MATEMÁTICA - 5TO GRADO - UNIDAD 5.pdf

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• Experimenta y describe las características, clasificación y
propiedades de los poliedros y cuerpos redondos.
• Explica el procedimiento para hallar el volumen de los
cuerpos geométricos.
Aprendizajes de esta unidad
A
Inclusivo o de atención a la
diversidad
Enfoque transversal
E
Tolerancia y compañerismo
Valores
V
Con los sólidos
construimos
figuras
5
Unidad
Niños, mencionen
qué figuras lograron
armar con sus
troquelados.
El mío es un
cubo.
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Observamos y respondemos
• ¿Qué son los cuerpos geométricos?
• ¿Cómo describirías las formas de los sólidos que formaron los alumnos en clase?
• ¿Qué otros poliedros conoces?
No sé cómo
se llama. Le
preguntaré a la
profesora.
¡A mí me salió un
cono!
¿A ti, Alfredo?
Este parece un
cilindro.
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Ficha de trabajo
Unidad 5
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Nivel 1
Geometría Poliedros y cuerpos redondos
1) Encierra con un círculo los poliedros y marca con un aspa (X) los cuerpos redondos.
2) Escribe en los recuadros el nombre de cada elemento del poliedro.
3) Observa los sólidos geométricos, luego escribe la letra correspondiente según cada enunciado.
A B C D E
• Sólidos geométricos que tienen al menos una cara con forma triangular: _______
• Sólidos geométricos que tienen al menos una cara con forma cuadrada: _______
• Sólidos geométricos que están limitados por superficies curvas: _______
vértice
cara
arista
B y C
A y C
D y E
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Relación entre conjuntos
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Unidad 5
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Nivel 2
1) Observa los siguientes cuerpos redondos y escribe la letra correspondiente según los enunciados.
Cuerpo redondo…
• con el menor radio: ____
• con la mayor altura: ____
• con el mayor diámetro: ____
• donde la altura es el doble del radio: ____
2) Observa los poliedros y escribe V si es verdadero y F si es falso según sea el caso.
• El poliedro A tiene sus doce aristas iguales. (___)
• El poliedro B tiene quince aristas. (___)
• El poliedro E tiene diez vértices. (___)
• El poliedro D tiene doce vértices. (___)
• El poliedro C tiene seis vértices. (___)
• El poliedro F tiene ocho aristas. (___)
3) Colorea la cara paralela a la cara destacada en cada poliedro.
a) b) c) d)
Geometría Poliedros y cuerpos redondos
A
B
C
D
5 m
6 m
6 m
7 m
8 m
4 m
3 m
2 m
A
E
C
B
F
D
D
C
B
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Geometría Nivel 3 Poliedros y cuerpos redondos
Geometría
1) Relaciona mediante flechas cada sólido geométrico con su respectivo desarrollo plano.
• • • • •
• • • • •
2) Completa la tabla según los poliedros regulares.
Nombre Número de caras Polígono que aparece en cada cara
3) Halla la suma del número de caras, vértices y aristas de cada poliedro indicado.
a) Hexaedro b) Tetraedro
N.o de caras: 6
N.o de vértices: 8
N.o de aristas: 12
Sumando: 6 + 8 + 12 = 26
Rpta.: 26
N.o de caras: 4
N.o de vértices: 4
N.o de aristas: 6
Sumando: 4 + 4 + 6 = 14
Rpta.: 14
tetraedro 4 triángulo
octaedro 8 triángulo
icosaedro 20 triángulo
cubo 6 cuadrado
dodecaedro 12 pentágono
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Geometría Círculo matemático
Poliedros y cuerpos redondos
1) Lee y colorea el polígono indicado.
a) Roberto y sus padres viajaron a Egipto a ver las pirámides. ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la
vista de frente de una de ellas?
b) En Comas se construyó un nuevo edificio con forma de prisma hexagonal regular. ¿Cuál de las siguientes
figuras corresponde a la vista de dicho edificio desde arriba?
2) Dibuja el desarrollo plano de cada sólido geométrico.
a) b) c)
3) Halla la suma del número de caras, vértices y aristas de los siguientes poliedros:
a) b)
N.o de caras: 13
N.o de vértices: 13
N.o de aristas: 24
Sumando: 13 + 13 + 24 = 50
Rpta.: 50
N.o de caras: 5
N.o de vértices: 6
N.o de aristas: 9
Sumando: 5 + 6 + 9 = 20
Rpta.: 20
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Geometría
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1) Completa la tabla según corresponda.
Poliedro regular Número de caras Número de aristas Número de vértices
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Cubo
Dodecaedro
2) Escribe V si es verdadero o F si es falso según corresponda.
• Este cuerpo redondo es una esfera. (___)
• Un cono es un cuerpo redondo. Tiene una superficie lateral curva y una base circular. (___)
• Este cuerpo es redondo, pero no es cilindro ni cono. (___)
• Con este desarrollo plano se puede construir un cilindro. (___)
• Un cilindro es un poliedro con dos bases circulares. (___)
• Con el desarrollo plano siguiente: , se puede construir un cono. (___)
• Este sólido geométrico no es un poliedro, es una esfera. (___)
3) Lee y responde las siguientes preguntas:
a) En un poliedro, el número de vértices es igual al
doble del número de caras, disminuido en 4. Si
el poliedro tiene 30 aristas, ¿cuál es el nombre
de dicho poliedro?
b) En un poliedro, el número de aristas es igual al
doble del número de caras, disminuido en 10. Si
el poliedro tiene 12 vértices, ¿cuál es el nombre
de dicho poliedro?
Datos:
N.o de caras: x
N.o de vértices: 2x – 4
N.o de aristas: 30
De la fórmula de Euler se tiene:
C + V = A + 2
x + 2x – 4 = 30 + 2
3x – 4 = 32
3x = 36
x = 12
Por lo tanto, el poliedro tiene doce caras.
Rpta.: Es un dodecaedro.
Datos:
N.o de caras: x
N.o de aristas: 2x – 10
N.o de vértices: 12
De la fórmula de Euler se tiene:
C + V = A + 2
x + 12 = 2x – 10 + 2
12 + 10 – 2 = 2x – x
20 = x
Por lo tanto, el poliedro tiene veinte caras.
Rpta.: Es un icosaedro.
F
V
V
F
F
V
V
4 6 4
8 12 6
20 30 12
6 12 8
12 30 20
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Geometría
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Preparándonos para PISA
1) Dibuja el sólido correspondiente, teniendo en cuenta su desarrollo plano.
a) b) c)
2) Al hacer girar figuras planas alrededor de un eje vertical, se forman cuerpos geométricos en el espacio, llamados
sólidos de revolución.
Observa las siguientes figuras planas y escribe el nombre del sólido de revolución que se obtendría si estas
rotaran alrededor del eje que se indica.
a) b) c)
3) Observa cada cuerpo redondo y marca con un check () si el objeto correspondiente es el resultado de la
rotación de una figura plana, y con un aspa (X) si no lo es.
cono cilindro esfera
 X   X X 
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Geometría Nivel 1
1) Identifica los elementos del prisma y escribe los números correspondientes.
• Base superior : ____
• Base inferior : ____
• Altura : ____
• Cara lateral : ____
2) Observa cada poliedro y marca con un check () si es un prisma y con un aspa (X) si no lo es.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3) Escribe el nombre de los siguientes prismas:
a) b) c) d)
4) Observa las figuras y colorea los paralelepípedos.
Prismas
4
3
2
1
2
3
4
1



Prisma
hexagonal
Prisma
octagonal
Prisma
pentagonal
Prisma
triangular
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Geometría Nivel 2
1) Observa los desarrollos planos y dibuja los prismas correspondientes.
a)

b)

c)

2) Calcula el área lateral de los siguientes prismas:
a)

b)

c)

3) Halla el área total de cada prisma.
a)
b)
4 cm
Prismas
4 cm 12 cm 5 cm
3 cm
12 cm
12 cm
8 cm
13 cm 5 cm
2 cm
8 cm
15 cm
25 cm
15 cm
15 cm
Área lateral:
AL = (4 × 4) × 8
AL = 16 × 8 = 128 cm2
Rpta.: 128 cm2
Área de la base:
AB = 25 × 12 = 300 cm2
Área lateral:
AL = (25 × 2 + 12 × 2) × 12
AL = 74 × 12 = 888 cm2
Área de la base:
AB = 15 × 15 = 225 cm2
Área lateral:
AL = (15 × 4) × 15
AL = 60 × 15 = 900 cm2
Área total:
AT = 900 + 225 × 2
AT = 1350 cm2
Rpta.: 1350 cm2
Área total:
AT = 888 + 300 × 2
AT = 1488 cm2
Rpta.: 1488 cm2
Área lateral:
AL = (12 + 5 + 13) × 8
AL = 30 × 8 = 240 cm2
Rpta.: 240 cm2
Área lateral:
AL = (2 × 2 + 3 × 2) × 5
AL = 10 × 5 = 50 cm2
Rpta.: 50 cm2
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Geometría Nivel 3 Prismas
1) Lee y responde. En el siguiente gráfico se muestra
un edificio con forma de prisma. Si cada lado del
edificio tiene la misma cantidad de ventanas,
¿cuántas ventanas tiene este edificio? Y si cada
ventana tiene un área de 2 m2, ¿qué cantidad de
tela será necesaria para poner cortinas a todas las
ventanas del edifico?
2) Calcula el área total de la mitad de un cubo de
4 cm de arista.
3) El valor de «b» (en centímetros) es igual a la
diferencia entre el número de aristas y el número
de vértices superiores del cubo. Calcula el área
total de este.
4) Lee y responde.
a) Carlos construyó un prisma recto con cartulina.
Si la base es un triángulo rectángulo, cuyos
lados miden 9 cm, 12 cm y 15 cm, y, además,
tiene una altura de 20 cm, ¿cuántos centímetros
cuadrados de cartulina utilizó?
b) Marisol quiere decorar, con papel dorado, la
parte lateral de una caja que tiene forma de
prisma recto. Si la caja tiene una altura de 13 cm
y, además, la base de esta tiene un perímetro
de 25 cm, ¿qué cantidad de papel dorado le
sobró si había comprado 400 cm2?
b
N.o de ventanas por lado: 9
Un prisma pentagonal tiene 5 caras laterales,
por ende, el edificio tiene 5 lados.
Total de ventanas: 9 × 5 = 45
Superficie de cada ventana: 2 m2
Total de tela que se necesitará: 2 × 45 = 90 m2
Rptas.: El edificio tiene 45 ventanas y serán
necesarias 90 m2 de tela para colocar cortinas
a todas las ventanas del edificio.
N.o de aristas: 12
N.o de vértices superiores: 4
b = 12 – 4 = 8 cm
AT = 82 × 6 = 384 cm2 Rpta.: 384 cm2
AB = (12 × 9) ÷ 2 = 54 cm2
AL = (9 + 12 + 15) × 20 = 36 × 20 = 720 cm2
AT = AL + 2 × AB
AT = 720 + 2 × 54
AT = 720 + 108
AT = 828 cm2
Rpta.: Utilizó 828 cm2 de cartulina.
Datos:
Perímetro de la base: 25 cm
Altura: 13 cm
AL = 25 × 13 = 325 cm2
Diferencia: 400 – 325 = 75 cm2
Rpta.: Le sobró 75 cm2 de papel dorado.
Área total del cubo:
A = 6 × 42 → A = 96 cm2
Si partimos el cubo por la mitad, el área de
cualquiera de las partes será igual a la mitad
del área total del cubo original, más el área de
la cara interior. Así se tiene:
AT = (96 ÷ 2) + 4 × 4
AT = 48 + 16
AT = 64 cm2 Rpta.: 64 cm2
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225
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Geometría
3) Observa los datos de la tabla y halla el valor de
(x + y), si se sabe que las bases de los prismas
rectos A y B son cuadrados.
Prisma A Prisma B
Área total (cm2) x 240
Área de la base (cm2) 81 36
Altura (cm) 5 y
4) Se quiere elaborar una vitrina de vidrio con forma
de prisma hexagonal regular. Si el metro cuadrado
de vidrio cuesta S/.34 y la mano de obra por
armarla, S/.70, ¿cuánto dinero se gastará? Observa
la figura y responde.
Círculo matemático
Prismas
60 cm
198 cm
1) El poliedro que se muestra en la figura está
conformado por tres cubos. La arista del cubo más
pequeño mide 1 cm, la del del cubo más grande,
4 cm, y la del intermedio, 2 cm. Halla el área total
de dicho poliedro.
2) El área lateral de un prisma recto es 1920 cm2.
Si su base es un pentágono regular y, además, su
arista lateral mide 24 cm, calcula el cuádruplo del
lado de la base.
9360 cm2
Datos:
AL = 1920 cm2
Altura = 24 cm
Se sabe que:
AL = Perímetro de la base × altura
Por lo tanto:
Perímetro de la base = 1920 ÷ 24 = 80 cm
Lado de la base: 80 ÷ 5 = 16 cm
Cuádruplo del lado de la base: 16 × 4 = 64 cm
Rpta.: 64 cm
Con los datos de la figura se tiene:
AB = 9360 cm2
AL = (60 × 6) × 198 = 71 280 cm2
AT = 71 280 + 2 × 9360 = 90 000 cm2
AT = 9 m2
Gasto total:
9 × 34 + 70 = 306 + 70 = S/.376
Rpta.: Se gastará S/.376.
• Prisma A
AB = 81 cm2 → lado de la base = 9 cm
AT = AL + 2 × AB
x = (9 × 4) × 5 + 2 × 81
x = 342
• Prisma B
AB = 36 cm2 → lado de la base = 6 cm
AT = AL + 2 × AB
240 = (6 × 4) × y + 2 × 36
240 = 24y + 72
168 = 24y
7 = y
Sumando: x + y = 342 + 7 = 349 Rpta.: 349
El área total del poliedro es igual a la suma de
las áreas de todos sus lados visibles.
Área visible del cubo pequeño:
A1 = 12 × 5 = 1 × 5 = 5 cm2
Área visible del cubo mediano:
A2 = 22 × 5 = 4 × 5 = 20 cm2
Área visible del cubo grande:
A3 = 42 × 6 – 12 – 22 = 96 – 1 – 4 = 91 cm2
AT = A1 + A2 + A3 = 5 + 20 + 91 = 116 cm2
Rpta.: 116 cm2
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226
Geometría
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• AB = _______________________
• AL = _______________________
• AT = _______________________
Prismas
6 m
4 m
3 m
12 mm
12 mm
12 mm
1) Escribe V si es verdadero o F si es falso según sea
el caso.
• Las bases de cualquier prisma nunca
son paralelas. (___)
• En un prisma triangular, las caras laterales
son triángulos. (___)
• Un prisma es recto si sus caras laterales
son perpendiculares a las bases. (___)
• Un prisma es oblicuo si sus caras laterales
no son perpendiculares a las bases. (___)
a) b) c) d)
2) Encierra con un círculo el desarrollo plano del
siguiente prisma:
3) Completa la tabla.
Prisma N.o de caras N.o de vértices N.o de aristas Forma de la base Nombre del prisma
4) Observa cada prisma, dibuja el desarrollo plano de cada uno y calcula lo indicado.
a)
• AB = _______________________
• AL = _______________________
• AT = _______________________
b)
F
F
V
V
3 × 4 = 12 m2
(4 × 2 + 3 × 2) × 6 = 84 m2
84 + 2 × 12 = 108 m2
12 × 12 = 144 mm2
(12 × 4) × 12 = 576 mm2
576 + 2 × 144 = 864 mm2
5 6 9 Triangular Prisma triangular
6 8 12 Rectangular Prisma rectangular
7 10 15 Pentagonal Prisma pentagonal
8 12 18 Hexagonal Prisma hexagonal
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227
Geometría
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Prismas
1) Lee el problema. En la construcción de un edificio, el operario de una grúa torre tiene a su disposición varios
bloques de concreto de diferentes formas. Sabe que solo los bloques que tienen forma de prisma le serán
útiles para dicha edificación. Marca con un aspa (X) en el tablero cuáles de estos usará.
2) Lee y responde. El cajón peruano es un instrumento musical de percusión. Este tiene la forma de un prisma
con base cuadrada, además, según las medidas estándares, el lado de su base mide 30 cm y la altura, 50 cm.
En la tapa delantera hay un orificio central (como se muestra en la figura) de 10 cm de diámetro que sirve
para emitir la resonancia al tocar. Si Rafael, quien lleva tocando muchos años el cajón peruano, quiere pintar
la superficie de dicho instrumento, ¿cuál es el área (en centímetros cuadrados) que debe pintar? (Considera
π = 3,14)
SÍ NO
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C D
G H
F
E
Para visualizar mejor la figura, se observa su forma desarrollada:
Hallando el área total:
Área del prisma:
A1 = (30 × 4) × 50 + 2 × (30 × 30)
A1 = 6000 + 1800 = 7800 cm2
Área de la región que forma el orificio:
A2 = π × 52
A2 = 3,14 × 25 = 78,5 cm2
Por lo tanto, AT = 7800 – 78,5 = 7721,5 cm2
Rpta.: El área que debe pintar es 7721,5 cm2.
d
30 cm
30 cm
d = 10 cm
50
cm
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Unidad 5
228
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Geometría Pirámides
1) Observa cada poliedro y marca con un check () si es una pirámide y con un aspa (X) si no lo es.
a)

b)
c)
d)
e)
f)
2) Escribe el nombre de cada pirámide según las bases de cada una de estas.
a)
______________
______________
b)
______________
______________
c)
______________
______________
d)
______________
______________
3) Calcula el perímetro de la base de cada pirámide regular.
a) b)
4) Halla el área de la base de cada pirámide regular.
a) b)
6 cm 5 cm
8 cm
17 cm
pirámide
triangular
pirámide
cuadrangular
pirámide
pentagonal
pirámide
hexagonal
Base: triángulo regular
de 6 cm de lado
Perímetro de la base:
6 × 3 = 18 cm
Rpta.: 18 cm
Base: cuadrado de 8 cm
de lado
Área de la base:
8 × 8 = 64 cm2
Rpta.: 64 cm2
Base: cuadrado de 17 cm
de lado
Área de la base:
17 × 17 = 289 cm2
Rpta.: 289 cm2
Base: pentágono regular
de 5 cm de lado
5 × 5 = 25 cm
Rpta.: 25 cm
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Ficha de trabajo
Unidad 5
229
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Editorial.
Nivel 2
Geometría Pirámides
1) Observa cada desarrollo plano y dibuja el sólido geométrico que se puede construir a partir de él.
a)
b)
c)
d)
2) Halla el área lateral de las siguientes pirámides regulares:
a)
b)
c)
d)
6 cm
9 cm
7 cm
8 cm
12 cm
10 cm
8 cm
12 cm
P = 6 × 4 = 24 cm
ap = 8 cm
Área lateral:
AL =
24 × 8
2
= 96 cm2
Rpta.: 96 cm2
P = 7 × 3 = 21 cm
ap = 10 cm
Área lateral:
AL =
21 × 10
2
= 105 cm2
Rpta.: 105 cm2
P = 8 × 5 = 40 cm
ap = 12 cm
Área lateral:
AL =
40 × 12
2
= 240 cm2
Rpta.: 240 cm2
P = 9 × 6 = 54 cm
ap = 12 cm
Área lateral:
AL =
54 × 12
2
= 324 cm2
Rpta.: 324 cm2
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Unidad 5
230
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expreso
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la
Editorial.
Geometría Nivel 3 Pirámides
Geometría
1) La figura representa una pirámide regular cuya
base es un cuadrado de 12 cm de lado, además, la
altura mide 8 cm, tiene una apotema de 10 cm y la
apotema de la base mide 6 cm. Identifica y escribe
las medidas de cada uno de estos elementos.
2) Halla el área total de las siguientes pirámides
regulares:
a) Pirámide cuya base es un cuadrado de 10 cm de
lado y, además, tiene una apotema de 13 cm.
b) Pirámide cuya base es un cuadrado de 169 m2
de área y, además, tiene una apotema de 25 m.
3) Calcula el área total de cada pirámide regular
según las características dadas, luego encierra tu
respuesta.
• Base: pentagonal
Lado de la base: 6 cm
Apotema de la pirámide: 16 cm
Apotema de la base: 4 cm
a) 300 cm2
b) 400 cm2
c) 350 cm2
d) 450 cm2
• Base: triangular
Lado de la base: 7 cm
Apotema de la pirámide: 16 cm
Apotema de la base: 2 cm
a) 200 cm2
b) 150 cm2
c) 189 cm2
d) 199 cm2
AB = 10 × 10 = 100 cm2
AL = (10 × 4) × 13
2
=
520
2
= 260 cm2
AT = AL + AB = 260 + 100 = 360 cm2
Rpta.: 360 cm2
Lado de la base: 169 = 13 m
AB = 169 m2
AL = (13 × 4) × 25
2
= 1300
2
= 650 m2
AT = AL + AB = 650 + 169 = 819 m2
Rpta.: 819 m2
12 cm
8 cm
10 cm
6 cm
P = 6 × 5 = 30 cm
Área lateral:
AL = 30 × 16
2
= 240 cm2
Área de la base:
AB = (6 × 4
2 )× 5 = 60 cm2
Área total:
AT = AL + AB = 240 + 60 = 300 cm2
P = 7 × 3 = 21 cm
Área lateral:
AL =
21 × 16
2
= 168 cm2
Área de la base:
AB = (7 × 2
2 )× 3 = 21 cm2
Área total:
AT = AL + AB = 168 + 21 = 189 cm2
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Unidad 5
231
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Pirámides
1) El perímetro de la base de una pirámide es 26 cm.
Calcula la medida del lado de la base si se sabe que
este es un cuadrado.
2) El área lateral de un cubo es igual al doble del
área lateral de una pirámide. Halla el área lateral
de la pirámide si el área lateral del cubo es
(32 + 52 + 2) cm2.
3) Si el área lateral de una pirámide regular es 108 m2
y la apotema mide 12 m, calcula la medida del lado
de la base de la pirámide, si se sabe que esta es
triangular.
4) Halla el área de la base de una pirámide, si su área
total es 220 m2 y su área lateral es 178 m2.
5) Calcula la apotema de una pirámide regular, si el
área lateral es 29 cm2 y el perímetro de su base es
26 cm.
6) Calcula el área total de la pirámide regular.
24 cm
60 cm
Del problema:
Perímetro de la base: 26 = 64 cm
Lado de la base: 64 ÷ 4 = 16 cm
Rpta.: 16 cm
Área lateral del cubo: ALC
Área lateral de la pirámide: ALP
Del problema:
ALC = 32 + 52 + 2 = 36 cm2
ALC = 2 × ALP
36 = 2 × ALP
18 = ALP
Rpta.: 18 cm2
Datos:
AL = 108 m2
ap = 12 m
Se sabe que: AL =
P × ap
2
Reemplazando se tiene:
108 = P × 12
2
P = (108 × 2) ÷ 12 = 18 m
Por lo tanto, la medida del lado de la base es:
18 ÷ 3 = 6 m
Rpta.: 6 m
Datos:
AT = 220 m2 AL = 178 m2
Se sabe que:
AT = AL + AB
Reemplazando:
220 = 178 + AB
220 – 178 = AB → AB = 42 m2
Rpta.: 42 m2
Datos:
AL = 29 = 512 cm2
P = 26 = 64 cm
Se sabe que:
AL =
P × ap
2
Reemplazando:
512 =
64 × ap
2
ap = (512 × 2) ÷ 64 = 16 cm Rpta.: 16 cm
P = 24 × 4 = 96 cm
AL = 96 × 60
2
= 2880 cm2
AB = 24 × 24 = 576 cm2
Área total:
AT = AL + AB = 2880 + 576 = 3456 cm2
Rpta.: 3456 cm2
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Unidad 5
232
Geometría
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Pirámides
Forma de la base
Número de caras laterales
Forma de las caras laterales
Número de aristas
Nombre
2) Halla el área lateral de las siguientes pirámides regulares:
a) b)
3) Halla el área total de las siguientes pirámides regulares:
a) b)
40 cm
70 cm
50 cm
80 cm
18 cm
30 cm
20 cm
40 cm
triangular pentagonal hexagonal octogonal
3 5 6 8
triangular triangular triangular triangular
6 10 12 16
pirámide
triángular
pirámide
pentagonal
pirámide
hexagonal
pirámide
octogonal
P = 40 × 4 = 160 cm
Área lateral:
AL =
160 × 70
2
= 5600 cm2
Rpta.: 5600 cm2
P = 50 × 6 = 300 cm
Área lateral:
AL = 300 × 80
2
= 12 000 cm2
Rpta.: 12 000 cm2
P = 18 × 4 = 72 cm
AL =
72 × 30
2
= 1080 cm2
AB = 18 × 18 = 324 cm2
Área total:
AT = AL + AB
AT = 1080 + 324
AT = 1404 cm2
Rpta.: 1404 cm2
P = 20 × 4 = 80 cm
AL =
80 × 40
2
= 1600 cm2
AB = 20 × 20 = 400 cm2
Área total:
AT = AL + AB
AT = 1600 + 400
AT = 2000 cm2
Rpta.: 2000 cm2
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Unidad 5
233
Geometría
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o
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libro
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Pirámides
1) Lee y resuelve.
La gran pirámide de Guiza es una de las Siete maravillas del
Mundo Antiguo y la única que aún perdura. Fue ordenada
construir por el faraón de la cuarta dinastía del Antiguo Egipto,
Keops.
La fecha estimada de terminación de la construcción de la gran
pirámide es alrededor de 2570 a. C., siendo la primera y mayor
de las tres grandes pirámides de la Necrópolis de Guiza, situada
en las afueras de El Cairo, en Egipto. Fue el edificio más alto
hasta el siglo XIV (siendo superado por el chapitel de la Catedral
de Lincoln, en Inglaterra) y el edificio de piedra más alto del
mundo hasta bien entrado el siglo XIX, siendo entonces superado por la aguja de la iglesia de San Nikolai, en
Hamburgo.
El egiptólogo británico Sir William Matthew Flinders Petrie hizo el estudio más detallado realizado hasta el
momento acerca del monumento que tiene forma de pirámide con base cuadrada, siendo sus dimensiones las
siguientes:
• Altura: 136,86 m
• Apotema de la pirámide: 179,92 m
• Longitud de los lados de la base (aproximadamente): 230,347 m
Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Gran_Pir%C3%A1mide_de_Guiza
a) Aproxima cada medida mencionada a la unidad más cercana.
b) Con los datos aproximados, calcula lo indicado:
• Perímetro de la base
• Área de la base
• Área lateral
• Área total
Aproximaciones:
Altura: 137 m
Apotema de la pirámide: 180 m
Longitud de los lados de la base: 230 m
Calculando el perímetro de la base:
P = 230 × 4 = 920 m
Rpta.: 920 m
Calculando el área de la base:
AB = 230 × 230 = 52 900 m2
Rpta.: 52 900 m2
Calculando el área lateral:
AL =
920 × 180
2
= 82 800 m2
Rpta.: 82 800 m2
Calculando el área total:
AT = AL + AB = 82 800 + 52 900 = 135 700 m2
Rpta.: 135 700 m2
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Unidad 5
234
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o
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Nivel 1
Geometría Cilindros
1) Observa las figuras y marca con un aspa (X) aquellas que son cilindros.
2) Completa las siguientes oraciones con las palabras indicadas.
regiones circulares - bases - cilindro - altura - superficie lateral
• El ___________ es generado por la rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados.
• Las únicas caras opuestas de un cilindro se denominan ___________.
• Las bases son __________________ que se encuentran en planos paralelos.
• El desarrollo plano de la _________________ de un cilindro es un rectángulo.
• La distancia que hay entre las bases de un cilindro se llama __________.
3) Encierra la alternativa correcta.
• Eldesarrolloplanodeuncilindroestácompuesto
por…
a) dos círculos y un pentágono.
b) dos círculos y un rectángulo.
c) dos círculos y un hexágono.
• El cilindro…
a) es un poliedro, pues sus bases son polígonos.
b) es un poliedro, pues tiene dos caras paralelas
y una superficie lateral curva.
c) no es un poliedro, pues no está limitada por
caras con forma de polígonos.
4) Observa la medida del radio de cada circunferencia y el ancho de cada rectángulo, luego relaciona mediante
flechas las figuras que formarían un cilindro.

• • •

• • •
5r
r 8r
2πr 16πr 10πr
cilindro
bases
regiones circulares
superficie lateral
altura
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Unidad 5
235
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Editorial.
Nivel 2
1) Calcula la superficie que cada cilindro describe en el suelo al girar una vuelta completa.
a) b) c)
2) Halla el área total de cada cilindro tomando en cuenta los datos que se dan.
a) b) c)
3) Observa los desarrollos planos y calcula (en función de π) el área total del cilindro que este genera.
a) b) c)
Geometría Cilindros
314 cm2
10 cm
20 cm
50 cm
5 cm
1256 cm2
20 cm
30 cm
2826 cm2
9 m
10 m
6 m
5 m
8 m
3 m
100 cm
50 cm
100 cm
60 cm 90 cm
80 cm
AL = 2 × π × 50 × 100
AL = 10 000 × 3,14
AL = 31 400 cm2
Rpta.: 31 400 cm2
AL = 2 × π × 10 × 20
AL = 1256 cm2
AB = 314 cm2
AT = 1256 + 2 × 314
AT = 1884 cm2
Rpta.: 1884 cm2
AT = AL + 2 × AB
AT = 2 × π × 9 × 10 + 2 × π × 92
AT = 180π + 162π
AT = 342π m2
Rpta.: 342π m2
AT = AL + 2 × AB
AT = 2 × π × 6 × 5 + 2 × π × 62
AT = 60π + 72π
AT = 132π m2
Rpta.: 132π m2
AT = AL + 2 × AB
AT = 2 × π × 8 × 3 + 2 × π × 82
AT = 48π + 128π
AT = 176π m2
Rpta.: 176π m2
AL = 2 × π × 20 × 5
AL = 628 cm2
AB = 1256 cm2
AT = 628 + 2 × 1256
AT = 3140 cm2
Rpta.: 3140 cm2
AL = 2 × π × 30 × 50
AL = 9420 cm2
AB = 2826 cm2
AT = 9420 + 2 × 2826
AT = 15 072 cm2
Rpta.: 15 072 cm2
AL = 2 × π × 30 × 50
AL = 3000 × 3,14
AL = 9420 cm2
Rpta.: 9420 cm2
AL = 2 × π × 45 × 80
AL = 7200 × 3,14
AL = 22 608 cm2
Rpta.: 22 608 cm2
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Unidad 5
236
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o
parcial
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este
libro
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o
procedimiento
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Editorial.
Geometría Nivel 3 Cilindros
Geometría
1) En un cilindro, la altura es el doble del diámetro de
la base. Si el radio de la base mide 50 cm, calcula
el área lateral.
2) Calcula la superficie total del cilindro.
8 cm
42 cm
3) Halla la altura del cilindro, si se sabe que tiene una
superficie total de 40π cm2.
4 cm
h
4) Lee y responde las siguientes preguntas:
a) Una lata de conservas tiene 20 cm de altura
y 10 cm de radio. ¿Qué cantidad de papel se
necesita para etiquetar media docena de latas?
b) La superficie lateral de un cilindro tiene un área
de 628 cm2. Si la altura del cilindro mide 25 cm,
¿cuánto mide el radio del cilindro?
c) Se quiere cubrir, con mayólicas, la superficie
de una piscina cilíndrica de 400 cm de radio y
192 cm de profundidad. ¿Cuántos centímetros
cuadrados de mayólicas se necesitará?
Datos:
r = 50 cm → D = 100 cm
h = 2 × D = 2 × 100 = 200 cm
Área lateral:
AL = 2 × π × 50 × 200
AL = 20 000 × 3,14
AL = 62 800 cm2 Rpta.: 62 800 cm2
Datos: h = 20 cm r = 10 cm
Como se sabe, las etiquetas se colocan en
la superficie lateral de las latas. Así, se debe
hallar el área lateral.
AL = 2 × π × 10 × 20
AL = 400 × 3,14
AL = 1256 cm2
Luego, 1256 × 6 = 7536 cm2
Rpta.: Para etiquetar media docena de latas
se necesita 7536 cm2 de papel.
Datos: h = 25 cm AL = 628 cm2
Se sabe que:
AL = 2 × π × r × h
Reemplazando:
628 = 2 × 3,14 × r × 25
628 = 157r → r =
628
157
= 4 cm
Rpta.: Mide 4 cm.
Datos: r = 400 cm h = 192 cm
AL = 2 × π × 400 × 192 = 153 600π cm2
AB = π × 4002 = 160 000π cm2
Apiscina = AL + AB = 153 600π + 160 000π
Apiscina = 313 600π = 313 600 × 3,14
Apiscina = 984 704 cm2
Rpta.: Se necesitará 984 704 cm2 de
mayólicas.
Datos: r = 8 cm h = 42 cm
AL = 2 × π × 8 × 42
AL = 672π cm2
Área total:
AT = 672π + 2 × 64π = 672π + 128π
AT = 800π = 800 × 3,14
AT = 2512 cm2
Rpta.: 2512 cm2
Datos: AT = 40π cm2 r = 4 cm
AL = 2 × π × 4 × h AB = π × 42
AL = 8πh cm2 AB = 16π cm2
Se sabe que:
AT = AL + 2 × AB
Reemplazando:
40π = 8πh + 2 × 16π
8π = 8πh → h = 1 cm Rpta.: 1 cm
AB = π × 82
AB = 64π cm2
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Unidad 5
237
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o
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la
Editorial.
Cilindros
1) Calculaladiferenciadeáreasentreamboscilindros.
18 cm
32 cm
32 cm 18 cm
2) Se tiene un recipiente cilíndrico de 48 cm de altura
y 36 cm de diámetro. Si se llena hasta su tercera
parte, calcula el área de la región del recipiente
que está llena.
3) Desarrolla y contesta.
a) Félix pinta la parte exterior de un tubo cilíndrico
de 25 cm de radio y 20 m de largo. Si cobra S/.10
por cada metro cuadrado que pinta, ¿cuánto
cobró en total?
b) ¿El cilindro generado por la rotación del
rectángulo ABCD en torno al lado AB tiene igual
área que el cilindro generado por la rotación del
mismo rectángulo en torno al lado AD?
A B
5 cm
2 cm
D C
c) Se quiere pintar un depósito cilíndrico de 21 m
de alto y 8 m de radio. Si el precio de la pintura
por metro cuadrado es S/.40, ¿cuál es el costo
total de la pintura que se empleará, si se sabe
que solo se pintará la base superior del depósito
y la superficie lateral?
4) Marca con un aspa (X) la figura que representa el
desarrollo plano de un cilindro oblicuo.
1.er cilindro:
A1 = 2 × π × 32 × 18 + 2 × π × 322
A1 = 1152π + 2048π = 3200π cm2
2.o cilindro:
A2 = 2 × π × 18 × 32 + 2 × π × 182
A2 = 1152π + 648π = 1800π cm2
Diferencia de áreas:
3200π – 1800π = 1400π
3200π – 1800π = 1400 × 3,14 = 4396 cm2
Rpta.: 4396 cm2
Área del primer cilindro generado:
A1 = 2 × π × 5 × 2 + 2 × π × 52
A1 = 20π + 50π = 70π cm2
Área del segundo cilindro generado:
A2 = 2 × π × 2 × 5 + 2 × π × 22
A2 = 20π + 8π = 28π cm2
Rpta.: No, tienen diferentes áreas.
Datos: h = 21 m r = 8 m
AL = 2 × π × 8 × 21
AL = 336π m2
Área que se pintará:
A = AL + AB = 336π + 64π = 400π
A = 400 × 3,14 = 1256 m2
Costo total de la pintura:
1256 × 40 = S/.50 240
Rpta.: El costo total será S/.50 240.
Datos: r = 25 cm h = 20 m = 2000 cm
AL = 2 × π × r × h
AL = 2 × 3,14 × 25 × 2000 = 314 000 cm2
Convirtiendo a metros cuadrados:
314 000 ÷ 10 000 = 31,4 m2
Costo total: 31,4 × 10 = S/.314
Rpta.: Cobró S/.314 en total.
AL = 2 × π × 18 × 16
AL = 576π cm2
AB = π × 182
AB = 324π cm2
A = 576π + 324π
A = 900π = 900 × 3,14
A = 2826 cm2
Rpta.: 2826 cm2
16
cm
18 cm
AB = π × 82
AB = 64π cm2
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Unidad 5
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Geometría
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la
Editorial.
Cilindros
1) Observa la figura y escribe la letra correspondiente a cada elemento del cilindro.
• Generatriz: ___
• Base: ___
• Radio: ___
• Eje de giro: ___
• Superficie lateral: ___
2) Calcula el área lateral de cada cilindro.
a)
2 cm
25 cm
b)
20 cm
5 cm
3) Halla el área total de cada cilindro.
a)
b)
48
cm
2 cm
8 cm
192
cm
4) Marca con un aspa (X) la superficie lateral que, junto a dos círculos de 25 cm de radio, formen un cilindro.
628 cm 157 cm 314 cm
a
b
c
e
d
d
a
c
b
e
AL = 2 × π × 2 × 25
AL = 100 × 3,14
AL = 314 cm2
Rpta.: 314 cm2
AL = 2 × π × 8 × 192
AL = 3072π cm2
AB = π × 82
AB = 64π cm2
AT = 3072π + 2 × 64π
AT = 3200π = 3200 × 3,14
AT = 10 048 cm2
Rpta.: 10 048 cm2
AL = 2 × π × 2 × 48
AL = 192π cm2
AB = π × 22
AB = 4π cm2
AT = 192π + 2 × 4π
AT = 200π = 200 × 3,14
AT = 628 cm2
Rpta.: 628 cm2
AL = 2 × π × 5 × 20
AL = 200 × 3,14
AL = 628 cm2
Rpta.: 628 cm2
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Unidad 5
239
Geometría
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Cilindros
1) Lee y resuelve. Una hormiga sale del punto A y camina, siempre en línea recta, hacia el punto B por todo el
lado lateral del cilindro, como se muestra en las figuras.
A
B
A
B
A
B
a) Al desarrollar la superficie lateral del cilindro, ¿cuál sería el recorrido que hizo la hormiga? Marca con un
aspa (X) tu respuesta.
A A A
B
B
B
b) Si el cilindro tiene 6 cm de altura y el contorno de su base tiene 8 cm de longitud, ¿cuántos centímetros
recorrió la hormiga?
2) Traza en los gráficos correspondientes, las líneas que aparecen en cada superficie lateral.
a)
b)
c)
d)
A
B
B
B B B
B
B B
A A A
A A A
A
En el desarrollo plano, se observa que la longitud que recorrió
la hormiga se puede hallar con el teorema de Pitágoras:
x2 = 62 + 82 = 36 + 64
x2 = 100
x = 10 cm
Rpta.: La hormiga recorrió 10 cm.
A
B
x
6 cm
8 cm
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Ficha de trabajo
Unidad 5
240
Nivel 1
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Geometría Volumen
1) Cuenta los cubitos y completa los espacios en blanco para hallar el volumen de cada sólido geométrico.
• Número de cubitos:
____ × ____ × ____ = ____ cubitos
• Volumen: ____
____ × ____ × ____ = ____ cubitos
• Volumen: ____
____ × ____ × ____ = ____ cubitos
• Volumen: ____
2) Si el volumen de cada es 1 m3, completa la tabla con el volumen de cada cuerpo geométrico.
A
B C
D
E
F
Figura A B C D E F
Volumen (m3)
3) Observa los datos y halla el volumen de cada figura.
a) b)
a)
b)
c)
10 cm 4 cm
15 cm2 35 cm2
V = AB × h
V = 15 × 10
V = 150 cm3 Rpta.: 150 cm3
V = AB × h
V = 35 × 4
V = 140 cm3 Rpta.: 140 cm3
8 18 27 10 14 30
2 5 3 30
30
3 3 3 27
27
4 3 3 36
36
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Ficha de trabajo
Unidad 5
241
Nivel 2
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
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procedimiento
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expreso
de
la
Editorial.
b) Volumen del cubo: 125 cm3
4) Halla el volumen de cada cilindro.
a)
b)
Geometría Volumen
1) Halla el volumen de los siguientes paralelepípedos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6 cm
10 cm 17 cm 29 cm
8 cm 21 cm
12 cm
11 cm
7 cm
9 cm 3 cm
17 cm 7 cm
13 cm
4 cm
4 cm
3 cm
2 cm
2) Calcula el volumen de los siguientes objetos:
a) Una caja de 29 cm largo, 23 cm de ancho y
10 cm de alto.
b) Una lata de conservas de 10 cm de radio y
10 cm de alto.
3) Calcula la medida de la arista de cada cubo a partir
de su volumen.
a) Volumen del cubo: 64 cm3
15 cm
10 cm
8 cm
25 cm
V = 4 × 2 × 3
V = 24 cm3
Rpta.: 24 cm3
V = 6 × 10 × 4
V = 240 cm3
Rpta.: 240 cm3
V = 7 × 9 × 3
V = 189 cm3
Rpta.: 189 cm3
V = 11 × 17 × 8
V = 1496 cm3
Rpta.: 1496 cm3
V = 13 × 17 × 7
V = 1547 cm3
Rpta.: 1547 cm3
V = 12 × 29 × 21
V = 7308 cm3
Rpta.: 7308 cm3
V = largo × ancho × alto
V = 29 × 23 × 10
V = 6670 cm3 Rpta.: 6670 cm3
V = π × r2 × h
V = 3,14 × 102 × 10
V = 3140 cm3 Rpta.: 3140 cm3
Se tiene:
V = a3
64 = a3 → a = 64
3
= 4 cm
Rpta.: 4 cm
Se tiene:
V = a3
125 = a3 → a = 125
3
= 5 cm
Rpta.: 5 cm
V = π × r2 × h
V = 3,14 × 102 × 15
V = 3,14 × 1500
V = 4710 cm3
Rpta.: 4710 cm3
V = π × r2 × h
V = 3,14 × 252 × 8
V = 3,14 × 5000
V = 15 700 cm3
Rpta.: 15 700 cm3
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Ficha de trabajo
Unidad 5
242
Geometría Nivel 3
Prohibida
la
reproducción
total
o
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de
este
libro
por
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o
procedimiento
sin
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expreso
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la
Editorial.
Volumen
Geometría
Área y volumen de cubos según la medida de sus aristas
Medida de la arista (cm) 1 9 21
Área total (cm2) 864 150
Volumen (cm3) 27
2) Completa la tabla según corresponda.
Volumen de paralelepípedos según sus medidas
Ancho (cm) Largo (cm) Alto (cm) Volumen (cm3)
3 8 5
6 15 810
13 22 15
38 30 19 380
22 33 32 670
27 39 58 968
3) Lee y responde.
a) El volumen de un cubo es 1000 cm3. ¿Cuál es
la medida de la altura de un paralelepípedo de
25 cm de largo y 20 cm de ancho si este tiene
igual volumen que el cubo?
b) El volumen de un paralelepípedo es
315 000 cm3. Si mide 90 cm de largo y 50 cm de
ancho, ¿cuánto mide su altura?
4) Halla del volumen del siguiente prisma regular:
10 cm
20 cm
Apotema de
la base: 13 cm
Datos:
V = 1000 cm3
Largo = 25 cm Ancho = 20 cm
Del problema:
V = 25 × 20 × h = 1000
500h = 1000 → h = 2 cm
Rpta.: La medida de la altura es 2 cm.
Datos:
V = 315 000 cm3
Largo = 90 cm Ancho = 50 cm
Del problema:
V = 90 × 50 × h = 315 000
4500h = 315 000 → h = 70 cm
Rpta.: Su altura mide 70 cm.
Área de la base:
AB = (20 × 13
2 )× 5 = 650 cm2
Cálculo del volumen:
V = AB × h
V = 650 × 10
V = 6500 cm3 Rpta.: 6500 cm3
3 12 5
6 54 486 2646
1 729 1728 125 9261
120
9
4290
17
45
56
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Ficha de trabajo
Unidad 5
243
Geometría
Prohibida
la
reproducción
total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
medio
o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Círculo matemático
Volumen
1) Calcula la cantidad de agua que puede contener una piscina, si esta tiene la forma y las medidas que se indican
en el gráfico.
2) Se tiene una cartulina en forma de rectángulo cuya área es 48 cm2. De ella se recorta la parte no sombreada,
y con la parte sombreada se forma un cubo cuyo volumen se desea calcular. Halla el volumen del cubo que se
formaría.
9 m
2 m
5 m
1 m
12 m
3) Lee y responde. ¿Cuántos cubos de 10 cm de arista
son necesarios para formar un paralelepípedo
cuyas dimensiones se indican en la figura?
4) Las dimensiones de un depósito cilíndrico están
especificadas en la figura. Calcula el volumen del
agua, en centímetros cúbicos, contenido en dicho
depósito.
4 m
2 m
2 m
2,25 m
20 cm
3 m
25 cm
1 m
3 m
Se debe hallar el volumen de un prisma usando la fórmula:
V = AB × h
Para el problema, se tomará como base la cara delantera de
la figura, por ende, la altura será 5 m.
AB = 9 × 2 + 3 × 1 = 18 + 3 = 21 m2
V = 21 × 5 = 105 m3
Rpta.: 105 m3
Volumen del paralelepípedo:
4 m = 400 cm 2 m = 200 cm
V1 = 400 × 200 × 200 = 16 000 000 cm3
Volumen de un cubo de 10 cm de arista:
V2 = 10 × 10 × 10 = 1000 cm3
Luego:
N.o de cubos = V1 ÷ V2
N.o de cubos = 16 000 000 ÷ 1000 = 16 000
Rpta.: Son necesarios 16 000 cubos de 10 cm
de arista.
Hallando el radio interior: 3 m = 300 cm
r = 300 ÷ 2 – 20 = 130 cm
Hallando la altura: 2,25 m = 225 cm
h = 225 – 25 = 200 cm
Volumen del agua contenido en el depósito:
V = π × r2 × h
V = π × 1302 × 200 = 3,14 × 16 900 × 200
V = 10 613 200 cm3
Rpta.: 10 613 200 cm3
Si la arista del cubo mide «a» cm, se tiene:
3a
4a
Área del rectángulo:
A = 3a × 4a
48 = 12a2
4 = a2 → a = 2 cm
Rpta.: 8 cm3
Volumen del cubo:
V = a3 = 23
V = 8 cm3
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Unidad 5
244
Geometría
Prohibida
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total
o
parcial
de
este
libro
por
cualquier
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o
procedimiento
sin
permiso
expreso
de
la
Editorial.
Volumen
1) Halla el volumen de cada paralelepípedo.
a)
V = ____________________
b)
V = ____________________
c)
V = ____________________
2) Calcula el volumen de cada sólido geométrico.
a) b)
3) Resuelve los siguientes problemas:
a) Halla el volumen de un cilindro, si se sabe que
este tiene 4 cm de radio y 125 cm de alto.
b) El volumen de un paralelepípedo es 4900 cm3. Si
su ancho mide 28 cm y su largo, 35 cm, calcula la
medida de su altura.
5 cm 1 m 1 m
8 hm
6 hm
2 hm
5 m
5 cm
8 cm
10 cm
10 cm
10 cm
17 cm 20 cm
12 cm
20 cm
13 cm
10 cm
10 cm
El volumen total es igual a la suma de los
volúmenes de cada paralelepípedo que
conforma la figura.
V1 = 17 × 10 × 13 = 2210 cm3
V2 = 10 × 10 × 10 = 1000 cm3
VT = 2210 + 1000 = 3210 cm3
Rpta.: 3210 cm3
Datos:
r = 4 cm h = 125 cm
Calculando el volumen:
V = π × r2 × h
V = 3,14 × 42 × 125
V = 3,14 × 2000
V = 6280 cm3
Rpta.: 6280 cm3
Datos:
V = 4900 cm3
Ancho = 28 cm Largo = 35 cm
Calculando la altura:
V = ancho × largo × alto
4900 = 28 × 35 × h
4900 = 980h → h = 5 cm
Rpta.: 5 cm
El volumen total es igual a la diferencia
entre el volumen que encierra todo el
paralelepípedo (incluyendo el orificio) y el
volumen que encierra el orificio.
V1 = 20 × 12 × 20 = 4800 cm3
V2 = 10 × 10 × 12 = 1200 cm3
VT = 4800 – 1200 = 3600 cm3
Rpta.: 3600 cm3
5 × 5 × 8 = 200 cm3 1 × 1 × 5 = 5 m3 8 × 6 × 2 = 96 hm3
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Unidad 5
245
Geometría
Prohibida
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o
parcial
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Editorial.
Volumen
1) Lee y resuelve.
Andrea, una estudiante del quinto grado de primaria, cumplirá 10 años dentro de pocos días, y su familia
decide hacerle una fiesta junto a sus amigos y compañeros del colegio como recompensa por ser una hija
ejemplar y muy aplicada. Para tal celebración, sus padres compran bocadillos, gelatina, gaseosa y una torta
para compartir con todos y cantar la canción de cumpleaños.
a) Halla el volumen de la torta, si esta tiene forma cilíndrica, con un radio y una altura de 20 cm.
b) Al comprar la torta, esta vino en una caja de 42 cm de largo, 42 cm de ancho y 22 cm de alto. Calcula el
volumen de la caja.
c) Halla la diferencia entre el volumen de la caja y el volumen de la torta.
2) Observa los siguientes sólidos geométricos y responde. Si se llena completamente de agua el paralelepípedo y
luego se vierte su contenido en el cilindro, se comprueba que este queda completamente lleno. ¿Cuánto mide
el radio del cilindro?
200 cm
157 cm r
h
h
Datos:
r = 20 cm h = 20 cm
Volumen = π × r2 × h
Rpta.: 25 120 cm3
Datos:
Ancho = 42 cm Largo = 42 cm Alto = 22 cm
Volumen de la caja = ancho × largo × alto
Reemplazando:
V = 42 × 42 × 22
V = 38 808 cm3 Rpta.: 38 808 cm3
Reemplazando:
V = 3,14 × 202 × 20
V = 25 120 cm3
Volumen de la caja: 38 808 cm3
Volumen de la torta: 25 120 cm3
Diferencia: 38 808 – 25 120 = 13 688 cm3 Rpta.: 13 688 cm3
Del problema se deduce que ambos sólidos tienen
igual volumen.
Vparalelepípedo = Vcilindro
200 × 157 × h = π × r2 × h
31 400 = 3,14 × r2
r2 =
31 400
3,14
=
3 140 000
314
= 10 000
r = 10 000
r = 100 cm
Rpta.: El radio del cilindro mide 100 cm.
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