El documento presenta un problema de beisbol donde un jugador se está moviendo de la primera a la segunda base a 17 pies/segundo. Se pide calcular la velocidad a la que se acerca a la tercera base cuando está a 60 pies de la primera. También presenta un problema donde se calcula la razón en que cambia la sombra de un edificio cuando la sombra mide 80 metros.

1. 1. Un campo de beisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de 17 pies/seg. Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice la figura que ilustre el problema.
DATOS
Velocidad del jugador de 1era a 2da base
X = 60 pies
Y = distancia del jugador con respecto a la 3era base
X = distancia recorrida por el jugador de 1era a 2da base en un instante determinado
T= tiempo que transcurre
SOLUCIÓN
Utilizando el teorema de Pitágoras
(*)
Sabemos que x = 60 pies sustituyendo en (*)
Despejando y
Sustituyendo x = 60pies
(DISTANCIA DEL JUGADOR CON RESPECTO A LA 3ERA BASE)
Derivando (*) respecto a t
Sabiendo x = 60 pies, y y = 94,87pies Evaluando la derivada TENEMOS
2da base
1era base
3era base
90 pies
X
y

2. Por lo tanto la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera es de 5,38
2. Un edificio de 60m. proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de 15° por hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de 80m. hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante. Realice la figura que ilustre el problema
DATOS
SOLUCION
Utilizando trigonometría
(*)
Sabiendo que x = 80 m sustituyendo en (*) tenemos que
Derivando (* ) respecto a t
Aplicando la derivada de la tangente y de una potencia
60 m
x

3. Evaluando la derivada en X = 80 m y sabiendo que y tenemos
3. No lo realice
4. Sabiendo que un trozo de hielo esférico se derrite a una razón proporcional al área de su superficie.
a) Probar que la razón con que se contrae su radio es constante
b) Si, además se sabe que después de una hora el hielo que queda es de 1/8 de la cantidad inicial, hallar el tiempo que tardara en derretirse completamente.
Solución
Datos
a) Probar que
SOLUCION
Derivando respecto t
despejando
V
A

4. sustituyendo
sustituyendo
simplificando
lqqd
b) No lo realice
5. El gas de un globo esférico se escapa a razón de 360 pies3/min. Hallar:
a) La rapidez que disminuye el radio en el instante en que este es de 3 pies.
b) La rapidez con que disminuye el área de la superficie en el instante en que el radio es de 3 pies.
Datos
t = 3 pies
r = 3 pies
a) El volumen correspondiente es derivando respecto a t
simplificando y Despejando
sabiendo y el radio r = 3tenemos
simplificando
b) El área correspondiente es derivando respecto a t
simplificando

5. sabiendo que r = 3 pies y
tenemos
6. Un barco navega con dirección norte a razón de 6 km/h. otro barco navega con
dirección este a 8km/h. a las 11 am. El segundo barco cruzo la ruta del primero en el
punto en el cual este paso 2 horas antes. ¿Cómo está cambiando la distancia de los barcos
a las 10am?
Datos
X = 8 Km
Y = 6 Km
Solución
Aplicando el teorema de Pitágoras
(*)
Sabiendo que x = 8 km , y = 6 km hallemos el valor de D en (*)
Derivando (*) respecto a t
Despejando
y
x
D
A
B
ar
B
B
ar

6. sabiendo , , X = 8 Km , Y = 6 Km y D = 10 km evaluemos la derivada
7. Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. de altura y con velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea de observación es de π/3, este ángulo está cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del avión.
Datos
Solución
(*)
Si , sustituyendo ϴ en (*) tenemos que
Y = 900 m
x
ϴ

7. despejando x
Derivando (*) respecto a t
despejando
evaluando la derivada sabiendo x = 519,62 m , ϴ = (π/ 3) y
8. Las dimensiones de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante el radio y la altura son de 8cm y 20cm, respectivamente. Si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg. Hallar la variación de la altura en ese instante.
Datos
Volumen de un cilindro
r
h

8. Solución
Sabiendo que el volumen de un cilindro esta dado por la formula
derivando respecto a t tenemos
) despejando sabiendo que
simplificando
evaluando la derivada con r = 8cm, h = 20 cm y
Graficar la siguiente función (3 puntos)
Para ello de buscar
1. Dominio
2. Simetría y periodicidad
3. Intersección con los ejes
4. Continuidad y asíntotas
5. Estudio de la primera derivada: intervalos de monotonía, máximos y mínimos
6. Estudio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión
7. Esbozar el grafico
Solución
a) Dominio esta función por ser un polinomio es continua en todo R
b) Simetría y periodicidad
- Veamos si la función es par
Se observa que

9. Por lo tanto la función no es par
- Veamos si la función es impar
Se observa que
Por lo tanto la función dada no es impar
En consecuencia el grafico de F no es simétrico respecto al el “y” ni al origen
c) Intersección con los ejes
Corte con el eje x ( hacemos f(x) = y = 0)
Si aplicamos ruffini
1 -6 9 1
1
1
No hay raíces
Corte con el eje “y” (hacemos x = 0)
El grafico f intersecta al eje X en el punto (0, F(0)) = (0,1)
d) Continuidad y asíntotas
Asíntotas verticales: por ser una función continua en R no posee asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
No tiene asíntotas horizontales
e) Estudio de la primera derivada: intervalos de monotonía, máximos y mínimos

10. Luego x= 1 y x=3 son los números críticos y posibles máximos o mínimos locales
Intervalos
Intervalos
F(x)
F´(x)
conclusión
(-α, 1)
+
F es creciente
Cóncava hacia abajo
X = 1
5
0
Máximo local
Cóncava hacia abajo
(1,3)
-
F es decreciente
cóncava hacia arriba
X = 3
1
0
Mínimo local
Cóncava hacia arriba
(3 , +α)
+
F creciente cóncava hacia arriba
f) Estudio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión
Luego x = 2 es el único numero critico y posible punto de inflexión
Intervalos de concavidad son
-α 2 +α
F(x) es creciente y cóncava hacia abajo
F(x) es decreciente cóncava hacia arriba
Esta tabla también nos dice (2,f(2)) = (2,3) es punto de inflexión

11. X
y
-1
-15
0
1
1
5
2
3
3
1
4
5
5
21
CREADO POR: SANDRA VALERIA LOPEZ MARTINEZ
C.I.: V- 23.485.932
// DISEÑO DE OBRAS CIVILES
INTENSIVO DE MATEMATICA II
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
y