde el 24 de noviembre del 2.000.
3.- Billar elíptico.
El billar elíptico tiene un agujero en uno de los focos de la elipse. Una bola lanzada
En la dirección del segundo foco debería ir al agujero. Del mismo modo, una bola
colocada en el segundo foco y lanzada en cualquier dirección debe ir al agujero
4.- Billar hiperbólico.
La mesa de billar hiperbólico tiene una tabla en forma de rama de hipérbola. La otra
rama de la hipérbola está dibujada. En el foco correspondiente a esta rama hay un
agujero y el foco correspondiente a la hipérbola de la banda, está marcada en la parte
superior. Una bola lanzada en la dirección del foco de arriba deberá ir al agujero.
5.- Billar parabólico.
El billar parabólico tiene en una de las bandas un arco parabólico y tiene un
agujero en el foco de la parábola. Una bola lanzada paralelamente a las bandas
laterales (es decir, en el sentido del eje de la parábola) va a terminar en el hoyo.
6.- Calidoscopio iluminado.

4. En el pasillo, la pared de la izquierda, podrás ver un juego de espejos y, más abajo en
la misma pared, tres conmutadores, podrá, encendiéndolos o apagándolos, iluminar con diferentes colores
tres filamentos y observar las imágenes formadas por sus respectivas reflexiones en los espejos.
En la foto adjunta se ve la parte de la imagen creada cuando los interruptores estén
encendidos, la imagen está formada por tres poliedros: un icosaedro violeta exterior, un dodecaedro
claro y otro icosaedro rojo interior más pequeño. Mirando cuidadosamente
las imágenes, observe que los vértices del dodecaedro están en los centros de caras
triangulares del icosaedro exterior y los vértices del icosaedro interior rojo están en los
centros de las caras pentagonales del dodecaedro.
Los matemáticos dicen que el dodecaedro es dual del icosaedro exterior y el icosaedro interior es dual del dodecaedro.
7.- Ciudad cuadriculada.
Aquí hay una típica ciudad cuadriculada.
El objeto inclinado que se ve en la fotografía, es un instrumento auxiliar para la
resolución de alguno de los problemas propuestos: se trata de un conjunto de circunferencias
con distintos radios (para la distancia típica de los desplazamientos en esta ciudad).
En esta ciudad todas las calles son paralelas entre sí y todas las avenidas son también
paralelas entre sí, siendo cada avenida perpendicular a cada calle.
La distancia entre dos puntos corresponde al mínimo recorrido que existe entre esos dos puntos, formado por tozos
de calles y de avenidas. En el fondo, corresponde al recorrido de un taxi entre seos dos puntos, por lo que a veces,
esta distancia es conocida como la medida del taxista. Les serán propuestos varios problemas, resuélvalos.
8.- Serie de dados.
Módulo alusivo a las probabilidades.
9.- Jaula prismática.
Los tres espejos verticales que revisten interiormente esta especie de “jaula” tienen entre sí
ángulos de 60º. Si entra por debajo dentro de la jaula observará sucesivas imágenes de su
cara, distribuidas en el espacio y la creación de simetrías generadas por esas reflexiones.
En el recinto principal de la exposición, encontrará otro módulo donde puede explorar la
misma idea con un pequeña jaula, introduciendo pequeñas piezas entre los espejos.
10.- Hipérbola de Hendidura.
El primer objeto de la exposición que se encuentra en el Pavilhão do Conhecimento, todavía
en el exterior, junto a los surtidores de agua, es la hipérbola de hendidura.¿Qué ilustra éste
módulo?
Imaginemos una recta o un segmento de una recta girando alrededor de otra recta (el eje de
rotación); si la recta móvil dejase huella, ¿cuál sería la superficie generada por esta recta
móvil?

5. Podemos encontrar tres casos:
1.- La recta móvil intercepta el eje de rotación. La superficie es un cono de revolución.
2.- La recta móvil es paralela al eje de rotación. La superficie es un cilindro de revolución.
3.- La recta móvil ni corta al eje de rotación ni es paralela a él. Es el caso más interesante y más complicado de
imaginar. La superficie obtenida se llama hiperboloide de revolución.
11.- Alambre hiperboloide.
En este hiperboloide de hilos o alambre puede observar de cerca como una superficie
puede tener curvatura a pesar de estar formada por líneas rectas. Los hilos o gomas están en
una posición inicial vertical, todos paralelos entre sí, unos blancos atados a un disco encima
y otros negros atados a otro disco junto al primero. Un sistema de engranajes permite que,
al rodar la manivela superior, uno de los discos rueda en un sentido y el otro en el otro.
Los dos conjuntos de hilos van generando una misma superficie que se llama
hiperboloide de revolución.
12.- Inversor Peaucelier.
Dispone de dos plumas. Se puede observar cuando se dibuja algo con una de ellas, que
figura es dibujada por la otra. Para colocar cada pluma en la posición de escribir, gira la
parte de arriba en el sentido de las agujas del reloj, deje la caer la pluma apoyándola en el
papel. Para recoger la pluma, levántela y gírela en sentido contrario.
Baje las dos plumas. Haga figuras con la pluma azul y observe las curvas trazadas por la
pluma roja. Luego haga lo contrario.
Coloque las dos plumas en posición recogida. Ponga el acetato sobre el papel, de modo que el eje central del
inversor pase por el orificio existente en el acetato. Lleve la pluma azul por encima de una de las figuras trazadas en
el acetato. Baje la pluma roja y recorra, con la pluma azul recogida, la figura. Observe la línea trazada en color rojo.
Repite para otras figuras.
13.- Ventana de Leonardo.
En la pared opuesta, puede, utilizando la ventana que está encima de la mesa, reproducir
personalmente los objetos colocados allí, siguiendo tres métodos distintos, que eran
usados para dibujar en perspectiva.
14.- Juego de los 4 dados.
En este juego de 4 dados, éstos no son todos iguales.
Con esta disposición, cada jugador tiene el doble de probabilidades de
ganar al que está a su derecha que de perder. Así, no hay relación de
transitividad: si A es mejor que B y B es mejor que C, no implica
que A sea mejor que C.
Si no lo cree, encuentre algún compañero y juegue unas 20 veces para
Cada combinación de dados contiguos. Recuerde que no hay ningún
dado mejor que los otros; para cada uno, el que está a la izquierda es
dos veces mejor.

6. 15.- Lemniscata de Bernouilli.
Tres módulos formados por mecanismos que ilustran algunas propiedades geométricas.
El primero permite diseñar una curva en forma de 8, conocida por el nombre de
Lemniscata de Bernouilli. Con una hoja nueva de papel, y con la pluma en la posición de
dibujar (gire en el sentido de las agujas del reloj, y déjela caer) provoque el movimiento de
las tres astas móviles para trazar una curva. Obligue a las tres astas a mantenerse en la posición de antiparalelogramo,
y no las deja pasar a la posición de paralelogramo.
A medida que realizamos el movimiento, irá apareciendo una curva, la Lemniscata de Bernouilli. Coloque la pluma en
posición de recogida y retire el papel.
16.- Máquina de catástrofes.
Dos elásticos están atados, fijados en un disco que rueda libremente con poca fricción. Uno
de los elásticos tiene un extremo fijo y el extremo del otro elástico, está controlado por el
visitante.
Desplazando lentamente el extremo controlado, puede observarse que la posición del disco
depende de la posición del punto de control, pero hay ciertas situaciones en que una
pequeña variación de la posición de control provoca una brusca alteración den la posición
de equilibrio del disco. Se dice que hubo una catástrofe y de ahí el nombre del módulo.
El módulo permite que el visitante pueda explorar una vasta área de control y se pueda percatar no sólo de las zonas
en que surjan alteraciones de la posición de equilibrio, sino que de hecho esas alteraciones se dan cuando el punto
de control se mueve en cierto sentido.
17.- Operaciones lógicas.
En este módulo hay 2 interruptores grandes, por debajo de las letras A y B, que el visitante
puede conectar o desconectar, encendiendo o apagando los círculos que están junto a esas
letras. Hay 4 estados posibles para el conjunto de esos 2 interruptores:
/ los 2 desconectados / los 2 conectados /sólo A conectado / sólo B conectado /
Encima hay doce círculos que están encendidos o apagados conforme el estado de los
interruptores A y B. Por ejemplo, uno de los círculos encenderá cuando, al menos,
uno de los interruptores A y B estuvieran conectados. Ensayando con los 2 interruptores las
posibilidades y verificando los efectos, intenta descubrir cual es el círculo que le
corresponde.
Después verifique si la respuesta es cierta pulsando el pequeño interruptor cuadrado oscuro, que está por debajo de
ese círculo. Deberá iluminarse uno de los pequeños círculos, que están junto a los símbolos de las distintas
operaciones lógicas (A verdadero implica que el círculo junto a A está encendido y análogamente para B).
18.- Perspectiva acelerada y retardada.
Este módulo está dedicado a la perspectiva. Puedes espiar por un orificio y después, retirando la tapa superior,
descubrir lo que los arquitectos designan por perspectiva acelerada y retardada.

7. 19.- Pista sinusoidal.
Puede ver como serían las ruedas de los coches si se tuvieran que adaptar a una carretera que fuese una pista
sinusoidal. Imagina una carretera con altos y bajos en forma de pista sinusoidal. ¿Cómo debería se la forma de las
ruedas para que el coche no camine a saltos?
20.- Problema de la hormiga.
La superficie del bloque de madera mostrado en la foto es “el mundo” donde vive una hormiga imaginaria, que
cuando se desplaza entre dos puntos cualesquiera, elige siempre, de entre todos los caminos posibles, uno más corto.
Una punta del hilo está atada junto a uno de los vértices A de la base del paralelepípedo.
Intenta, con la ayuda del hilo y para varios pares de puntos, encontrar los caminos más
cortos uniendo los dos puntos de cada par. Descubre, un camino más corto uniendo el
vértice A al vértice que le es diametralmente opuesto en la cara de arriba y vea que ese
camino no atraviesa la cara superior. Intenta imaginar cual es para la hormiga, el punto P
más alejado de A y verifique con la ayuda del hilo, si su respuesta es correcta. Para eso,
comienza por apretar con los dedos el hilo estirado junto al punto P; si la respuesta fuera
correcta, debe poder llegar con ese trozo de hilo a todos puntos de la superficie porque
están más cerca de A.
21.- Habitación de Ames.
En esta habitación de forma rara, podrá espiar por un orificio existente en el fondo y por
el puedes observar a otras personas que hayan entrado en la habitación. Es necesario que
cuando espíe haya alguien dentro preferentemente moviéndose junto a la pared que tiene
2 ventanas. Observará una aparente distorsión en el tamaño relativo de las personas.
Si alguna persona se desplaza, verá una aparente variación de su tamaño.
22.- Rodamiento de hipérbolas.

8. Relaciona los movimientos de dos hipérbolas de forma que ellas parecen rodar una
sobre la otra. Con la ayuda de dos puntos, mueve la placa de acrílico de modo que
las astas de latón formen siempre un antiparalelogramo.
23.- El juego de los dados de Mozart.
Mozart produjo una lista de compases acompañada de una tabla, construyendo así un método de composición que
sólo exige al compositor que disponga de 2 dados. El juego le permite obtener una composición musical inédita.
Imaginemos una composición musical constituida por 16 pequeños fragmentos
musicales (compases). Ahora, imaginemos que queremos componer 11 variaciones
para el segundo compás, de modo que todas ellas suenen bien se tocaran tras el
primer compás. Y así para cada uno de los compases.
El número de variaciones para cada compás, 11, es el número de resultados diferen-
tes que se pueden obtener sumando los puntos de dos dados. Así, este juego te
propone lanzar dos dados para escoger uno de los 11 fragmentos musicales para el
primer compás; después lanzamos de nuevo los dos dados para elegir el segundo
compás, y así sucesivamente hasta terminar la melodía completa con 16 compases.
Con este método es posible componer varios cientos de millones de melodías.
24.- Sumador binario.
Permite percibir como un ordenador hace las cuentas de sumar. Use los botones adecuados y siga el circuito de las
diferentes operaciones lógicas, representadas por las distintas luces que se van encendiendo.
25.- Torres de Hanoi.
El objetivo de este desafío es desplazar todos los discos de un asta hacia una de las
otras. Este juego tiene reglas bastantes simples y, por eso, es muy apreciado por
niños y jóvenes. Mover cada vez un disco. Cada disco nunca podrá ser colocado
sobre otro de diámetro más pequeño.
Encontrará más fácilmente una estrategia para alcanzar el objetivo (en el número
menor de jugadas posibles) si eliges el tablero cuyas piezas son de dos colores.
26.- Modelo fractal.
El modelo fractal es utilizado para efectuar los movimientos en un juego de Torres de
Hanoi. Permite encontrar la solución óptima del juego. En este caso, use el modelo de
4 colores para hacer los movimientos de un juego de las Torres de Hanoi con 4 discos.
Basta fijar un sentido para mover siempre el disco más pequeño y seguir los peldaños
del modelo fractal, moviendo los discos de colores que sucesivamente encuentra.
Como desafío, intenta construir un modelo, para 5 discos y pruébalo con el juego.
26.- Movimiento y gráfico.

9. Este módulo posee una línea azul trazada en el suelo. Moviéndose sobre esta línea podrá observar el gráfico que se
obtiene cuando cambia su distancia a un sensor. El objetivo es intentar imitar el gráfico, aleatoriamente definido por
el ordenador, para ello tendrá en cuenta, tanto los sentidos de aproximación y el alejamiento del sensor, como la
velocidad con que nos movemos. En los ejes de coordenadas están representados el tiempo (abscisas) y la distancia
(ordenadas) en metros.
27.- Trayectorias curvas.
¿Cuántos caminos existen entre A y B? Podrá fijarse que existen 6 caminos que
conectan estos dos puntos. Intenta descubrir cual es el camino más corto entre ellos.
Puede medir las distancias de los diferentes caminos encontrados utilizando como
unidad de medida su pié.
Compare los diámetros de las tres circunferencias dibujadas en el suelo y vea la
relación existente entre ellas. ¿Será el camino exterior mas largo que el interior?
28.- Estoy en pi.
Embárcate en un viaje al interior del número irracional Pi. Escoge una secuencia de
dígitos, un número que le sea familiar, por ejemplo, una fecha de nacimiento o un
número de teléfono. Consiguió encontrar la secuencia de Pi?
Introduzca esa secuencia en el ordenador y, en el caso de existir en el primer
millón esa misma secuencia, el ordenador le dará las respectivas coordenadas.
Una cosa es segura, la secuencia elegida se encuentra en el número Pi.
29.- Una relación de las longitudes.
Comience este reto contando el número de bolas necesarias para completar todo el
perímetro de la circunferencia. Hacer un nuevo recuento, pero esta vez del número de bolas
que se encuentran en el diámetro.
Haciendo la razón entre el número de bolas del perímetro y el número de
bolas del diámetro encuentras una aproximación del numero irracional Pi.
30.- La imagen de los sonidos.
El sonido se propaga en forma de onda, onda mecánica. Cuando el sonido es puro
esta onda es una sinoidal perfecta. En este módulo, mientras toca una melodía, podrá
observar la curva que representa el tono fundamental de las notas que escucha.
En esa onda sinoidal perfecta, podrá explorar los conceptos de periodo, frecuencia y
longitud de onda. Al pulsar una tecla en cada uno de los teclados disponibles
tendrá la posibilidad de construir una curva de Lissajous.
La curva de Lissajous corresponde a la superposición de dos movimientos armónicos
simples en direcciones perpendiculares.
31.- Pila de esferas.

10. Observe la pila de esferas que se encuentra sobre la bancada. Intenta averiguar el
número de bolas utilizadas en su construcción. Podrás usar una pila más pequeña
para calcular este número. Existen varias formas de contar, pero todas conducen al
mismo número.
Podrá encontrar una relación del aumento del número de bolas de un nivel al siguiente
partiendo de la parte superior de la pila. ¿Conseguiríamos hacer lo mismo de dos en
dos niveles?