Geometria 5° 4 b

39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA 5to Año Secundaria
Denominamos región poligonal a la reunión de
todos los puntos de un polígono con todos los
puntos de su interior. Por ejemplo, una región
triangular es la reunión de un triángulo y su
interior.
Podemos decir, también que una región
poligonal es la figura plana que se forma al
reunir un número finito de regiones triangulares.
UNIDAD DE ÁREA
Es la medida de un cuadrado cuyo lado es la
unidad de longitud empleada. En la vida diaria, el
área se mide por el metro cuadrado m2
; es decir,
un cuadrado de lado igual. A un metro.
ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL
Expresamos el área de una región poligonal por
medio de un número real positivo que le
corresponde como medida. Éste indica el número
de veces que la unidad de área está contenida en
la región poligonal.
EL POSTULADO DE ADICIÓN DE ÁREAS
Si dividimos una región poligonal en dos o más
regiones, entonces, su área total, es igual a la
suma de las áreas de todas sus regiones parciales.
En la figura,
a1
a2
a3
atotal = a1 + a2 + a3
EL POSTULADO DE LA UNIDAD (área del
cuadrado)
El área de una región cuadrada, es igual al
cuadrado de la longitud de su lado.
Aa ll
l
l
A = ι2
Denotaremos el área de una región poligonal por
el símbolo A y para abreviar, nos referiremos
simplemente: el área del cuadrado, el área del
rectángulo, el área de un triángulo, etc. En cada
caso. Entendemos desde luego, que se trata del
área de la región correspondiente.
TEOREMA DEL ÁREA DEL RECTÁNGULO
El área de un rectángulo, es el producto de las
longitudes de sus dos lados a los cuales
llamaremos base (al lado mayor) y altura (lado
menor).
Hipótesis:
Sean los rectángulos sombreados de iguales
dimensiones.
b
2
h
2
A
A
b h
b
h
b h
b
h
Tesis: A = b – h
Demostración:
Paso 1: Las áreas de los dos cuadrados de la
figura son b2
y h2
(Por el postulado anterior).
Paso 2: El área de toda la figura es (b+h)2
Paso 3: También, de la figura, podemos observar
que su área es b2
+ 2ª + h2
b2
+ 2A + h2
= (b + h)2
(del paso 2 y 3)
b2
+ 2A + h2
= b2
+ 2bh + h2
Paso 4: Finalmente, simplificando la igualdad
anterior.
A = b.n
TEOREMA DEL ÁREA DEL
PARALELOGRAMO
El área de un paralelogramo, es igual al producto
de las medidas de su base y altura.
Hipótesis:
Sea el paralelogramo NLCR.
bN R
CELI
h
Tesis: A = b.h
Demostración:
Paso 1: Trazo LCRE;LCNI ⊥⊥ y
prolongo LC hasta I (Construcción auxiliar).
Paso 2: NIL ≅ REC ( ERNI ≅ ,
lados opuestos del rectángulo NIER y
CRNL ≅ , lados opuestos de un
paralelogramo).
Paso 3: ANICR = ANIL = ANICR – AREC (De la figura,
A significa área y los subíndices) se refieren al
polígono.
Paso 4: Es decir, ANLCR = ANIER (Simplificando la
igualdad anterior).
Paso 5: Pero ANIER = A = b.h (Teorema anterior)
finalmente, de los pasos 4 y 5.
A = b.h
TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO
El área de cualquier triángulo, es igual al
semiproducto de la longitud de su base por la
longitud de su altura.
Hipótesis:
Sea el ∆ NMK
N
bE K
h
M G
Tesis: A =
2
.hb
Demostración:
Paso 1: Trazo
MN//GKyNK//MG
Paso 2: ∠ GMK ≅ ∠ MKN y ∠NMK ≅ ∠ MKG
Paso 3: ∆ NMK ≅ ∆ MGK
Paso 4: A NMK + AMKG = ANMGK
Paso 5: 2ANMK = ANMGK
Paso 6: ANMK = A =
2
NMGKA
y como
ANMGK=A=b.h
Paso 7: Finalmente, A =
2
.hb
TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
El área de todo triángulo equilátero, es igual al
cuadrado de la longitud de su lado, multiplicado
por la cuarta parte de la raíz de tres.
l
l
I
N C1
2
S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
REGIÓN

A =
4
32
ι
TEOREMA DEL ÁREA DEL ROMBO
Para hallar el área del rombo, multiplicaremos las
medidas de sus diagonales y a este resultado lo
dividiremos entre 2.
L
C
N
I
d1
d2
A =
2
. 21 dd
TEOREMA DEL ÁREA DEL TRAPECIO
El área de un trapecio, es igual al producto de la
longitud de su altura por la longitud de la
mediana.
N
b2
C
b1I L
h
A = 




 +
2
21 bb
h
Todos estos teoremas deben ser demostrados por
el alumno.
EJERCICIOS RESUELTOS
01.Encuentre la longitud de la base de un
rectángulo, si su altura mide 12m. y su área es
de 384m2
.
Solución:
Datos: A = 384 (área del rectángulo)
h = 12 (altura del rectángulo)
Por teoría, área del rectángulo A =b.h
reemplazando datos en la igualdad anterior y
resolviendo.
384 = (12) (b)
12
384
=b = ⇒ b = 32
Finalmente, la longitud de la base es 32m.
02.La medida del área de un rectángulo es
500cm2
, si la longitud de su base es cinco
veces la longitud de su altura. ¿Cuáles son sus
dimensiones?
Solución:
Datos: A = 500 (área del rectángulo)
b = 5h (relación entre base y altura)
Sabemos que: A = b.h ... (I)
Y del segundo dato b = 5h ... (II)
Reemplazando el valor de A y la ecuación
(II) en la ecuación (I).
500 = (5h) (h)
5
500
=h2
100 = h2
extrayendo la raíz cuadrada
10 = h
Reemplazando el valor de h en la ecuación
(II).
b = 5(h)
= 5(10) = 50
Finalmente, las dimensiones del rectángulo
son base 50 cm y altura 10cm.
03.El área del un terreno de forma cuadrada
mide 900m2
. si se desea cercar todo el
terreno, ¿cuántos metros de alambre
necesitamos?
Solución:
Dato: A = 900m2
(área del cuadrado)
Sabemos que el área del cuadrado
A = 2
ι ... (I)
Reemplazando el dato en la ecuación (I) y
resolviendo
900 = 2
ι extrayendo raíz cuadrada.
30 = ι
Para cercar el terreno necesitamos conocer el
perímetro del terreno. Recordemos:
Perímetro del cuadrado P = 4 ι
Reemplazando valores, = 4(30)
Resolviendo =120
Finalmente, necesitamos 120m de alambre.
04.Si el área de un paralelogramo es de 300cm2
y
la longitud de su altura mide 6cm. Encuentra
la longitud de su base.
Solución:
Datos: A = 300cm2
(área del paralelogramo)
h = 6cm (altura)
Por teoría, área del paralelogramo
A = b.h ... (I)
Reemplazando los datos en la ecuación (I) y
resolviendo.
300 = b(6)
6
300
= b Simplificando
50 = b
Finalmente, la longitud de la base del
paralelogramo es 50cm.
05.Si el área de un paralelogramo es 18 000m2
.
Además, su altura es
5
1
de la base.
Encuentre sus dimensiones.
Solución:
Datos: A = 18 000 (área del paralelogramo)
5
1
=
b
h
(relación entre altura y base)
Por teoría, A = b.h ... (I)
Del segundo dato: h =
5
b
... (II)
Reemplazando el valor de A, la ecuación (II)
en la ecuación (I) y resolviendo:
A = b . h
18 000 = (b) 





5
b
Efectuando 18 000 =
2
5
1
b
90 000 = b2
Extrayendo raíz cuadrada 300 = b
Reemplazando el valor del b en la ecuación
(II).
h =
5
b
h =
5
300
⇒ h = 60
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.El área de un rectángulo es 300m2
. Encuentre
las longitudes de sus lados, si su base es el
triple que su altura.
a) 10m; 30m b) 15m; 25m c) 20m; 30m
d) 15m; 30m e) N.a
02.El perímetro de un rectángulo es de 140m. y
su diagonal mide 50m. Encuentre su área.
a) 1 200m2
b) 1 300m2
c) 1 400m2
d) 1 500m2
e) 1 600m2
03.El solar de una casa tiene 64. de largo por
36m de ancho ¿Cuántas locetas cuadradas de
40cm de lado se necesitarán para cubrir el
piso?

a) 16 000 b) 17 000 c) 15 000
d) 14 000 e) 14 500
04.Si la base de un rectángulo es 16cm menos
que el doble de su ancho. Encuentre su área,
si su perímetro es de 112cm.
a) 768cm2
b) 770cm2
c) 778cm2
d) 678cm2
e) N.a
05.En un rectángulo, sus lados son como 3 es a 4
y la suma de sus longitudes es 20m mayor
que la longitud de la diagonal. Encuentre su
área.
a) 1 100m2
b) 1 150m2
c) 1 200m2
d) 1 300m2
e) N.a
06.El área de un rectángulo es 714,05m2
. Al
aumentar su ancho en 6m y quitarle esta
misma cantidad a su base, su área aumenta en
6m2
. Encuentre las dimensiones del
rectángulo.
a)20,45m; 30,46m b) 23,45m; 30,45m
c) 21,46m; 30,46m d) 20,45m; 30,40m
e) N.a
07.Si un cuadrado tiene su diagonal igual a 30
2 m ¿Cuál será su área?
a) 899m2
b) 900m2
c) 901m2
d) 902m2
e) 903m2
08.El área de un cuadrado es 100m2
. si sobre al
diagonal de éste se construye otro cuadrado.
¿Cuál será su área?
a) 100m2
b) 200m2
c) 300m2
d) 400m2
e) N.a
09.El área de un cuadrado es 180m2
. Encuentre
el área de otro cuadrado, cuya diagonal mida
diez veces el lado del primero.
a) 8 000m2
b) 9 000m2
c) 10 000m2
d) 7 000m2
e) N.a
10.Si las longitudes de un rectángulo son 270cm.
De largo por 30cm de ancho. ¿Cuántos cm.
Habrá que aumentar al ancho y cuántos
disminuir al largo para que resulte un
cuadrado de igual área?
a) 50cm; 160cm b) 50cm; 170cm
c) 60cm; 180cm d) 60cm; 190cm
e) N.a
11.Si a los lados de un cuadrado le agregamos
6cm y 9cm. Entonces su área se duplica.
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
a) 16cm b) 17cm c) 18cm
d) 19cm e) N.a
12.El área de un rectángulo es 1 400m2
. si a su
base le aumentamos 20m y a su altura 50m,
entonces resulta un cuadrado. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo?
a) 25,31m; 55,31m b) 25,32m; 55,32m
c) 26,31m; 55,31 d) 26,32m; 55,32
e) N.a
13.La base de un triángulo es 71m y su altura
correspondiente mide los
5
3
de la base.
Encuentre su área.
a) 1512,0m2
b) 1512,1m2
c) 1512,2m2
d) 1512,3m2
e) N.a
14.¿Cuál será el área de un triángulo rectángulo,
si su hipotenusa mide 40 2 m y uno de sus
catetos es el doble de otro?
a) 640m2
b) 650m2
c) 660m2
d) 670m2
e) N.a
15.Si en un triángulo rectángulo isósceles su
hipotenusa mide 20 2 m. Encuentre su
área.
a) 500m2
b) 400m2
c) 300m2
d) 200m2
e) N.a
16.La hipotenusa de un triángulo rectángulo
forma con el cateto mayor, que mide 16 3
m, un ángulo de 30º. Encuentre su área.
a) 128 3 m2
b) 127 3 m2
c) 126 3 m2
d) 125 3 m2
e) N.a
17.El área de un triángulo es 360m2
. La suma de
las longitudes de su base con su altura
respectiva es 78m. Encuentre estas
longitudes.
a) 67,3m; 10,5m b) 67,3m; 10,7m
c) 68,3m; 10,5m d) 68,3m; 10,7m
e) N.a
18.En un triángulo isósceles, sus lados
congruentes miden 26cm y su base 20cm.
Encuentre su área.
a) 220cm2
b) 240cm2
c) 260cm2
d) 280cm2
e) N.a
19.Los lados de un triángulo son 3 números
enteros consecutivos. Si su perímetro es 90m.
y la altura del lado mayor mide 25,086m.
Encuentre su área.
a) 388,80m2
b) 388,82m2
c) 388,84m2
d) 388,86m2
e) N.a
20.Encuentre la longitud del lado de un triángulo
equilátero, si su área es de 72 3 m2
.
a) 10 2 m b) 11 2 m c) 12 2 m
d) 13 2 m e) N.a
21.Encuentre la longitud de la altura de un
triángulo equilátero de área igual a 54 3
m2
?
a) 9 2 b)8 2 c) 7 2
d) 6 2 e) N.a
22.Si un triángulo equilátero tiene una altura de
longitud 16 3 m. Encuentre su área.
a) 253 3 m2
b) 254 3 m2
c) 255 3 m2
d) 256 3 m2
e) N.a
23.Si el área de un paralelogramo es de 366m2
y
su base mide 15,25m. Encuentre la longitud
de su altura.
a) 23m b) 24m c) 25m
d) 26m e) N.a
24.La altura de un paralelogramo es de 30m y su
área es de 760,2m2
. Encuentre la longitud de
su base.
a) 25,33m b) 25,34m c) 25,35m
d) 25,36m e) N.a
25.Los lados consecutivos de un paralelogramo
miden 22m y 70m, respectivamente. Si su
diagonal menor mide 90m. Encuentre su área.
a) 360,12m2
b) 360,11m2
c) 363,12m2
d) 363,11m2
e) N.a
26.Los lados consecutivos de un paralelogramo
miden 34m y 15m respectivamente. El lado
de 15m determina con su base un ángulo de
30º. Encuentre el área del paralelogramo.
a) 255m2
b) 260m2
c) 265m2
d) 270m2
e) N.a

27.Si la diagonal mayor de un paralelogramo es
de 35,6m y dos de sus lados consecutivos
miden 16m. y 24m. respectivamente.
Encuentre su área.
a) 316,31m2
b) 316,32m2
c) 316,33m 2
d) 316,34m2
e) N.a
28.En un paralelogramo, su diagonal menor
mide 58cm y su base 72cm. Encuentre su
área, si el ángulo que forma la diagonal
menor con el lado más pequeño es de 90º
a) 2447,33cm2
b) 2447,34cm2
c) 2447,35cm2
d) 2447,36cm2
e) N.a
29.El área de un rombo es 90m2
, si una de sus
diagonales mide 15m. ¿Cuál es la longitud de
la otra diagonal?
a) 12m b) 10m c) 14m
d) 15m e) N.a
30.La diagonal mayor de un rombo mide 6m más
que la otra. Encuentre sus longitudes, si el
área del rombo es 340m2
.
a) 22,25m b) 23,25m c) 24,25m
d) 25,25m e) N.a
31. En un rombo, sus diagonales están en la
relación 5 a 12. Encuentre su área, si su
perímetro es 52m.
a) 110m2
b) 130m2
c) 150m2
d) 100m2
e) 120m2
32.La relación de las diagonales de un rombo es
como 8 es a 10 y la diferencia de sus
longitudes es 4m. Encuentra su área.
a) 160m2
b) 120m2
c) 170m2
d) 100m2
e) N.a
33.El perímetro de un rombo es 272m. la
diagonal menor es los
15
8
de la mayor.
Encuentre el área. Del rombo.
a) 3820m2
b) 3840m2
c) 3860m2
d) 17 500 e) N.a
34.Si una de las diagonales de un rombo mide
10m más que la otra. Encuentre la longitud de
cada diagonal, si el área del rombo es 336m2
.
a) 21,3m; 31,3m b) 21,4m; 31,4m
c) 21,5m; 31,5m d) 21,6; 31,6
e) N.a
35.Si los lados de un rombo miden 10 29 m y
la relación entre sus diagonales es
5
2
.
Encuentre el área del rombo.
a) 1 000m2
b)2 000m2
c) 3 000m2
d) 4 000m2
e) N.a
36.El perímetro de un rombo es 180m y la suma
de sus diagonales es 152m. Encuentre su área.
a) 3750m2
b) 3752m2
c) 3754m
d) 3756m e) N.a
37.El perímetro de un rombo es 68m y la
diferencia de sus diagonales es 18m.
Encuentre su área.
a) 206m2
b) 208m2
c) 202m2
d) 204m2
e) N.a
38.La diagonal de un rectángulo mide 50m. si su
área es equivalente a la de un rombo cuya
diagonal menor es igual a la altura del
rectángulo y mide 30m. Encuentre la longitud
de la diagonal mayor de rombo.
a) 80m b) 90m c) 70m
d) 60m e) N.a
TAREA DOMICILIARIA
01.Los lados BCyAB de un triángulo
isósceles ABC miden 20, el lado AC mide 24,
se trazan CP , tal que BP =5 y AF (F en
PC ), tal que PF = 2 FC. Calcular el área
APF.
a) 48 b) 72 c) 96
d) 108 e) N.a.
02.En un triángulo isósceles ABC, AC = BC; se
traza la mediana BM y la altura CH
intersectándose en F. Calcular el área
AHFM, si el área del triángulo ABC es 72m2
.
a) 6m2
b) 12m2
c) 24m2
d) 36m2
e) N.a.
03.El área de un triángulo es 60m2
. Calcular el
área del triángulo que tiene por vértices los
puntos medios de dos lados y el baricentro
del triángulo.
a) 5m2
b) 10m2
c) 12m2
d) 15m2
e) N.a.
04.En la siguiente figura,
4
1
==
AD
ED
BC
BD
;
sABC= 16m2
. Calcular SAEC.
A
B
E
D
C
a) 5m2
b) 8m2
c) 10m2
d) 12m2
e) N.a.
05.El área de un triángulo ABC es 30, AB=10,
BC=8; se traza la bisectriz exterior BF .
Calcular el área ABF.
a) 70 b) 150 c) 300
d) 150 2 e) N.a.
06.En un triángulo ABC, se trazan la mediana
AM y la bisectriz BF intersectándose
en P, si el área APB es 10m2
; AB=5m y
BC=6m. Calcular el área ABC.
a) 16m2
b) 32m2
c) 48m2
d) 64m2
e) N.a.
07.En un triángulo PQR, la mediana PM y la
altura QN se intersectan en O, tal que
8
3
QN
ON
= . Calcular
PQR
QOM
S
S
a)
5
1
b)
6
1
c)
7
1
d)
8
1
e)
9
1
08.El área de un triángulo ABC es 30cm2
. se
traza la bisectriz interior BD , de tal modo
que AD =3m y DC=7m. Calcular el área del
triángulo ABD
a) 5m2
b) 9m2
c) 12m2
d) 15m2
e) N.a.
09.El área de un triángulo ABC es 10m2
, los
lados ACyAB miden 4m y 6m
respectivamente; se traza la bisectriz interior
AF . Calcular el área del triángulo AFB.
a) 2m2
b) 4m2
c) 6m2
d) 8m2
e) N.a.
10.En un cuadrilátero ABCD, AB=3m, CD=5m;
AD=6, y AC=7m. Calcular el área de la
región triangular ABC, si m∠BAC=m∠CDA

a) 6 m2
b)
2
6
m2
c) 62
m2
d)
2
63
m2
e) N.a.
11.En el gráfico, ABCD es un cuadrado, siendo
S1, S2 y S3 las áreas de las regiones
sombreadas. Decir que relación se cumple.
A B
D C
PS3
S1
S2
a) S3=2(S1+S2) b) S3=2S1+S2
c) S3<2(S1+S2) d) S3>2(S1+S2) e) N.a.
12.En el gráfico, BC=5cm y EF=3cm, si el área
de las región cuadrangular EFCB es de
16cm2
. Hallar el área de la región triangular
ABC.
A
B
C
E
F
a) 20cm2
b) 24cm2
c) 25cm2
d) 26cm2
e) 30cm2
13.Halle Sx, si ABCD es un paralelogramo
S1=4m2
; S2 =10m2
.
A D
CB P
S1
S2
Sx
a) 3m2
b) 5m2
c) 7m2
d) 9m2
e) 6m2
14.Calcular el área de la región sombreada, si
BM=MC; I es incentro del triángulo MCD,
AB=8m, AD=12M.
B M C
A D
I
a) 16m2
b) 18m2
c) 20m2
d) 12m2
e) N.a.
15.El área del rectángulo BEFG es 50m2
. Hallar
el área de la región sombreada HFID.
B E C
A D
I
H
G
F
a) 40m2
b) 50m2
c) 60m2
d) 70m2
e) 80m2
16.En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado
de lado a , donde M es punto medio de CD
. Calcular el área de la región sombreada.
C B
D A
M
P
a)
8
2
a
b)
7
2
a
c)
6
2
a
d)
5
2
a
e) N.a.
17.En un trapezoide ABCD,BD = 16m y la
proyección de la diagonal AC Sobre una
recta perpendicular a BD en D mide 10m.
Calcular el área del trapezoide.
a) 160m2
b) 80m2
c) 40m2
d) 120m2
e) N.a.
18.Hallar el área de la figura sombreada, si
ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 60cm
y el lado del cuadrado pequeño EFGH mide
12cm.
B
A D
H
E
F
G
a) 1256cm2
b) 1512cm2
c) 1556cm2
d) 1656cm2
e) N.a.
19.En la figura hallar el área del cuadrilátero
PQRS, si AB=12m y BC=9m. T es punto
medio de AB , P es punto medio de AD
.
B
A
R
T
S
P
Q
C
D
a)
4
41
m2
b)
4
45
m2
c)
4
17
m2
d)
4
43
m2
e)
4
47
m2
20.ABCD es un rectángulo cuyo largo es el
doble del ancho, siendo P y Q puntos medio
de los segmentos BO y CO ,
respectivamente. Calcular el área de la figura
sombreada, si PQ mide 2 2 m
B
A
O
P Q
C
D
a) 5m2
b) 7 2 m2
c) 11 2
m2
d) 5 2 m2
e) 6 2 m2

ÁREA DEL POLÍGONO
Teorema 54
El área de todo polígono regular, es igual al
semiproducto de la medida del perímetro por la
longitud de su apotema.
Hipótesis:
Sea el hexágono regular NILCER con
NI+IL+LC+CE+ER+RN=p (perímetro)
y OM apotema.
L C
EO
N M R
a6
I
Tesis : A=
2
. 6ap
Demostración :
Paso 1 : Uno O con los vértices par formar
triángulos (Construcción auxiliar).
Paso 2: Pero polígono
NILCER=∆NOI+∆IOL+∆OLC+∆OCE+∆OER+∆ORN (Por
definición de región triangular).
Paso 3: ANILCER=ANOI+AIOL+AOLC+AOCE+AOER+AORN
(Por el postulado de adición de áreas.)
Paso 4: A∆NOR=
2
. 66 aι
(Teorema del área del
triángulo).
Paso 5: ANILCER=6 





2
. 66 aι
(Pues todos los
triángulos son congruentes).
Paso 6: Pero 6 6ι =p, entonces, A=
2
. 6ap
AREA DEL CÍRCULO
Teorema 55
El área del círculo es igual al semiproducto de la
longitud de la circunferencia por la longitud del
radio.
Hipótesis:
En la figura, el círculo de centro O tiene su radio
de longitud R y su circunferencia de Longitud C.
O
ln
an
Tesis: A =
2
.RC
Demostración:
Paso 1: Inscribo un polígono regular de n lados,
de apotema a y perímetro p.
Paso 2: Apol=
2
.ap
(Teorema anterior).
Paso 3: Aumentado indefinidamente el número de
lados de este polígono hasta tal punto que el
perímetro de éste se confunda con el de la
circunferencia, la apotema con el radio, y el área
del polígono con el área del círculo.
Paso 4: Finalmente, de los pasos anteriores
A =
2
.RC
COROLARIO 1
El área de todo círculo, es igual al producto de π
por la longitud de su radio elevado al cuadrado.
A = πR2
COROLARIO 2
El área de la corona circular, es igual a π por la
diferencia de los cuadrados de las longitudes de
los radios de los círculos que la forman.
r
R
A = π(R2
– r2
)
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR A
Teorema 56
El área de todo el sector circular, es igual al
semiproducto de la longitud de su arco por la
longitud de su radio.
O
R
α
l
A =
2
. Rι
Demostrar este teorema.
También podemos encontrar el área del sector
circular como el semiproducto de la medida del
ángulo α expresado en radianes por el cuadrado
de la longitud de su radio.
A =
2
2
Rα
ó A =
º360
º 2
Rαπ
Si el ángulo está expresado en grados
sexagesimales emplee la segunda igualdad.
01.Halla el área del polígono regular, si su
perímetro es 6cm y su apotema mide 3cm.
a) 9cm2
b) 8cm2
c) 7cm2
d) 6cm2
e) 5cm2
02.Calcule el área de un hexágono regular, cuyo
lado mide 3m y su apotema es 1m.
a) 5m2
b) 6m2
c) 7m2
d) 8m2
e) 9m2
03.Hallar el área de un cuadrado inscrito en una
circunferencia de radio R.
a) 2R2
b) 4R2
c) 6R2
d) 8R2
e) 1R2
04.Calcular el área de un triángulo equilátero,
inscrito en una circunferencia de radio R.
a)
2
33 2
R
b)
6
33 2
R
c)
1
33 2
R
d)
8
33 2
R
e)
4
33 2
R
05.Hallar el apotema de un hexágono regular,
inscrito en una circunferencia de radio 3
R.
ÁREAS DE POLÍGONO

a)
3
1
R b)
2
3
R c)
3
2
R
d)
2
4
e) N.a.
06.Calcule el área de un cuadrado circunscrito a
una circunferencia de radio r.
a) 6.2 r2
b) 6.6 r2
c) 6.4 r2
d) 6.8 r2
e) N.a.
07.Calcule el radio de una circunferencia, si el
lado del cuadrado inscrito mide 8cm.
a) 1 2 cm b) 2 2 cm c) 3 2 cm
d) 4 2 cm e) N.a.
08.Determine el área del hexágono regular,
inscrito en una circunferencia de radio R.
a)
2
33 2
R
b)
4
33 2
R
c)
6
33 2
R
d)
8
33 2
R
e) N.a.
09.Determine el área del octógono regular
inscrito en una circunferencia, en función del
radio R.
a) 8cm b) 6cm c) 4cm
d) 2cm e) N.a
10.El área de un hexágono regular inscrito en
una circunferencia mide 50 3 m2
. Calcule
su apotema.
a) 3m b) 5m c) 7m
d) 9m e) 6m
11.En un triángulo rectángulo los catetos miden
6cm y 8cm, respectivamente. Calcule el radio
de la circunferencia inscrita.
d) 2cm e) 5cm
12.Calcule el radio de la circunferencia inscrita
en un triángulo rectángulo, cuyos lados miden
1cm, 3 cm y 2cm respectivamente.
a)
4
)13( −
b)
3
13 −
c)
2
)13( −
d)
6
)13( −
e) N.a.
13.En la figura, AC=5cm, AS=3cm. Calcule el
área del círculo.
R
S
CB
A
a) πcm2
b) 2πcm2
c) 1πcm2
d) 4πcm2
e) 3πcm2
14.Calcular el área de un círculo de 8m de
diámetro.
a) 16πm2
b) 18πm2
c) 14πm2
d) 12πm2
e) 10πm2
15.Hallar la longitud de una circunferencia cuyo
círculo tiene un área de 5πm2
.
a) 6 5 πm b) 2 5 πm c) 4 5 πm
d) 3 5 πm e) N.a
16.Calcular el área de un círculo circunscrito a
un cuadrado, si el apotema mide 2m.
a) 8πm2
b) 10πm2
c) 6πm2
d) 4πm2
e) 2πm2
17.Hallar el área de un sector circular
comprendido en un ángulo de 30º y un radio
de 3m.
a)
2
3π
m2
b)
3
3π
m2
c)
4
3π
m2
d)
5
3π
e) N.a
18.Calcule el área de un sector circular
comprendido en un ángulo de 60º, sabiendo
que la longitud de la circunferencia es igual a
8πm.
a)
2
8π
b)
3
8π
c)
4
8π
d)
5
8π
e) N.a
19.Calcular el área de un sector circular
comprendido en un ángulo de 60º, si el área
del círculo es 12πm2
.
a) 2πm2
b) 4πm2
c) 6πm2
d) 8πm2
e) 10πm2
20.Calcular el ángulo correspondiente a un
sector, cuya área es 2πm2
y el área del círculo
es de 12πm2
.
a) 20º b) 30º c) 40º
d) 50º e) 60º
21.Calcular el área de la corona circular, si los
radios de los círculos concéntricos, miden 3m
y 2m respectivamente.
a) 5πm2
b) 5,5πm2
c) 6πm2
d) 6,5πm2
e) N.a
22.Calcule el área de una corona circular entre
dos círculos de ( 5 +1)m y ( 5 -1)m de
radio, respectivamente.
a) 4 5 πm2
b) 3 5 πm2
c) 2 5
πm2
d) 5 πm2
e) N.a.
23.Calcule el área del sector mostrado, si r=
3 m y α=30º
O
r
α
a)
2
π
m2
b)
4
1π
m c)
4
π
m2
d) 2π/4m e) N.a
24.Calcule el área de un círculo en forma
aproximada, si su radio mide
22
7
m.
a) 1m2
b) 1,2m c) 1,3m2
d) 2m2
e) 2,1m2
25.Calcule el área de la región sombreada
(Trapecio circular )de radios R=6cm y r=3cm,
y α=60º

r
R
α
a)
2
8π
cm2
b)
3
9π
cm2
c)
6
9π
m2
d)
2
9π
e) N.a
26.Hallar el área de la región sombreada
(segmento), si α=30º y r= 6 m.
r
r
α
P
Q
O
a) 6 





+
4
1
12
π
m2
b) 





−
4
1
12
π
m2
c) 6 





−
3
1
10
π
m2
d) 5 





+
4
1
11
π
m2
e) 6 





−
4
1
12
π
m2
27.Calcular el área del círculo.
6cm
10m
C
a) 4π2
m2
b) 3π2
m2
c) 4πm2
d) 3πm2
e) N.a
TAREA DOMICILIARIA
01.Si el hexágono de la figura es regular, siendo
P, Q y R puntos medios de los lados. Calcular
el área de la región sombreada, si r=4m.
P
QR
r
a) 15 3 m2
b) 14 3 m2
c) 13 3
m2
d) 11 3 m2
e) 16 3 m2
02.El triángulo ABC es equilátero. Calcular el
área de la figura sombreada, si el área del
triángulo ABC es 4 3 m2
.
B
CA
a) 8(4π+3 3 )m2
b) 8(3π+ 3 ) m2
c) 7(3π+2 3 )m2
d) 2
3
)438(
m
π−
e) N.a.
03.En el triángulo ABC, P, Q y R son puntos
medios. Calcular el área de la figura
sombreada, si AB=12m.
B
CA
P Q
R
60º 60º
a) 18(2 3 +π)m2
b) 18(2 3 -π)m2
c) 18(2 3 +3π)m2
d) 18( 3 +π)m2
e) N.a.
04.Calcular el área de la figura sombreada, si
AD es perpendicular a CB.
R
A
B
C
D
R O
a) 3R2
b) 2R2
c) 4R2
d) 6R2
e) R2
05.En la figura, las tres circunferencias son
iguales y de radio R=12m. calcular el área de
la figura sombreada.
60º
R
60º
R
a) 144 3 m2
b)95 3 m2
c)100 3
m2
d) 120 3 m2
e) N.a.
06.El lado de un cuadrado mide 4( 2 +1)m.
calcular el área de la figura sombreada.
a) (4 - π)m2
b) 4(π - 2)m2
c) 4(4 - π)m2
d) 4m2
e) 2(4 - π)m2
07. En la figura, AB es diámetro y
2
1
=
BC
AB
; determinar el área de la región
sombreada, si R=2 3 m
R
A B
D
C
a) (21 3 -4π)m2
b) (17 3 -3π)m2
c) (21 3 - 5π)m2
d) (21 3 -3π)m2
e) N.a.
08.Halle el área de la región sombreada, si el
radio mide 1m. siendo CDyAB
diámetros perpendiculares.
D
B
C
A
a) (π - 2)m2
b) 





− 2
4
5π
m2
c) 





− 3
2
5π
m2
d) (3π-2 3 )m2
e)
2
π
m2
09.Calcular el área de la figura sombreada, si el
radio mide 3 m.
1O 2O
a) πm2
b)
2
π
m2
c)
3
π
m2

d)
5
2π
m2
e)
4
π
m2
10.Determinar el área de la porción sombreada,
si el radio de la circunferencia mide 1m.
4
a) 2m2
b) 6m2
c) 8m2
d) 16m2
e) N.a.
11.Halle








2
1
S
S
. Si AO=OB y OP=PQ
S1 S2
A
O Q
B
R
P
a)
2
1
R b)
2
1
c)
4
1
R
d)
4
1
e) 2
12.Hallar el área de la región sombreada
a
a
a)
4
)32(2
−+πa
b)
12
)332(2
−+πa
c)
6
)332(2
−+πa
d)
4
)333(2
−+πa
e)N.a.
13.Hallar el área de la región sombreada.
a
a
a)
6
2
aπ
b)
8
2
aπ
c)
9
9a 2
π
d)
5
5a 2
π
e) N.a
14.Hallar el área de la región sombreada.
2a
2a
a) a2
b)2ª2
c) 3ª2
d)
5
4 2
a
e)
5
2 2
a
15.Hallar el área de la región sombreada, si
OA=OB, R=2 3 m y m∠AOB=30º
30º
B
A
R
O
a) (15π-6 3 )m2
b) (14π-3 2 )m2
c) (30π-6 6 )m2
d) (25π-6 3 )m2
e)N.a.
16.Determinar el área de la región sombreada, si
el área del cuadrado ABCD es a2
.
A
B C
D
a)
4
)13(2
−a
b)
4
)13(2
+a
c)
3
)13(2
−a
d)
3
)13(2
+a
e)a2
( 2 -1)
17.Hallar el área de la región sombreada, si CE=
3 m y ABCD es un cuadrado.
A
B C
D
30º
E
a) 3m2
b) 6m2
c) 1,5m2
d) 4,5m2
e) 8m2
18.Si ABCD es un cuadrado, hallar el área de la
región sombreada.
A
B
D
C
a
a)
2
2
a
b)
5
2 2
a
c)
5
3 2
a
d)
5
7 2
a
e)
7
4 2
a
19.En la figura, encontrar el área del cuadrado
ABCD, sabiendo que FE=9cm; AE=15cm y
DE=13cm
A
B
D
C
F E
a) 16cm2
b) 18cm2
c) 19cm2
d) 25cm2
e) 36cm2
20.En la figura mostrada, se pide el área de la
región sombreada, si r=4cm y el lado del
cuadrado ABCD mide 2 3 cm.
A
B C
D
r
r

a) (6 - 3 )cm2
b) 3(2 - 3 ) cm2
c) 6(2 - 3 )cm2
d) 3(4 - 3 )cm2
e) 4(3 - 3 )cm2
21.Una circunferencia de 2cm de radio está
inscrita en un triángulo de 10cm de
hipotenusa. Calcular el área de dicho
triángulo
a) 36cm2
b) 24cm2
c) 18cm2
d) 20cm2
e) N.a.
22.La figura muestra un cuarto de círculo y un
semicírculo AM=MO=2 3 m. Hallar el
área de la región sombreada.
O
A
N
B
M
a) (5π - 6 3 )m2
b) (5π + 6 3 )m2
c) (4π - 3 )m2
d) (4π + 3 )m2
e) (10π - 3 3 )m2
23.Hallar el área de la región sombreada, si AOB
es un sector circular de ángulo central 60º y
radio R= 6 cm.
O
A
R
B
60º
a) ( 3 + π)cm2
b) (2π - 3 ) cm2
c) (π + 2 - 3 )cm2
d) (2π + 3 )cm2
e) (π - 3 )cm2
24.Calcular el área de la región sombreada, si el
radio de la circunferencia mide 3 u.
a) π u2
b) 3 3 u2
c) 4 3 u2
d)
2
33
u2
e) π 3
25.En la figura, mBE = mEC ; E es punto de
tangencia. Determinar el área del triángulo
ABC, si R=( 2 +1).
C
A
R
B D
E
a) ( 2 + 1)u2
b)
2
)12( +
u2
c)
2
)12( −
u2
d) ( 2 - 1) u2
e) N.a.
26.En la siguiente figura, hallar el área de la
lúnula MCND, si el área de la figura
curvilínea AOEM + BOFN mide 10m2
.
E
C
F
OA B
D
M N
a) 102m2
b) 200m2
c) 100m2
d) 110m2
e) N.a
27.Los diámetros de la semicircunferencias son
AC=DB, CD Y AB. Si el radio del círculo de
diámetro FE mide 8m. Calcular el área de la
parte sombreada que se indica en la siguiente
figura.
E
C
'O
O
A B
R
F
D
a) 56 πm2
b) 64 πm2
c) 55 πm2
d) 44 πm2
e) N.a.
ESTRUCTURA DEL
Áreas y Volúmenes
Ángulo Diedro
Ángulo Triedro
Cono Recto
Definición
Notación
Medida de un Ángulo Diedro
Definición
Notación
Relación Entre sus Caras
Clasificación
Definición
Elementos
Prisma Recto
Prisma Oblícuo
Paralelepípedo
Cubo
El Paralelepípedo
Poliedros Regulares
Nociones de Geometría
Espacial
Ángulo Poliedros
Clasificación
Caras
Aristas
Vértices
Ángulos Diedros
Ángulos Poliedros
Diagonal
Elementos
Clasificación
Clasificación
El prisma
El Tronco de Prisma
Sólidos Geométricos
Cilíndro
Cilíndrica
Cónica
Esférica
Cono
Caras Laterales
Vértices
Aristas
Bases
Altura
Superficies de Revolución
de Sólidos
La Pirámide
Octoedro o Rectoedro
Romboedro
Hexaedro Regular
Propiedades
Prisma
Pirámide Regular
Cilindro
Esfera
CAPÍTULO XIV - GEOMETRÍA DEL ESPACIO

BREVES NOCIONES DE GEOMETRÍA
ESPACIAL
Antes de empezar esté capítulo te recomiendo
revisar las definiciones dadas de plano,
posiciones relativas de rectas y planos dados al
iniciar el estudio de la geometría.
ÁNGULO DIEDRO
Sabemos que al intersecarse dos rectas
coplanares, determinan cuatro ángulos, tal como
se aprecia en la figura (a).
l1 l2
α α
γ
γ
Figura (a)
Si tenemos dos planos en el espacio que se
intersecan en una línea recta, como muestra la
figura (b), entonces los planos P1 y P2 y la recta l1,
forman cuatro figuras, cada una de las cuales
tiene la forma que se muestra en la figura (c).
Una figura de esta clase recibe el nombre de
ángulo diedro y el segmento NG arista del
ángulo diedro.
l1
figura (b)
P1
P2
DEFINICIÓN
Cuando dos semiplanos no pertenezcan a un
mismo plano y compartan la misma arista,
entonces la unión de dicho semiplanos en su
arista forman un ángulo diedro la recta común
recibe el nombre de arista del ángulo diedro y la
unión de cualquier semiplano con la arista se
llama cara del ángulo diedro.
figura (c)
N
G
Arista
NOTACIÓN
Para describir un ángulo diedro, necesitamos
conocer qué recta constituye su arista. Podemos
hacer esto nombrando dos puntos N y G de la
arista. Entonces denotamos el ángulo diedro por
∠NG.
MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDRO
En la figura, tenemos el ángulo diedro NG, y el
plano Q perpendicular a su arita. La intersección
del plano perpendicular con el ángulo diedro, se
llama ángulo rectilíneo del ángulo diedro.
N
G
g
ψ
La medida de un ángulo diedro es un número real
que es la medida de cada uno de los ángulos
rectilíneos. Un ángulo diedro recto, es aquel
cuyos ángulos rectilíneos son ángulos rectos. Dos
planos son perpendiculares, si contienen un
ángulo diedro recto.
ÁNGULOS TRIEDOS
Si tenemos tres rectas no coplanarias l1, l2 y l3 que
se cortan en un solo punto K, entonces éstas
determinan tres planos: P1, P2 y P3, como muestra
la figura, y tres ángulos diedros de aristas NK,
IK, y KC.
l1
l2l3
K
C
N
P1 P2
P3
DEFINICIÓN
Llamamos ángulo triedro o triedro, al conjunto de
los puntos comunes a estos tres ángulos diedros.
El punto de intersección de las tres rectas se
denomina vértice del triedro, las semirectas que
se determinan a partir de sus vértices se llaman
aristas, los ángulos planos NKI, IKC y NKC son
las caras del triedro y los diedros de aristas KN,
KI, y KC son los diedros del triedro.
NOTACIÓN
Podemos describir un ángulo triedro de las
siguientes cuatro formas, teniendo en cuenta la
figura anterior.
a) Por sus aristas: triedro KC.
b) Por su vértice y sus tres aristas: triedro KNIC.
c) Por su vértice: triedro K, sólo cuando va
aislado.
d) Por sus caras: triedro n, i, c. La cara se
designa con la letra minúscula de su arista
opuesta.
RELACIÓN ENTRE SUS CARAS
PROPIEDADES
a) En todo triedro, una cara es menor que la
suma de las otras dos y mayor que su
diferencia. En la figura.
c – n < i < c + n
b) En todo triedro se cumple que la suma de sus
caras es menor que dos ángulos llanos.
c) Al sumar los ángulos diedros de un triedro,
obtenemos un número comprendido entre
180º y 540º.
CLASIFICACIÓN
El cuadrado siguiente muestra como se clasifican
los triedros.
TRIEDROS RECTOS
ORTOEDRO O
RECTÁNGULO
Son todos los triedros que
tienen una de sus caras
formada por un ángulo
recto.
BIORTOEDRO O
BIRECTÁNGULO
Son todos los triedros que
tienen dos caras que son
ángulos rectos.
TRIORTOEDRO O
TRIRECTÁNGULO
Cuando sus tres caras son
ángulos rectos.
ISOEDRO
TRIEDRO
ISÓSCELES O
ISOEDRO
Es aquel triedro que tiene
la medida de los ángulos
de sus caras iguales y de
sus diedros opuestos,
también iguales.
POLIEDROS
Consideremos el espacio interior encerrado por
una caja o el espacio encerrado por las paredes de
una habitación. En ambos casos podemos apreciar
que las paredes son los confines de este espacio
encerrado. Este es un ejemplo sencillo de un
poliedro.
C
N
E
R
G
L
I
M
DEFINICIÓN
Si cuatro o más planos encierran un espacio, de
manera que los límites de dicho espacio son estos
planos. Entonces, estos límites forman el poliedro
o sólido geométrico.

ELEMENTOS
CARAS
Son cada una de las regiones poligonales que
limitan el poliedro. En la figura, una de ellas es
NIGR.
ARISTAS
Son los lados de las regiones poligonales; es
decir, de sus caras. En la figura, tenemos
GC,NI , RE , etc.
VÉRTICES
Lugar geométrico de donde se encuentran tres o
más aristas. En la figura, tenemos N, I, L, etc.
ÁNGULOS DIEDROS
Son los diedros formados por cada dos caras
consecutivas. En la figura, GR, LC, etc.
ÁNGULOS POLIEDROS
Son los ángulos de los vértices. En la figura, estos
son R, E, C, etc.
DIAGONAL
En el segmento de recta que une dos vértices que
no están en una misma cara. En la figura,
podemos apreciar a IE
CLASIFICACIÓN
El siguiente cuadro muestra la clasificación de los
poliedros
Por su número de Caras
4=tetraedro, 5=pentaedro,
6=hexaedro, 8=octaedro, etc.
Por su
Sección
Plana
Convexos
Cuando todas sus secciones
planas son convexas.
Cóncavos
Cuando por lo menos una de
sus secciones planas en
cóncava.
Por la
regularidad e
irregularidad
de sus
elementos
Regulares
Cuando todas sus caras son
polígonos regulares
congruentes, así como sus
diedros y anguloides.
Irregulares
Cuando sus caras son
polígonos irregulares y
desiguales y anguloides
desiguales.
POLIEDROS REGULARES
A continuación mostramos los únicos poliedros
regulares que existen; éstos son sólo cinco y son
los siguientes:
Tetraedro Formado por 4 triángulos Equiláteros
Hexaedro Formado por 6 rectángulos (cubo)
Octaedro Formado por 8 triángulos equiláteros
Dodecaedro Formado por 12 pentágonos
regulares
Icosaedro Formado por 20 triángulos equiláteros
Poliedros
regulares
Número de
caras
Número
de
Aristas
Número
de
Vértices
Número
de Caras
por
vértice
Tetraedro
4 Triángulos
Equiláteros
6 4 3
Hexaedro 6 Cuadrados 12 8 3
Octaedro
8 Triángulos
Equiláteros
12 6 4
Dodecaedro
12
Pentágonos
regulares
30 20 3
Icosaedro
20
Triángulos
equiláteros
30 12 5
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
EL PRISMA
Todo prisma está formado por dos regiones
paralelas (a las cuales se les denomina BASES) y
por un número de paralelogramos igual al número
de lados que tienen los polígonos de las bases (los
cuales reciben el nombre de CARAS
LATERALES) como se muestra en la figura.
E'
U
L'
M
N
I L
C
E
R
A N
ELEMENTOS
VÉRTICE
En la figura, éstos son N; I; L; C; E; R, etc.
ARISTAS
En la figura, podemos apreciar NR; RE; EC; CU;
IA; etc.
BASES
Son las regiones poligonales paralelas y
congruentes. En la figura, tenemos
POLIGONONILCER y POLIGONOMANUE’L’
CARAS LATERALES
En la figura, tenemos NRL’M; REE’L’;
CEE’U; CLNU; LIAN y INMA.
ALTURA
Es la distancia entre sus bases.
CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS
El siguiente cuadro muestra la clasificación de los
prismas.
Prismas Rectos.
Si las aristas laterales son
perpendiculares a sus bases.
Prismas
Oblicuos
Si las aristas laterales son
oblicuas a sus bases.
Prismas
Regulares
Si sus bases son polígonos
regulares y además, es un
prisma recto.
Prismas
Irregulares
Sus bases son polígonos
irregulares.
Según el
número de sus
caras laterales
Estos pueden ser triángulos,
cuadrangulares, pentagonales,
etc.
EL PARALELEPIDEDO
Este es un prisma cuyas bases son dos
paralelogramos y se clasifican en
ORTOEDRO O RECTOEDRO
En este paralelepipedo, sus caras son rectángulos
y se le suele denominar paralelepipedo
rectángulo.

ROMBOEDRO
Cuando todas sus caras son rombos.
HEXAEDRO REGULAR
Cuando todas sus caras son cuadrados. A este
paralelepipedo lo conocemos como cubo.
PROPIEDADES
1. En un paralelepipedo sus caras opuestas son
iguales y paralelas.
2. Todas las diagonales del paralelepipedo se
cortan en su punto medio.
3. Si un plano corta a cuatro de sus aristas
paralela, determinan un paralelogramo sobre
el plano.
4. La diagonal de un ortoedro es igual a
d2
=a2
+b2
+c2
donde a,b y c son las longitudes
de sus aristas.
EL TRONCO DEL PRISMA
Si tenemos un plano no paralelo a las bases de un
prisma, entonces cuando este plano corte a las
aristas laterales del prisma, determinará una
región poligonal no paralela a las bases del
prisma. La porción del espacio encerrado por este
polígono y una de sus bases se denomina prisma
truncado. El tronco de prisma puede ser
triangular o de mayor números de caras y puede
ser recto o oblicuo.
LA PIRÁMIDE
Es el poliedro cuya base es una región poligonal
y sus caras son triángulos que tienen un vértice
común
CLASIFICACIÓN
a) Por el número de lados de su base éstos
pueden ser triangulares o tetraedros,
cuadrangulares, pentagonales, etc.
b) Por la forma de su base pueden ser: Regulares
e irregulares, convexas o cóncavas.
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Entiéndase por revolución al giro o vuelta
alrededor de un punto o un eje, como por
ejemplo, la revolución o giro del la tierra
alrededor de su eje.
Entonces una superficie de revolución es aquella
que se genera por cualquier línea, recta o curva, a
la cual denominaremos generatriz, al girar
alrededor de una recta fija llamada eje. Podemos
generar muchas superficies de revolución de
distintas formas, pero nuestro interés, sólo estará
puesto en tres de ellas, las cuales son
CILÍNDRICA
Podremos generar una superficie cilíndrica, si
hacemos girar una recta paralela a la recta eje. En
la figura, se aprecia como se genera una
superficie cilíndrica de revolución y sus
elementos.
R
x
y
Recta generatriz
(g) Móvil
Recta eje
Móvil
CÓNICA
Generamos una superficie cónica, cuando una
recta que es secante con la recta eje, gire
alrededor de ésta formando con la recta eje un
ángulo invariable. La figura muestra sus
elementos.
l1
V = Vértice
Recta
Generatriz
r
ESFÉRICA
Generamos una superficie esférica al girar una
semicircunfe-rencia alrededor de su diámetro. La
figura, señala sus elementos.
Diametro
SEMICIRCUNFERENCIA
CILÍNDRO
Es aquella porción del espacio limitado por una
superficie cilíndrica de revolución y dos planos
paralelos entre si y perpendiculares al eje del
cilindro. En la figura, se indican sus elementos.
Podemos generar un cilindro si hacemos girar un
rectángulo alrededor de uno de sus lados. La
longitud del lado que sirve de eje será la altura
del cilindro y la longitud del otro lado será el
radio del cilindro.
Base inferior
Radio
Eje
Base superior
Generatriz, Lado
CONO
Obtendremos un cono, si a una superficie cónica
de revolución la cortamos por un plano
perpendicular a su eje. En la figura, se indican sus
elementos.
Podemos generar un cono, si hacemos girar un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos entonces, la longitud de este cateto será la
altura del cono, mientras que la longitud del otro
cateto, será el radio de la circunferencia base.
EJE
Generatriz
RADIO
BASE DEL
CONO
ÁREAS Y VOLUMENES DE SÓLIDOS
PRISMA
p: perímetro de la base.

a: arista lateral.
BASE
a
PRISMA RECTO
Área lateral(SL) SL= (a) (p)
Área Total (ST) ST = SL + 2SBASE
Volúmen (V) V = (SBASE) (a)
PRISMA OBLÍCUO
PR: perímetro de la sección recta
BASE
a
SECCIÓN RECTA
h = ALTURA
PLANO
Sección Recta (SR): Es la sección del prisma con
un plano perpendicular a las aristas laterales.
Área lateral(SL) SL= (a) (pR)
Área Total (ST) ST = SLATERAL + 2SBASE
Volúmen (V) V = (SBASE)h= (SR)(a)
PARALELEPIPEDO
Área Total (ST) ST = 2(ab+bc+ac)
Volúmen (V) V = abc
a
c
b
CUBO
Área Total (ST) ST = 6ª 2
Volúmen (V) V = a3
a
a
a
CILINDRO
Área lateral(SL) SL=2π rg
Área Total (ST) ST = 2πr(g+r)
Volúmen (V) V = πr2
h
g = h
r
PIRÁMIDE REGULAR
APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR
(Ap)
Es el segmento perpendicular trazado desde el
vértice de la pirámide a una arista de la base.
Del gráfico, 222
pp ahA +=
h Ap
ap
L
L
2
L
2
Área lateral(SL)
SL=Semiperímetro de la
base X apotema
Área Total (ST) ST = SLATERAL+ Sbase
Volúmen (V) V =
3
1
Sbase (h)
CONO RECTO
h
r
g
Área lateral(SL) SL=π rg
Área Total (ST) ST = πr (g+r)
Volúmen (V) V =
3
1
πr2
h
ESFERA
R
Área Total (ST) ST = 4πR2
Volúmen (V) V =
3
4
πR3
01.Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a) La intersección de dos semiplanos es una
recta ( )
b) La intersección de un plano perpendicular
con el ángulo diedro se llama ángulo
rectilíneo. ( )
c) Un ángulo diedro es un poliedro. ( )
d) Si la medida de un ángulo diedro es 90º,
entonces los semiplanos son
perpendiculares entre si. ( )
e) Tres rectas no coplanares que se cortan en
un punto, determinan dos planos. ( )
f) Los triedros son ángulos poliedros de 3
caras ( )
g) En todo triedro, una cara es menor que su
diferencia de las otras dos y mayor que la
suma. ( )
h) En todo triedro, si sus caras son
diferentes, sus ángulos diedros son
también diferentes. ( )
i) En todo triedro, la suma de sus caras es
menor que 180º. ( )
j) En un triedro, cuando dos de sus caras
miden 90º cada uno, entonces se llama
triedro birectángulo. ( )
k) Un poliedro es una región del espacio
formado por cuatro o más regiones
poligonales planas. ( )
l) Los vértices de los ángulos poliedros, son
también, los vértices del poliedro. ( )
m) El icosaedro es un poliedro regular. ( )
n) El hexaedro es un poliedro irregular
formado por 6 caras. ( )
02.Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro
de un tetraedro regular?
.............................................................

b) ¿Cuánto mide cada ángulo diedro de un
hexaedro regular?
.............................................................
c) ¿Cuántas caras tiene un tetraedro regular?
.............................................................
d) ¿Qué poliedro regular se forma por 12
pentágonos regulares?
.............................................................
e) ¿Qué poliedro regular se forma con 20
triángulos equiláteros?
.............................................................
f) ¿En qué poliedro regular concurren 4
aristas ?
.............................................................
g) ¿En qué poliedro sus diagonales son
perpendiculares y de igual longitud?
.............................................................
03.
A
B
B'
C'
D'
A'
D
H
C
H'
a) El prisma de la figura se llama prisma
.............................................................
b) La región ABCD se llama
.............................................................
c) 'AA se llama
.............................................................
d) 'HH se llama
.............................................................
e) Si 'AA fuera perpendicular al plano de
la base, entonces el prisma se llamaría
.............................................................
f) La región paralelográmica BB’ C’ C se
llama
.............................................................
g) La reunión de las caras laterales se llama
.............................................................
h) Si el cuadrilátero ABCD fuera
paralelogramo, el prisma se llamaría.
.............................................................
04.Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
a) Todo prisma es un poliedro limitado por
dos regiones poligonales paralelas.
( )
b) La distancia entre las bases es la arista de
un prisma. ( )
c) La pirámide es un poliedro. ( )
d) En toda pirámides el pie de su altura se
confunde con el vértice de la pirámide.
( )
e) Si hacemos girar un cuadrado alrededor
de uno de sus lados se genera un cilindro.
( )
f) Todo cilindro no es una superficie de
revolución. ( )
g) Todo como un sólido geométrico. ( )
h) Toda esfera no es una superficie esférica.(
)
PARTE PRÁCTICA
01.Hallar la suma de las medidas de los ángulos
de las caras de un ángulo poliedro de un
octaedro.
a) 210º b) 220º c) 230º
d) 235º e) 240º
02.Hallar la suma del número de aristas de un
dodecaedro y un icosaedro regular.
a) 45 b) 50 c) 55
d) 60 e) 65
03.Calcular la suma del número de vértices de
un tetraedro regular y un octaedro regular.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
04.Hallar la diagonal de un hexaedro regular de
arista a.
a) a 3 b) a
3 c) 3
d) 3 a e) N.a
05.Calcular la longitud de la diagonal de un
octaedro regular de arista a.
a) a
2 b) 2 c) 2 a
d) a 2 e) N.a
06.La arista de un hexaedro regular mide 2m.
¿Cuánto mide su diagonal?
a) 2 3 b) 3 c) 33
d) 4 3 e) N.a.
07.Hallar la diagonal de un ortoedro, si sus
aristas miden 1cm; 2cm y 3cm
respectivamente.
a) 14 cm b) 13 cm c) 15 cm
d) 12 cm e) N.a.
08.En un paralelepípedo rectángular la diagonal
mide 17cm las aristas de la base miden 5cm y
8cm. Respectivamente. Calcular la altura.
a) 8 2 b) 9 2 cm c) 10 2
cm
d) 11 2 e) N.a.
09.La diagonal de un cubo mide 27 m.
Hallar la arista.
a) 3m b) 4m c) 3.5m
d) 4.5m e) N.a.
10.Hallar el área lateral de un prisma recto de
10cm de altura y cuya base es un triángulo
cuyos lados miden 3cm, 5cm y 7cm
respectivamente.
a) 140cm2
b) 150cm2
c) 160cm2
d) 170cm2
e) N.a.
11.Calcular el área lateral y total de un prisma
recto de 15cm de altura y cuya base es un
cuadrado de 4cm de lado.
a) 240cm2
;230cm2
b) 245cm2
;271cm2
c) 230cm2
;272cm2
d) 235cm2
;271cm2
e) 240cm2
;272cm2
12.Calcular el área total de un cubo de 6cm de
arista y su volúmen.
a) 216cm2
;216cm2
b) 218cm2
;218cm2
c) 217cm2
;217cm2
d) 215cm2
;215cm2

e) 219cm2
;219cm2
13.Cuánto mide la arista de un hexaedro regular,
si su área total es 24m2
.
a) 2m b) 4m c) 6m
d) 8m e) N.a.
14.Hallar el volúmen de un prisma oblicuo, si su
base es un triángulo equilátero cuyo lado
mide 2 6 m y su altura mide 8m.
a) 48 3 m2
b) 38 3 m2
c) 48 3 m3
d) 38 3 m3
e) N.a
15.Hallar el área lateral de una pirámide regular
de 10cm de apotema y cuya base es un
a) 100cm2
b) 110cm2
c) 120cm2
d) 130cm2
e) 140cm2
16.Calcular el área total de una pirámide regular,
si su base es un triángulo equilátero de 2 3
m de lado y su apotema de la pirámide mide
10m.
a) 31 3 m2
b) 32 3 m2
c) 33 3
m2
d) 34 3 m2
e) N.a.
17.Calcular la apotema de una pirámide regular
de 160cm2
de área lateral, si su base es un
d) 8cm e) 10cm
18.La altura de una pirámide regular mide 10cm
y la base es un triángulo rectángulo de catetos
8cm y 6cm respectivamente. Hallar su
volumen.
a) N.a. b)20cm3
c) 40cm3
d) 60cm3
e) 80cm3
19.Hallar el área lateral de un cilindro recto de
revolución de 3cm de radio y 7cm de altura.
a) 40πcm2
b) 42πcm2
c) 44πcm3
d) 40πcm3
e) 42πcm3
20.Calcular el área lateral y total de un cilindro
generado por la rotación de un rectángulo de
5cm de largo por 4cm de ancho, alrededor de
su lado menor.
a) 40πcm2
;80cm2
b) 40πcm2
;90πcm2
c) 40πcm2
;70πcm2
d) 40cm2
;80πcm2
e) 40cm2
;90cm2
21.Hallar el volumen de un cilindro de
revolución de radio 2 m y 4m de altura.
a) 8πm3
b) 10πm3
c) 12πm3
d) 6πm3
e) N.a.
22.Un pozo cilíndrico de 10m de diámetro y 4m
de profundidad contiene agua hasta 1m del
borde. Calcular la superficie mojada.
a) 50πm2
b) 55πm2
c) 60πm2
d) 65πm2
e) N.a.
23.Al sumergir un cuerpo en el agua contenida
en un cilindro circular recto de 100cm de
diámetro el nivel del agua sube 10cm. ¿Cuál
es el volumen del cuerpo sumergido?
a) 5 x103
πcm3
b) 10 x103
πcm3
c) 15 x103
πcm3
d) 20 x103
πcm3
e) 25x103
πcm3
24.El área lateral de un cilindro de revolución y
su volumen son numéricamente iguales,
luego el radio de la base mide.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
25.Hallar el área lateral de un cono de revolución
de 12cm de generatriz y cuya base tiene 4cm
de radio.
a) 44πcm2
b) 48πcm2
c) 52πcm2
d) 56πcm2
e) N.a.
26.El área lateral de un cono de revolución es
24m2
, si el radio de la base mide 4m. ¿Cuánto
mide la generatriz del cono?
a) 3/πm b) 4/πm c) 5/πm
d) 6/πm e) N.a.
27.¿Cuántos metros cuadrados de tela, serán
necesarios para construir una carpa cónica de
circo de 30m de generatriz y 30m de diámetro
del círculo?
a) 440πm2
b) 450πm2
c) 460πm2
d) 470πm2
e) N.a.
28.Hallar el área lateral y total de un cono de
revolución de 12cm de altura, si su base es un
círculo de 9cm de radio.
a) 216cm2
;135πcm2
b) 135πcm2
;216πcm2
c) 217πcm2
;216πcm2
d) 115πcm2
;215cm2
e) N.a
29.El área total de un cono circular recto es
62.80cm2
. Calcular el radio de su base,
sabiendo que su generatriz mide 8cm.
d) 5cm e) 6cm
30.Un cuadrado de 12cm de diagonal, realiza
una revolución completa alrededor de una de
sus diagonales, calcular el volumen del sólido
engendrado.
a) 140πcm3
b) 144πcm3
c) 148πcm3
d) 152πcm3
e) N.a.
31.En el sólido formado por un cono circular
recto de 13m de generatriz y 12m de radio y
por un cilindro circular recto de 10m de
altura. Calcular el volumen del sólido.
a) 1650πm3
b) 1660πm3
c) 1670πm3
d) 1680πm3
e) N.a.
32.Hallar el área de una superficie, esférica si su
radio mide 2m.
a) 16πm2
b) 18πm2
c) 20πm2
d) 14πm2
e) N.a.
33.Calcular el área de la superficie y el volumen
de la esfera inscrita en un cubo de arista a.
a) A=π2
; V=
6
3
aπ
b) A=π3
; V=
6
2
aπ
c) A=π2
; V=
6
aπ
d) A=π3
; V=
6
3
aπ
e) N.a.
34.Calcular el producto y el cociente del área de
la superficie y el volumen de una esfera de
radio R.
a)
3
16
π2
R5
;
3
R
b)
2
16
π2
R2
;
R
3
c)
3
16
πR2
;
3
R
d)
3
16
π2
R5
;
R
3
e) N.a
35.Si el área de una superficie esférica es de
113,04cm2
, el radio de la esfera mide.
d) 4cmº e) 5cm

36.Los volúmenes de dos esferas están en la
razón 125:1728; ¿Cuál es la razón de sus
diámetros?
a) 5:14 b) 5:10 c) 5:18
d) 5:16 e) 5:12
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar la altura de un tetraedro regular de
arista 3ª.
a) a 6 b) 3ª 6 c) 2ª 6
d)
3
ba
e)
2
6a
02.Hallar la arista de un tetraedro regular de
altura 6 m.
a) 4m b) 3m c) 2m
d) 1m e) 3 6 m
03.Se tiene un triedro O-AOB,BOC y COA
miden 60º, 60º y 90º, Respectivamente, hallar
el ángulo que forma la arista OB con la
cara AOC. Si OB=2k.
a) 15º b) 30º c) 45º
d) 60º e) 90º
04.En un triedro O-ABC los diedros A y B
miden 70º y 60º, respectivamente si se traza
OF bisectriz del ángulo AOB y además
m∠FOC=m∠AOF. Hallar el diedro C.
a) 30º b) 60º c) 90º
d) 120º e) 130º
05.Un triángulo al ser proyectado sobre un plano
determina un triángulo cuya área es la mitad
del triángulo dado, calcular el diedro que
forma el triangulo con el plano de
proyección.
a) 15º b) 30º c) 60º
d) 90º e) N.a.
06.En un triedro trirectangular O-ABC, las áreas
de sus caras catetos son AOB=30cm2
;
BOC=40cm2
; AOC=50cm2
. Hallar el área de
la cara de la hipotenusa ABC.
a) 50cm2
b) 50 2 cm2
c) 100 2 cm2
d) 25 2 cm2
e) 25cm2
07.En un poliedro, el número de caras más el
número de vértices suman 14. ¿Cuántas
aristas tiene dicho poliedro?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 16 e) Faltan datos
08.En un triedro equilátero sus ángulos diedros
pueden medir
a) 40º b) 60º c) 90º
d) 200º e) N.a.
09.Hallar la suma de las medidas de los ángulos
internos de los polígonos que forman las
caras de un dodecaedro regular.
a) 3 600º b) 6 450º c) 6 480º
d) 7 560º e) 6 400º
10.Dos caras de un triedro miden 140º y 160º
respectivamente, la tercera cara puede medir:
a) 10º b) 20º c) 40º
d) 60º e) 80º
11.La siguiente figura representa un cubo cuya
arista mide a cm, ¿cuál es el área de la parte
sombreada?
a
a) 2ª a cm2
b) 3ª2
cm2
c) a2
3
cm2
d) a2
5 cm2
e) a2
2 cm2
12.En un triedro equilátero sus ángulos diedros
pueden medir
a) 40º b) 60º c) 90º
d) 200º e) N.a.
13.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera?
a) Todo prisma es un paralelepípedo
b) Un paralelepípedo, es siempre un cubo
c) Un cubo es un prisma.
d) Un ortoedro es un paralelepipedo cua-
drangular.
e) N.a.
14.Un rombo cuyas diagonales miden 8m y 6m
respectivamente es la base de un prisma recto
de 18m de altura. Calcular el área total del
prisma, y su volumen
a) 48; 432 b) 24; 216 c) 12; 436
d) 24; 436 e) N.a.
15.Calcular la longitud de la diagonal de un
paralelepípedo rectangular cuya altura mide
7cm y cuya base es un cuadrado de 36cm2
de
área.
d) 11cm e) 12cm
16.En un tetraedro regular de arista a. Hallar la
distancia de un vértice al plano de la cara
opuesta.
a)
3
6a
b)
2
6a
c)
6
62
a
d)
4
32
a
e)
4
6a
17.En un hexaedro regular, la longitud de una
diagonal es 27 cm. El área de una cara es
a) 6cm2
b) 8cm2
c) 9cm2
d) 16cm2
e) N.a.
18.La superficie total de un paralelepípedo
rectangular es 180cm2
, la diagonal de la base
mide 10cm. y la suma de las 3 dimensiones
miden 17cm. ¿Cuál es la magnitud de las
dimensiones?
a) 8cm, 4cm, 5cm b) 4cm, 5cm, 6cm
c) 3cm, 6cm, 8cm d) 5cm, 6cm, 7cm
e) N.a.
19.La diagonal de un rectoedro mide 10m y su
área total es de 261m2
. Calcular la suma de
todas sus aristas.
a) 70m b) 76m c) 82m
d) 96m e) N.a.
20.En un paralelepípedo rectangular la base mide
50m2
, la suma de las medidas de todas sus
aristas es 23m y la suma de los cuadrados de
las tres dimensiones es 189m2
. Calcular la
altura del paralelepípedo
a) 6m b) 8m c) 16m
d) 12m e) 18m
21.Cuál es el volumen de un prisma oblicuo,
cuya base es el triángulo equilátero de 1,2m
de lado y cuya arista lateral es de 2,8m de
longitud y forma con la base un ángulo de
30º.
a) 0,837m3
b) 0,846m3
c) 0,872m3
d) 0,885m3
e) 0,892m3

22.Se conocen las áreas del fondo, del frente y
del lado de una caja rectangular. El producto
de estas áreas es igual a:
a) El volumen de la caja.
b) La raíz cuadrada del volumen.
c) El cuadrado del volumen.
d) El doble del volumen.
e) El cubo del volumen.
23.Con una lámina rectangular de 6cm de largo
y 5cm de ancho, se construye una caja
abierta, cortando un cuadrado de 1cm de lado
en cada esquina. Hallar el volumen de la caja
resultante.
a) 12cm3
b) 15cm3
c) 16cm3
d) 20cm3
e) 24cm3
24.La base de un prisma recto de 12cm de altura
es un triángulo equilátero. Cuánto mide el
lado de este triángulo si el área lateral del
prisma es 108cm2
.
d) 4cm e) 5cm
25.Hallar el volumen de un prisma recto cuya
altura mide 12cm y su base es un triángulo
equilátero inscrito en una circunferencia de
3cm de radio.
a) 54 3 cm3
b) 48 3 cm3
c) 81 3
cm
3
d) 75 3 cm3
e) 72 3 cm3
26.Calcular el área total de un cubo, sabiendo
que la distancia de uno de sus vértices al
centro de una cara opuesta es de 2m.
a) 16m2
b) 15m2
c) 14m2
d) 13m2
e) 12m2
27.La altura de un prisma recto mide 6m su base
es un rectángulo, en el que un lado es el doble
del otro; el área total es 144m2
. ¿Cuál es la
longitud de una de las diagonales del prisma?
a) 5m b) 8m c) 6m
d) 9m e) N.a.
28.Un cilindro recto, contiene agua hasta en
4
3
de volumen, hallar en que relación se
encuentran las alturas, de los dos volúmenes
respectivamente.
a)
3
4
b)
3
2
c)
3
1
d)
4
1
e)
5
3
29.Si el diámetro de la base de un cilindro de
revolución mide 6
2
1
pies. Entonces el
número de pulgadas que mide su radio es
a) 13
4
1
b) 26
2
1
c) 39
d) 19
2
1
e) 78
30.Un depósito de forma cilíndrica, se desea
cambiar por otro de la misma forma, pero
aumentando en un 50% la longitud de la
circunferencia de la base. ¿En que porcentaje
se incrementará el volumen del nuevo
cilindro, respecto al primero?
a) 125% b) 175% c) 150%
d) 225% e) 50%
31.La figura mostrada es un ortoedro, el punto H
es la posición de una hormiga y el punto C la
posición de su comida. Hallar la longitud del
menor camino que debe recorrer la hormiga
para llegar al punto C.
Si PH = HQ = 1m.
RC = 3m; CM =4m
C
M
Q
R
H
P
a) 3m b) 4m c) 5m
d) 6m e) 8m
32.Un vaso cilíndrico de 20cm de diámetro y
40cm de altura está lleno de agua, si se vierte
esta agua en otro vaso de 40cm de diámetro.
¿Hasta qué altura subirá el agua?
d) 8cm e) N.a.
33.Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad.
Se suelta un pedazo metálico y el nivel de
agua sube en 3,5cm. si el diámetro del
cilindro es 8cm. ¿Cuál es el volumen el
pedazo metálico?
a) 176cm3
b) 88cm3
c) 264cm3
d) 0,226l e) N.a.
34.La altura de un pirámide es 3
16 m. ¿A qué
distancia del vértice pasará un plano paralelo
a la base de la pirámide, de tal manera que los
volúmenes obtenidos por este corte sean
iguales?
a)
2
163
m b)
2
1
m c) 3m
d) 2m e) 3
3 m
35.La base de una pirámide regular es un
triángulo equilátero y las caras laterales son
triángulos rectángulos isósceles. Si las aristas
laterales miden 4m el área total de la pirámide
será.
(Considerar 3 =1,73)
a) 25,84m2
b) 26,84m2
c) 34,6m2
d) 37,84m2
e) N.a.
36.En una pirámide regular de base cuadrangular
de 10m de lado. ¿Cuál es el área de la sombra
que proyecta una de sus caras laterales en su
base a las 12 meridiano?
a) 2,5m2
b) 50m2
c) 75m2
d) 25m2
e) 100m2
37.Calcular el área total de la pirámide
cuadrangular regular P-ABCD de 12 u de
arista en la base, sabiendo que el área del
triángulo PAC es 48 2 u2
a) 224u2
b) 324 u2
c) 240 u2
d) 384 u2
e) 440 u2
38.El área lateral de un cono de revolución es
65π u2
y el área de su base es 25πu2
. Hallar su
volumen.
a) 300πu3
b) 200πu3
c) 100πu3
d) 150πu3
e) N.a
39.Calcular el volumen de un cono circular,
recto cuya generatriz mide 18cm y su área
total es igual a la de un círculo de 12cm de
radio.
a) 136π 3 cm3
b)136π 2 cm3
c) 144π 3 cm3
d) 144π 2 cm3
e) 150π 2 cm3
40.Se tiene un cono circunscrito a dos esferas
cuyos radios miden 1cm y 3cm. ¿Cuál es el
volumen del cono?
a) 27πcm3
b) 81πcm3
c) 36πcm3
d) 45πcm3
e) 90πcm3
41.Si construimos un cono de revolución con una
cartulina, dándole por área lateral la de un
sector circular de 120º de ángulo central y
6cm. de radio. Calcular el volumen de dicho
como de revolución.

a)
3
216
πcm3
b) 16 2 πcm3
c)
3
28
πcm3
d) 16 3 πcm3
e) N.a
42.Si la generatriz de un cono circular y el
diámetro de su base son iguales entre sí,
luego la razón, entre el área lateral del cono y
la superficie de la esfera inscrita en el como,
es.
a)
4
5
b)
3
4
c)
2
3
d)
5
6
e)
3
5
43.Si la altura de un cono recto de revolución es
de 4m y su generatriz es de 5m. Determine a
qué distancia del vértice se debe hacer pasar
un plano paralelo a la base, de modo que el
área del círculo determinado sea igual al área
lateral del tronco de cono formado.
a) 5 rm b) 5m c) 10m
d) 10 m e) N.a
44.La figura mostrada es una circunferencia
cuyo radio mide 2m se prolonga el diámetro
AB hasta F, de modo que BF=2m. Por F se
traza la tangente FM . Calcular el área de
la superficie engendrada por la línea mixta
QMF.
M
A
BO
Q
a) 10πm2
b) 15πm2
c) 18πm2
d) 20πm2
e) 25πm2
45.Hallar el área de una superficie esférica
inscrita en un cono recto de altura 12m. y
radio 5m
a) 100
9
π
m2
b) 200πm2
c) 300πm2
d)
9
400π
m2
e) N.a.
46.Dos esferas apoyadas sobre una horizontal
son tangentes. Hallar la distancia de sus
apoyos cuando ambas giran en sentidos
contrarios, 2 vueltas y media si su radio son
de 20cm y 10cm respectivamente.
a)(100π+60)cm b)(150π+20 2 )cm
c) 150cm d) 120πcm
e) (150π + 60)cm
47.Una esfera de volumen V, es calentada hasta
que su radio se incrementa en un décimo. El
nuevo volumen de la esfera será.
a) 10-3
V b) 1,1V c) 1,21 V
d) 1,030 V e) 1,331 V
48.Si un sólido de forma cúbica de un metro de
lado se divide en cubitos de un milímetro de
lado, entonces, ¿qué altura alcanzará una
columna formada por todos los cubitos unos
encima de otros?
a) 10 km b) 1 km c) 10 km
d) 1 000km e) 3 km
49.Se tiene un terreno de forma cuadrada. En un
vértice se coloca un poste de 7m, de altura y
en el vértice opuesto otro de 8m, cuyos
extremos están unidos por un cable de 45m
de longitud. Hallar el área del terreno.
a) 1 000m2
b) 1 012m2
c) 2 024m2
d) 2 025m2
e) N.a.
50.Los radios de dos esferas secantes miden 5u y
12u, si la distancia entre sus centros es 13u.
¿Cuánto mide el radio de la sección común?
a) 5,6u b) 4,6u c) 4,3u
d)4,8u e) 5,8u
51.Determinar el volumen de una esfera
circunscrita a un cubo de arista a.
a) a3
π
2
3
b) a3
π
3
2
c) a3
π
3
3
d) a3
π
2
2
e) a3
π
4
2
52.Hallar el área de una superficie esférica, si el
área lateral del cono equilátero circunscrito a
la esfera mide 18 3 u2
.
a) 6 3 u2
b) 8 3 u2
c) 9u2
d) 4 3 u2
e) 12 3 u2
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. A A E
02. A E D
03. A A A
04. A E A
05. C B D
06. B C A
07. B D A
08. B A C
09. B A
10. C B B
11. C D E
12. A C A
13. D A A
14. A A C
15. D B C
16. A A C
17. B C E
18. B B E
19. C A B
20. C E B
21. A A A
22. D A B
23. B C E
24. B A A
25. C D B
26. A E A
27. D A B
28. D B

29. A A
30. B B
31. E D
32. A A
33. B A
34. E D
35. B C
36. E E
37. B
38. A
39.
40.
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

Geometria 5° 4 b

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